第三章 《測圓海鏡分類釋術》的內容分析

第三章 《測圓海鏡分類釋術》的內容分析

本章是本論文的重點所在，主要是在分析《測圓海鏡分類釋術》的內容，第 一節說明該書的體例結構，第二節介紹該書的內容，第三節至第五節依序分析該 書中的開平方法、開立方法及開三乘方法，最後說明顧應祥的開方論。

第一節 《測圓海鏡分類釋術》的體例結構 《測圓海鏡分類釋術》書中自序：

余自幼好習數學，晚得荊川唐太史所錄《測圓海鏡》一書，乃元翰林學士欒 城李公冶所著，雖專主於勾股求容圓容方一術，然其中間如平方、立方、三 乘方、帶從減從、益廉減廉、正隅負隅諸法，凡所謂以積求形者，皆盡之矣。

但其每條下細草，俱徑立天元一，反覆合之而無下手之術，使後學之士，茫 然無門路可入。輒不自揆，每章去其細草，立一筭術，又以其所立通勾邊股 之屬，各以類分之，語義稍繁者，略加芟損，名曰《測圓海鏡分類釋術》

¹

， 匪敢僣改前賢著述，惟以便下學云爾。」

²

這說明是顧應祥寫下《測圓海鏡分類釋術》的目的，也說明顧應祥無法理解天元 術，故而刪除有關天元術的內容。

書名中的『分類』的源由為「以其所立通勾邊股之屬，各以類分之」 ，

³

即是 由題目中已知條件所屬的勾股性質類別而分。 『釋』用以解釋題目中所給條件為 十五種勾股形的哪一邊。而『術』即為解決題目的技術及方法。由自序：

然數之為術，雖千變萬化之不同，而其要不過一開闔而已，開者除也，闔者 乘也，而又有以形求積、以積求形之，異古之為數者，有九九者，其用也，

是故用之以貿易則為粟米；用之以分別差等較量遠近則為差分、為均輸；因 其末而欲知其本則為盈朒；彼此互見則為方程；若夫以形求積則方田、商功 之類是也；以積求形則少廣、勾股之類是也；以形求積者，先得其形而後求

1 筆者本文所根據的《測圓海鏡分類釋術》版本，收錄於《中國歷代算學集成》靖玉樹編勘，濟 南：山東人民出版社，1994 年。

2 顧應祥，〈測圓海鏡分類釋術序〉，《測圓海鏡分類釋術序》。

3 同註解 2。

其積，故其為術也易；以積求形，則先得其積而後求其長短、廣狹、斜正之 形，有非乘除所能盡者，故必以商除之，然而商除亦不能盡也，而又立正負 廉隅之法，以增損附益之，故其為術也難。」

⁴

可見顧應祥認為術雖有千變萬化但其重點不過是乘除而已，用於不同的題目有不 同的名稱，而其中以形求積者易，以積求形者難，且有乘除所不能解決者，則需 要立正負廉隅之法，故書中利用許多的開方法，筆者將在本章第三節至第五節詳 細介紹書中的開方法。

茲舉書中第一卷第一問，來說名其體例：

通勾股求容圓一

甲乙二人俱在城外西北隅乾地，乙東行三百二十步，甲南行六百步，望乙與 城相叅直，問城徑。

答曰：城徑二百四十步

釋曰：此勾股求容圓也，東行為通勾，南行為通股，以通勾股求通弦和較，

弦和較即容圓徑也。

術曰：勾股相乘倍之為實，勾股求弦併勾股為弦和，和為法除之。

勾股求弦曰：勾自之得一十 O 萬二千四百為勾畀，股自之得三十六萬為 股畀，併二畀得四十六萬二千四百為弦畀，平方開之得弦六百八十，併 勾股得一千六百為弦和和，後凡言勾股求弦者，俱倣此。

其中「通勾股求容圓一」為分類，說明此類題目為通勾股形求容圓； 「答曰」為 題目答案，亦是全書中唯一的「答」 ，因全書每一題的答均相同； 「釋曰」解釋題 目中甲乙行分別為十五種勾股形中的哪一邊； 「術曰」說明如何解題及使用的解 題方法說明。

第二節 《測圓海鏡分類釋術》的內容介紹

本書包含「嘉靖二十九年沐朝弼序」 、 「自序」 、

⁵

「勾股容圓圖」 、 「測圓海鏡

4 同註解 2

5 郭書春主編的《中國科學技術典籍通彙，數學》卷二的《測圓海鏡分類釋術》中，缺少自序以

總率名號」 、 「勾股步率」及卷一至卷十共一百七十二題

⁶

。其中「勾股容圓圖」

如下圖：

「測圓海鏡總率名號」介紹十五種勾股形：

天地乾為通勾股形，天川西為邊勾股形，天山金為黃廣勾股形

⁷

，天月坤為 大差勾股形，天日旦為上高勾股形，日地北為底勾股形，日川心為皇極勾股 形，日山朱為下高勾股形，日月南為明勾股形，

⁸

月地泉為黃長勾股形，

⁹

月 川青為上平勾股形，月山泛為太虛勾股形，山地艮為小差勾股形，山川東為 叀勾股形，

¹⁰

川地夕為下平勾股形。

依序編號整理如下表：

及〈圓城圖式〉部分，茲根據國家圖書館藏「影抄明嘉靖庚戌（廿九年）沐朝弼序」善本書補 入。

6 《中國歷代算學集成》的《測圓海鏡分類釋術》中，缺少自序以及〈圓城圖式〉〈總率名號〉

〈勾股步率〉部分，茲根據郭書春主編的《中國科學技術典籍通彙，數學》卷二的《測圓海鏡 分類釋術》及國家圖書館藏「影抄明嘉靖庚戌（廿九年）沐朝弼序」善本書補入。

7 黃指的是內切圓的直徑，因為古時候把勾股形中的內切圓的外切正方形畫成黃色，因此稱該正 方形的邊長（也是圓的直徑）為黃。廣指的是勾股形的勾，黃廣弦就是指以內切圓直徑為勾的 直角三角形的弦。

8 日月合起來為明，明勾股形指的是以日月為弦的勾股形。

9 長指的是勾股形的股，黃長勾股形就是指以內切圓直徑為股的直角三角形。

10「叀」音同「專」，意義是「小」，叀勾股形是這些勾股形之中最小的一個。

勾股容圓圖

心 西

東

北

南 坤

艮 乾 巽

泉 月

青

天

日

山 川

泛 朱 金

旦

地 夕

編號 名稱 勾 股 弦 1 天地乾為通勾股形 a

1

=320 b

1

=600 c

1

=680 2 天川西為邊勾股形 a

2

=256 b

2

=480 c

2

=544 3 天山金為黃廣勾股形 a

3

=240 b

3

=450 c

3

=510 4 天月坤為大差勾股形 a

4

=192 b

4

=360 c

4

=408 5 天日旦為上高勾股形 a

₅

=120 b

₅

=225 c

₅

=255 6 日地北為底勾股形 a

6

=200 b

6

=375 c

6

=425 7 日川心為皇極勾股形 a

7

=136 b

7

=255 c

7

=289 8 日山朱為下高勾股形 a

₈

=120 b

₈

=225 c

₈

=255 9 日月南為明勾股形 a

₉

=72 b

₉

=135 c

₉

=153 10 月地泉為黃長勾股形 a

10

=128 b

10

=240 c

10

=272 11 月川青為上平勾股形 a

11

=64 b

11

=120 c

11

=136 12 月山泛為太虛勾股形 a

₁₂

=48 b

₁₂

=90 c

₁₂

=102 13 山地艮為小差勾股形 a

₁₃

=80 b

13

=150 c

13

=170 14 山川東為叀勾股形 a

14

=16 b

14

=30 c

14

=34 15 川地夕為下平勾股形 a

15

=64 b

15

=120 c

15

=136

其中的上高勾股形和下高勾股形、上平勾股形與下平勾股形，是全等的直角三角 形； 「勾股步率」將十五種勾股形的弦(c)、勾(a)、股(b)、勾股和(a+b)、勾股較(b-a)、

勾弦和(a+c)、勾弦較(c-a)、股弦和(b+c)、股弦較(c-b)、弦較和(c+(b-a))、弦較較 (c-(b-a))、弦和和(c+a+b)及弦和較(a+b-c)十三個數量一一列出；卷一至卷十之內 容分析如下：

第一卷是同一勾股形中作測望，包含十五個題目且列出十種勾股形求容圓的 公式：

通勾股求容圓一(共三題)：

1 1 1

1

2

1

c b a

b a

+ +

邊勾股求容圓二(共三題)：

2 2

2

2

2

c b

b a

+

底勾股求容圓三(共二題)：

6 6

6

2

6

c a

b a

+

皇極勾股求容圓四(一題)：

7 7 7

c b a

通勾股折中弦上求圓五(一題)：

b a

ab +

大差勾股求容圓六(一題)：

4 4 4

4

2

4

c a b

b a

+

−

小差勾股求容圓七(一題)：

) (

2

13 13 13

13 13

a b c

b a

−

−

太虛勾股求容圓八(一題) ：

12 12 12

12 12

) (

2

c b a

b a

− +

明勾股求容圓九(一題) ：

9 9

9

2

9

a c

b a

−

叀勾股求容圓十(一題) ：

14 14

14

2

14

b c

b a

−

最後提及「或問黃廣勾股，黃長勾股無求圓之法，何也？曰黃廣之勾、黃長之股 即圓徑也，故不立法。曰上下高勾股，上下平勾股何以不立法？曰上高去城遠，

下高與上平，俱不當城半，下平亦不附城，故不立法。」說明有六種勾股形未立 下公式之原因，在本卷中亦提及「帶從開方法」與「負隅開平方法」兩種開平方 法。

第二卷是已知兩勾、兩股或兩弦作測望，包含十七個題目，分為兩勾求容圓 一(共七題)、兩股求容圓二(共七題)、兩弦求容圓三(共三題)，本卷中對開方法首 次提及「負隅減從開平方法」 、 「減從開平方法」 、 「減從翻法開平方法」 、 「以從減 法開平方法」(又為「添積帶從開平方法」)四種開平方法。

第三卷是已知一勾與其他勾股形之一股作測望，包含二十二個題目，分別為 通勾與別股測望一(共三題)、底勾與別股測望二(共八題)、大差勾與別股測望三(共 二題)、小差勾與別股測望四(共三題)、明勾與別股測望五(共三題)、叀勾與別股 測望四(共三題)，卷中首次提及「帶從負隅開立方法」 、 「減從負隅翻法開平方法」 、

「帶從方廉開三乘方法」 、 「帶從廉開立方法」 、 「帶從二廉減從翻法開三乘方法」 、

「帶從減益廉翻法開立方法」 、 「帶從減廉開立方法」 、 「以從減法翻法開平方法」 、

「帶從益廉添積開三乘方法」(又為「帶從方廉減隅翻法開三乘方法」)、 「從廉減 從方負隅開三乘方法」共兩種開平方法、四種開立方法及四種開三乘方法。

第四卷是已知一勾與其他勾股形之一弦作測望，包含十九個題目，分別為通 勾與別弦立法測望一(共九題)、底勾與別弦測望二(共七題)、大差勾與別弦測望 三(一題)、明勾與別弦測望四(共二題)，卷中首次出現「帶從以廉減從開立方法」 、

「帶從廉負隅以廉隅添積開三乘方法」(又為「帶從負隅以廉隅減從開三乘方 法」)、 「帶從負隅以廉添積開立方法」(又為「帶從廉半翻法減從負隅開立方法」)、

「帶從負隅以二廉減從方開三乘方法」(「帶上廉負隅以下廉減從開三乘方法」)、

「帶從以廉減從負隅開立方法」(又為「帶從負隅以廉添積開立方法」)、 「帶從負 隅開平方法」 、 「帶從方廉開立方法」 、 「帶從方上廉以下廉減從開三乘方法」及「負 隅以從減法開平方法」共兩種開平方法、四種開立方法及三種開三乘方法。

第五卷是已知一股與其他勾股形之一弦作測望，包含十九個題目，分別為通 股與別弦測望一(共九題)、邊股與別弦測望二(共七題)、小差股與別弦測望三(一 題)、叀股與別弦測望四(共二題)，卷中首次提及「帶從廉減從方翻法開立方法」

(又為「以從廉添積開立方法」)、 「帶從廉負隅以隅減從開立方法」(又為「帶從 方廉負隅以隅添積開立方法」)、 「帶一廉負隅減從以二廉益從開三乘方法」及「帶 從益廉以二廉減從開三乘方法」(又為「帶從方廉以二廉添積開三乘方法」)共兩 種開立方法及兩種開三乘方法。

第六卷是已知一勾或一股或一弦與和或較作測望，包括二十一個題目，分別 為勾與和測望一(共五題)、勾與較測望二(一題)、股與和測望三(共四題)、股與較 測望四(一題)、弦與和測望五(共七題)、弦與較測望六(共三題)，卷中首次出現「帶 從方負隅單位開三乘方法」、「帶從方廉負隅以二廉減從翻法開三乘方法」(又為

「帶從方負隅以二廉添積開三乘方法」)及「以從添積開平方法」(又為以從減法 開平方法)共一種開平方法及兩種開三乘方法。

第七卷是以通勾股形的和為基準，搭配其他的勾股弦或和較作測望，共二十

個題目，包括通勾股和與別勾股弦測望一(共四題)、通勾股和與諸和較立法測望 二(共四題)、通勾弦和與諸和較測望三(共三題)、通股弦和與諸和較測望四(共二 題)、通弦和和與諸和較測望五(共五題)、通弦和和與別弦測望六(共二題)，卷中 提及「負隅帶益廉減從開立方法」(又為「帶從負隅添積開立方法」)一種開立方 法。

第八卷是以各邊的和與較來作測望，包括十七個題目，分別為諸和立法測望 一(共七題)、諸和與較參互立法測望二(一題)、諸和與較參互立法三(共九題)，卷 中提到「帶從方廉隅筭以二廉減從開三乘方法」(又為「帶從方廉隅以二廉添積 開三乘方法」)及「帶從減從廉開立方法」一種開立方法及一種開三乘方法。

第九卷是討論已知各較求容圓徑，包含八個題目，為諸較參互立法(共八題)，

卷中提及「帶從廉隅添積開三乘方法」(「帶從方一廉添積以二廉為法開三乘方 法」)一種開三乘方法。

第十卷牽涉邊長的比例問題，一共十四題，為和較參互帶分測望(共十四題)。

分析這十卷的編排順序，首先顧應祥保留十種容圓公式，再來按照兩勾、兩 股、兩弦的性質，之後是以勾股、勾弦、股弦作計算，再加入勾股和較形式，最 後兩卷是綜合題型的複雜題目。題目由易至難，題型由簡至繁，如此從教學或推 廣的目的來看，是比較適合的，符合顧應祥寫書的目的「惟以便下學云爾」 。

這十卷總共有一百七十二題，而題目的來源，除了從《測圓海鏡》給予重新 分類解釋之外，還有幾題是顧應祥所增補加入的：

1、甲出西門南行，不知步數而立，乙穿城東行二百五十六步見之，乃斜行 五百四十四步相會，問城徑？

此題是列在第一卷第六題「邊勾股求容圓二」之中，只是利用到已知勾 a

2

、 弦 c

₂

解出股 b

₂

的長度，再求容圓徑，

) (

2

2 2

2 2

c b

b a

+

。

2、甲、乙俱在城外西北乾隅，甲南行不知步數而立，乙東行三百二十步見

之，甲又斜行與乙相會，計甲直行斜行共一千二百八十步，問城徑？

此題是列在第六卷第一題「勾與和測望一」之中，是利用到已知勾與股弦和，

解出股與弦的長度，

1 1

2 1

c b

a

+

=c

₁

-b

₁

，再求容圓徑。

3、乙出東門南行，丙出南門東行，各不知步數而立，只云：丙行多於乙步，

甲從乾隅東行三百二十步，望乙丙與城相參直，計乙丙共行一百零二步，問城徑？

此題是列在第六卷第三題「勾與和測望一」之中。顧應祥所用到的方式，是 列出相當於下式的三次方程式

2

1

x³-a₁x² +（a₁₄＋b15）×a1x=2（a₁₄＋b15）×a1

，使 用帶從負隅以廉減從開立方法來求解。

4、甲、乙俱在城外西北乾隅，甲南行不知步數而立，乙東行三百二十步見 之，甲又斜行與乙相會，乙直行不及斜行八十步。

此題是列在第六卷第六題「勾與較測望二」之中，是利用到已知勾與股弦較，

解出股與弦的長度，

1 1

2 1

b c

a

−

=c

1

+b

1

，再求容圓徑。

5、甲、乙二人俱在城外西北乾隅，甲南行六百而立，乙東行不知步數見之，

又斜行與甲相會，計乙直斜共行一千步，問城徑？

此題是列在第六卷第七題「股與和測望三」之中，是利用到已知股與勾弦和，

解出勾與弦的長度，

1 1

2 1

c a

b

+

=c

1

-a

1

，再求容圓徑。

6、甲、乙二人俱在城外西北乾隅，甲南行六百步而立，乙東行不知步數見 之，又斜行與甲相會，計乙直行不及斜三百六十步，問城徑？

此題是列在第六卷第十一題「股與較測望四」之中，是利用到已知股與勾弦

較，解出勾與弦的長度，

1 1

2 1

a c

b

−

=c

₁

+a

₁

，再求容圓徑。

7、甲、乙俱在城外西北乾隅，乙向南行不知步數而立，甲向東行亦不知步

數見之，遂斜行與六百八十步與乙會，計甲之東與乙之南共九百二十步，問城徑？

此題是列在第六卷第十二題「弦與和測望五」之中，是利用到已知弦與勾股 和，解出勾與股的長度， (

1 1

)

²

2

2

c1 − a +b

=b

1

-a

1

，再求容圓徑。

由此可知，顧應祥所增加的題目，多是勾股運算的基本題型，目的是在於讓 讀者能夠先熟悉這些基本的運算。

另外，第七卷第十九題：

甲丙二人俱在城外西北乾隅，甲東行、丙南行，乙、丁二人俱在城中心，乙 穿城往東門外，丁穿城往南門外直行，各不知步數而立，四人遙相望俱與 城相叅直，既而丙向東北斜行與甲會，甲東行與丙一直一斜共一千六百 步，丁亦從南門外立處斜行二百八十九步與乙相會，問城徑。

及第十卷第十四題：

甲出南門直行不知步數而立，乙出東門直行見之，甲云我行不及股圓差二十 四分之一十五，乙云我行不及勾圓差五分之四，又云甲直行多於乙直行一 百一十九步，二差相較二百八十步，問城徑。

這兩題未給出解法是顧應祥的一個疏忽，更是留下一個敗筆之處。

第三節《測圓海鏡分類釋術》的開平方法

在此書十卷中提及了開平方法十一種、開立方法十二種及開三乘方法十三 種，共計有三十六種開方法，此為顧應祥在本書中的最大貢獻。在數學衰退的十 五、十六世紀的明朝，他保存了各式各樣的開方法細草，雖然無法與宋元「增乘 開方法」的簡潔相提並論，但在明朝的算書中，均未提及「增乘開方法」如何操 作。在顧應祥這個時期， 「增乘開方法」可能已經失傳。

顧應祥為何在書中論及傳統的開方法，乃因為李冶在《測圓海鏡》雖有列出 方程式的詳細方法，但卻未交代何謂天元一、如何立天元一、及如何詳細解方程 式，而造成顧應祥的「其每條下細草，俱徑立天元一，反覆合之而無下手之術。」

不過，也有可能他無法理解「立天元一」 ，所以顧應祥將每題中的方程式，用傳

統開方法加以詳細分析解題， 「以便下學云爾」 。在本章的第三節至第五節中將詳

細介紹書中的各種開方法，以現代的代數符號將書中的解法依步驟列出，再以書 中題目加以驗算。

書中提及的開平方法依出現順序有帶從開方法、負隅開平方法、負隅減從開 平方法、減從開平方法、減從翻法開平方法、以從減法開平方法(又為添積帶從 開平方法)、帶從負隅開平方法、減從負隅翻法開平方法、以從減法翻法開平方 法、負隅以從減法開平方法、以從添積開平方法(又為以從減法開平方法)共十一 種；茲將解法分別列表如下，以方便說明：

(一)帶從開平方法(x

²

+bx=s)：一次項係數稱為「從」 ， 「帶從」則代表有一次項且 係數為正，其解法步驟如下表：

商 實 從 下法 廉法 說明

A s b

列實於左 約初商

B x

1

s b b+x

1

初商 x1置一於左上為法 置一為 隅法帶從方為下法

C x

₁

s-(b+x

₁

)x

₁

b b+x

₁ 上法乘下法除實

D x

1

s-(b+x

1

)x

1

b 2x

1 倍隅法為廉法

E x

1

+x

2

s-(b+x

1

)x

1

b b+2x

1

+x

2

2x

1

次商 x2置一於左次為上法 置一 為隅法併從方廉法為下法

F x

1

+x

2

s-(b+x

1

)x

1

-(b+2x

1

+x

2

)x

2

b b+2x

1

+x

2 下法與上次法相乘除實盡

過程中， 「隅法」為將以商為底，以最高次減 1 為次方，所求之數再乘以最高次 之係數； 「廉法」為隅法乘以 2(即(a+b)

²

=a

²

+2ab+b

²

中的 2)。此法最先出現在第一 卷第二題，以解該題 x

²

+720x=230400 為例：

商 實 從(從方) 下法 廉法 說明

A 230400 720

B 200 230400 720 920

初商 200 720+200=920

C 200 46400 720 920

230400-920×200=46400

D 200 46400 720 400

2×200=400

E 240 46400 720 1160 400

次商 40 720+400+40=1160

F 240 0 720 1160

46400-1160×40=0

(二)負隅開平方法(ax

²

=s)： 「隅」為最高次項係數， 「負隅」並非代表最高次係數 為負數，而是表示最高次係數絕對值不是一，解題過程如下：

商 實 隅 下法 廉法 說明

A s a

布實於左 約初商

B x

1

s a ax

1 初商 x1置一於左上為法 置一

乘隅(法)為隅法

C x

₁

s- ax

₁²

a ax

₁ 上法乘隅法除實

D x

1

s- ax

12

a 2ax

1 倍隅法為廉法

E X

1

+x

2

s- ax

12

a a+2ax

1

+ax

2

2ax

1

次商 x2置一於左次為上法 置 一乘隅筭併廉法為下法

F X

1

+x

2

s- ax

12

-( a+2ax

1

+ax

2

)x

2

a a+2ax

1

+ax

2 下法與上次法相乘除實盡

此法第一次出現在第一卷第八題，以解 1250x

²

=18000000 為例：

商 實 隅(筭) 下(隅)法 廉法 說明

A 18000000 1250

B 100 18000000 1250 125000

初商 100 1250*100=125000

C 100 5500000 1250 125000

18000000-1250*100=5500000

D 100 5500000 1250 250000

2*125000=250000

E 120 5500000 1250 275000 250000

次商 20 250000+1250*20=275000

F 120 0 1250 275000

5500000-275000*20=0

(三) 負隅減從開平方法(-ax

²

+bx =s)： 「負隅減從」以隅減從的意思，所以最高次 係數為負數，解法如下：

商 實 隅 從 下法 廉法 說明

A s a b

布實于左 約初商

B x

1

s a b b-ax

1

初商 x1置一於左上為法 置一隅因為 隅法以減從方為下法

C x

1

s-(b-ax

1

)x

1

a b b-ax

1 上法乘下法除實

D x

1

s-(b-ax

1

)x

1

a b 2ax

1 倍隅法為廉法

E x

₁

+x

₂

s-(b-ax

₁

)x

₁

a b b-(2ax

₁

+ax

₂

) 2ax

₁^{次商 x2}置一於左次為上法 置一隅因 為隅法併廉法以減原從為下法

F x

1

+x

2

s-(b-ax

1

)x

1

-[b-

(2ax

₁

+ax

₂

)]x

₂

a b b-(2ax

1

+ax

2

)

下法與上次法相乘除實盡

此法首次在第二卷第三題出現，以解-4x

²

+1248x=92160 為例

商 實 隅 減從 下法 廉法 說明

A 92160 4 1248

B 100 92160 4 1248 848

初商 100 1248-4*100=848

C 100 7360 4 1248 848

92160-848*100=7360

D 100 7360 4 1248 800

2*100=200

E 120 7360 4 1248 368 800

^{次商 20}

1248-(800+4*20)=368

F 120 0 4 1248 368

7360-20*368=0

(四) 減從開平方法(-x

²

+bx =s)： 「減從」即以法減從之意，故二次項係數為-1，解 題過程如下：

商 實 從 下法 廉法 說明

A s b

布實于左 約初商

B x

₁

s b b-x

₁ ^{初商 x1}置一於左上為法 置一為

隅法以減從方為下法

C x

1

s-(b-x

1

)x

1

b b-x

1 上法乘下法除實

D x

1

s-(b-x

1

)x

1

b 2x

1 倍隅法為廉法

E x

1

+x

2

s-(b-x

1

)x

1

b b-(2x

1

+x

2

) 2x

1

次商 x2置一於左次為上法 置一 為隅法併廉法以減原從為下法

F x

₁

+x

₂

s-(b-x

₁

)x

₁

-[b-(2x

₁

+x

₂

)]x

₂

b b-(2x

₁

+x

₂

)

下法與上次法相乘除實盡

此法最先在第二卷第六題出現，以解-x

²

+400x =33600 為例：

商 實 減從 下法 廉法 說明

A 33600 400

B 100 33600 400 300

初商 100 400-100=300

C 100 3600 400 300

33600-300*100=3600

D 100 3600 400 200

2*100=200

E 120 3600 400 180 200

次商 20 400-(200+20)=180

F 120 0 400 180

3600-180*20=0

(五)減從翻法開平方法(-x

²

+bx =s)， 「翻法」過程中出現負積、負從，其餘過程與 減從開平方法相同。

(六)以從減法開平方法(x

²

-bx=s)：顧名思義，以一次項減二次項，則從為負數，

二次項係數為正數，解法如下：

商 實 從 下法 廉法 說明

A s b

布實于左 約初商

B x

1

s b x

1

-b

^{初商 x1}置一於左上為法 置一為 隅法以從減隅為下法

C x

1

s-(x

1

-b)x

1

b x

1

-b

上法乘下法除實

D x

₁

s-(x

₁

-b)x

₁

b 2x

₁ 倍隅法為廉法

E x

1

+x

2

s-(x

1

-b)x

1

b (2x

1

+x

2

)-b 2x

1

次商 x2置一於左次為上法 置一 為隅法併廉法以減原從為下法

F x

1

+x

2

s-(x

1

-b)x

1

-[(2x

1

+x

2

)-b]x

2

b (2x

1

+x

2

)-b

下法與上次法相乘除實盡

出現於第二卷第十四題，以解 x

²

-60x=7200 為例：

商 實 從 下法 廉法 說明

A 7200 60

B 100 7200 60 40

初商 100 100-60=40

C 100 3200 60 40

7200-40*100=3200

D 100 3200 60 200

2*100=200

E 120 3200 60 160 200

次商 20 (200+20)-60=160

F 120 0 60 160

3200-160*20=0

又為添積帶從開平方法(x

²

+bx=s+x

²

)：原文中以從減法開方法(x

²

-ax=s)，又為添

積帶從開方法，應為 x

²

=s+bx 才是，在第六卷第十六題中，亦有說明「以從減法 開平方法，又為以從添積開平方」 ，由此可證明在第二卷第十四題中出現的添積 帶從開方法 x

²

+bx=s+x

²

確實是誤筆，雖解出答案無誤，但卻為巧合，且其名應 為以從添積開平方，其原文解題過程如下：

商 實 從 下法 廉法 說明

A s b

列實於左 約初商

B x

1

s+x

12

b b+x

1

初商 x1置一於左上為法 置一為隅法 乘上法為益實 置一帶從方為下法

C x

1

s+x

12

-(b+x

1

)x

1

b b+x

1 上法乘下法除實

D x

1

s+x

12

-(b+x

1

)x

1

b 2x

1 倍隅法為廉法

E x

1

+x

2

s+x

12

-(b+x

1

)x

1

+

(2x

₁

+x

₂

)x

₂

b b+2x

1

+x

₂

2x

1

次商 x2置一於左次為上法 置一為隅 法併廉法乘上次法為益實 置一併廉

法從方為下法

F x

1

+x

2

s+x

12

-(b+x

1

)x

1

+ (2x

1

+x

2

)x

2

-( b+2x

1

+x

2

)x

2

b b+2x

1

+x

2

下法與上次法相乘除實盡

其中「益實」即為加入原實之數，以解 x

²

+60x=7200+x

²

為例：

商 實 從 下法 廉法 說明

A 7200 60

B 100 17200 60 160

初商 100 7200+100*100=17200 60+100=160

C 100 1200 60 160

17200-160*100=1200

D 100 1200 60 200

2*100=200

E 120 5600 60 280 200

次商 20 1200+(200+20)*20=5600 60+200+20=280

F 120 0 60 280

5600-280*20=0

(七) 帶從負隅開平方法(ax

²

+bx=s)：一次項、二次項係數均為正數，且二次項係 數不為 1，解題過程如下：

商 實 隅 從 下法 廉法 說明

A s a b

布實于左 約初商

B x

₁

s a b ax

₁

+b

^{初商 x1}置一於左上為法 置一乘 隅筭為隅法併從方為下法

C x

₁

s-(ax

₁

+b)x

₁

a b ax

₁

+b

下法乘上法除實

D x

1

s-(ax

1

+b)x

1

a b 2ax

1 倍隅法為廉法

E x

1

+x

2

s-(ax

1

+b)x

1

a b

(2ax

1

+ax

2

)+b 2ax

1

次商 x2置一於左次為上法 置一 乘隅筭為隅法併從方廉法為下法

F x

1

+x

2

s-(ax

1

+b)x

1

- [(2ax

1

+ax

2

)+b]x

2

a b (2ax

1

+ax

2

)+b

下法與上法相乘除實盡

第一次出現在第四卷第十題，以解 2x

²

+1360x=192000 為例：

商 實 隅 從 下法 廉法 說明

A 192000 2 1360

B 100 192000 2 1360 1560

初商 100 2×100+1360=1560

C 100 36000 2 1360 1560

192000-1560×100=36000

D 100 36000 2 1360 400

2×200=400

E 120 36000 2 1360 1800 400

次商 20 2×20+400+1360=1800

F 120 0 2 1360 1800 400

36000-1800×20=0

(八)減從負隅翻法開平方法(-ax

²

+bx=s)， 「翻法」過程中出現負積、負從，其餘過 程與負隅減從開方法同。

(九)以從減法翻法開平方法(x

²

-bx=s)， 「翻法」過程中出現負積、負從，其餘過程 與以從減法開平方法相同。

(十)負隅減法開平方法(ax

²

-bx=s)： 「減法」即「以從減法」 ，故二次項係數為正數，

但不為 1，一次項係數為負數，解題如下：

商 實 隅 從 下法 廉法 說明

A s a b

布實于左 約初商

B x

₁

s a b ax

₁

-b

^{初商 x1}置一於左上為法 置一乘 隅法以減去從方為下法

C x

1

s-(ax

1

-b)x

1

a b ax

1

-b

下法乘上法除實

D x

1

s-(ax

1

-b)x

1

a b 2ax

1 倍隅法為廉法

E x

1

+x

2

s-(ax

1

-b)x

1

a b

(2ax

1

+ax

2

)-b 2ax

1

次商 x2置一於左次為上法 置一 乘隅法併廉法減去從方為下法

F x

1

+x

2

s-(ax

₁

-b)x

₁

-

[(2ax

₁

+ax

₂

)-b]x

₂

a b (2ax

1

+ax

2

)-b

下法與上法相乘除實盡

在第四卷第十八題首次出現，以解 8x

²

-448x=61440 為例：

商 實 隅 從 下法 廉法 說明

A 61440 8 448

B 100 61440 8 448 352

初商 100 8×100-448=352

C 100 61440 8 448 352

61440-352×100=26240

D 100 26240 8 448 1600

2×800=1600

E 120 26240 8 448 1800 1600

次商 20 8×20+1600-448=1312

F 120 0 8 448 1800 1600

26240-1312×20=0

(十一)以從添積開平方法(x

²

=bx+s)： 「添積」解題過程中，積不減反增， 「以從添 積」以一次項加入原積中，過程如下：

商 實 從 下法 廉法 說明

A s b

布實于左 約初商

B x

1

s+bx

1

b x

1

初商 x1置一於左上為法 置一乘從為益積 添入原積為實 置一為隅法

C x

1

s+bx

1

-x

12

b x

1 隅法乘上法除實

D x

₁

s+bx

₁

-x

₁²

b 2x

₁ 倍隅法為廉法

E x

1

+x

2

s+bx

1

-x

12

+bx

2

b 2x

1

+x

2

2x

1

次商 x2置一於左上為法 置一乘從方為益 實添入餘積為實 置一併廉法為下法

F x

1

+x

2

s+bx

1

-x

12

+bx

2

- (2x

1

+x

2

)x

2

b 2x

1

+x

2 下法與上法相乘除實盡

過程中， 「益」即為增加之意。首次出現應為第二卷第十四題，但因顧應祥誤筆，

故以第六卷第十六題解 x

²

=155x+20400 為例：

商 實 從 下法 廉法 說明

A 20400 155

B 200 51400 155 200

初商 200 20400+155×200=51400

C 200 11400 155 200

51400-200×200=11400

D 200 11400 155 400

2×200=400

E 240 18600 155 440 400

次商 40 11400+155×40=18600 400+40=440

F 240 0 155 440

18600-440×40=0

總括來說，書中的開方法幾乎已經將所有形式的一元二次方程式解出，不論 是 x

²

+bx=s(帶從)，-x

²

+bx=s(減從)，bx=x

²

+s(添積)，x

²

-bx=s(以從減法)，x

²

=bx+s(以 從添積)，ax

²

+bx=s(負隅帶從)，-ax

²

+bx=s(負隅減從)，bx=ax

²

+s(負隅添積)，ax

²

-bx=s(負 隅以從減隅)，ax

²

=bx+s(以從添積負隅)，除了二次項及一次項均為負數的二次方 程，共計有十種一元二次方程式。但前文中卻說明有十一種，乃因有些題目在解 題過程中出現負數，而加入「翻法」二字為名，其解法與原方法均相同，且文中 亦強調「減從」或「添積」可以互換， 「減從術」與「添積術」(或為「益積術」) 可解同一題目； 「以從減法」及「以從添積」亦可隨意運用，可見顧應祥對此兩 種方法運用自如。

第四節《測圓海鏡分類釋術》的開立方法

本書提及的開立方法依序有帶從負隅開立方法、帶從廉開立方法、帶從減益

廉翻法開立方法、帶從減廉開立方法、帶從以廉減從開立方法、帶從負隅以廉添

積開立方法(又為帶從廉半翻法減從負隅開立方法)、帶從以廉減從負隅開立方法

(又為帶從負隅以廉添積開立方法)、帶從方廉開立方法、帶從廉減從方翻法開立

方法(又為以從廉添積開立方法)、帶從廉負隅以隅減從開立方法(又為帶從方廉負

隅以隅添積開立方法)、負隅帶益廉減從開立方法(又為帶從負隅添積開立方法)、

帶從減從廉開立方法共十二種；茲分別列表如下，以方便解說：

(一)帶從負隅開立方法(ax

³

+cx=s)：沒有二次項，只有三次項及一次項有正的係 數，解題過程如下：

商 實 隅 從方 下法 方法 廉法 說明

A s a c

布實於左 以從方約之定

首位

B x

1

s a c ax

12

+c

初商 x1置一於左上為法 置一自之隅因為隅法 併

從方為下法

C x

₁

s-(ax

₁²

+c)x

₁

a c ax

₁²

+c

下法 與上法相乘除實

D x

1

s-(ax

12

+c)x

1

a c 3ax

12

3ax

1

三因隅法為方法 三因初 商又以隅筭因之為廉法

E x

1

+x

2

s-(ax

12

+c)x

1

a c ax

22

+3ax

1

x

2

+3ax

12

+c 3ax

12

3ax

1

x

2

次商 x2 置一於左次為上 法 置一乘廉法 置一自 之隅因為隅法 併方法從

方廉隅為下法

F x

1

+x

2

s-(ax

12

+c)x

1

- [ ax

22

+3ax

1

x

2

+ 3ax

12

+c]x

2

a c ax

22

+3ax

1

x

2

+3ax

₁²

+c

下法與上法相乘除實盡

其中「隅法」為將以商為底，以最高次減 1 為次方，所求之數再乘以最高次之係 數； 「方法」為隅法乘以 3(即(a+b)

³

=a

³

+3a

²

b+3ab

²

+b

³

中 3a

²

b 的 3)； 「廉法」為初 商乘以最高次係數再乘以 3(即(a+b)

³

=a

³

+3a

²

b+3ab

²

+b

³

中 3ab

²

的 3)。此法最初在 第三卷第二題出現，以解 2x

³

+86400x=13824000 為例：

商 實 隅 從方 下法 方法 廉法 說明

A 13824000 2 86400

B 100 13824000 2 86400 106400

^{初商 100}

2×100²+86400=106400

C 100 384000 2 86400 106400

13824000-106400×100=3184000

D 100 384000 2 86400 60000 600

3×20000=60000 3×100×2=600

E 120 384000 2 86400 159200 60000 600

次商 20

2×20²+20×600+60000+86400

=159200

F 120 0 2 86400 159200

384000-159200×20=0

(二)帶從廉開立方法(x

³

+bx

²

=s)：稱二次項係數為「從廉」 ，所以此型態無一次項，

解題如下：

商 實 從

廉 下法 方法 廉法 說明

A s b

^{所得立積為實 以從廉}

约之

B x

₁

s b x

₁²

+bx

₁

初商 x1 置一於左上為 法 置一乘從廉置一自 之為隅法 併從廉為下 法

C x

1

s-( x

12

+bx

1

)x

1

b x

12

+bx

1 下法與上法相除實

D x

₁

s-( x

₁²

+bx

₁

)x

₁

b 2bx

₁

+3x

₁²

3x

₁

+b

倍從廉 三因隅法相併 為方法 三因初商帶從 廉為廉法

E x

₁

+x

₂

s-( x

₁²

+bx

₁

)x

₁

b x

₂²

+(3x

₁

+b)x

₂

+2bx

₁

+3x

₁²

2bx

₁

+3x

₁²

3x

₁

+b

次商 x2 置一於左次為 上法 置一乘廉法 置一 自之為隅法 併方廉隅 為下法

F x

1

+x

2

s-( x

12

+bx

1

)x

1

- [ x

₂²

+(3x

₁

+b)x

₂

+

2bx

1

+3x

12

]x

2

b x

22

+(3x

1

+b)x

2

+2bx

1

+3x

12 下法與上法相乘除實盡

過程中「方法」為商乘以二次項係數乘 2(即(a+b)

²

=a

²

+2ab+b

²

中 2ab 的 2)，再加上 隅法乘以 3(即(a+b)

³

=a

³

+3a

²

b+3ab

²

+b

³

中 3a

²

b 的 3)； 「廉法」為商乘以 3(即

(a+b)

³

=a

³

+3a

²

b+3ab

²

+b

³

中 3ab

²

的 3)加上二次項係數；雖與之前所述不同，但因下一 步驟之下法相同，故無礙。此法首次出現在第三卷第八題，以解 x

³

+135x

²

=21600000 為例：

商 實 從

廉 下法 方法 廉法

說明 A 21600000 135

B 200 21600000 135 67000

^{初商 200}

200²+200×135=67000

C 200 8200000 135 67000

21600000-67000×200=8200000

D 200 8200000 135 174000 735

2×27000+3×40000=174000 3×200+135=735

E 240 8200000 135 2005000 174000 735

^{次商 40}

40²+735×40+174000=2005000

F 240 0 135 2005000

8200000-2005000×40=0

(三)帶從減益廉翻法開立方法(-x

³

+bx

²

-cx=s)： 「帶從減益廉」為以三次項與一次項

的和減二次項，故三次項及一次項係數為負數，二次項為正數， 「翻法」 ，過程中

出現負積，解題如下：

商 實 益

廉 從 下法 方 法

廉

法 說明

A s b c

所得實 以從方廉約之

B x

1

s b c bx

1

-( x

12

+c)

初商 x1 置一於左為法 置一乘 從廉 置一自之為隅法 帶從方 以減益廉餘為下法

C x

₁

s-[bx

₁

-( x

₁²

+c)]x

₁

b c bx

₁

-( x

₁²

+c)

下法與上法相乘除實 實不滿 法 反減實餘為負積

D x

1

s-[bx

1

-( x

12

+c)]x

1

b c 3x

12

3x

1

倍益廉 三因隅法為方法 三因 初商為廉法

E x

1

+x

2

s-[bx

1

-( x

12

+c)]x

1

b c

bx

2

+2bx

1

- (x

22

+3x

1

x

2

+ 3x

12

) 3x

12

3x

1

次商 x2 置一於左次為上法 置 一乘益廉併入倍益廉 置一乘 廉法 置一自之為隅法 併方從 方廉隅 反減益廉為下法

F x

1

+x

2

s-[bx

1

-( x

12

+c)]x

1

-[bx

2

+2bx

1

- (x

22

+3x

1

x

2

+ x

12

)]

x

2

b c

bx

₂

+2bx

₁

- (x

22

+3x

1

x

2

+ 3x

12

)

下法與上法相乘除實盡

第一次出現在第三卷第十一題，以解-x

³

+140x

²

-900x=180000 為例：

商 實 益廉 從 下法 方法 廉法 說明

A 180000 140 900

B 100 180000 140 900 3100

^{初商 100}

140×100-(100²+900)=3100

C 100 -130000 140 900 3100

180000-3100×100=-130000

D 100 -130000 140 900 30000 300

2×14000=28000 3×10000=30000 3×100=300

E 120 -130000 140 900 -6500 30000 300

次商 20

20×140+28000-(20²+300×20+

30000)=-6500

F 120 0 140 900 -6500

-130000-(-6500)×20=0

(四)帶從減廉開立方法(-x

³

+bx

²

-cx=s)，同帶從減益廉翻法開立方法，惟計算過程中 未出現負數而已。

(五)帶從以廉減從開立方法(x

³

-bx

²

+cx=s)：以二次項減一次項，故只有二次項係數 為負數，過程如下：

商 實 益

廉 從 下法 方法 廉法 說明

A s b c

布實於左 從於右 別置

減從廉

B x

₁

s b c x

₁²

+(c-bx

₁

)

初商 x1 置一於左上為法 置一乘從廉以減從方餘 置一自之併餘從為下法

C x

₁

s-[x

₁²

+(c-bx

₁

)]x

₁

b c x

₁²

+(c-bx

₁

)

下法與上法相乘除實

D x

1

s-[x

12

+(c-bx

1

)]x

1

b c 3x

12

3x

1

倍減廉 三因隅法為方法 三因初商為廉法

E x

1

+x

2

s-[x

12

+(c-bx

1

)]x

1

b c

x

₂²

+3x

₁

x

₂

+3 x

12

+[c-(bx

2

+2bx

₁

)]

3x

12

3x

1

次商 x2 置一於左次為上 法 置一乘減廉併倍廉 以 減原 從 置 一乘 廉法 置一自之為隅法 併方廉 隅 帶餘從為下法

F x

₁

+x

₂

s-[bx

₁

-( x

₁²

+c)]x

₁

-{x

₂²

+3x

₁

x

₂

+3x

₁²

+[c-(bx

₂

+2bx

₁

)]}

x

₂

b c x

22

+3x

1

x

2

+3 x

₁²

+[c-(bx

₂

+2bx

₁

)]

下法與上法相乘除實盡

此法最初在第四卷第一題出現，以解 x

³

-320x

²

+132800x=13056000 為例：

商 實 廉 從 下法 方法 廉法 說明

A 13056000 320 1328000

B 100 13056000 320 1328000 110800

初商 100

100²+(1328000-320×100)

=110800

C 100 1976000 320 1328000 110800

13056000-110800×100=1976000

D 100 1976000 320 1328000 30000 300

2×32000=64000 3×10000=30000 3×100=300

E 120 1976000 320 1328000 98800 30000 300

次商 20

20²+300×20+30000+[1328000- (320×20+64000)]=98800

F 120 0 320 1328000 98800

1976000-98800×20=0

(六)帶從負隅以廉添積開立方法(ax

³

+cx=bx

²

+s)：以二次項加入原積，解題如下：

商 實 隅 益

廉 從 下法 方法 廉

法 說明

A s a b c

置所得立方實於左 以從方

益廉隅筭约之

B x

₁

s+bx

₁²

a b c ax

₁²

+c

初商 x1置一於左上為法 置 一乘益廉與上法相乘為益 實 添入積內為通實 置一 自之又以隅筭因之為隅法 併從方為下法

C x

1

s+bx

12

-( ax

12

+c)x

1

a b c ax

12

+c

下法與上法相乘除實

D x

1

s+bx

12

-( ax

12

+c)x

1

a b c 3ax

12

3x

1二因乘過益廉得為益廉 三

因隅法為方法 三因初商為 廉法

E x

1

+x

2

s+bx

12

-( ax

12

+c)x

1

+(bx

₂

+2bx

₁

)x

₂

a b c

ax

₂²

+3ax

₁

x

₂

+3ax

₁²

+c

3ax

12

3x

1

次商 x2置一於左上為法 置 一乘原益廉併入乘過益廉 與上法相乘為益實 添入次 實為通實 置一乘廉法隅因 置一自之隅因為隅法 併方 廉隅帶從方為下法

F x

1

+x

2

s+bx

12

-( ax

12

+c)x

1

+(bx

2

+2bx

1

)x

2

-( ax

₂²

+3ax

₁

x

₂

+3ax

12

+c)x

2

a b c

ax

22

+3ax

1

x

2

+3ax

12

+c

下法與上法相乘除實盡

在第四卷第五題首次出現，以解 4x

³

+270080x=1280x

²

+20889600 為例：

商 實 隅 益廉 從 下法 方法 廉法 說明 A 20889600 4 1280 270080

B 100 33689600 4 1280 270080 310080

初商 100

20889600+1280×100²

=33689600

4×100²+270080=310080

C 100 2681600 4 1280 270080 310080

33689600-310080×100

=2681600

D 100 2681600 4 1280 270080 120000 300

2×128000=256000

3×40000=120000 3×100=300

E 120 8313600 4 1280 270080 415680 120000 300

次商 20 2681600+(1280×

20+256000)×20=8313600 4×20²+4×300×20+120000 +270080=415680

F 120 0 4 1280 270080 415680

8313600-415680×20=0

又為帶從廉半翻法減從負隅開立方法(ax

³

-bx

²

+cx=s)： 「半翻法」過程中出現負從，

但未出現負積，過程如下：

商 實 隅 從

廉 從 下法 方法 廉

法 說明

A s a b c

置所得立方實於左 以從

方益廉隅筭约之

B x

1

s a b c ax

12

+(c-bx

1

)

初商 x1置一於左上為法 置一乘從廉以減從方 置 一自之隅因為隅法 併減 餘從方為下法

C x

₁

s-[ax

₁²

+(c-bx

₁

)]x

₁

a b c ax

₁²

+(c- bx

₁

)

下法與上法相乘除實

D x

₁

s-[ax

₁²

+(c-bx

₁

)]x

₁

a b c 3ax

₁²

3x

₁二因從廉 三因隅法為方

法 三因初商為廉法

E x

₁

+x

₂

s-[ax

₁²

+(c-bx

₁

)]x

₁

a b c

ax

₂²

+3ax

₁

x

₂

+3ax

₁²

+[c-(b

x

₂

+2bx

₁

)] 3ax

₁²

3x

₁

次商 x2置一餘左次為上法 置一乘從廉得併入前二因 從廉 以減從方不及 反減 從方餘為負從 置一乘廉 法以隅因 置一自之隅因 為隅法 併方廉隅 反減負 從 餘為下法

F x

₁

+x

₂

s-[ax

₁²

+(c-bx

₁

)] x

₁

-{ ax

22

+3ax

1

x

2

+3ax

12

+[c-(bx

2

+2 bx

₁

)]}x

₂

a b c

ax

₂²

+3ax

₁

x

₂

+3ax

12

+[c-(b

x

2

+2bx

1

)]

下法與上法相乘除實盡

出現在第四卷第五題，以解 4x

³

-1280x

²

+270080x=20889600 為例：

商 實 隅 從廉 從 下法 方法 廉法 說明 A 20889600 4 1280 270080

B 100 20889600 4 1280 270080 182080

初商 100 ×100²+(270080-1280

×100)=182080

C 100 2681600 4 1280 270080 182080

20889600-182080×100=2681600

D 100 2681600 4 1280 270080 120000 300

2×128000=256000

3×40000=120000 3×100=300

E 120 2681600 4 1280 270080 134080 120000 300

次商 20 4×20²+4×300×20+

120000+[270080-(1280×20+

256000)=134080

F 120 0 4 1280 270080 124080

2681600-134080×20=0

(七)帶從以廉減從負隅開立方法(ax

³

-bx

²

+cx=s) (又為帶從負隅以廉添積開立方法) (第四卷第八題)，同帶從廉半翻法減從負隅開立方法，而計算過程中沒有出現負 從。

(八)帶從方廉開立方法(x

³

+bx

²

+cx=s)：帶有二次項及一次項且係數均為正數：過程 如下：

商 實 從

廉 從 下法 方法 廉

法 說明

A s b c

置實于左 以從方從廉约之

B X

1

s b c x

12

+bx

1

+c

初商 x1 置一於左上為法 置一 乘從廉 置一自之為隅法 併從 方從廉隅為下法

C X

1

s-(x

12

+bx

1

+c)x

1

b c x

12

+bx

1

+c

下法與上法相乘除實

D X

1

s-(x

12

+bx

1

+c)x

1

b c 3x

12

+ 3x

1二因從廉 三因隅法 相併為方