HPM 通訊第二十卷第六期第一版
發行人:洪萬生(台灣師大數學系退休教授)
主編:蘇惠玉(西松高中)副主編:林倉億(台南一中)
助理編輯:黃俊瑋(和平高中)
編輯小組:蘇意雯(台北市立大學)蘇俊鴻(北一女中)
葉吉海(陽明高中)陳彥宏(成功高中)
王文珮(青溪國中)
英家銘(台北醫學大學)
創刊日:1998 年 10 月 5 日 每月 5 日出刊 網址:http://math.ntnu.edu.tw/~horng
數學小說閱讀筆記序言
洪萬生
台灣師範大學退休教授
從2003 年應邀審訂《鸚鵡定理》的中譯版開始,我就跟數學小說結了不解之緣。
說真的,當時我對於「數學小說」這個新文類的方興未艾,完全在狀況之外。不過,基 於數學史的專業以及數學普及的關懷,我對這一本小說的敘事,留下了極深刻的印象。
儘管如此,我仍然將它視為一本數學普及書籍。我想後來台灣陸續出版的其他數學小 說(主要是中譯本,台灣作家創作的極少),也應該是被當作數學普及書籍才是。對我自 己來說,有關數學小說的閱讀經驗逐漸累積,才終於察覺到這是一個嶄新的文類。林芳玫 與我在2009年共同發表的學術論文 --〈數學小說初探:以結構主義敘事分析比較兩本小說〉,
無疑是為我自己將數學小說視為獨立文類,提供了一個忠實的見證。在本篇論文中,我們
「從『數學與敘事』(mathematics and narrative)切入,試圖探討數學與說故事乃至文 學敘事之關聯。」至於案例則是以《遇見哥德巴赫猜想》及《博士熱愛的算式》為(文本)
分析對象。「我們發現數學小說的敘事風格,與作者所運用的數學知識息息相關,也因此 演變成為一個嶄新的文類,為數學的『隱喻』(metaphor)賦予了極有價值的意涵。」
除了該篇學術論文之外,我也在「台灣數學博物館」這個虛擬的網站中,1將有關數學 小說的評論或推介,從「科普深度評論」欄獨立出來,別列成為一個「數學小說」專欄。
其中,絕大部分的評論文章,現在都改寫成為本書的閱讀筆記。
本書所收集的二十四篇文章,有二十二篇都是我分別針對二十二部小說的閱讀心得,
其中,我將電影與漫畫都歸類為小說。2另外兩篇,則是針對所謂的「數學敘事」
(mathematical narrative),與讀者分享一點有關「敘事學」的讀書心得,同時,也藉以
1 目前暫用網址是 http://mathmuseum.tw,由張秉瑩博士(數學史家兼自由作家)擔任經營志工。
2 其實,還包括劇本與舞台劇。可參考 Alex Kasman 的數學小說網頁:
http://kasmana.people.cofc.edu/MATHFICT/。
數學小說閱讀筆記序言
………洪萬生
比例中項與倍立方問題作圖器 ………蘇惠玉
HPM 通訊第二十卷第六期第二版
指出數學學習的敘事面向,絕對是未來數學教育現場一個備受矚目的議題。此外,附錄有 兩篇文章,分別由蘇惠玉、黃俊瑋及邱珮瑜撰寫,他們都是現職老師,由他們現身說法,
來說明數學小說的教育價值,真是再恰當不過。我在此特別感謝他們的慨然同意出借,納 入這兩篇文章,無疑使得本書多了許多親和力。
還有,我自從2010年退休之後,即應邀在台灣大學講授數學通識課程:「數學與文化:
以數學小說閱讀為進路」,多年來得到許多學生的熱情與知性的雙重回饋,3這讓我在這本 閱讀筆記中,有了比較從容的「對話想像」,而不至於陷入自以為是的「客觀」陳述 – 那 是學術論文參考太多的後遺症。因此,我希望讀者參閱本書時,儘可能「想像」這是我閱 讀那二十二篇小說時,所留下來的「隨興」筆記。既然隨興,就不應該像《如何閱讀一本 書》那樣正經八百。事實上,任何人閱讀小說時,都會有(而且也被期待有)完全不同於 他人的感想,因此,當你閱讀數學小說時,這也是我敬謹建議的最基本正向態度。
現在,我必須針對本書提及的小說,以及目次的安排,提供一點起碼的說明。本書第 一、二輯所寫的閱讀筆記,都是針對職業作家或文學家的作品,其中艾莉絲・孟若(Alice Munro)與小川洋子(Yoko Ogawa)是響噹噹的文學大咖,前者尤其已經榮獲諾貝爾文學 獎。他們會以這類作品為榮,足見這個文類擁有值得大力開拓的空間。
第三輯包括了兩篇比較特別的閱讀心得,那就是針對兩部古典文學作品 -- 《格列弗 遊記》及《平面國》 – 的數學敘事之介紹。這是較少為人所知的一個面向,尤其前者始 終被當成「兒童讀物」(其實是使用簡約版或改編版),現在如果運用比較成年人的視角,
說不定可以讀出完全不同的況味。在本輯中,我還介紹一本數學漫畫,那就是加藤元浩的
〈十七〉。我相信當讀者看完這部漫畫之後,一定大感意外,因為以漫畫為媒介,漫畫家 竟然可以那麼「從容地」講解數學。
第四輯所介紹的小說之作者,大概都是數學專業出身,因此,在小說敘事中,數學知 識活動通常較為凸顯,而呈現數學普及進路的更豐富風貌,其中,尤以結城浩的《數學女 孩》系列最為突出。事實上,他就是因為出版這些書籍,而榮獲日本數學會出版賞。同樣 地,《數字搜查線》的製作團隊也榮獲美國科學促進會(AAAS)的公共服務獎章,以表彰 他們對於數學普及的貢獻。此外,像《蘇菲的日記》與《爺爺的證明題》的書寫,我們也 可以發現這兩部小說的作者,在將數學知識活動融入故事情節時,如何為那些數學賦予了 更豐富多元的意義。由此可見,這個文類一旦有了正當性,作家在創作數學小說時,都顯 得更加理直氣壯,一點都不擔心數學這個角色喧賓奪主。
本書所介紹的二十二本小說,有許多同時具有歷史小說及數學普及的面向,甚且還有 關乎少女或少年的勵志書寫。因此,適合閱讀的讀者年齡大概可以從十一歲開始算起,以
《算法少女》小章十一歲為標準。這種多元的面貌,對於數學小說的閱讀愛好者,當然是 一大福音,因為至少我們可以從閱讀中領悟數學知識的豐富內涵與價值。
3 最近,我與同事謝佳叡、英家銘在台灣師範大學合開通識課程「小說與電影中的數學」,學生的反應也 頗為類似。
HPM 通訊第二十卷第六期第三版
最後,我要再次聲明,本書內容絕對無關嚴肅的文學評論。這是因為正如前述,我採 取了相當隨興的書寫,總是從數學敘事切入,試圖「理清」在各篇小說中,數學作為比喻 的(教育)意義。又因為是隨興,所以,我選擇的二十二篇小說多少反映了我目前個人的 偏好,同時,各篇體例不一的「風格」,也相當反映我在初稿書寫時的脈絡與心境。另外,
有一些閱讀筆記沒有收進來,主要是由於我自認為讀得還不夠透徹或者得體,而暫時無法 分享比較獨特的心得報告。不過,未來只要還有機會,尤其在與數學小說的互動更為全面 之後,我希望呈現給讀者比較成熟的閱讀筆記續篇。
總之,數學小說因為是小說,所以,它當然具有「怡情養性」的功能。另一方面,由 於它具有數學元素,因此,它帶給吾人的陶冶,似乎也多了一些知性的想像。不過,所有 這些「強作解人」都不應該影響你閱讀數學小說乃至其他小說的心情。如果本書讓你有了 閱讀數學小說的「衝動」,那就請立刻採取行動吧。(2017/5/6寫於餘音裊裊的仙跡岩之末)
編者按:本書預計2017年7月出版
HPM 通訊第二十卷第六期第四版
比例中項與倍立方問題作圖器
蘇惠玉 台北市立西松高中 前言
平面幾何作圖中,有很大一部份是尺規作圖。所謂的尺規作圖,即是限制只能使用 沒有記號的直尺和圓規在紙上連續作出曲線。在古希臘時期,由於對數學確定性的追求,
對於作出的幾何圖形,要求要能做到動作上沒有疑慮,邏輯上沒有不合理之處才能接受,
因此才有尺規作圖的規範。在歐基里得《幾何原本》的第一卷中,就明確地規範了尺規 作圖的規則。然而在尺規作圖的限制下,卻也讓許多有趣或實用的問題無法以尺規作圖 解決,其中最重要、最著名的就有三個作圖題:化圓為方問題、三等分任一角問題、以 及倍立方問題。然而一旦開放作圖的限制,那麼許多有趣的作圖器與作圖方法就會因應 而生,本文先以倍立方問題為例,說明許多跟倍立方問題解決有關的作圖器之運作方式 與數學原理。
倍立方問題
關於倍立方問題的來源,有一個傳說是這樣說的,克里特國王Minos 要為他的兒子 Glaucus 建一座立方體形狀的墳墓。但是他聽說建好的墳墓只有每一邊 100 呎,他覺得 太小了。 “It must be doubled in size”. (體積必須是現在的兩倍)”,他要求建築者盡 快將每一邊都加倍。很快地,數學家們就發現錯誤所在了,並且思索著解決之道。另一 個傳說則是關於Delos 這座小島的問題。所以倍立方的問題有時會稱為 Delian problem。
傳說是這樣的,太陽神阿波羅藉著一位先知命令提洛島民,要將他的立方體形狀的祭壇 體積加倍,並且保持形狀。他們作不出來,就將這個問題拿去問柏拉圖,柏拉圖這位聰 明的哲學家與數學家,很有哲理地告訴他們說,阿波羅給出這個命令,不是因為他要一 個兩倍大小的祭壇,而是他要藉著這個苦差事,來強調數學的重要性。
將一個邊長為 a 的正立方體體積加倍,即是要作出一新的正立方體之邊長 x,滿足
3
3 2a
x 。這個問題被希波克拉提斯(Hippocrates, 西元前約 470 – 410)歸結為作出兩 線段長a 與 2a 的兩個連續比例中項。也就是說,要作出兩線段 x, y 滿足
a y y x x a
2
x 即為所要求的新正立方體的邊長。希波克拉提斯如何想出這個倍立方問題的兩個比例 中項解法,並沒有詳細的史料記載。據推測,他可能是這樣想的:將兩個邊長為a 的正 立方體放在一起,成為一個立方體長寬高分別為2a, a, a,體積為 2a3;想向將這個立體 拉整一下,使其成為高維持為a,長寬分別為 x, y 的立方體,因為體積要維持一樣,所 以xy2a2,從中可發現
a y x a
2 ;再將立方體拉整成長為 x,寬與高亦為 x 的立方體。
同樣,體
希波克 如何作
笛卡兒 既 例中項 見下圖 兒認為
兩條 曲線
接著他 有明說 何作圖
這個裝置 轉,並在 運作方
體積要維持
拉提斯的發 出兩個比例
兒的比例中 然倍立方問
。笛卡兒在 一。在《幾 只要再加上
條或兩條以 線。
舉例說明如
,但是以笛 問題,有可
置由幾根木 在木棒YX 式,不過從
持一樣,所
發現並沒有 例中項x 與
中項作圖器 問題的解決 在他的《幾 幾何學》卷二
上了一條「
以上的直線
如何用圖一 笛卡兒對尺 可能他設計
木棒組成,
X 上的一點 從書中的說
以x2 ay
解決倍立方 y 呢?
器
需要用到比 何學》(La 二〈曲線之 公設」,就
線可以以一條
的這個作圖 規作圖的熟 這個比例中
其中木棒Y B 處連接一 明與圖形看
,或 y x a x
方的問題,
比例中項,
a géométrie 之特性〉(O 就可使許多機
條在另一條
圖機器作出 熟悉,以及 中項作圖器
YZ 與木棒 一根垂直的 看來,操作
y 。故,
a x
只是將問題
那我們就先
)中曾經設 n the natur 機械作圖成
條上面移動
出包含兩個變 及這一卷開頭 器的靈感,是
YX 在 Y 點 的木棒。在笛 作方式可能如
HPM 通訊
a y y x
2
。
題轉換成另
先來看看如 設計了一個 re of curved 成為可接受的
,並由它們
變量的高次 頭提到的牽 是來自於倍
點連結,使 笛卡兒的書 如下:
圖一 出自 Th Descart
訊第二十卷第
。
另一形式而已
如何做出兩個 比例中項作 d lines) 中 的作圖方式
們的交點決定
次曲線。雖然 牽涉到圓錐曲 倍立方問題
使得YX 可以 書中並沒有詳 he geometry
tes(1954)
第六期第五版
已。但是
個數的比 作圖器,
中,笛卡 式:
定出其他
然書中沒 曲線的幾
。
以往上旋 詳細說明 y of Rene
版
HPM 通訊
(1) 先將 可得 (2) 在 C (3) 在 D (4) 重複
首先,
因為 Y YB:Y
將這個程
接 P 使得
重合,
YB Y YC YD 就是可作
不 點,YZ 得D 點
訊第二十卷第六
將 YX 與 YZ 得 YB=YA,並
C 點處放置 D 點處放置 複2 與 3 的
為何這個作 YBC YC
C=YC:YD
程序繼續下
著,這個作 YP =2,並依
亦即得出Y YC YD YD YE,當
作出YC 3
過,笛卡兒 Z 為 x 軸時 點的軌跡方程
六期第六版
重合,得出 並使得在 B 置一個矩形曲 置一個矩形曲 動作,分別
作圖器可以 900
CD ,且 D,故YC2
下去,將可
作圖器如何 依序找出C
YE =2(見下
當YB=1,
3 2,因此得
兒的目標不在 時,並設YB
程式為x4
出 YZ 上與 B B 點上與 YX
曲尺,以作 曲尺,以作 別作出F、G
做出比例中 且BYC
YB YD
,
得到一個首
解決倍立方 C、D、E 點
下圖二)。由
YCx時,
得以解決倍
在解決倍立
a,D 點
2 2 2
( a x y
B 點重合的 X 垂直的木 作出過C 點 作出過D 點
G、H 點
中項?
CYD,所 亦即YC為
首項為YB ,
方問題呢?
點,同時調整
由於∆YBC~
,YDx2,
倍立方問題
立方問題,而 點座標為(x, y
);如果同
的一點 A 後 木棒交 YZ 於 點與YZ 垂直
與YX 垂直
所以∆YBC~
為YB 與YD 的
,公比為YC
當YB=1 時 整木棒YX
~∆YCD~∆Y
YEx3,
。
而是高次曲 y),笛卡兒 樣的程序繼
圖二 作圖 YX 旋
,將 YX 旋轉 於 C 點;
直的直線,
直的直線,
~∆YCD,因 的比例中項
C的等比數
時,先在木 X 的旋轉角度
YDE,因此
所以若YE
曲線的作圖 兒告訴我們
繼續作下去
:GeoGebr 器過程,可 旋轉 37.50即
轉拉出一個
並交YX 於 並交YZ 於
因此
項。同時,如
數列。
木棒YZ 上找 度,讓E 點
此
=2,則x3
。當我們以
,利用相似 去,可得F 點
ra 軟體模擬 可以發現只要
即可。
個角度,
於D 點;
於E 點;
如果我們
找到一點 點與P 點
,也2
以Y 為原 似形即可
點的軌跡 擬的
要讓
方程式 轉不同 一中,
立方根 倍立 是可解 Mathem 為只要 數成比例 機械作 個作圖 下來,不 大小相 放(AB 動,先將 貼齊最
於V 點
使得B'
為x8 a x2( 角度時,可 過A 點所畫
根作圖器與 立方的問題 的,數學史 matics, Volu
能在1 與 2 例,一個可 圖裝置作出 器為mesol 不過,從圖 同的正方形 BCD 在最上 將第一個正
右邊,記下
點,且與A”B
'C' 邊與A
2 2 3
) x y 。 可得動點D 畫出的點點
與十二平均 題雖然不能 史家I. Thom
ume 1 終究蒐 2 之間,找 可行的途徑 出。如圖四 labio,它可 圖片與數學 形(其實只要 上面),它們 正方形ABCD 下最右邊的
B”C”D”的對
AV
亦交於G
下圖三為G 的軌跡圖形 點虛線痕跡應
均律 僅靠尺規作 mas 就在他 蒐羅了古希 出兩項使其 就是利用相
,伊拉托斯 可以連續作
原理來看,
要矩形就可 們的上緣與
D 貼齊最左 豎邊B”C”
對角線A C''
G 點,此時
GeoGebra 形,由下面 應該就是D
作圖解決,
他的 Selecti 希臘時期包 其成等比數 相似形,因 斯尼斯(Er 作出兩個比例
,大致可以 可以)木框 與下緣皆與橫
左邊,其左上
”的中點位置
''
C 交於 G 時A’B’C’D’
軟體模擬作 面的模擬軌跡 D 點、F 點或
然而脫去了 ions Illustra
含柏拉圖等 數列,就可解 因此尺規作圖 ratosthenes 例中項。雖 了解它是如 ABCD、A 橫木靠齊,
上的頂點為 置為E,以
點。接著移
的對角線A 圖三
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作圖器的操 跡圖形也可
或H 點的軌
了尺規作圖 ating the H 等的七種作 解決倍立方 圖無法作出 s, 約西元前 雖然詳細的操
如何運作的 A’B’C’D’與 讓正方形在 A,另一個 以直線連接A
移動第二個正
' ' A C 交AV 三
訊第二十卷第
操作情形,當 可發現,笛卡
軌跡。
圖的限制之後 History of Gr 作法。其中一 方的問題。而 出的解,卻可 前276 – 194
操作手冊沒 的。作圖器中 與A”B”C”D
在兩個橫木 正方形A”
AE,並與
正方形A’B
V
於F 點,如
第六期第七版
當YX 旋 卡兒在圖
後,問題 reek 一類解法 而要使兩 可由其他 4)稱這 沒有流傳 中有三個 D”依序疊 木之間移
B”C”D”
'' DC
交
B’C’D’,
如圖四。
版
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在圖四 AD F FC G 因此可得
事實 成直角 這樣的矩
等比數 中間插
吾人 在這一段 名字,不 階(No
訊第二十卷第六
(下)中,
' ' '' FC GC GC EC
得x2 y,
實上,在m 三角形,再 矩形(或相
列。所以,
入11 項,就
人的耳朵可 段相差100 不過,哪段 ote)(不同音
圖
六期第八版
,令 AD =2
,即2 y y x
2 2
y x,
mesolabio 作 再利用對角 相似的直角
當我們控制 就可得x12
可以聽見聲音 00 倍的頻率 段頻率要叫
音高pitch 圖四(下)
,那麼EC'
1 y x x ,
即x3 ,2
作圖器中,
線形成平行 三角形)增
制第一項E
,亦即2 音的頻率為 率之間取上 甚麼音階可
)會在一段
:作圖器 m
''=1,再設
,xGC'
只要矩形即 行線,以作 增加個數,
''
EC =1,最後 可造出在十
為20Hz~20, 上名字,即是
可不是隨便 段頻率之後重 mesolabio 的
' GC x,
32
。
即可,其數 作出一系列的
就可做出以
後一項 AD 十二平均律 000Hz 之間 是音階Do, 便亂取的。簡
重複出現,
圖四(上 的 Le isti harmonic mesolabio
的 GeoGebra
FC 利用y
數學原理為利 的相似三角 以EC''為首
=2,公比G 中使用的一
間,我們為 Re, Mi, Fa 簡單實驗可
因此,若將 上):出現在
tutioni che(1573)一
o 作圖器
a 模擬。
用相似形可
利用矩形的 角形,因此 首項,GC'為
' GC x時 一個半音之
了互相溝通 a, Sol, La, S 可以發現,同
將C(Do)
在 Zarlino
一書中的
可得,
的直角形
,如果把 為公比的
,如果在 之弦長。
通,必須 Si 之類的 同樣的音
)的頻率
訂為k,
傳說畢 一望,發 是12:
敲打所發
(Mon
(1) 兩個 (2) 兩音
若以現代 出的整數 們,聲音 Do 的音 整數比
畢 之間的 音樂學 同的調 調音的存 音方式
,高八度C 達哥拉斯某 發現有4 位 9:8:6,
發出來的聲 ochord)的
個聲音能夠 音弦長度比
代音樂的理 數比所定出 音發出的頻 音弦長為2
。
達哥拉斯音 弦長比都是 家忍耐了一 音方式有不 存在,音樂
,意指不論
的頻率會是 某天經過一 位師父各拿
而且他發現 聲音聽起來 的弦長做了
夠聽起來和諧 比是4:3 或
理論來說,
出來的音階 頻率和弦長
,高八度的
音階本來只 是「簡單」
一段時間之 不同的比例 樂學家開始 論彈各種組
是2k,我們只 間打鐵舖時 著重量不同 現當兩個鐵
會相當和諧 個實驗,結
諧悅耳,跟 或3:2 或 2
它們的音程
,稱為畢達 成反比,也 的Do 弦長為
有七個音,
整數比,在 後決定要改 關係,這些 調整比例,
合、各種調
只要考慮在 時,聽到叮 同的鐵鎚在 鐵鎚的重量比
諧。他回去 結果發現:
跟兩弦的長呈
:1 時,兩
程分別是四 達哥拉斯音 也就是說,
為1,畢氏音
,這七個音 在樂器製作 改革,他們 些方法一直
,因而出現 調,都不會
在k 與 2k 之 叮叮噹噹相當 在敲打,細問 比是12:6 去之後,利用
呈簡單整數 兩個音是和諧
四度、五度和 階(Pythag 弦長越長 音階的中間
音沿用了一段 作上會有些音 們沿用畢達哥 直沿用到151 現所謂平均律 會嚴重不協和
圖 刻 音
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之間怎麼訂 當悅耳的打 問之下發現 6 或 12:9 或 用了當時的
數比有關;
諧的。
和八度。依 gorean scal
,發出的聲 間幾個音階的
段的時間,
音聽起來會 哥拉斯的方 10 年左右。
律(well tem 和的音律系
圖五:中世紀的 刻畫,圖中畫出 音階之間的比例
訊第二十卷第
訂出各個音階 打鐵聲音,往 現鐵槌的重量 或12:8 時 的樂器單弦琴
依照畢達哥拉 le)。物理學 聲音越低,如 的弦長會形
不過不可能 會特別「不和 方法定12 個
。因為有某 mperamen 系統。現在我
的一個木 出了各個 例關係
第六期第九版
階即可。
往店鋪內 量比恰好 時,一起
琴
拉斯所提 學告訴我 如果發出 形成簡單
能七個音 和諧」。 個音,不 某些不協 t)的調 我們使用
版
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的系統稱 率平均 高為44
圖 1590)
時流行 律理論 比例關係 已,在 用,一 家史蒂芬 發了義 破。有趣
摺紙方
接 的解決
2 1: C x
4 史帝芬 確位數的
訊第二十卷第六
稱為等律 分成12 等 40Hz),高八
六出自十六 於1588 年 的音樂調式
。雖然從札 係之弦長如 樂器製作上 直到十六世 芬(Simon 大利音樂學 趣的是,伽俐
方法解決倍
下來,我們
,關鍵問題
,y C2:y 芬最廣為人知的
的不足,在某些
六期第一○版
(equal tem 分,定義出 八度C 的頻
六世紀的義 出版的著作 式間的音階 札里諾書裡 如何找出,
上還是有一 世紀晚期,
n Stevin, 15 學家伽俐萊 俐萊這位音
倍立方問題
們用另一種 題在於求出
2 2
y x這兩 的數學貢獻即 些弦長的尺寸
版
mperament 出12 個音階 頻率會是2k
大利音樂理 作 Sopplime
週期比例關 的這張圖看 然而從歷史 定難度。十 弗蘭德(F 548–1620)
(Vincenzo 音樂學家曾是
題
方法來解決 兩個比例中
兩個拋物線
即是小數點的 寸上還是有些許
),亦稱作十 階。也就是 k,而與 C 差
理論學家與 enti Musica 關係之人,
看來,他似 史上的紀載 十二平均律 Flanders,現
在一份沒有 o Galilei)
是札里諾的
決倍立方問 中項x 與 y
。考慮這兩
的使用與推廣 許的誤差。這份
十二平均律 是說,若將C 差一個半音的
與作曲家札里 ali。札里諾
並以不同於 似乎已經知道 載來看,他只 律理論的突破 現為比利時 有出版的手
,十二平均 的學生,更是
問題。從上述
,滿足1 x 兩個拋物線的
。在關於十二 份手稿寫於大
律,即將一個 C 的頻率訂 的音階弦長
里諾(Gios 諾是第一個以
於畢氏音階 道關於滿足 只求出音階 破點在於12 時的一部分 手稿中記載了 均律的音樂理
是大名鼎鼎
述說明可以
2 x y y ,亦 的公切線 L
二平均律的計算 大約 1605 年,
圖六
個八度間的 訂為k(國際 長即為122k
seffo Zarlin 以數學方式 階的比例關係 足十二個半音 階之間的約略
2 的正確計
)數學家兼 了122的算 理論才有了 鼎的伽利略的
以知道,倍立 亦即x 與 y 滿
:
L yax b
算上,由於他
,直到 1884 年
的聲音頻 際標準音 k=2121 k。
no, 1517–
式推算當 係創造純 音之間的 略比例而 計算與應
兼工程學 法,4啟 了一些突
的父親。
立方問題 滿足
b ,設L
他使用之正 年才出版。
與C1相 為xx1
因此可得
2
y 1
y 但b
即是3
理論 利用拋物 的曲線 要預先 後,依 條直線
利 如圖八 點),那
設AC' 在直角∆
而在∆E
相切於P x( ,1
1
1( ) 2 y y
得
2
4 b a
2 2
x x
y ,與
2
4
a ,故a3
3 2,也就是
論說明完畢 物線一點到 痕跡,其摺 想好座標軸 同樣的方式 摺痕就是公
用摺紙的方
,接著將C 那麼,這個
a,C'B
∆BPC’中,
EC’H’中,
,y1),且與
,即y2x1
。又從C2
與L 比較係
3 ,其2
是說,只要
,接下來就 到焦點與準 摺紙方式在 軸的位置,
式考慮一條 公切線。圖
方式摺出3 2 C 點往上摺 C’點就會把
b,BP
,可得b2c
'H' 3 C a b
與C2相切於
1 x y1,與 的角度來看 係數,可知 a
中a為公切
要找出公切線
就要考慮怎麼 線等距的定 網路上已相 以及計算焦 直線摺痕,
七為GeoG
2還有另一
摺,讓C 點落 把 AB 邊分
c 那麼PC
2 (
c a b b,EC'a
圖 線
於Q( ,x y2 2)。 與L 比較係
看,過Q(x2
2
a 1
y , b 切線的斜率
線,計算它
麼用摺紙的 定義方式可 相當盛行,
焦距及各自
,讓兩條準 Gebra 模擬
一種方法,只 落到AB 邊 分成32:1
' C PC a
)2
c ,展開
3 a a b
圖七:L 為兩 線,其斜率為
。從C1的角 係數,可知a
2,y2)的切線
2 2
x
y ,但 y
,「−」表示
它的斜率即可
的方式摺出兩 可摺出拋物線
在此省略不 焦點與準線 準線上各有一 摺紙過程摺
只要先將一張 邊上(C’點
的比例,亦
a b c ,
開整理可得c 2
3 a b
兩個拋物線之
為
HPM 通訊第
角度來看,
2 1
a x,b
線為yy2 (x
2
2 2 2
y x ,
示方向,因此
可作出3 2
兩個拋物線 線的包絡線 不提,不過 線的位置。
一點同時對 摺出的結果
張正方形AB
),且H 點 亦即AC' 3
2 2
2( )
a ab
c a b
之公切
第二十卷第六
過P x y( ,1 1)
y1
,但 x
2) xx ,即 因此可得 b
此公切線L
。
線和它們的公 線,因而得出 過需要注意的 摺出兩個拋 對準各自的焦 果。
BCD 的紙三 點落在EF 邊
32C B' 。因
) b
六期第一一版
)的切線
2
1 1
x ,y
即 1 b 2
a, L 的斜率
公切線。
出拋物線 的是,需 拋物線之 焦點,這
三等份,
邊上(H’
因為
版
HPM 通訊
因為∆B
2
2(
c a a
' 3
AC
在尺 元性就 解決的 識彼此
參考文 磯田正 Calinge Bunt, L Dove Thoma Cam Heath(1
Pres The geo
Yor Gioseff
http
訊第二十卷第六
BPC’~∆EC 2
) ab a b
,代入
3 2C B' 。
尺規作圖的 天馬行空地 想法、過程 間的豐富串
文獻 美等編著 er, R. ed. (1 Lucas N. H.
er Publicati as, I. (1939) mbridge: Ha
1896), Apo s.
ometry of R rk: Dover P fo Zarlino’s
ps://archive
六期第一二版
’H’(AA 相
入可得2 a
a
的規範下看 地蹦發了出 程都可以應 串聯,也看
(2009),《
1995). Class . et al eds. ( ions, Inc.
, Selections arvard Uni llonius of P
Rene Descar Publication s Sopplimen
.org/details/
版
相似),所以
2 2
2 b a
b a
作圖問題,
來。原來倍 用在各個領 到數學帶出
曲線の事典 sics of Math (1988), The sIllustrating iversity Pre Peega, Trea
rtes, transla ns, Inc.
nti Musical /imslp-musi
以,此PC' BP
2
2 ab ab
ab
,
,自有其趣 倍立方問題 領域。從倍 出來的這個
典》,東京 thematics, N e Historical
g the Histor ess.
atise on Con
ated by D.
li, 電子書見 icali-zarlino
' ' ' ' C H
EC 即 整理即可得
趣味存在;然 題不只是立體 倍立方問題的 個世界的多元
:共立出版 New Jersey l Roots of E
ry of Greek nic Section
E. Smith a
見
o-gioseffo 圖 利 邊
①
②
③
即a b c c
得a3 2b3
然而解除限 體體積加倍 的作圖解法 元樣貌。
版株式會社。
y: Prentice- Elementary M k Mathemat
s. Cambrid
nd M. Lath 八(左): 用平行線截 長三等份:
先將一邊 連 AB3,與 P1、P2 分別過 P1
L2,即可將 2
a b a b
,但
,亦即
限制之後,數 倍的問題而已 法,不只看到
。
-Hall, Inc.
Mathemati tics, Volume dge Univer
ham(1954).
截比例線段
:
摺四等分 與四等分摺線
1、P2,摺出 將邊長三等
但
數學的多 已,問題 到數學知
ics. N. Y.:
e 1.
sity
. New 段將正方形
線分別交於
平行線 L1、 等份
於
、
HPM 通訊第二十卷第六期第一三版
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《HPM 通訊》駐校連絡員 日本:陳昭蓉 (東京 Boston Consulting Group)
基隆市:許文璋(銘傳國中)
台北市:英家銘(台北醫學大學)楊淑芬(松山高中)杜雲華、陳彥宏、游經祥、蘇慧珍(成功高中)
蘇俊鴻(北一女中)陳啟文(中山女高)蘇惠玉(西松高中)蕭文俊(中崙高中)
郭慶章(建國中學)李秀卿(景美女中)王錫熙(三民國中)謝佩珍、葉和文(百齡高中)
彭良禎、鄭宜瑾(師大附中)郭守德(大安高工)張瑄芳(永春高中)張美玲(景興國中)
文宏元(金歐女中)林裕意(開平中學)林壽福、吳如皓 (興雅國中) 傅聖國(健康國小)
李素幸(雙園國中)程麗娟(民生國中)林美杏(中正國中)朱賡忠(建成國中)吳宛柔(東湖 國中) 王裕仁、蘇之凡(木柵高工)
新北市:顏志成(新莊高中) 陳鳳珠(中正國中)黃清揚(福和國中)董芳成(海山高中)孫梅茵
(海山高工)周宗奎(清水中學)莊嘉玲(林口高中)王鼎勳、吳建任(樹林中學)陳玉芬
(明德高中)羅春暉 (二重國小) 賴素貞(瑞芳高工)楊淑玲(義學國中)林建宏 (丹鳳國中)
莊耀仁(溪崑國中)、廖傑成(錦和高中)
宜蘭縣:陳敏皓(蘭陽女中)吳秉鴻(國華國中)林肯輝(羅東國中)林宜靜(羅東高中)
桃園市:許雪珍、葉吉海(陽明高中)王文珮(青溪國中) 陳威南(平鎮中學)
洪宜亭、郭志輝(內壢高中) 鐘啟哲(武漢國中)徐梅芳(新坡國中) 程和欽 (大園國際高中)、
鍾秀瓏(東安國中)陳春廷(楊光國民中小學)王瑜君(桃園國中)
新竹市:李俊坤(新竹高中)、洪正川(新竹高商)
新竹縣:陳夢綺、陳瑩琪、陳淑婷(竹北高中)
苗栗縣:廖淑芳 (照南國中)
台中市:阮錫琦(西苑高中)、林芳羽(大里高中)、洪秀敏(豐原高中)、李傑霖、賴信志、陳姿研(台中 女中)、莊佳維(成功國中)、李建勳(萬和國中)
彰化市:林典蔚(彰化高中)
南投縣:洪誌陽(普台高中)
嘉義市:謝三寶(嘉義高工)郭夢瑤(嘉義高中)
台南市:林倉億(台南一中)黃哲男、洪士薰、廖婉雅(台南女中)劉天祥、邱靜如(台南二中)張靖宜
(後甲國中)李奕瑩(建興國中)、李建宗(北門高工)林旻志(歸仁國中)、劉雅茵(台南科學園 區實驗中學)
高雄市:廖惠儀(大仁國中)歐士福(前金國中)林義強(高雄女中)
屏東縣:陳冠良(枋寮高中)楊瓊茹(屏東高中)黃俊才(中正國中)
澎湖縣:何嘉祥 林玉芬(馬公高中)
金門:楊玉星(金城中學)張復凱(金門高中) 馬祖:王連發(馬祖高中)