2-3~4 方程式(3)、

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.11.17 範

圍

2-3~4 方程式(3)、

不等式

班級 一年____班 姓 座號 名

一、填充題 (每題 10 分 )

1.設x²−2x− = ﹐無實數解﹐試求 k 範圍____________﹒ k 0 解答 k< − 1

解析 D< ⇒ 0 2²− ⋅ ⋅ − < ⇒4 1 ( k) 0 4k+ < 4 0 ⇒ k< − 1

2.若(2 − i)x² − 3(1 − i)x − 2(1 + i) = 0 有實數解﹐求另一虛根為____________﹒

解答 −1 5−3

5i

解析 設方程式之實根為α﹐則(2 − i)α² − 3(1 − i)α − 2(1 + i) = 0

⇒ (2α² − 3α − 2) + ( −α² + 3α − 2)i = 0

⇒ ²

2

2 3 2 0

3 2 0

α α

α α

 − − =



− + =

 ⇒ (2 1)( 2) 0

( 1)( 2) 0

α α

α α

+ − =

 − − =

 ⇒

1 2 2 1 2 α α

 = −



 = 或 或

∴ α = 2

設另一根為β﹐則 2 + β =3(1 ) 2

i i

−

− =3

5(3 − i) ⇒ β =3

5(3 − i) − 2 = 1 3 5

− − i

3. ( )f x ﹐ ( )g x 為實係數多項式﹐若 (1 2 )f + i = − ﹐ (3 4 ) 1 23 4i g − i = + ﹐求 (1 2 )i f − i ×g(3 4 )+ i = ______﹒

解答 11 2i−

解析 f(1 2 )− i ×g(3+4 )i = f(1 2 )+ i ×g(3 4 )− i = f(1 2 )+ i ×g(3 4 )− i = −(3 4 ) (1 2 )i × + i = +(3 4 )(1 2 ) 11 2i − i = − i 4.設ω = 1 3

2

− + i

﹐則化簡(1 + ω)⁶ + (1 + ω² )⁶ + (ω + ω² )⁶之值為____________﹒

解答 3

解析 ∵ ω = 1 3 2

− + i

∴ ω³ = 1﹐ω² + ω + 1 = 0

∴ (1 + ω)⁶ + (1 + ω² )⁶ + (ω + ω² )⁶ = (− ω² )⁶ + (− ω)⁶ + (−1) ⁶

= ω¹² + ω⁶ + 1 = (ω³ )⁴ + (ω³ )² + 1 = 3

5.a﹐b∈R﹐ 1 3

2

ω=^{− +} i﹐若 1

2−ω = a + bω﹐則數對(a, b) = ____________﹒

解答 (3 1 7, 7)

解析 ∵ 1 3

2

ω=^{− +} i ∴ ω³= 且 1 + 1 ω + ω² = 0

又 1

2−ω = a + bω ⇒

2 2

2 3 3

1 4 2 ( 1) 3

2 (2 )(4 2 ) 2

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

+ + + + + +

= =

− − + + −

3

3 3 1 7

7 7 7 1

7 a b

ω ω

 = 

+ 

= = + ⇒ 

 = 

6.設複數 z 的實數部分為正﹐且滿足 z² = 3 − 4i﹐i = − ﹐z = ____________﹒ 1 解答 2 − i

解析 設 z = a + bi﹐a﹐b ∈ R 且 a > 0﹐z² = (a + bi) ² = a² − b² + 2abi = 3 − 4i

⇒ ^{2 2} 3

2

a b

ab

 − =

 = −



……

…… ^{由知 b =}

2 a

− 代入

a² − ( 2 a

− )² = 3 ⇒ a⁴ − 3a² − 4 = 0 ⇒ (a² − 4)(a² + 1) = 0

∴ a = 2 ⇒ b = − 1 ⇒ z = a + bi = 2 − i

7.設 m﹐k ∈ Q﹐m ≠ 0﹐且方程式 2mx² − 3mx + 2x + m + k = 0 之根為有理數﹐則有理數 k

=____________﹒

解答 − 1 或 − 2

解析 ∵ 方程式 2mx² − 3mx + 2x + m + k = 0 之根為有理數

∴ (− 3m + 2)² − 4．2m(m + k) = 9m² − 12m + 4 − 8m² − 8mk = m² − 2(6 + 4k)m + 4 為完全 平方式

⇒ (6 + 4k)² − 4 = 0 ⇒ (6 + 4k + 2)(6 + 4k − 2) = 0

⇒ (k + 2)(k + 1) = 0 ∴ k = −1 或 k = − 2 8.設α﹐β為方程式x²+8x+ = 的兩根﹐求 6 0

(1)α²+β²= ____________﹒ (2)β α

α β⁺ = ____________﹒ (3) 1₂ 1₂

α ⁺ β = ____________﹒

解答 (1)52;(2)26 3 ;(3)13

9 解析 α β+ = − ﹐8 αβ = 6

(1)α²+β²=(α β+ )²−2αβ = −( 8)²− × =2 6 52 (2)

2 2

52 26

6 3

β α β α

α β αβ

+ = + = =

(3)

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 52 13

( ) 6 9

β α α β

α β α β αβ

+ +

+ = = = =

9.若α﹐β為方程式x²+7x+ = 之兩根﹐求 9 0

(1)( α − β)² = ____________﹒ (2)(α²+10α+1)(β²+10β+ = ____________﹒ 1) 解答 (1) 1− ;(2)313

解析 7 0

9 0 α β αβ

+ = − <

 = >

 且D=7²− × × > 4 1 9 0 ⇒ α< 且0 β < 0

(1)( α − β)²=( α)²−2 α β +( β)² = +α 2 αβ β+ = − +7 2 9= − 1

(2)∵α﹐β為x²+7x+ = 之兩根 ⇒ 9 0 ^{2 2}

2 2

7 9 0 7 9

7 9 0 7 9

α α α α

β β β β

 + + =  = − −

 ⇒ 

 

+ + = = − −

 

 

∴(α²+10α+1)(β²+10β+ =1) [(α²+7α+ +9) 3α−8][(β²+7β+ +9) 3β−8]

9 9 24 ( 7) 64

= × − × − + =313

10.若x⁴+kx³−2x²+(k+3)x− 有一次因式﹐求整數 k = ____________﹒ 2 解答 0 或 3−

解析 可能的一次因式為x± ﹐1 x± 2

(1)若一次因式為x− ⇒ 11 + − +k 2 (k+ − = ⇒3) 2 0 k = 0 (2)若一次因式為x+ ⇒ 11 − − −k 2 (k+ − = 3) 2 0 ⇒ k= − 3 (3)若一次因式為x− ⇒ 16 82 + k− +8 2(k+ − = 3) 2 0 ⇒ 6

k= − （不合） 5 (4)若一次因式為x+ ⇒ 16 82 − k− −8 2(k+ − = 3) 2 0 ⇒ k= 0

故k= 或 30 −

11.設 a﹐b ∈ R﹐若 x⁴ − x³ + ax² + 7x + b = 0 有一根為 1 + 2i﹐則 a + b =__________﹒

解答 − 3

解析 此方程式為實係數方程式﹐有一根 1 + 2i﹐必有另一根 1 − 2i

∴ [x − (1 + 2i)][x − (1 − 2i)] = x² − 2x + 5 為 x⁴ − x³ + ax² + 7x + b = 0 之因式 1 1 1

1 2 5 1 1 7

1 2 5

1 ( 5) 7

1 2 5

( 3) 2

1 2 5

0

a b

a b

a b

+ −

− + − + + +

− +

+ − + +

− +

− + +

− + −

∴ a − 3 = − 1﹐b = − 5 ⇒ a = 2﹐b = − 5 ，故 a + b = 2 + (− 5) = − 3

12.已知方程式 x⁴ + ax³ + 2x² − 3x − 2a = 0 在 − 2 與 − 1 之間﹐1 與 2 之間都恰有一個實根﹐則實數 a 的範圍為__________﹒

解答 2 < a < 3

解析 令 f (x) = x⁴ + ax³ + 2x² − 3x − 2a

因 f (x) = 0 在 − 2 與 − 1 之間﹐1 與 2 之間都恰有一實根 由勘根定理知 f (− 2) f (− 1) < 0 且 f (1) f (2) < 0

∴ (− 10a + 30)(− 3a + 6) < 0 且(− a)(6a + 18) < 0

⇒ (a − 3)(a − 2) < 0 且 a(a + 3) > 0 ⇒ 2 < a < 3 且（a < − 3 或 a > 0） ⇒ 2 < a < 3

13.求方程式 6x⁴ − 7x³ − 6x² + 2x + 1 = 0 的所有有理根__________﹒

解答 1 2﹐ 1

3

−

解析 設q

p為有理根﹐則 p | 6﹐q | 1 ⇒ p = ± 1﹐± 2﹐± 3﹐± 6﹐q = ± 1

則q

p可為 ± 1﹐±1 2﹐±1

3﹐±1

6﹐而檢驗得 f (1

2) = 0﹐f ( 1 3

− ) = 0，故有理根為1 2﹐ 1

3

−

14.整係數方程式 x⁴ − 5x³ + mx² + nx + 14 = 0 有四相異有理根﹐則最大根為__________﹒

解答 7

解析 利用有理根檢驗法；若有有理根q

p﹐則 p | 1 且 q | 14﹐即 p = ± 1﹐q = ± 1﹐± 2﹐± 7﹐± 14 設四相異有理根為α﹐β﹐γ﹐δ ∈{± 1﹐± 2﹐± 7﹐± 14}

又 5

14 α β γ δ αβγδ

+ + + =

 =

 ∴ 四根為 1﹐− 1﹐− 2 及 7﹐最大根為 7

15.設α﹐β﹐γ為 x³ − 6x² + 11x − 7 = 0 的三根﹐則

(1) α ³ + β ³ + γ ³ = __________﹒ (2) (α + β − 7)(β + γ − 7)(γ + α − 7) = __________﹒

解答 (1) 39;(2) − 25

解析 (1)已知

6 11 7

α β γ αβ βγ γα αβγ

+ + =

 + + =

 =



α ³ + β ³ + γ ³ − 3αβγ = (α + β + γ)(α ² + β ² + γ ² − αβ − βγ − γα) = (α + β + γ)[(α + β + γ)² − 3(αβ + βγ + γα)]

⇒ α ³ + β ³ + γ ³ − 21 = 6 × (36 − 33)﹐得α ³ + β ³ + γ ³ = 39 (2)∵ α + β + γ = 6 ∴ α + β = 6 − γ﹐β + γ = 6 − α﹐γ + α = 6 − β 則(α + β − 7)(β + γ − 7)(γ + α − 7)

= (6 − γ − 7)(6 − α − 7)(6 − β − 7)

= − (α + 1)(β + 1)(γ + 1) = − [αβγ + (αβ + βγ + γα) + (α + β + γ) + 1]

= − (7 + 11 + 6 + 1) = − 25 16.解下列不等式：

(1)−2x²+5x+12< ﹐ x 的範圍為____________﹒ 0 (2)x²+ − ≤ ﹐ x 的範圍為____________﹒ x 3 0 (3)x²+4x+ ≤ ﹐ x 的範圍為____________﹒ 4 0 (4)4x²−12x+ > ﹐ x 的範圍為____________﹒ 9 0 解答 (1)x> 或4 3

x<−2 ;(2) 1 13

2 x

− − ≤ 1 13

2

≤− + ;(3)x= − ;(4) x R2 ∈ ﹐ 3 x≠ 2 解析 (1)原式⇒2x²−5x−12> ⇒ (0 x−4)(2x+ >3) 0 ⇒ x> 或4 3

x<−2 (2)若x²+ − = ⇒ x 3 0 1 13

x − ±2

= ﹐故 1 13 1 13

2 x 2

− − − +

≤ ≤ (3)原式⇒ (x+2)²≤0 ⇒ x= − 2

(4)原式⇒ (2x−3)²>0 ⇒ x R∈ ﹐ 3 x≠ 2

17.不等式(x + 3)⁹⁹．(x − 2)²⁰¹⁰．(x − 5)¹¹ < 0 的解為__________﹒

解答 − 3 < x < 5 且 x ≠ 2

(1) x − 2 ≠ 0

(2)∴ (x − 2)² > 0 ⇒ (x + 3)(x − 5) < 0 ∴ − 3 < x < 5 由(1)(2)交集得 − 3 < x < 5﹐x ≠ 2 為所求

18.不等式(x + 1)(x − 1)(4 − x)³ ≥ 0 的解為__________﹒

解答 x ≤ − 1 或 1 ≤ x ≤ 4

解析 (x + 1)(x − 1)(4 − x)³ ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x − 1)[− (x − 4)]³ ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x − 1)(x − 4)³ ≤ 0 ⇒ x ≤ − 1 或 1 ≤ x ≤ 4

19.試解不等式(x − 1)²(2 − x)³(x² − 3x − 4) ≥ 0 的範圍為____________﹒

解答 x ≤ − 1 或 2 ≤ x ≤ 4 或 x = 1

解析 原式 ⇒ (x − 1)²(x − 2)³(x − 4)(x + 1) ≤ 0 ⇒ 2 ≤ x ≤ 4 或 x ≤ − 1 或 x = 1

20.不等式(2 + x)(3 − x)(x² − x + 2)(x² − x − 1) > 0 的解為__________﹒

解答 − 2 < x <

2 1− 5

或 3

2 5 1+ < <

x 解析 先將各項領導係數化為正

(2 + x)(3 − x)(x² − x + 2)(x² − x − 1) > 0 ⇔ (x + 2)(x − 3)(x² − x + 2)(x² − x − 1) < 0 因 x² − x + 2 >0

恆成立 (  D = − ( 1)

− ⋅ ⋅ = − < 4 1 2 7 0 )

且 x² − x − 1 = (x − 2

5 1+ _{) (x −}

2 1− 5

) 原式為(x + 2)(x − 3)(x −

2

1+ 5 _{)(x −} 2

5 1− _{) < 0}

∴ − 2 < x <

2 1− 5

或 3

2 5 1+ < <

x

21.解

2 2

2 3 0

3 2 0

x x

x x

 + − ≤



+ + >

 ﹐ x 的範圍為____________﹒

解答 3− ≤ < − 或 1x 2 − < ≤ x 1 解析 原式⇒ ( 3)( 1) 0

( 1)( 2) 0

x x

x x

+ − ≤

 + + >

 如下圖

故 3− ≤ < − 或 1x 2 − < ≤ x 1

22.不等式 0

) 3 ( ) 1 (

2 ≥

+

−

− x x

x 之解為__________﹒

解答 − 3 < x < 1 或 x ≥ 2

解析 ∵ 2

( 1) ( 3) 0 x

x x

− ≥

− +

∴ (x − 1)(x + 3)(x − 2) ≥ 0﹐x ≠ 1 且 x ≠ − 3 故 − 3 < x < 1 或 x ≥ 2 23.不等式

1 2

− x

x ≤ x + 2 的解為__________﹒

解答 − 1 ≤ x < 1 或 x ≥ 2 解析 2

1 x

x− ≤ x + 2 2 2 ( 2)( 1)

( 2) 0 0

1 1

x x x x

x x x

− + −

− + ≤ ⇒ ≤

− −

⇒ ² 2

1

x x

x

− −

− ≥ 0 ⇒ (x² − x − 2)(x − 1) ≥ 0﹐但 x ≠ 1

⇒ (x − 2)(x + 1)(x − 1) ≥ 0﹐但 x ≠ 1

⇒ − 1 ≤ x ≤ 1 或 x ≥ 2﹐但 x ≠ 1 得 − 1 ≤ x < 1 或 x ≥ 2 24.若 x 為正整數﹐滿足

1

) 4 3 ( ) 1 )(

1 (

2 2 2

+

−

−

− +

−

x x

x x x

x

解答 2 或 3

解析 ∵ x² − x + 1 > 0 恆成立﹐

⇒ (x − 1) (x + 1)² (x² − 3x − 4) < 0 ⇒ (x − 1) (x + 1)² (x − 4)(x + 1) < 0

⇒ x < − 1 或 1 < x < 4 ∴ x = 2 或 3

25.若ax²−2ax+(2a− ≤ 無實數解﹐求實數 a 的範圍為____________﹒ 3) 0 解答 a> 3

解析 ax²−2ax+(2a− ≤ 無實數解3) 0 ⇒ 所有實數解都使得ax²−2ax+(2a− > （恆為正數） 3) 0

2

0

( 2 ) 4 (2 3) 0 3 0

a

D a a a a a

 >

 = − − × × − < ⇒ > <

 或 ⇒ a> 3

26.設 y = x² − 2ax + a 的圖形恆在 y = − 2 的圖形上方﹐則實數 a 的範圍為__________﹒

解答 − 1 < a < 2

解析 x² − 2ax + a > (− 2) 恆成立，∴ D = a² − (a + 2) = (a − 2)(a + 1) < 0 ∴ − 1 < a < 2

27.設對任何實數 x﹐不等式

1

3 6 4

2 2

2

2

<

+ +

+ +

x x

k kx

x

解答 1 < k < 3

解析 ∵ 分母 4x² + 6x + 3 > 0 恆成立

(  D = 6

− ⋅ ⋅ = − < 4 4 3 12 0 )

∴

1

3 6 4

2 2

2

2

<

+ +

+ +

x x

k kx

x

⇒ k² − 4k + 3 < 0 ⇒ (k − 1)(k − 3) < 0 ⇒ 1 < k < 3

28.若 x − 1 為 f (x) = x⁴ + kx³ + 2x² + x − 6 的因式﹐則 f (x) ≥ 0 之解為__________﹒

解答 x ≥ 1 或 x ≤ − 2

解析 x − 1 為 f (x) = x⁴ + kx³ + 2x² + x − 6 的因式 ⇒ f (1) = 1 + k + 2 + 1 − 6 = 0 ⇒ k = 2

∴ f (x) = x⁴ + 2x³ + 2x² + x − 6 = (x − 1)(x³ + 3x² + 5x + 6) = (x − 1)(x + 2)(x² + x + 3)

∵ x² + x + 3 > 0 恆成立 ∴ f (x) ≥ 0 之解為(x − 1)(x + 2) ≥ 0 即 x ≥ 1 或 x ≤ − 2 29.設 a﹐b 為常數﹐若 ax² + 5x + b > 0 的解為

2 1 3

1< x< ﹐則 a + b 的值為__________﹒

解答 − 7 解析

2 1 3

1< x< 為 1 1

( )( )

3 2

x− x− < 0 ⇔ (3x − 1)(2x − 1) < 0 的解

⇔ 6x² − 5x + 1 < 0

又 ax² + 5x + b > 0 ⇔ − 6x² + 5x − 1 > 0 ∴ a = − 6﹐b = − 1

30.設 f (x)為二次函數且不等式 f (x) > 0 的解為 − 2 < x < 4﹐則 f (2x) < 0 的解為__________﹒

解答 x > 2 或 x < − 1

解析 − 2 < x < 4 ⇔ (x + 2)(x − 4) < 0 ⇔ x² − 2x − 8 < 0 因為 f (x) > 0⇔ − x² + 2x + 8 > 0

設 f (x) = − x² + 2x + 8

⇒

⇔x² − x − 2 > 0

⇔

( x − 2)( x + > 1) 0

⇔ x > 2 或 x < − 1

31.已知三次函數 f (x)=x³ + ax² + bx + c 之圖形如下圖所示﹐則不等式 f (x − 1) < 0 的解為____________﹒

解答 x < − 1 或 1 < x < 3

解析 由圖知：f (x)的圖形交 x 軸於− 2﹐0﹐2

⇒ f (x) = x³ + ax² + bx + c = x (x + 2)(x − 2) = x³ − 4x

= x x ( + 2)( x − 2)

∴ f (x − 1) < 0 ⇒ (x − 1)(x + 1)(x − 3) < 0 ∴ x < − 1 或 1 < x < 3