1-1 指數

(1)

1-1 指數

一、指數的定義

自然數指數： a∈R， n∈N，規定 aⁿ=a·a·a·a·… ·a(共 n 個 )，其中 a 稱底數， n 稱指數 零指數： a∈R\{0}，定義 a⁰=1。 (

0

⁰無意義 )

負整數指數： a∈R\{0}， n

∈N，規定 a

ⁿ

¹

_n

a

−

=

分數指數：設 a∈R⁺， n∈N， m∈Z， (1)

a

ⁿ

=

ⁿ

a

1

(2) ⁿ ⁿ ^m ⁿ ^m

m

a a

a = ( ) =

(其中 ⁿ

a 表 x

ⁿ=a 的唯一正根 )

實數指數：設 a>0， r 是任一個無理數，假設數列

<rn>： r1， r2， r3， … ， rn， … 是任意一個以 r 為極限的有理數列， 則 a^r就定義為數列

< a

^rⁿ

>

：

a

^r¹,

a

^r²,

a

^r³,L,

a

^rⁿ,L的極限 (非高中課程 )。

例： r= 2 ； r1=1， r2=1.4， r3=1.41， r3=1.414， ...

Ex1. 設

10

²^y

= 25

，則

10

⁻^y

=

？ Ans：

¹ 5

Ex2. 化簡 ₃

4

2 2

2 2 2

+ +

⋅

−

n n n

=？ Ans：

⁷ 8

Ex3. 化簡(6 5 6) (3 ⁵ 2)

1 5

1 5 2

+

÷

−

− a a

a Ans： 2

⁵

3

1

− a

二、指數律：設 a>0， b>0， r， s 都是任意實數，則 (1)a^r

·a

^s

=a

^{r + s}(外乘 =內加 )

(2)(a^r)^s

=a

^{r s}(外次方 =內係數 )

(3)(ab)^r=a^r

·b

^r(次方對乘法之分配律 ) Ex4. 67^x=27， 603^y=81，則

y x

4

3

−

=？ Ans： - 2

Ex5. 設 2^x=3^y=5^z=a，且 1

+

1

+

1

=

2

z y

x

，則 a=？ Ans：

30

Ex6. 設 a>0，若

a

³^x

+ a

⁻³^x

= 52

，則 (1)

a

^x

₊ a

^−x

₌

？ (2)

a

²^x

₊ a

⁻²^x

₌

？ Ans： (1)4， (2)14

Ex7. 設 0<a<1， x >0，若 a^{2 x}+a^{– 2 x}=6，則 (1)a^x- a^{– x}(2)a^{3 x}- a^{– 3 x}

Ans： (1)- 2(2)- 14

三、指數方程式：

(1)變數代換 (留意變換後，定義域可能隨之改變 ) (2)若 a

>0， a

^x=a^y 則 1 ,

1

a x y R

a x y

 =

 ≠ =



時為任意

時

(2)

Ex9. 解方程式

10

^x

− 4 ⋅ 5

^x

− 5 ⋅ 2

^x

+ 20 = 0 Ans： 2or1

Ex10. 解下列方程式： (1)

2

²^x⁺¹

− 33 ⋅ 2

^x⁻²

+ 1 = 0

(2)

2

²^x⁺¹

+ 2

³^x

= 5 ⋅ 2

^x⁺⁴。 Ans： (1)- 3or2(2)3

Ex11. 若 ^x 32

=

^y 2³^y⁻⁶, 且

3

¹⁵^y⁺³^x

= 81

^xy，試求 x ， y 的值。 Ans： x =5， y=3

Ex12. 設

α

、

β

為 9^x- 15·3^{x+ 1}+243=0 之二根，則

α

＋

β

=？ Ans： 5

Ex13. 化簡 (1)⁵ ²⁰ ¹²

)

³

( 81 )

²

]

³

27 [( 1 3

3 ⋅ ⋅ ⋅

⁻ 。 (2) ⁴

3 6 1 2 1

81 27 ) 3 14 52

( + − + Ans： 59049； 34

Ex14. 設2⁰^.⁶

=

1.516,2⁰^.⁰³

=

1.021，則2²^.⁶³

=

？ (計算至小數點以下第四位 )Ans： 6.191

Ex15. 設

a

²^x

= 3 + 8

，則

=

− +

−

− x x

x x

a a

³ ³

？ Ans： 3

+

2

Ex16. a>0，若 a^x+a^{– x}= 5 ，求 a^{2 x}

Ans： ³ ⁵ 2

±

Ex17. 當 x =？時，

f

(

x

)

=

2(9^x

+

9⁻^x)

−

5(3^x

+

3⁻^x)

−

38有最小值？ Ans： 0， - 44

Ex18. 解方程式4(16^x

+

16⁻^x)

−

25(4^x

+

4⁻^x)

+

42

=

0。 Ans： 0or±1

Ex19. 假設世界人口自 1980 年起， 50 年內每年的增長率均固定。已知 1987 年世界人口達 50 億， 1999 年第 60 億人誕生在賽拉耶佛。根據這些資料推測 2023 年世界 人口最接近下列哪一個數？ (A)75 億 (B)80 億 (C)86 億 (D)92 億 (E)100 億。 Ans： C

Ex20. 某放射性物質重 60 公克，半衰期為 0.5 秒，則 4 秒後剩下幾公克？ Ans：

¹⁵ 64

Ex21. 設於某項新實驗中，細菌數 1 日後增加 a 倍，且知 3 日後細菌數為 200， 000 個，

⁹

2

日後細菌數為 1， 600， 000 個，試求： (1)a=？ (2)5 日後的細菌數為何？ (3)

³

2

日後的細菌數為何？ (4)細菌數為 800， 000 時，需多少日？ Ans： (1)3(2)3，

200， 000(3)25， 000(4)4

(3)

Ex22. 設 (12.3) =1000=(0.0123)^x ^y，則 (x - 1)(y+1)=？ Ans： - 1

Ex23. 設 8^x=9^y=6^z， xyz≠0，若

z t y x +

3

=

2 ，則 t=？ Ans： 6

Ex24. 設

53

^x

= 9

，

477

^y

= 243

，則

− = y x

5

2 ？ Ans： –2

Ex25. 設 a， b， c>0 且

3

^a

= 4

^b

= 6

^c，求

+ − = c b a

1 2

1

？ Ans： 0

Ex26. 設 a， b， c>0 且5^a

=

2^b

=

10^c ，求

b c a

c +

=？ Ans： 2

Ex27. 設 a， b， c

∈N， x ， y， z， w∈R， xyzw ≠0， a≦ b≦ c，若 a

^x=b^y=c^z=30^w，且

w

z y x

1 1 1

1

+ + =

，求 a， b， c 之值。 Ans： a=2， b=3， c=5

Ex28. 若 2^{x— 4}=7^{x— 4}，則 x =？ Ans： 4

Ex29. 試求滿足

x

^x ^x

=

(

x x

)^x的實數解。 (x >0)Ans： 1or

⁹ 4

Ex30. 解方程式 (1)

2 1 4

2

³

+ 1 ⋅

⁻³

=

x x

(2)

2

¹⁻

− 33 ⋅ 2

⁻²⁻²

+ 1 = 0

x

Ans： (1)- 3(2)6or- 4

Ex31. 9^x+k^•3^{x + 2}+81=0 的二根相等，則 k =？ Ans： - 2

Ex32. 若 4^x

−

4^y

=

14且

4

^{x y}⁻

= 8

，則 (x ， y)=？ Ans： (2，

¹ 2

)

Ex33. 函數 y=4^x與 y=2^{3 x + 2}的圖形之交點座標為？

Ans： (–2， ¹

16

)[83 推甄 ]

Ex34.

α

、

β

為 4^x–5•2^{x + 1}+8=0 的二根，求

α

+

β

=？ Ans： 3

Ex35. 若 ^x 27^x⁻¹

=

^y 9，且 ^x

₌ 1 )

⁻^y

(

2

，求 x ， y 的值。 Ans： x =3， y=1

(4)

Ex36. 解方程式2^x²⁻³

=

16

⋅

8^x⁻¹。 Ans： 4or- 1

Ex37. 設

6

^x

− 4 ⋅ 3

^x

− 3 ⋅ 2

^x

+ 12 = 0

，試求 x 的值。 Ans： 2or1

Ex38. 解方程式

4

²

31 2

²

1 0

1

=

−

⋅

+

⁻

+ x

x 。 Ans： - 3

Ex39. 設

2

²^x⁺¹

+ 2

³^x

= 5 ⋅ 2

^x⁺⁴，試求 x 的值。 Ans： 3

Ex40. 若已知 x +y=3，且

3

^x

+ 3

^y

= k

，

3

^x

− 3

^y

= 6

，則 (x ， y， k )=？ Ans： (2， 1， 12) Ex41. 設 x ， y∈N，若 2^{2 x}- 3^{2 y}=55，則數對 (x ， y)=？ Ans： (3， 1)提示：設 A=2^x， B=3^y

Ex42. 設 x ， y， z 均為正，若 2^x=3^y=5^z，試比較 2x ， 3y， 5z 的大小次序。 Ans：

5z>2x >3y

Ex43. 化簡求³

2 − 5 +

³

2 + 5

之值為？ Ans： 1

Ex44. 設 b>a>0，化簡 ²

1

) 2

(

a − ab + b

=？ Ans：

b − a

Ex45. 若 a， b， c 為相異三有理數， x >0，則 ^c ^a ^b ^c

c b a c b

b a c b a

a

x x

x

⁻ ) ⁻¹

⋅

( ⁻ ) ¹⁻

⋅

( ⁻ ) ⁻¹

( =？ Ans： 1

(5)

1-2 指數函數及其圖形

一、指數函數：

1.定義：設 a

>0， a≠

1，我們把函數 y=f(x )=a^x稱為以 a 為底的指數函數 定義域 x ：實數 R，；值域 f(x )：正實數 R⁺

2.性質： (1)

f (0) = 1

(2)

f x ( + y ) = f x f y ( ) ( )

， ( )

( )

f x y f x

− = f y

(外乘除 =內加減 )

(3) 1

( )

f x

( )

− = f x

(4) 1 ( ) ( ) ( )

0 1 ( ) ( ) ( )

a f x f f

α β α β

> ⇔ >

  < < ⇔ <



時, 遞增 >

時, 遞減 >

二、指數函數 y=f(x )=a^x的圖形性質：

圖形在 x 軸上方 (即 y=a^x

>

0)，且必過定點 (0， 1)

平行於 x 軸且在 x 軸上方的每一直線恰與 y=a^x之圖形交於一點

<甲 >當 a>1 時 <乙 >當 0<

a<1 時

(甲 )當 a>1 時

(1)圖形由左而右逐漸增高，愈往右邊增高的愈快， 愈往左邊的圖形愈接近 x 軸，而以 x 軸為漸近線 (2)嚴格遞增函數圖形 (即

x

₁

< x

₂

⇔ a

^x¹

< a

^x²)

(乙 )當 0<a<1 時

(1)圖形由左而右逐漸下降，愈往左邊增高的愈快， 愈往右邊的圖形愈接近 x 軸，而以 x 軸為漸近線 (2)嚴格遞減函數圖形 (即

x

₁

< x

₂

⇔ a

^x¹

> a

^x²)

Ex46. (如圖 )為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖，假設其關係為指數函 數，試問下列何者為真？ (A)此指數的底 數為 2(B)在第 5 月時，布袋蓮的面積就會 超過 30m²(C)布袋蓮從 4m²蔓延到 12m²只 需 1.5 個月 (D)設布袋蓮蔓延到 2m²， 3m²， 6m²，所需的時間分別為 t1， t2，

t

3，則 t1+t2=t3(E)布袋蓮在第 1 到第 3 個月之間蔓延平均速度等於在第 2 到第 4 個月 之間蔓延平均速度。 Ans： ABD

Ex47. 方程式

2

^x

= x

²有幾個實數解？ Ans： 3

1 2 3 4

t

²

2

4

8

16 m

²

(6)

Ex48. 試比較 ⁴

3 3 2 2 1

3 , 4 ,

5 的大小。 Ans： ²

1 4 3 3 2

5 3 4

> >

Ex49. 設

f ( x ) = 4

^x

− 2

^x⁺¹

− 1 , − 1 ≤ x ≤ 1

，求 f(x )之最大值與最小值。 Ans： M=−1， m =−2

Ex50. 設

f x

( )

=

(4^x

+

4 ) (2⁻^x

+

^x

+

2 ) 5⁻^x

+

， x

∈R，令 t = 2

^x

+ 2

⁻^x，

(1)f (x )=？ (以 t 表之 )(2)f (x )之最小值為何？ Ans： (1)t²+t +3， t ≧ 2(2)9

Ex51. 解方程式 2(4^x

+

4 ) 7(2⁻^x

−

^x

+

2 ) 10⁻^x

+ =

0

Ans： x =0

三、指數不等式

1.a>1 時，遞增，

a

^{f x}^{( )}

> a

^{g x}^{( )}

⇔ f x

( )

> g x

( ) 2.0<a<1 時，遞減，

a

^{f x}^{( )}

> a

^{g x}^{( )}

⇔ f x

( )

< g x

( )

Ex52. 解下列各不等式

(1)16^x²⁻^x

>

8(2)(0 2)

⋅

^x²^{− −}³^x ²

>

0.04

Ans： (1)x > ³

2 orx < ¹ 2

−

(2)−1<x <4

Ex53. 若 x >0，

x

^x²⁻⁴

≥

(

x

^x)³，求 x 之範圍？ Ans： 0<x ≦ 1 或 x ≧ 4

Ex54. 解不等式

) 12 3 ( 1 9 )

( 1

^x

+

^x

> Ans： x <−1

Ex55. 設 x 的方程式

2

²^x

+ ⋅ a 2

^x⁺¹

+ − 3 2 a = 0

有兩相異實根，求實數 a 之範圍。 Ans： a<−3

Ex56. 設 a∈R，方程式 5^x

− ^a

_x

5 1 2 +

=2a 有實數解，求 a 之範圍。 Ans： a>

2 − 1

Ex57. 方程式 2^x+x =0 有幾個實數解？ Ans： 1

Ex58. 下列方程式何者恰有一實根？ (A)x =2^x(B)–x =2^x(C)x +3=2^{– x}(D)x +3=2^x

Ans： BC

Ex59. 比較大小 ﹕ a=³

5

， b=

1

125

4， c=

5

³

5

， d=

1

25

6

Ans： a=d<c<b

Ex60. 下列那一個數值最小？ (A)(0.9)^{−3 . 5}(B)(0.9)^{−2 . 5}(C)(0.9)^{−1 . 5}(D)(0.9)⁻ ³(E)(0.9)⁻ ⁵[80 社 ]Ans： C

(7)

Ex61. 比較大小

(1)a= 2 ， b= ³3 ， c=⁵5 Ans： b>a>c (2)a=

1

(0.5) ， b=0.25 2

－₃1

， c=0.125

－₄1

Ans： a>b>c

Ex62. 設 x

∈R， f x

( )

=

3²^x

− ⋅

5 3^x⁻¹

+

1，則 f(x )的最小值為何？ Ans：

¹¹ 36

Ex63. 設－ 2≦ x ≦ 2，求

y =

4^x

−

2^x⁺¹之最大，最小值及當時之 x 值 Ans： 2 : 8

0 : 1

x x

 =

 = −



時大

時小

Ex64. 設 x

∈R， f x

( )

=

2(9^x

+

9 ) 12(3⁻^x

−

^x

+

3 ) 18⁻^x

−

，則 f(x )的最小值為何？ Ans：

−40

Ex65. 設 a>0，求(

a

^x

+

2)²

+

(

a

⁻^x

+

2)²之最小值 Ans： 18

Ex66. 設 x

≥0， y ≥0， x ＋ y＝ 1，試求 2

^x

+

2^y的最大值與最小值 Ans： M=3， m=2 2

Ex67. 若 - 1≦ x ≦ 0，則

f

(

x

)

=

2^x⁺²

−

3

⋅

4^x的最大值？最小值？ Ans： M=

⁴

3

， m=1

Ex68. 解下列不等式

(1)(0.2)^x²^－²^x^－⁵＜0.008

Ans： x ＞ 4 或 x ＜ −2

(2)

(0.001) ( ¹ )

⁴ ³

10

x

>

x+

Ans： x >−3

(3)

3( 3)

^x

<

³

9 Ans： x < ²

3 −

Ex69. 設 x ＞ 0，解不等式

x

²^x²⁻⁵^x⁺³

> x Ans： x ＞ 2 或 ¹

2

＜ x ＜ 1

Ex70. 解不等式 ﹕

2 2

²

3

1 2

1

>

+

⁻

+x x

Ans： x <

2 − 1

或 x >

2 1

Ex71. 解不等式

a

²^x⁻²

− a

^x⁺¹

+ a

^x⁻³

− 1 < 0 ( a > 0 , a ≠ 1 ) Ans：

1, 3

0 1, 3

a x

> <

  < < >



當當

Ex72. 解不等式(0.1)^x²⁻³^x⁺³

>

0.001

Ans： 0<x <3

(8)

Ex73. 解不等式4^x²⁺⁶^x⁺³

>

8

⋅

2¹²^x⁺⁵

Ans： x >1∨ x <- 1

Ex74. 解不等式

) 12 3

( 1 9 )

( 1

^x

+

^x

> Ans： x <- 1

Ex75. 解不等式

4

^x

− 17 ⋅ 2

^x⁺²

+ 256 < 0 Ans： 2<x <6

Ex76. 解不等式

(1)(0.25)³^x²

<

(0.5)¹⁰^x+⁴

Ans： x>2orx < ¹ 3

−

(2)

₎ ₃

9 ( 1 81

1

₄

≤

^x

Ans： ¹

8 − ≤ x ≤ ¹ 2

(3)

2

⁻^x

+ ⋅ 4 2

^{1 2}⁻ ^x

≤ ⋅ 5 2

¹⁻^x

− 1 Ans： 0≦ x ≦ 3

Ex77. 若

π

¹^x

< π

⁻^x，則 x 的範圍為？ Ans： x <0

Ex78. 設 m

∈R，方程式

3²^x

−

2(

m + ⋅ −

1) 3^x (

m − =

1) 0有兩個相異的實根，求 m 之範圍。

Ans： 0<m <1

Ex79. 設 25^x–5^{x+ 1}+a=0 的二根均為正數，求 a 的的範圍。 Ans： 4<a≤

²⁵ 4

Ex80. 設 a∈R，方程式 2 2 2 2 5

x x x x

a

− −

+ = −

有實數解，求 a 之範圍。 Ans： –5<a<5， a≠0

Ex81. 設

f x

( )

= + a bx

ⁿ，若 f(2)=17， f(4)=47， f(8)=167，求 a， b。 Ans： a=7， b=

⁵ 2

Ex82. 若 a>0，且 a≠ 1，則下列各圖形中，何者可能是指數函數

y = a

^x的部分圖形？

(A) (B) (C) (D) (E)

Ans： (A)(C)

Ex83. 定義二函數如下：

) 2 ( 2 ,

) (

x x x

x

e e

x e g

x e f

−

= +

= −

，試將 f(x +y)及 g(x +y)分別以

) ( ), ( ), ( ),

( x g x f y g y

f

表示之。 Ans：

f ( x ) g ( y ) + g ( x ) f ( y ), f ( x ) f ( y ) + g ( x ) g ( y )

(9)

Ex84. 設

100

^x

+ 100

^y

+ 100

^z

= 10

^x⁺^y

+ 10

^y⁺^z

+ 10

^z⁺^x，求 x ， y， z 的關係？ Ans： x =y=z

Ex85. 函數 f (x )=a^·4^x+b^·3^x+2^x滿足 f(0)=0， f(1)=3，試求 a， b 之值 Ans： 4； –5

Ex86. 指數函數 f (x )=a^x，其中 0

<a<1， x ∈R，下列何者成立？

(A)f (r)f (s)=f (r+s) (B)f (r)÷f (s)=f (r–s) (C)f (r×s)=[f (r)]^s (D)若 r

< s，則 f (r) < f (s)

(E)若 r

< s，則 f (r) > f (s) Ans： ABCE

(10)

1-3 對數

一、對數的定義：

a

^x

= b ⇔ log

_a

b = x

，其中

 



>

≠

>

0 1 , 0

b

a a

稱為以 a 為底 b 的對數 (a 稱為底數， b 稱為真數 ) 二、對數的種類：

1.一般對數：如前定義之對數

2.常用對數：以 10 為底數的對數稱為常用對數，我們將log₁₀

b

簡記為

log b

3.自然對數：以無理數 e(≒ 2.71828)為底數的對數稱為自然對數，

我們將 log

e

b 簡記為

ln b Ex87. (1)若

log 243=x ，則 x =？ 3

(2)若

log ¹ 6

x =- 1，則 x =？

(3)若log x =0，則 x =？ Ans： (1)5(2)6(3)1 2

Ex88. (1)若2^log^x⁴=2，則 x =？ (2)若2^log³^x=4，則 x =？

(3)若

x

^log²⁸=27，則 x =？ Ans： (1)4(2)9(3)3

三、對數的性質 (對數律 )：

1.基本性質： (1)loga1

=

0(2)log_a

a =

1

2.運算公式：設 a>0， a≠1， r， s 為二正數，則： (1)loga

r+log

a

s=log

a

rs

(外加 =內乘 ) (2)loga

r- log

a

s=log

a

s

r

(外減 =內除 )

(3)loga

r

^s=sloga

r， s ∈ R

(內次方 =外係數 )

b m b

ⁿ

n

_a

a^m

log

log =

(威加版 )

3.上下同時 n 次方：

2 3 4

log log log log ...

a

b =

a

b =

a

b =

a

b =

Ex89. 化簡下列各式： (1)

_log ⁷ _{2log3 log} ¹⁴ _5log2

36 + − 25 +

(2)

4 log 5 8 3 log 125 4 3 log

2

2 2

2

− −

(3)

log

₁₄₄³

2 + log

₁₄₄⁶

3 Ans： 2； 0；

12 1

Ex90.

1 12 log

1000 log 8 log 27 log

−

+

=？ Ans：

³

2

Ex91.

( ^log2 ) (

³

+ ^log5 )

³

+ (log8)(log5)

=？ Ans： 1 Ex92.

∑

=

+

999

1

log 1

k

=？ Ans： 3

(11)

Ex93. (1)log3

6 + 3 3

- log3

2 + 3

？

(2)log1 6(

₂₁ ₊ ₆ ₆ ₋ ₅ ₋ ₂₄

)=？ Ans：

¹ 2

；

⁵

8

4.換底公式： loga

r=

a r

b b

log

log 其中 b>0， b

≠

1(換成常用對數，即可查表 ) 5.連鎖法則： (1)log_a

b ⋅

log_b

a =

1(2)loga

b·log

b

c·log

c

d=log

a

d(3)...

Ex94. 試求下列各值：

(1)若

log

₃

x ⋅ log

_x

2 x ⋅ log

₂_x

y = log

_x

x

²，則 y=？

(2)log₂(log₂49)

+

2log₄(log₇2)=？

(3)

log 9 log 4 log 8

4 1 3

2

⋅ ⋅

=？

(4)

log 8 16 log

49

7 =？

(5)(log₂3

+

log₄9)(log₃4

+

log₉2)

Ans： 9； 1； - 6； ⁸ 3

； 5

6.指對互消： (1)

log

_a

a

^x

= x

(2)

a

^log^a^x

= x

7.交換：

a

^log^b^x

= x

^log^b^a

Ex95. 化簡下列各式： (1)

log (log25) log (1 log4) log25

10

+ +

(2)

log4

3log3(3) ^log ⁵

2

5 3

−

Ans： 2； 4；

9 1

Ex96. 化簡

3

¹⁺²^log³⁶

+ 2

^log⁴³⁶=？ Ans： 114

四、對數方程式：

Ex97. 設log₂(log₂

x

)

+

2log₄(log₅2)

=

1，求 x 值。 Ans： 25

Ex98. 解下列方程式： (1)log6

x +

log (6

x − =

5) 1 (2)

x

^log^x

= 1000 x

²

(3)log10 6log 10 1

x −

x

= Ans： 6； 1000or ¹

10

； 1000or

¹ 100

Ex99. (1)設 a， b 均為異於 1 的正數，試證：

a

^log^b

= b

^log^a (2)解方程式(2^log^x)(

x

^log²)

−

3

⋅

(2^log^x)

+

2

=

0。 Ans： 10or1

(12)

Ex100. 解下列方程式：

(1)

log(10 100) 1 log2 2

x

+ = + + Ans： 2

(2)1 log (

+

4

x − =

1) log (2

x −

9)

Ans： 17

(3)

log

₆

x + log

₆

( x

²

− 7 ) = 1 Ans： 3

(4)

log( 7 x + + 4 25) − log x = 1 Ans： 3

Ex101. 已知

log 32

a =

，

log 73

b =

，

log 117

c =

，試用 a， b， c 表

log 66 Ans：63

¹

2 a abc a ab + +

+

Ex102.

∀x ∈R，

²

( 6 )

log ( 4 )

a

x x a

−

+ +

恆有意義，求 a 的範圍。 Ans： 4<a<6，但 a

≠5

Ex103. 方程式

(log2 )(log3 ) x x = k

的二根之積為何？ Ans：

¹ 6

Ex104. 設方程式 ²

2 4

3(log

x

)

−

9(log

x

)

+ =

1 0之二根為 α ， β ，試求以 log

α

β 與 log

β

α

為二根 的二次方程式。 Ans： 4x²- 19x +4=0

Ex105. 甲、乙同時解方程式

log2 log 2 0

x b c + +

x

=

，甲誤寫 b 得解為

8 , 1 4

1

，乙誤寫 c 得解為

64 2 ,

1

，此外沒有其他錯誤，試求其正確的解 Ans： 4 或 8

Ex106. 解下列聯立方程式：

6 1

7log 5 3 1

log 3 21

y y

x

⁺

 − ⋅ = −

 + =



[76 社 ]Ans： x =100， y =1

Ex107. 解下列方程式：

(1)(log

x

)²

−

log

x

²

=

0

Ans： 1or100

(2)

x

^log²^x

= 8 x

²

Ans： 8or ¹

2

(3)2log2 3log 2 5 0

x −

x

+ = Ans：

2 or

¹ 8

(4)(3^{l o g x})(x^{l o g 3})- 2(3^{l o g x}+x^{l o g 3})+3=0。 Ans： 1or10

Ex108. 解方程式

1 log 2

) 2 25 5 (

log

₅ x

+ = x + +

₅

。 Ans： 2

Ex109. 解方程式

2

^log^x

⋅ x

^log²

− 3 ⋅ x

^log²

− 2

¹⁺^log^x

+ 4 = 0

。 Ans： 1or100

(13)

Ex110. 解方程式

log( 6 1 ) log 3 9 1 2

1 x − + x − =

。 Ans：

¹³ 3

Ex111. 設 α ， β 為方程式(log

x

)²

−

log

x

³

+

1

=

0的兩根，則

log log

α

β +

β

α

=？ Ans： 7

Ex112. 解方程式 0

2 log 3

2

log ₁₆ ²

4

1

x + x − =

。 Ans： 8

Ex113. 解方程式

log

₆

x + log

₆

( x

²

+ 2 x − 5 ) = 1

。 Ans： 2

Ex114. 設方程式

log2 log 8

x + a

x

= b

的二根為 2，

¹

8

，求 (a， b)。 Ans： (- 1， - 2)

Ex115. 設方程式

(log3 )(log x ax ) = 1

的二根之積為

¹

18

，求 a 值。 Ans： 6

Ex116. 設

α

，

β

為方程式

0 2 log 5 5 log

2

+ 2 x + =

x

之二根，求

10

^α

+ 10

^β之值。 Ans：

2 1

Ex117. 解 (1)

3 3

log (

x − +

1) log (

x + =

1) 1(2)

log(3 x + + 4) log(5 x + = + 1) 2 log9

(3) ²

1 16

4

log 4log 3 0

x + x − =

2 (4)

2 8 2 8

log

x +

log

x =

2(log

x

)(log

x

) (5)(log 4) 1 log2

x

+ = x

(6)

x

^{1 log}⁺ ²^x

=

(2 )

x

³

Ans： (1)2(2)7(3)2(4)1， 4(5)4， ¹

2

(6)8，

¹ 2

Ex118. 設 m

∈R，方程式

(log )

x

²

−

2log

x − m

²

− + = m

21 0有二相異實根，則 m 的範圍為何？

Ans： m ＞ 4 或 m ＜ - 5

Ex119. 若

log2 = p ,log3 = q

，則 (1)

10

³^p⁺²^q⁺¹=？ (2)log7.5=？ (以 p， q 表示 )Ans：

(1)720(2)1+q- 2p

Ex120. 設

a =

log₅2,

b =

log₃5，則 ²

1

5

^a⁻^b⁺ =？ Ans：

⁵⁰

3

(14)

Ex121. 化簡

2 2log (2 10 ) log (

₁₀ ₁₀

¹ 10 10 )

²

4

x x x

x + +

⁻

− + + =

(A)

2 10 ×

^x(B)

log

₁₀

¹

x 4

(C)1(D)

2log2

(E)

2 x + 10

²^x

Ans： D

Ex122. (log20)³

−

(log2)³

−

(log20)(log8)=？ Ans： 1

Ex123. 若

² ^x

²

⁻ ⁵ ^x ⁺ ² ⁼ ⁰

之解為

log ,log a b

，則 log log

a

b +

b

a

=？ Ans：

¹⁷ 4

Ex124. 若

8 3

1 = +

x

，則

log

₈

( x

⁴

+ 4 x

³

+ 4 x

²

+ 4 x + 3 )

=？ Ans：

⁵ 6

Ex125. 設

x =

3

+

1，則log₂(

x

³

− x

²

−

4

x −

1)=？ Ans： 0

Ex126. 設 a=

log 7 ， b=3

log 2 ，試以 a， b 表7

log 126 Ans：42

1 2 + +

+ +

a ab

Ex127. 設 a=

log2

， b=

log3

，試以 a， b 表 log6

5 ( 14 − 4 6 + 5 + 2 6 ) Ans：

b a

a b

2 2

1 3

+ +

−

Ex128. 設 a=

log5

， b=

log 6 ，試以 a， b 表2

log 0.12 Ans：4

) 1 ( 2

1 − +

− +

a b a ab

Ex129. 設

₊ ₎ ₌ _a

7 1 1

log(

，

₊ ₎ ₌ _b

49 1 1

log(

，試以 a， b 表

log2

，

log7

。 Ans：

7 2 2 a − b +

，

7 6 3 +

−

− a b

Ex130. 設 a， b， c 為正數，試證：

a

^log^b^c

⋅ b

^log^a^c

⋅ c

^log^b^a

= 1

Ex131. 設一等比數列之第 l， m ， n 項依次為 a， b， c。若 a， b， c 皆為正數，試求

c

m l b l n a n

m ) log ( ) log ( ) log

( − + − + −

之值。 Ans： 0

Ex132. 若

_log ₂

2 log 1

log

a

x =

b

y = −

c ， a， b， c 皆為不等於 1 之正數，且 x >0， y>0， c=

ab

， 則 x y=？ Ans：

¹

2

Ex133. 設 a， b， c 為

∆ABC 之三邊長，且

log_a₊_b

c +

log_a₋_b

c =

2(log_a₊_b

c

)(log_a₋_b

c

)成立，則

∆ABC 之形狀為何？ Ans：直角 ∆

(15)

Ex134. 若 ²

( 2 1)

log ( 3 11 6)

x

x x

−

− + −

有意義，則 x 的範圍為何？ Ans：

3

2

＜ x ＜ 3，但 x

≠1

Ex135. 設 x

∈R，且使 log (2

²

3 2)

x

x + x −

有意義，則 x 之範圍為？ Ans： x>

¹

2

但 x

≠

1

Ex136.

2 3 8 5

log (log 625)

+

3log (log 9)=Ans： 3

Ex137.

log(1 ¹ ) log(1 ¹ ) log(1 ¹ ) ... log(1 ¹ )

3 4 5 200

− + − + − + + −

=Ans： –2

Ex138. 下列那些式子是正確的？

(A) ²

7 7

log ( 3) − = 2log ( 3) −

(B)

log 77

=

1(C)

log 3 481

=

(D)

6 6 6

log (3 4)

+ =

log 3 log 4

+

(E)

log

6

7 = log 7

6

Ans： BE

(16)

1-4 對數函數及其圖形

一、對數函數：

1.定義：設 a>0，

a ≠

1， x >0，

則

y = f x

( )

=

log_a

x

稱為以 a 為底的對數函數 (定義域為 R⁺，值域為 R) 2.性質：

(1)

f (1) = 0

(2)

f ( α β ) = f ( ) α + f ( ) β

(3) 1 ( ) ( ) ( )

0 1 ( ) ( ) ( )

a f x f f

α β α β

> ⇔ >

  < < ⇔ <



時, 遞增 >

時, 遞減 >

Ex139. 若對數

log(log2

x 有意義，則 x 的範圍為何？ Ans： x >1∨

)

x < −1

Ex140. 若對數

1 1 2

3 2

log (log (log x ))

有意義，則 x 的範圍為何？ Ans： 1<x <2

Ex141. 設對數函數 f (x )=loga

x ， (a >0， a≠

1)對於任意正數 r， s，下列何者恆成立？ (A)f (r)+f (s)=f (r+s)(B)f (r)+f (s)=f (r·s)(C)f (r)–f (s)=f (r－ s)

(D)f (r)–f (s)=f (

^r

s

)(E) ( ) ( )

f r f s

=f (

^r

s

)。 Ans： BD

二、對數函數

y = f x

( )

=

log_a

x

的圖形性質： 圖形在 y 軸右方，

且必過定點 (1， 0)

平行於 y 軸且在 y 軸右方的每一直線恰與圖形交於一點

y 軸為其漸近線。

<甲 >當 a>1 時 <乙 >當 0<a<1 時 (甲 )當 a>1 時，嚴格遞增函數圖形 (即

x

1

< x

2

⇔

log_a

x

1

<

log_a

x

2)

由左而右逐漸升高。愈往右邊，升高愈慢；愈往左邊，愈接近 y 軸 (乙 )當 0<a<1 時，嚴格遞減函數圖形 (即

x

₁

< x

₂

⇔

log_a

x

₁

>

log_a

x

₂)

由左而右漸降低。愈往右邊，降低愈慢；愈往左邊，愈接近 y 軸

x

y =

log_a 與

y x

a

log

1

=

的圖形對稱於 x 軸

x y=log_a

x y

a

log1

= (1,0)

(17)

Ex142. (1)設 a>1， x1＞ x2＞ 0，試證： ¹ ² log ₁ ₂ 2

1

log

x

2

x x x

a

+ >

。 (2)設 0<a<1， x1＞ x2＞ 0，試證： ¹ ² log ₁ ₂

2 1

log

x

2

x x x

a

+ <

。 (3)利用 (1)、 (2)之結果，說明對數函數 y=loga

x 的凹向。

Ex143. 下列有五組函數，哪些組的兩個函數，其圖形互相對稱於 y 軸？ (A)

y )

³^x

2 ( 1

=

和

y =

2³^x(B)

y =

2³^x和

y =

3²^x

(C)

y = x

²和

y = − x

²(D)

y = log x

和

y = log( x − )

。 Ans： AD

Ex144. 方程式 ²

log2 0

x + x =

有？個實根。 Ans： 1

Ex145. 方程式

1 2

log 0

x − x =

有幾個實根 Ans： 1

Ex146. 方程式

1 2

3^x

−

log

x =

0有幾個實根。 Ans： 1

三、對數不等式：

1.a>1 時，遞增， 0

< < ⇔ r s

log_a

r <

log_a

s

2.0<a<1 時，遞減， 0

< < ⇔ r s

log_a

r >

log_a

s

Ex147. 解不等式：

2 1

3

log (log x ) > 1

。 Ans： 0<x <

9 1

Ex148. 解不等式： ²

1.5 2.25

log ( x + > 1) log ( x − − x 1)

。 Ans：

² ¹ ⁵

3 x − 2

− < <

或

¹ ⁵

x + 2

>

Ex149. 解不等式： ²

(1 )

log ( 4 5) 1

x

x x

−

+ − >

。 Ans： x <

−6

Ex150.

∀x ∈R，

²

( 2 )

log ( ) 0

a

x x a

−

+ + <

恆成立，求 a 的範圍？ Ans：

⁵

4

<a<2

Ex151. 解不等式：(log4

x

)(log8

x

)

≤

12(log2)²。 Ans：

2 64

1 ≤ x ≤

3 3 10 log

log

₃

x +

x

<

。 Ans：³ 3

< x <

27， 0<x <1

(18)

3 3

log (3 8) 1 log 2 2

x

+ < + + x

。 Ans：

3 3

log 4

< < x

log 16

Ex154. 滿足 0≤

3 3

log (log

x

)

<1 的整數 x 有多少個？ Ans： 24

Ex155. 滿足 - 1<

2 4 8

log [log (log

x <1 之整數 x 可表為 2 的乘冪者共有幾個？ Ans： 41

)]

四、對數求極值：

Ex156. 1≦ x ≦ 1000，

f

(

x

)

= x

²⁻^log^x

(1)x =？時， f (x )有最小值？ Ans： x =1000，最小值

1000

1

(2)x =？時， f (x )有最大值？ Ans： x =10，最大值 10

Ex157. 設 x >0， y>0， 2x +5y=20，則

log x + log y

之最大值為何？ Ans： 1

Ex158. 設 10≤

x ≤100 且 x y=1000，則 log log x y

之最大值為何？ Ans：

⁹ 4

Ex159. 設 x ， y>0 且 2x²=y²，則 ² ²

2 2 2

(log 2 )

x +

log

y −

3log

x +

5的最小值為何？ Ans：

²⁷ 4

Ex160. 設 1 1 3 12

p + q =

， p， q 為正數，則 ³

1 1

3 3

log

p +

log

q

的最大值？此時 (p， q)=？

Ans： 8； ( ¹ 9

，

¹

9

)

五、反函數的定義：設 f： A? B， g： B? A 均為一對一且映成函數，且滿足性質： (1)f (g(x ))=x ，

∀ x ∈ B

(2)g(f (x ))=x ，

∀x ∈A

則稱 f(x )與 g(x )互為反函數。

圖形：若 x

∈R，則 y=f (x )與 y=g(x )的圖形對稱於直線 x =y

作法：將原先 (y 以 x 之表示式 )轉換為 (x 以 y 之表示式 ) Ex161. 求下列各函數的反函數： (1)y=

log (2

x −

2)(2)y=2⁻²^x(3)y= _x _x

x x

−

+

−

5 5

Ans： (1)y=2

^x+2(2)y=−

2

1 log

2 x

，

x >

0(3)y=

x x

− + 1 log 1 2 1

5 ，其中−1<x <1

(19)

六、設 a>0，

a ≠

1，

指數函數 y=a^x與對數函數 y=loga

x 互為反函數，故圖形對稱於直線 x =y

令

y = f

(

x

)

=

log_a

x

，則我們可在座標平面上畫出指數函數的圖形。 當 (u， v )在

y = a

^x的圖形上時，則 (v ， u)在

y =

log_a

x

的圖形上，

因為 (u， v )與 (v ， u)恆對稱於直線 x =y，所以

y = a

^x的圖形與

y =

log_a

x

的圖形恆對稱 於 x =y

<甲 >當 a

>

1 時 <乙 >當 0

< a <

1 時 Ex162. 下列敘述何者正確？ (A)

y =

3^x與

y =

3⁻^x的圖形對稱於 y 軸。

(B)

y =

3^x與

y =

log₃

x

的圖形對稱於 y 軸。 (C)

y =

3^x與

y =

log₃

x

的圖形交於一點。 (D)

y =

log₃

x

與

y x

3

log

1

=

的圖形對稱於 x 軸。 (E)

y =

3⁻^x與

y x

3

log

1

=

的圖形對稱於 y=x 。 Ans： ADE

Ex163. 設 1<x <a，試比較 p= log

a

x 、 q= (log )

²

a

x

、 r=

log

²

a

x

、 s= log (log )

a a

x 的大小關係。 Ans： r＞ p＞ q＞ s

Ex164. 右圖中為

log2

y = x

，

log (2 )

y = − x

，

log2

y = − x

，

log 22

y = x

，

2log (2 )

y = − x

之圖形，指出 A、 B、 C、 D、 E 各為何者之圖 形？ Ans：依序為 E、 A、 C、 D、 B

Ex165. 就右圖，比較 a， b， c， d， 0， 1 之大小 Ans： b

>a>1>d>c >0

Ex166. 如右圖為

y =

log_a(

x −

1)的圖形，圖形過 (3， 1)， (b， 0)，

(9， c)，則數對 (a， b， c)=？ Ans： (2， 2， 3)

ax

y=

x y=log_a

(1,0)

ax

y=

x y = log

_a

(1,0)

(9,c) (3,1)

(b,0)

(20)

Ex167. 如圖為

y = a +

log_b

x

之部分圖形，

其中 a， b 皆為常數，則下列何者為真？ (A)a<0， b>1(B)a>0， b>1(C)a=0， b>1 (D)a>0， 0<b<1(E)a<0， 0<b<1。 Ans： (E)

1 1 2

2 2

(log x + 3)(log x + 2)(log x − > 1) 0

。 Ans： 2<x <4 or x >8

Ex169. 解不等式：log_x₋₂(2

x +

3)

>

log_x₋₂(3

x +

1)。 Ans： 2<x <3

1 1

2 4

log ( x − > 1) log (2 x + 1)

。 Ans： 1<x <4

Ex171.

∀x ∈R，

log(

x

²

+ x + a

)

>

0恆成立，則 a 的範圍為？ Ans：

4 > 5 a

Ex172. 若級數log

x +

(log )

x

²

+

(log )

x

³

+ +

... (log )

x

ⁿ

+

...為收斂，求 x 的範圍。

Ans： ¹

10

<x <10

Ex173. 解 (1)0

≤

log₃(log₃

x

)

<

1。 (2)log₂(

x −

1)

≤

log₄(2

x −

1)。 (3)

log (log

₄

) 1

3

1

x ≥ −

Ans： 3≦ x <27；

1

< x ≤

2

+

2； 1<x ≦ 64

Ex174. 解 (1)

log (2

x − <

2) 1 (2) ²

1.5 2.25

log ( x + > 1) log ( x − − x 1)

(3) ²

log

2

(2 11 14) 2

x

x x

−

− + >

(4)

1 4 1

2 3

log [log (log x )] 1 >

Ans： (1)2 <x <4(2) ²

− 3 <x < ¹ ⁵ 2

− orx > ¹ ⁵ 2

+

(3)x

>5(4) ¹ 9 <x < ¹

3

Ex175. 當 x =？時，

log( x − + 5) log(25 − x )

有最大值？ Ans： 15； 2

Ex176. 求 ² ²

2 2

log (

x − + −

2

x

3) log (

x +

2)的最大值與最小值？ Ans： 1，

−1

Ex177. 設 a>1， 0<b<1，則 log log

a

b +

b

a

的最大值為何？ Ans：

−2

1 2 3 4

(21)

Ex178. 若 x

>1，求

log2 log 4

x +

x 之最小值 Ans： 2 2

Ex179. 設 x >0， y>0， 2x +5y=6，求

2 4

log

x +

log

y

的最大值。 Ans：

4

log 8 5

Ex180. 設 x >0， y>0，若

2 2

log

x +

log

y =

3，則 2x +y 的最小值為何？ Ans： 8

Ex181. 設 x >1， y>1 且

2log 2log 3 0

x

y −

y

x + =

，則 x²

−4y

²的最小值為何？ Ans：

−4

Ex182. 設 x ≧ 1，則

f

(

x

)

=

log(

x

^log^x)

−

log

x

²在 x =？時，有最小值？ Ans： 10， –1

Ex183. (1)方程式

log2

x − + = x

2 0有幾個實根 (2)方程式

log x2

= x

有幾個實根

(3)方程式 ²

log | |2

x + = x

0有幾個實根 Ans： 2； 0； 2 Ex184. 方程式

1 |log2 |

x − = x

有幾個實根。 Ans： 2

Ex185. 比較 a=

log0.20.3 ，， b=

log 3 ， c=2

log 30 的大小。 Ans： b＞ c＞ a 20

Ex186. 設 1<a<b<a²，試比較 p= log

a

b 、 q= log

b

a 、 r= _log

a

a b

、 s=

_log

b

b a

的大小關係。

Ans： p＞ q＞ s＞ r

Ex187. 試比較 A= ²

log (2 )

3 、 B= ²

(log 2)

3 、 C=

3 3

log (log 2) 的大小關係。 Ans： A>B>C

Ex188. 比較

3 log 1 ,

3 log 2,

log 1 , 2 log

2 1 2

1 3

1

= = =

= b c d

a

的大小。 Ans： d>b>a>c

Ex189. 設

G y

^x

G y

^x

G y x G y x

2 1 4

2 3

2

1 ) , : log , : log

2 (1 : , 2

:

= = = =

，下列敘述何者正確？

(A)

G

₁, G₂對稱於 x 軸 (B)

G

₃, G₄對稱於 x 軸 (C)

G

₁, G₃對稱於直線 y=x (D)

x

₁

> x

₂，則2^x¹

>

2^x²(E)

x

₁

> x

₂

>

0，則 ₂

2 1 1 2

1

log

log x > x

。 Ans： BCD

(22)

Ex190. 下列選項何者為真？

(A) ¹⁰ ²⁰

20 10

2 2 2

2

+ > ⋅

(B) ¹⁰ ²⁰

20 10

2 ) ( 1 2 ) ( 1 2

2 ) ( 1 2 ) ( 1

⋅ + >

(C) 10

+

20

>

30 (D)

log 10 + log 20 > log 30

(E) ²

2 2

2 ) 20 (10 2

20

10

+ > +

Ans： ABCDE

Ex191. 設 a>b>1000， p= log₇

a ⋅

log₇

b

， q=

(log log ) 2

1

7

a + b

， r=

log

₇

a 2 + b

，下列敘述何 者正確？ (A)q=log₇

ab

(B)q>r(C)r<p<q(D)p<q<r(E)q<p<r。 Ans： AD

Ex192. 比較下列各數的大小： a=

2 3

， b=

log 0.6 ， c=3 ³

log

2

24

， d=

log 5 ， e=4

log 4 。 5

Ans： c＞ a＞ d＞ e＞ b

Ex193. 求下列函數的反函數： (1)f (x )=2x - 1， (2)

1 ) 1

( = +

x x

f

， (3)

1 log 2 )

(

₅

= + x x

f

，

(4)

( 10 10 ) 2

) 1

( x

^x ^x

f = −

⁻ 。 Ans： (1)

2 ) 1

1

( = +

−

x

f

， (2)

1 − 1

x

， (3)

2 ⋅ 5

^−x

− 1

， (4)log(

x + x

²

+

1)。

Ex194. 求下列各函數的反函數 f^{– 1}(x )

(1)f (x )=3x +2(2)f (x )=

0.5

^x

− 3 Ans： (1) ² 3 x −

(2)log (0.5

x +

3)

(23)

1-5 查表、內插法

一、首數與尾數：

設 x >0，則 x 必可表為 x =a×10ⁿ，其中 1

≤ < a

10， n

∈Z， (科學記號 )

則 logx =n+α(

0 ≤ = α log a < 1

)，我們稱 n 為 logx 的首數，

α

為 logx 的尾數 (參考數值： log2=0.3010， log3=0.4771， log7=0.8451)

Ex195. 若 log1965=3.2931，求 (1)log19.65(2)log0.00001965(3)若 logx =5.2931， x =？

(4)若 logy=

−2.7069， y=？ Ans： (1)1.2931(2)- 4.7069(3)196500(4)0.001965

Ex196. 設 1<x <100，若 logx 與 log

x

1

的尾數相等，求 x 。 Ans：

10

或 10 或 10

10

Ex197. 設 1<x <100，且 log4x 的尾數為 logx 的尾數的 3 倍，求 x Ans： 2 或 20

二、首數與位數的關係： (首數決定位數，尾數決定數字 )

(1)若 x >1，則 “x 的整數部分為 n 位數

⇔logx 的首數為 n–1”

(2)若 0<x <1，則 “x 在小數點以下第 n 位始不為 0⇔logx 的首數為 –n”

Ex198. 已知 7^{1 0 0}為 85 位數， 11^{1 0 0}為 105 位數，則 77^{3 0}為幾位數？ Ans： 57

Ex199. 將

)

⁵⁰

7 ( 6

表為純小數時，從小數點以下第 n 位開始出現不為 0 的數字

α

，求 n，

α

之值。 Ans： n=4，

α

=4

Ex200. (1)7^{1 0 0}+3^{2 0 0}+2^{3 0 0}為幾位數？ (2)2^{2 6}

×

3^{1 6}為幾位數 Ans： (1)96(2)16

Ex201. 27^{1 0 0}

÷5

^{2 0 0}的整數部份為幾位數？最高位數字為何？ Ans： 4， 2

Ex202. (1)2 為？位數，最高位數字為？個位數字為？ ³⁰ (2)

( ) ²

¹⁰

9

小數點後第？位開始不為 0，此數字為？

Ans： 10， 1， 4； 7， 2

三 (A)、常用對數表：表列 1~10 之間以 10 為底的實數 (至小數第三位 )對數值

※ 小數第三位利用表尾差，超過第三位利用內插法。

l o g 2

=

log2.4

=

log2.46

=

log2.468

=

log24.68

=

log246.8

=

log2468

=

log24680

=

log246800

=

Ex203. 求滿足不等式 (1.25)ⁿ>10⁷的最小正整數 n。 Ans： 73

Ex204. 設 n 為自然數，則滿足 10^{n – 1}>9ⁿ的 n 值中最小為何？ Ans： 22

(24)

Ex205. 利用所附對數表，求

x =

⁴ 6.35

×

0.6327³

÷

0.637的值至小數點第二位 Ans： 0.63

A

6.30 6.31 6.32 6.33 6.34 6.35 6.36 6.37 6.38 6.39

LogA 0.7993 0.8000 0.8007 0.8014 0.8021 0.8028 0.8035 0.8041 0.8048 0.8055

Ex206. 利用對數表計算下列的值 (8.72)^{2 . 1 1}=？

5 8.375 587 . 2 375 .

9

×

=？ Ans： 96.5， 9.9

三 (B)、常用對數表： (內插法 )

Ex207. 已知 log0.0235=- 1.6289， log0.0236=- 1.6271，求 (1)log23.53(2)log23530

Ans： 1.3716； 4.3716

Ex208. 已知 log8.2=0.9138， log8.3=0.9191，求 10-1 . 0 8 4 0

Ans： 0.0824

Ex209. log174=2.2406， log1750=3.2430，若 logx =2.2416，求 x (取二位近似值 )

Ans： 174.42

Ex210. 已知 log62.2=1.7938， log62.3=1.7945， logx =1.7940，則下列各數何者為 x 之最 佳近似值 (A)62.176(B)62.229(C)62.329(D)62.271(E)62.159Ans： B

四、應用題：

Ex211. 某食品實驗室混合甲、乙兩種菌類製成一種新食品，調查後發現乙菌個數是甲菌個數的千倍以上時，新食品才受歡迎。又知道甲菌一日後增加一倍，乙菌增加三倍，現在取同數量的甲、乙兩種菌，讓它們同時繁殖，試問至少第幾天後 混合甲、乙兩種菌類才能製成受歡迎的食品？ Ans： 10

Ex212. 某甲在股票市場買進賣出頻繁。假設每星期結算都損失該星期初資金的 1%，

而第 n 星期結束後，資金總損失已超過原始資金的一半，則 n 的最小值為何？

Ans： 69

Ex213. 在 1999 年 6 月 1 日數學家利用超級電腦驗證出 26 9 7 2 5 9 3

–1 是一個質數。若想要列 印出此質數至少需要多少張 A4紙？假定每張 A4紙可列印出 3000 個數字。在下列選項中，選出最接近的張數。

(A)50(B)100(C)200(D)500(E)700Ans： E

Ex214. 本金 100 元，年利率為 6%，每半年複利一次， 5 年期滿，共得本利和多少？ (元 以下四捨五入 )Ans： 134 元

1-1 指 數

1-1 指 數

0

∈N， 規 定 a

1

a

=

a

=

a

a a

a = ( ) =

a 表 x

< a

>

a

a

a

a

10

= 25

10

=

1 5

⋅

⋅

−

7 8

+

÷

−

− a a

a Ans： 2

3

− a

·a

=a

=a

·b

y x

−

+

+

=

z y

x

30

a

+ a

= 52

a

+ a

=

a

+ a

=

Ans： (1)- 2(2)- 14

>0， a

a x y R

a x y

 =

 ≠ =



10

− 4 ⋅ 5

− 5 ⋅ 2

+ 20 = 0 Ans： 2or1

2

− 33 ⋅ 2

+ 1 = 0

2

+ 2

= 5 ⋅ 2

=

3

= 81

α

β

α

β

1-1 指數

1-1 指數

∈N，規定 a

¹

¹ 5

⁷ 8

₊ a

₌

₊ a

₌

Ans： ³ ⁵ 2

¹⁵ 64

⁹

³

∈N， x ， y， z， w∈R， xyzw ≠0， a≦ b≦ c，若 a

⁹ 4