實驗三 凱特可倒擺

實驗三 凱特可倒擺

目的

利用凱特可倒擺（Kater's reversible pendulum）研究複擺的行為及測定重力 加速度 g 值。

原理

考慮一任意形狀的物體如圖１，重心位於 G 處，總質量為 M ，以 O₁ 為支點懸置該物體，對 一通過 O₁ 且垂直於擺動平面之軸的轉動慣量為

I₁。

這時重力 Mg 對支點 O₁ 所施加力矩 τ 之大 小為 Mgh₁sinθ，h₁ 為 O₁ 到 G 之距離，運動方 程式可寫為

τ= −Mgh θ= ⋅I d θ = ⋅θ dt I

1 1

2

2 1

sin && ， (1)

&&

θ 為角加速度。力矩項前所加的負號是因為重力產生的力矩方向有使擺接近 中心點（θ =0）的趨勢，亦即 θ >0 時 &&θ <0；θ <0 時， &&θ >0。

當 θ ≈0 時， sinθ θ≈ ，(1) 式可寫為

−Mgh₁θ= ⋅I₁ θ^.. ， (2)

解出此二階常微分方程，可得到

θ = ⋅  ⋅ +δ

 



A Mgh

I t cos ¹

1

， (3)

其中 A，δ 均是常數，由擺動開始的狀態決定。又 cos( )x 的週期為 2π，此 物體做小角度擺動的週期 T₁，可由 2 ¹

1

π = Mgh ⋅ 1

I T 求得，即

T I

1 Mgh

1 1

=2π⋅ 。 (4)

再依據平行軸定理，我們可以把 I₁ 寫成 I₁ = I_cm + Mh₁²，I_cm= 通過質心、轉 軸的轉動慣量。式 (4) 可寫成

O₁ h1

h2

O2

Mg θ

θ G

圖１

T I Mh Mgh

cm 1

1 2

1

=2π⋅ + 。 (5)

若我們將此物體倒過來，以圖中 O₂ 為支點做擺動，利用和前面相同的方 式可推得擺動週期 T₂ 為

T I Mh

Mgh

cm 2

2 2

2

=2π⋅ + 。 (6)

將 (5)，(6) 式平方後將 I_cm 消去可得

g⋅(T h₂² ₂ −T h₁² ₁)=4π² ⋅(h₂² −h₁²) ，

或 4 1

2 π² 2

2

2 1

2 1 2

2 1

2

1 2

2 2

1 2

2 2

1 2

2 1

g

T h T h h h

T T

h h

T T

h h

= −

− = ⋅ +

+ + −

−







 。 (7)

由式 (7)，我們只要測得 h₁、h₂、T₁ 及 T₂，即可求得 g 值。

若我們將 h₂ 取得恰到好處，使得 T₁ =T₂ =T₀，則 (7) 式變得更簡潔：

4 ² ₀²

1 2

0

π 2

g

T h h

T

= L

+ = ，

即 g L

= 4T²

0 2

π ， (8)

其中 L= +h₁ h₂ 為 O₁、O₂ 兩支點間之距離，和 G 點位置無關。

又由 (5)＝(6)，得 I Mh

Mgh

I Mh Mgh

cm + cm

= +

1 2

1

2 2

2

， 簡化後得 h h I

M

cm

1⋅ 2 = 。 (9)

很巧的是假設我們把物體所有的質量放在 O₂，以 O₁ 為支點單擺的週期正好 是(8) 式中的週期

T L

g

h h

= ⋅ = ⋅ +g

2π 2π ^{1 2} ，

這樣 O₂ 就有些像單擺（線長為 L）中之重物位置扮演的角色，我們稱 O₁ 為 懸置中心，O₂ 為振盪中心，h₁ +h₂ 為迴旋半徑。若以 O₂ 為懸置中心，只要

儀器與裝置

凱特擺，平衡支架，懸置支架，計時碼錶

凱特擺的構造如圖２。金屬桿的一端有一圓柱形 之重物 W，沿桿有一輕物 B。在桿的兩頭各有一固 定的刀口 O₁ 與 O₂ ，兩刀口相向，其間距離使得懸 掛在兩刀口的擺動周期非常的接近。為了使相對於兩 刀口的振盪周期能校正完全相等，桿子上還附了可移 動的滑體 A 和 A′，可做重心的微調。

步驟

注意事項：

a. 凱特擺須置於平衡支架上的凹槽內，避免掉落 傷人。

b. 由於 θ 大小會影響實驗的精確度，請注意每次 振盪的振幅要保持固定。

c. 由於複擺上的 W 質量極重，稍一移動即影響質 心位置，甚至導致找不出 T₁ =T₂ 的情況，因此 未經助教允許，嚴禁移動其位置。

一、T₁ ≠T₂ 時

1. 將複擺平放在平衡支架上，找出重心位置 G，測 量 O G₁ 及 O G₂ 的長度 h₁ 及 h₂ 。

2. 將 O₁ 的刀口懸在懸置支架上，使其自由擺動，

但 擺 幅 不 得 超 過 5 度 ， 記 錄 擺 動 50 次 的 平 均 時 間，即得擺動週期 T₁。重覆四次，取其平均值。

3. 再以 O₂ 為懸點，重覆步驟２，求得 T₂ 之平均。由式 (7) 即可求得 g 值。

4. 移動複擺上的滑體，改變重心位置，重覆上述步驟，求 g 之平均值。（用 三個不同重心位置）

二、曲線法

5. 首先量得 O₁O₂ 之距離 L。

6. 先將擺之 O₁ 為懸點，用步驟２測出其週期及 滑體至 O₁ 的距離，並陸續移動滑體 AA' 測量 週期十次，每次滑動體移動 10cm，在方格紙 上劃出 T h₁( ) 之曲線，如圖３所示。₁

O₁

O2 A

A A '

W

B

圖２ 凱特擺

h₂

h 1

T T₂ T1

T₀

圖３

7. 再以 O₂ 為懸點，同法測其週期及距離，並求得另一曲線 T h₂( ₂)=T L₂( −h₁)

。若 T h₁( ) 與 T L_{1 2}( −h₁) 兩曲線會交於一點 T₀，代入式 (8)，求重力加速度

g。

預習問題

1. 請預習（或複習）你物理課本中描述物理擺（複擺）的部分，及有關轉動 慣量和平行軸定理。

2. 估計當振盪角度 θ 各小於幾度時，θ 與 sinθ 的誤差不會超過 0.1％

及 1％。

3. 若定義 I_cm = M R⋅ ²，R 稱為此物體相對於此質心的迴轉半徑（the radius of gyration of the body）。

(a) 將之代入 (5) 式中，你發現什麼事情？

(b) 若令 f h I Mh Mgh ( )= cm + ²

，試計算當 h 多大時 f h( ) 會最小？

(c) 由 (b) 推論出最小週期與 R 的關係。

記錄

一、測量法（ T₁ ≠T₂）

T₁ T₂ 重力加速度

擺動50次 平均週期 擺動50次 平均週期

平均值 次數

O₁G O₂G h₂ h₁

1

2

3

g

*

二、曲線法（附方格紙）

次數

1 2 3

重力加速度

g

h₂

週期

h₁T

的距離

曲線 週期

的距離

曲線

的距離 L cm =

4 5 6 7 8 9 10

思考問題

1. 估計你在本實驗所測得之 g 值有多準確？可能之誤差出在那裡？（和台 北之 g 值 9.7870m/sec² 比較）。

2. 很有可能在步驟二中你所得的 T h₁( ) 和 T L_{1 2}( −h₁)=T ' h₂ ( )₁ 二曲線沒有交 點 （ 當 然 助 教 早 已 經 幫 你 調 到 必 然 有 交 點 的 情 形） ， 請 利 用 預 習 問題 3(b)，找出必然有交點的條件。

3. 由你的實驗結果，估計實驗中所使用複擺之 I_cm 及迴轉半徑 R。

4. 凱特擺其造形若設計成對稱的形狀，而使 h₁ =h₂，請問是否理想？說明 理由。

*

*