第三章非惯性参考系第三章非惯性参考系

第三章 非惯性参考系

从一个问题开始：

车的a = 0 时单摆和小球的状态符合牛顿定律，

a≠0时单摆和小球的状态不符合牛顿定律，

a =0 a  0

因为在非惯性系中牛顿定律不再成立！

如何讨论非惯性系中的质点运动的动力学？

为什么？

§3.1 平动非惯性参考系

非惯性参照系:牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系。

o y

S系 z

y x  o

z S系

x

o  y

S系 z

x

o y

S系 z

x o y

S系 z

x

1.平动非惯性系的速度、加速度合成公式 平动非惯性系(S )：相对惯性系(S)

做平动的参考系，因此其坐标轴 的方向必须保持不变。

若开始时S系中的各坐标 轴与S系中的对应坐标轴相 互平行，则在运动过程中，

S的各坐标轴应始终与S系 的坐标轴保持平行。

相对于惯性系作变速运动的参照系是非惯性系，包括平动加速 系、转动系。

注意：平动不一定是直线 运动！ S系的坐标原点O′

可以做任何方式的直线或者 曲线运动!

( ) v a ( )

v a  

'

(

)

O O

v a

绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和;

绝对加速度等于相对加速度和牵连加速度的矢量和

'

rO r

O

x

z

y P

O

x

y

z

r

位移合成法则：

( ) ( )

( ) r t  r t   r t

速度合成法则：

'

'

( )

( ) dr t( ) dr t^O ( ) _O ( )

v t v t v t

dt dt

 

   

加速度合成法则：

'

'

( )

( ) dv t( ) dv^O t ( ) _O ( )

a t a t a t

dt dt

 

   

在S系中物体的运动满足牛顿定律：

F  ma

但因

a  a

F   m a  

F ma ma  ma

    F  ma

 ma 

a  a

 a 

F   F ,

m   m

F

和m不随参考系变化，即

: ?

F 真实力

引入虚拟力

i O

f   ma

非惯性系S中，可以认为物体同时受到真实力和惯性力的作用，

真实力与虚拟力的合力称为表现力，记为

Feff

eff i

F  F  f 2.平移惯性力

Feff  ma

非惯性系S'中，形式上牛顿方程仍然成立

提供一种处理非惯性系 中动力学问题的方法.

质点所受惯性力的大小，等于质点的质量和此非惯性系 整体相对惯性系的加速度的乘积，方向与此加速度的方 向相反

“虚拟力”和“真实力”的区别：

①不能指出是哪个物体作用；

②没有反作用力；

③所有质点都受力，而且惯性力与质点的位置无关，各处均匀。

其指向一律与“牵连”加速度（坐标系的加速度S′）相反，且 正比于质量（和重力类似）；

④原则上讲，只要选择惯性系，就可以消除惯性力，而真实力 一般不能这样来消除。

例题1: 一质量为m的木块静止于质量为M，倾角为

，高为h的直角劈的顶部，劈置于水平面上，所有的 接触面都是光滑的，试用非惯性系观点，求木块m相对 斜面的加速度。



解：

在水平方向上

N sin   Ma

m

a

（1）

如图，坐标系 取在劈上木块除受真 实力N和mg外，还受惯性力 。

y x o  

0

fi  ma

0

0 0

ma cos mg sin mx N ma sin mg cos

 

 

  

  

木块的运动方程为

（2）

（3）

N

mg

0

fi  ma

0

x

y

由⑴、⑶式消去N，即得

0 2

mg sin cos

a m sin M

 

 



N 



N

Mg

代入⑵式，即得

 

0 2

M m sin

x a a cos g sin g

m sin M

  



      



a a    a

由平动参考系的速度合成公式 ， 可得物体相对地面的加速度为

a

a a



2 2 2

2 2

2 2

0 0

( ) ( cos ) 2( ) cos

2

(2 ) sin 2

2 cos sin

sin sin

sin

M m m m M m

M m M m

a a a a a g

M m g M m

 







 



   

  

 

  

 



m

弹力

球受弹力却静止,

真实弹力

牛顿定律不成立？

惯性系S

如图所示，设一圆盘绕固定轴在水平面内作匀速转动。沿盘径向 开一细槽，槽内放一小球，用弹簧系于转轴上，小球相对于圆盘 静止。

转动系 S′

§3.2 转动非惯性参考系

从一个问题开始：



1.相对于 S 系静止的点——惯性离心力

静止在 系中的物体若位于过原点而垂直转轴的平面内，在S系 中看来，物体受力

S

惯性离 心力

而在 系看来，必须认为物体不仅受真 实力F 作用，而且还受虚拟力 作用，两 力相抵消，即

S

f 

0

F   f F  ma

 

i c

f f F

m   r

   

   

 

m d m r

dt

  

   

  ^,

m   r 

   若 是常矢量

O′ P

O

 ^r

 

  



r

r

m

弹力

还受惯性力 真实弹力 惯性离心力

惯性系S

如图所示，设一圆盘绕固定轴在水平面内作匀速转动。沿盘径向 开一细槽，槽内放一小球，用弹簧系于转轴上，小球相对于圆盘 静止。

转动系 S′



①惯性离心力垂直于转轴，并指向离开转轴的方向；

 惯性离心力的特点：

②惯性离心力与物体质量成正比。离心力与物体所在位置有关，与 物体在转动系中运动与否无关。

例2^：地球表面上物体的重力并不严格指向地心，且重力随纬度 的减小而减小，试讨论为什么？

解：由于地球的自转，在地球上测得物 体的重力并非是物体的真实重力，而是 表观重力 。 如图， 是物体所受引 力W 和离心力 的矢量和。

W_ W_

fc

W_  W  fc

2 2

2 cos

c c

W_ W f Wf 

   

2

0

cos

f

 mR  



fc



W_



W

 

2 6

0 cos 6.4 10 2 (24 60 60) cos

9.81 cos 289

fc mR

W mg

  ^{ }  ^{ }  

   

1 2

1 289

W ^ cos  ^

   

1 f^c

W cos

W 

 

   

所以^{W  ，f}_c 故

2 2

2 cos

c c

W_  W  f  Wf 

在两极处

    2 , cos   0， W

 W

在赤道处 1

0 , cos 1 1 W_ W 289

    ，  ^  ^

2 2

sin cos sin sin 2

sin 2

fc m R R

W_ mg g

     

    

下面我们求

W

W



fc



W_



W

可见θ在45^o处为最大，

2

max R / 2g 0.15% 6

    ^

在上面讨论中未区分引力质量 和惯性质 量 ，若要区分，则

如果惯性质量与引力质量不成正比，此 角 将因物体的质料不同而异。因而，若用细线将 不同质料的物体悬挂起来，悬线将取不同的方 向。匈牙利物理学厄特沃什利用此原理，在 1908年完成了一个的证明引力质量与惯性质量 成正比的令人信服的实验。



m

m

G I

m m g

R 

 2

2

2 sin 

 



fc



W_



W

例3：地球同步卫星定位于赤道上空

①表观重力 为零.只有当 时，引 力和离心力的矢量和才有可能为零.故地 球同步卫星只能定位于赤道上空；

 0



W_





 

G m R h

R h   



42000 6370 35630

h km km km

   

s T

T 24 60 60

2   

  ，



②卫星角速度恰等于地球自转角速度 .即

解：地球同步卫星静止于地球上空，必须满足

3 2

R h GM

 



gR T







fc



W_



W



O A

B C

C₃ C₂ C₁



O B′ A′

C₂^′ C

C₁^′ C₃^′

物体相对地面沿 直线OABC运动

物体相对转盘沿

曲线OA′ B′ C₃^′ 运动

2. 相对于 S 系运动的质点——科里奥利力

从一个问题开始：

物体相对转盘作曲线运动，表明物体除受惯性离心力外还受其 他惯性力使得其运动方向发生偏转。

若物体相对于转动参考系作相对运动,则由转动参考系的观察者 看来，除了惯性离心力外，物体还受到另一惯性力的作用，此 力称为科里奥利力（法国人G.Coriolis 1835年提出）。

B

A

C B C

O

A

B







v

当质点m 以速度 v′ 沿半径OC相对圆盘作 匀速直线运动，质点同时参与了两个运 动（圆盘的转动和相对圆盘的运动），

由A点出发运动到圆盘上的B点，由于圆 盘的转动，在S系的观测者看来，质点运 动到了B点。

科里奥利力的解析表达式

其切向速度不断增大，在t内 如图所示作辅助线。

 

s B B^{ } A B^{ }  v^ t

     

Δ ,

A B    v t  Δ    Δ t

其方向与质点相对于圆盘的速度v′ 垂 直，并指向右方。

显然，为使物体获得这个加速度，必须施物体向右的法向力

C C

O

A

B







B v

A

B

 

1

2 ^cor

s a t

  

两式相比，得

cor

2

a  v ^ 

cor

2

F  ma  m v  ^

在S系的观测者看来，质点最初具有两个速度分量:径向分量

和横向分量 ，Δt 时间后圆盘转过角度 ，横向速 度分量使质点走到A′点；

vr  v

v_ OA Δ  Δt

如果没有加速度，此横向分量与径向分量合成，把小球带到B′′点；

然而质点实际上已到达位置B，位移B′′B是由加速度引起的。

在Δt 这一极短时间间隔内可认为加速度均匀，设物体向右方的加 速度为a_cor，利用匀加速的距离公式，有

若以圆盘为参考系，在盘中观察者看来，质点m 所作的是沿半径 的匀速直线运动，它应该不受力才符合牛顿定律。

其方向与质点相对于圆盘的速度v 垂直，并指向左。力f_cor是盘中观 察者设想的力，是一个惯性力，即为科里奥利力，使得为得

cor

2

f   F m v  ^

cor 0 F  f 

可以证明，物体在圆盘内沿任何方向运动时，都将受到一个 与运动方向垂直的科氏力。在普遍情况下

cor cor

2

f   ma  mv ^  



fcor

v

换句话说，小球在旋转系所表现的行为，好象受到了除惯性离心 力之外的另一个“假想的力” f_cor 。这个力与槽壁对该质点的真实 力F大小相等，方向相反。其大小为

①与相对速度成正比，故只有当物体相对转动参考系运动时才能 出现；

科里奥利力特征：

地球是一个转动参考系，科里奥利力在地球上的表现：

①地面上北半球河流冲刷右岸，火车对右轨的偏压较大。在南 半球则对左岸和左轨作用大。

②与转动角速度的一次方成正比,而离心力与角速度的二次方成正

比，故当参考系的转动角速度较小时，科里奥利力比离心力更重要；

③力的方向总是与相对速度垂直，不会改变相对速度的大小。

v





f

 v



v

fcor

在地球的北半球上，ω方向向上，

力沿地面的分量指向相对运动的 右方。在地球的南半球上，ω方 向向下，力沿地面的分量指向相 对运动的左方。

③傅科（J.L.Foucalt）摆直接证明地球自转

巴黎国葬院大厅的傅科摆

②地球上自由落体偏东；

x

y z

O





例题5：讨论自由落体偏东的距离

2

ma ^   F mgk  m   v ^

( cos _x sin _z) ( _{x y z})

v e e xe ye ze

  ^       

 

2 sin

2 sin cos

2 cos

x y z

mx F m y

my F m x z

mz F mg m y

 

  

 

 

 

    

   



代表重力以外的作用力 F

解：在地球参考系中，需考虑惯性力，忽略较小的惯性离心力，

该质点的运动方程满足

 

sin _x cos sin _y cos _z

y e z x e y e

       

    

假设质点从有限高度h出自由下落，那么我们可以认为重力加速度g 的值保持不变，若再忽略空气阻力，则重力以外的力F_x=F_y=F_z=0。 则该质点的运动方程为

2 sin

2 ( sin cos )

2 cos

mx m y

my m x z

mz mg m y

 

  

 

 

   

   



忽略高阶项，可得

 

0

2 cos #

x

y z

z g

 

 

 



0 0 0

0 0 0

| | 0, | 0, | | | 0

t t t

t t t

x y z h

t x y z

  

  

  

     由题意知，其初始条件为

消去时间t,可得落体轨道方程

当落体到达地面时z=0,由上式可得落体偏东的数值为:

1 8 3

3 cos y h

g  



  40 , h  200 , m y 4.75 10 

m

结合初始条件，对(#)式积分，可得

3

2

0

1 cos 3

1 2 x

y gt

z h gt

 

 

 



  



由此可知， y>0即物体落在抛射点O的东方。进一步，在赤道

（λ=0）处偏东的数值最为显著，而在两极（ λ =π/2）则为零。

2 2

2 8 cos 3

( )

y 9 z h

g

 

  

例题6： 质量为m的小环套在半径为R光滑大圆环

上，后者在水平面内以匀角速度 绕其上一点O转 动。试分析小环在大环上运动时的切向加速度和水 平面内所受的约束力。



解：如图，以直径OCB为极轴，位矢 与极轴的夹角为 。位矢 与极轴 的夹角为 。在随大环转动的参考 系中，小环受到三个水平力：





大环的约束力 N（法向）

惯性离心力 ²

f

 m  r

其中 _{r OA 2Rcos ,}

2

     

OA

O B

A y

x C

R r

v

N

fc

fcor

 _



科里奥利力：

f

 2 mv 

其中 为小环相对于大环速 度，沿圆环的切线方向。

dt R d v _ 

⑴在自然坐标系中，切向加速度

2 2

2

2 2

2 2

1 sin sin

2 cos sin sin

c

d s d

a R f r

dt dt m

R R



   

    

     

   

此式表明，小环的运动是以B点为平衡位置来回摆动.

O B

A y

x C

R r

v

N

fc

fcor

 _



⑵ 在自然坐标系中，水平面内约束力有

2

cor c cos n

N f f ma mv



   

2

cor c

N f f cos mv

 R

   

小环在大环上运动时所受的约束力沿大环的法线方向。

 

2 2

2 2

2

2 1

mv m r cos mv

R mv m R cos mv

R

  

  

  

   

O B

A y

x C

R r

v

N

fc

fcor

 



小结

非惯性系 S′: ma   F

F

  F F

惯性离心力:

科里奥利力:

 

^if

f

  m     r ^  m  r ^   r ^

cor

2

f   m   v ^

惯性系S: m a   F 

( ) 2

ma ^   F ma

 m    r ^ m     r ^  m   v ^

平移惯性力:

i O

f   ma

横向惯性力:

 m    r  