「表」裡如「一」─ 探討正角柱體的高及底面邊長對比表面積之影響

金門地區第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

科 別：數學科 組 別：國小組

作品名稱：「表」裡如「一」─ 探討正角柱體的高及底面邊長對比表 面積之影響

關 鍵 詞：正角柱體、體積與表面積、比表面積（最多 3 個）

編 號：

作品名稱：

「表」裡如「一」─ 探討正角柱體的高及底面邊長對比表面積之影響

摘要

本研究挑選正三角柱、正四角柱、正五角柱及正六角柱，計算並比較這 些正角柱體在相同高或相同底面邊長的體積、表面積及比表面積。

正角柱體有高和底面邊長兩種變項，因此先研究在同種正角柱體中，高 和底面邊長對比表面積造成的影響。之後再比較不同正角柱體在相同高和底 面邊長的情況下，比表面積有何關聯。

在計算過程中，我們發現每種正角柱體都會隨著高或底面邊長的增加，

使比表面積變大，且在相同情況下，底面邊數越多的正角柱體，會有越佳的

比表面積。另外，每一種正角柱體不論底面邊長為多少，柱體高度都需要大

於 2，比表面積才會大於 1。進而發現正角柱體的高非常關鍵，甚至能限制

其比表面積的最大值，正角柱體的高為 h，比表面積趨近

。

壹、 研究動機

一、尋找立體圖形體積與表面積的關係

計算體積及表面積的題目時，有時候發現立體圖形的體積會比表面積大，

但有時候體積會比表面積小。當立體圖形的體積和表面積相等，比表面積為體 積除以表面積，就會等於 1，因此能透過比表面積來判斷體積和表面積何者較 大。立體圖形非常多樣，所以我們先挑選正角柱體來探討，這樣只要控制兩個 變項就可以研究。

二、比表面積的運用範圍

如何調整物品的堆疊方式，才能用最少的紙來包裝? 如何用最少的材料做 出能裝最多液體的容器，這都跟立體圖形的比表面積有關。在自然科學中，也 與反應速率、粒子吸附力等有關，更讓我們對比表面積更加好奇。

三、找出正角柱體比表面積的規律

正角柱體中只有兩個變項，分別為高和底面邊長，探討單一正角柱體後，

再比較不同正角柱體的結果，或許可以發現正角柱體比表面積的秘密和規律。

本研究與課程相關單元

數學 康軒版 五下 第七單元 列式與解題

數學 康軒版 六下 第三單元 形體關係、體積與表面積

數學 康軒版 六下 第五單元 怎樣解題

貳、 研究問題與目的

一、探討各種正角柱體在不同邊長及高的情況對比表面積的影響 (一) 邊長對正角柱體比表面積的影響。

(二) 研究各種正角柱體比表面積大於 1 需要的條件。

二、探討不同正角柱體比表面的關係

(一) 分析不同正角柱體，在底面圖形邊長相同情況下比表面積的關係。

(二) 找出比表面積最佳的正角柱體。

三、以未知數探討各種正角柱體之比表面積

(一) 邊長和高何者對正角柱體的比表面積有較大的影響?

(二) 正角柱體比表面積之規律。

參、 研究設備及器材

一、自製正多角柱模型(使用 GeoGebra 數學軟體製作) 二、筆

三、白紙 四、剪刀 五、膠帶 六、計算機 七、筆記型電腦

肆、 研究過程或方法

一、計算各正角柱體的體積、表面積及比表面積 (一) 正三角柱

正三角柱底面積：正三角形邊長×正三角形邊長×^√3

4

體積：正三角柱底面積×高

表面積：正三角柱底面積×2+正三角邊長×高×3

(為方便比較，結果以小數表示，取近似值到小數第四位) 1.正三角柱高為 1，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 1 0.4330 3.8660 0.1120

2 1 1.7320 9.4641 0.1830

3 1 3.8971 16.7942 0.2320

4 1 6.9282 25.8564 0.2679

5 1 10.8253 36.6506 0.2953 6 1 15.5884 49.1769 0.3169 7 1 21.2176 63.4352 0.3344 8 1 27.7128 79.4256 0.3489 9 1 35.0740 97.1480 0.3610 10 1 43.3012 116.6025 0.3713 20 1 173.2051 406.4101 0.4261 50 1 1082.5318 2315.0635 0.4676 100 1 4330.127 8960.254 0.4832 1000 1 433012.7 869025.4 0.4982 (1) 在高為 1 的情況下，正三角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 邊長再怎麼增加，比表面積都不會超過 1，從表格發現趨近 0.5。

2.正三角柱高為 2，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 2 0.8660 6.8660 0.1261

2 2 3.4641 15.4641 0.2240

3 2 7.7942 25.7942 0.3021

4 2 13.8564 37.8564 0.3660 5 2 21.6506 51.6506 0.4191 6 2 31.1769 67.1769 0.4641

7 2 42.4352 84.4352 0.5026 8 2 55.4256 103.4256 0.5359 9 2 70.1481 124.1481 0.5650 10 2 86.6025 146.6025 0.5907 20 2 346.4102 466.4102 0.7427 50 2 2165.064 2465.064 0.8782 100 2 8660.254 9260.254 0.9352 1000 2 866025.4 872025.4 0.9931 (1) 在高為 2 的情況下，正三角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 邊長再怎麼增加，比表面積都不會超過 1，從表格發現趨近 1。

3.正三角柱高為 3，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 3 1.2990 9.8660 0.1316

2 3 5.1961 21.4641 0.2421

3 3 11.6913 34.7942 0.3360 4 3 20.7846 49.8564 0.4169 5 3 32.4759 66.6506 0.4873 6 3 46.7653 85.1769 0.5490 7 3 63.6528 105.4352 0.6037 8 3 83.1384 127.4256 0.6524 9 3 105.2221 151.1481 0.6962 10 3 129.9038 176.6025 0.7356 20 3 51936152 526.4102 0.9871 21 3 572.8758 570.9172 1.0034 22 3 628.7344 617.1563 1.0188

(1) 在高為 3 的情況下，正三角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 21 時，此正三角柱的比表面積大於 1。

4.正三角柱高為 4，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 4 1.7321 12.8660 0.1346

2 4 6.9282 27.4641 0.2522

3 4 15.5885 43.7942 0.3559 4 4 27.7128 61.8564 0.4480 5 4 43.3012 81.6506 0.5303 6 4 62.3538 103.1769 0.6043 7 4 84.8705 126.4352 0.6173

8 4 110.8513 151.4256 0.7321 9 4 140.2961 178.1481 0.7575 10 4 173.2051 206.6025 0.8383 11 4 209.5781 236.7891 0.8851 12 4 249.4153 268.7011 0.9282 13 4 292.7166 302.3583 0.9681 14 4 339.482 337.741 1.0052 15 4 389.7114 374.8557 1.0396

(1) 在高為 5 的情況下，正三角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 14 時，此正三角柱的比表面積大於 1。

5.正三角柱高為 5，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 5 2.1651 15.8660 0.1365

2 5 8.6603 33.4641 0.2588

3 5 19.4856 52.7942 0.3691 4 5 34.6410 73.8564 0.4690 5 5 54.1266 96.6506 0.5600 6 5 77.9423 121.1769 0.6432 7 5 106.0881 147.4352 0.7196 8 5 138.5641 175.4256 0.7899 9 5 175.3701 205.1481 0.8548 10 5 216.5064 236.6025 0.9151 11 5 261.9127 269.7891 0.9710 12 5 311.7691 304.7077 1.0232 13 5 365.8957 341.3583 1.0719 (1)在高為 5 的情況下，正三角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 12 時，此正三角柱的比表面積大於 1。

(二) 正四角柱

體積：邊長×邊長×高

表面積：(邊長×邊長)×2+(邊長×高)×4

1.正四角柱高為 1，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 1 1 6 0.1666

2 1 4 16 0.25

3 1 9 30 0.3

4 1 16 48 0.3333

5 1 25 70 0.3571

6 1 36 96 0.375

7 1 49 126 0.3888

8 1 64 160 0.4

9 1 81 198 0.409

10 1 100 240 0.4166

20 1 400 880 0.4545

50 1 2500 5200 0.4807

100 1 10000 20400 0.4901

1000 1 1000000 2004000 0.49901 (1) 在高為 1 的情況下，正四角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 邊長再怎麼增加，比表面積都不會超過 1，從表格發現趨近 0.5。

2.正四角柱高為 2，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 2 2 10 0.2

2 2 8 24 0.3333

3 2 18 42 0.4285

4 2 32 64 0.5

5 2 50 90 0.5555

6 2 72 120 0.6

7 2 98 154 0.6363

8 2 128 192 0.6666

9 2 162 234 0.6923

10 2 200 280 0.7142

20 2 800 960 0.83333

50 2 5000 5400 0.9259

100 2 20000 20800 0.9615

1000 2 2000000 2008000 0.996 (1) 在高為 2 的情況下，正四角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 邊長再怎麼增加，比表面積都不會超過 1，從表格發現趨近 1。

3.正四角柱高為 3，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 3 3 14 0.2142

2 3 12 32 0.375

3 3 27 54 0.5

4 3 48 80 0.6

5 3 75 110 0.6818

6 3 108 144 0.75

7 3 147 182 0.8076

8 3 192 224 0.8571

9 3 243 270 0.9

10 3 300 320 0.9375

11 3 363 374 0.9705

12 3 432 432 1

13 3 507 494 1.0263

14 3 588 560 1.05

15 3 675 630 1.0714

(1) 在高為 3 的情況下，正四角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 13 時，此正四角柱的比表面積大於 1。

4.正四角柱高為 4，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 4 4 18 0.2222

2 4 16 40 0.4

3 4 36 66 0.5454

4 4 64 96 0.6666

5 4 100 130 0.7692

6 4 144 168 0.8571

7 4 196 210 0.9333

8 4 256 256 1

9 4 324 306 1.0588

10 4 400 360 1.1111

11 4 484 418 1.1578

12 4 576 480 1.2

(1) 在高為 4 的情況下，正四角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 9 時，此正四角柱的比表面積大於 1。

5.正四角柱高為 5，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 5 5 22 0.2272

2 5 20 48 0.4166

3 5 45 78 0.5769

4 5 80 112 0.7142

5 5 125 150 0.8333

6 5 180 192 0.9375

7 5 243 238 1.0294

8 5 320 288 1.1111

9 5 405 342 1.1842

10 5 500 400 1.25

(1) 在高為 5 的情況下，正四角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 7 時，此正四角柱的比表面積大於 1。

(三) 正五角柱

正五角柱底面積：(5×正五邊形邊長×正五邊形邊長) 4𝑡𝑎𝑛36^𝑜

體積：正五角柱底面積×高

表面積：正五角柱底面積×2+正五邊形邊長×高×5

(為方便比較，結果以小數表示，取近似值到小數第四位) 1.正五角柱高為 1，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 1 1.7205 8.4410 0.2038

2 1 6.8819 23.7638 0.2896

3 1 15.4843 45.9686 0.3368

4 1 27.5276 75.0553 0.3668

5 1 43.0119 111.0239 0.3874

6 1 61.9371 153.8744 0.4025

7 1 84.3034 203.6068 0.414

8 1 110.1106 260.2211 0.4231 9 1 139.3587 323.7173 0.4305 10 1 172.0477 394.0955 0.4366 20 1 688.1910 1476.3819 0.4661 50 1 4.01.1935 8852.981 0.4859 100 1 17204.774 3409.548 0.4928 1000 1 1720477.4 3445954.8 0.4993 (1)在高為 1 的情況下，正五角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 邊長再怎麼增加，比表面積都不會超過 1，從表格發現趨近 0.5。

2.正五角柱高為 2，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 2 3.44096 13.4410 0.2560

2 2 13.7638 33.7638 0.4077

3 2 30.9686 60.9686 0.5079

4 2 55.0553 95.0553 0.5792

5 2 86.0239 136.0239 0.6324

6 2 123.8744 183.8744 0.6737 7 2 168.6068 238.6068 0.7066 8 2 220.2211 300.2211 0.7335 9 2 278.7173 368.7173 0.7559 10 2 344.0955 444.0955 0.7748 20 2 1376.382 1576.382 0.8731 50 2 8602.387 9102.387 0.9451 100 2 34409.55 35409.55 0.9718 1000 2 3440955 3450955 0.9971 (1)在高為 5 的情況下，正五角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 邊長再怎麼增加，比表面積都不會超過 1，從表格發現趨近 1。

3.正五角柱高為 3，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 3 5.16143 18.4410 0.2799

2 3 20.6457 43.7638 0.4718

3 3 46.4529 75.9686 0.6115

4 3 82.5829 115.0553 0.7178

5 3 129.0358 161.0239 0.8013 6 3 185.8116 213.8744 0.8688 7 3 252.9102 273.6068 0.9244 8 3 330.3317 340.2211 0.9709 9 3 418.076 413.7173 1.01054 10 3 516.1432 494.0955 1.04462 (1) 在高為 5 的情況下，正五角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 9 時，此正五角柱的比表面積大於 1。

4.正五角柱高為 4，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 4 6.8819 23.4410 0.2936

2 4 27.5278 53.7638 0.5120

3 4 61.9372 90.9686 0.6809

4 4 110.1106 135.0553 0.8153 5 4 172.0477 186.0239 0.9249 6 4 247.7487 243.8744 1.0159 7 4 337.2136 308.6068 1.0927 8 4 440.4422 380.2211 1.1584 9 4 557.4347 458.7173 1.2152

10 4 688.191 544.0955 1.2648

(1) 在高為 4 的情況下，正五角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 6 時，此正五角柱的比表面積大於 1。

5.正五角柱高為 5，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 5 8.6024 28.4410 0.3025

2 5 34.4096 63.7638 0.5396

3 5 77.4215 105.9686 0.7306

4 5 137.6382 155.0553 0.8877 5 5 215.0597 211.0239 1.0191 6 5 309.6859 273.8744 1.1308

7 5 421.517 343.6068 1.2267

8 5 550.5528 420.2211 1.3102 9 5 696.7933 503.7173 1.3833 10 5 860.2387 594.0955 1.4480 (1) 在高為 5 的情況下，正五角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 5 時，此正五角柱的比表面積大於 1。

(四) 正六角柱

正六角柱底面積：^3√3

2 ×正六邊形邊長×正六邊形邊長 體積：正六角柱底面積×高

表面積：正六角柱底面積×2+正六邊形邊長×高×6

(為方便比較，結果以小數表示，取近似值到小數第四位) 1.正六角柱高為 1，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 1 2.5981 11.1962 0.2321

2 1 10.3923 32.7846 0.3169

3 1 23.3827 64.7654 0.3610

4 1 41.5692 107.1384 0.3879

5 1 64.9519 159.9038 0.4061

6 1 93.5307 223.0615 0.4193

7 1 127.3057 296.6115 0.4292 8 1 166.2769 380.5538 0.4369 9 1 210.4442 474.8883 0.4431 10 1 259.8076 579.6152 0.4482

20 1 1039.23 2198.461 0.4727

50 1 6495.191 13290.38 0.4887 100 1 25980.76 52561.52 0.4943 1000 1 2598076 5202152 0.4994 (1) 在高為 1 的情況下，正六角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 邊長再怎麼增加，比表面積都不會超過 1，從表格發現趨近 0.5。

2.正六角柱高為 2，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 2 5.1962 17.1962 0.3022

2 2 20.7846 44.7846 0.4641

3 2 46.7654 82.7654 0.5650

4 2 83.1384 131.1384 0.6339

5 2 129.9038 189.9038 0.6841 6 2 187.0615 259.0615 0.7221 7 2 254.6115 338.6115 0.7519 8 2 332.5538 428.5538 0.7760 9 2 420.8883 528.8883 0.7958 10 2 519.6152 639.6152 0.8124 20 2 2078.461 2318.461 0.8965 50 2 12990.38 13590.38 0.9559 100 2 51961.52 53161.52 0.9774 1000 2 5196152 5208152 0.9977 (1) 在高為 2 的情況下，正六角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 邊長再怎麼增加，比表面積都不會超過 1，從表格發現趨近 1。

3.正六角柱高為 3，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 3 7.7942 23.1962 0.3360

2 3 31.1769 56.7846 0.5490

3 3 70.1481 100.7654 0.6962

4 3 124.7077 155.1384 0.8038 5 3 194.8557 219.9038 0.8861 6 3 280.5922 295.0615 0.9510 7 3 381.9172 380.6115 1.0034 8 3 498.8306 476.5538 1.0467 9 3 631.3325 582.8883 1.0831 10 3 779.4229 699.6152 1.1141 (1) 在高為 3 的情況下，正六角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 7 時，此正六角柱的比表面積大於 1。

4.正六角柱高為 4，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 4 10.3923 29.1962 0.3559

2 4 41.5692 68.7846 0.6043

3 4 93.5307 118.7654 0.7875

4 4 166.2769 179.1384 0.9282 5 4 259.8076 249.9038 1.0396

6 4 374.123 331.0615 1.1301

7 4 509.2229 422.6115 1.2049 8 4 665.1075 524.5538 1.2679 9 4 841.7767 636.8883 1.3217

10 4 1039.23 759.6152 1.3681

(1) 在高為 4 的情況下，正六角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 5 時，此正六角柱的比表面積大於 1。

5.正六角柱高為 5，體積、表面積及比表面積表格：

邊長 高 體積 表面積 比表面積

1 5 12.9903 35.1962 0.3691

2 5 51.9615 80.7846 0.6432

3 5 116.9134 136.7654 0.8548 4 5 207.8461 203.1384 1.0232 5 5 324.7595 279.9038 1.1603 6 5 467.6537 367.0615 1.2740 7 5 636.5287 464.6115 1.3701 8 5 831.3844 572.5538 1.4521 9 5 1052.221 690.8883 1.5230 10 5 1299.038 819.6152 1.5849 (1) 在高為 5 的情況下，正六角柱的比表面積會隨著邊長增加逐漸增加。

(2) 當邊長為 4 時，此正六角柱的比表面積大於 1。

二、分析不同正角柱體在相同邊長及相同高的情況下，比表面積的關聯 (一) 各正角柱體在邊長為 1，高為 3 的情況

正角柱體 邊長 高 體積 表面積 比表面積

正三角柱 1 3 1.2990 9.8660 0.1317

正四角柱 1 3 3 14 0.2143

正五角柱 1 3 5.161432 18.44095 0.27989 正六角柱 1 3 7.794229 23.19615 0.336014 (二) 各正角柱體在邊長為 5，高為 5 的情況

正角柱體 邊長 高 體積 表面積 比表面積

正三角柱 5 5 54.1266 96.6506 0.5601

正四角柱 5 5 125 150 0.8333

正五角柱 5 5 215.0597 211.0239 1.019125 正六角柱 5 5 324.7595 279.9038 1.160254 (三) 各正角柱體在邊長為 10，高為 5 的情況

正角柱體 邊長 高 體積 表面積 比表面積

正三角柱 10 5 216.5064 236.6025 0.915064

正四角柱 10 5 500 400 1.25

正五角柱 10 5 860.2387 594.0955 1.447981 正六角柱 10 5 1299.038 819.6152 1.584936

在相邊長及相同高的情況下，正角柱體的比表面積大小依序為：正六角柱>正五角 柱>正四角柱>正三角柱。

伍、 研究結果與討論

一、同種正角柱體在不同邊長及高的情況下，比表面積的變化 (一) 正三角柱

1.不論高為多少的正三角柱，只要邊長增加，比表面積皆會增加。

2.當正三角柱的高為 1 和 2 時，不論高怎麼增加，比表面積都不會超過 1。

3.當正三角柱的高為 3 以上，比表面積皆有辦法大於 1。

(二) 正四角柱

1.不論高為多少的正四角柱，只要邊長增加，比表面積皆會增加。

2.當正四角柱的高為 1 和 2 時，不論高怎麼增加，比表面積都不會超過 1。

3.當正四角柱的高為 3 以上，比表面積皆有辦法大於 1。

(三) 正五角柱

1.不論高為多少的正五角柱，只要邊長增加，比表面積皆會增加。

2.正五角柱的高為 1 和 2 時，不論高怎麼增加，比表面積都不會超過 1。

3.當正五角柱的高為 3 以上，比表面積皆有辦法大於 1。

(四) 正六角柱

1.不論高為多少的正六角柱，只要邊長增加，比表面積皆會增加。

2.當正六角柱的高為 1 和 2 時，不論高怎麼增加，比表面積都不會超過 1。

3.當正六角柱的高為 3 以上，比表面積皆有辦法大於 1。

歸納及討論

我們發現所有正多角柱在相同高的情況下，只要邊長增加，比表面積皆會增 加，且所有正多角柱在高為 1 和 2 的情況下，比表面積皆不可能大於 1，只有 在高為 3 以上時，才能透過增加邊長的方式，讓比表面積大於 1。

二、各正角柱體比表面積要大於或等於 1 的條件 (一) 正三角柱

在高為 1 到 5 的情況下，比表面積大於 1 的邊長情況：

邊長 高 比表面積 備註

1000 1 0.4982 無法大於 1，趨近 0.5

1000 2 0.9931 無法大於 1，趨近 1

21 3 1.0034

14 4 1.0052

12 5 304.7077

1.正三角柱的高需要大於 2，比表面積才有機會大於 1。

2.高越大，用越小的邊長即可讓正三角柱的比表面積大於 1。

(二) 正四角柱

在高為 1 到 5 的情況下，比表面積大於 1 的邊長情況：

邊長 高 比表面積 備註

1000 1 0.49901 無法大於 1，趨近 0.5

1000 2 0.996 無法大於 1，趨近 1

13 3 1.0263

9 4 1.0588

7 5 1.0294

1.正四角柱的高需要大於 2，比表面積才有機會大於 1。

2.高越大，用越小的邊長即可讓正四角柱的比表面積大於 1。

(三) 正五角柱

在高為 1 到 5 的情況下，比表面積大於 1 的邊長情況：

邊長 高 比表面積 備註

1000 1 0.4993 無法大於 1，趨近 0.5

1000 2 0.9971 無法大於 1，趨近 1

9 3 1.0106

6 4 1.0159

5 5 1.0191

1.正五角柱的高需要大於 2，比表面積才有機會大於 1。

2.高越大，用越小的邊長即可讓正五角柱的比表面積大於 1。

(四) 正六角柱

在高為 1 到 5 的情況下，比表面積大於 1 的邊長情況：

邊長 高 比表面積 備註

1000 1 0.4994 無法大於 1，趨近 0.5

1000 2 0.9977 無法大於 1，趨近 1

7 3 1.0034

5 4 1.0396

4 5 1.0232

1.正六角柱的高需要大於 2，比表面積才有機會大於 1。

2.高越大，用越小的邊長即可讓正六角柱的比表面積大於 1。

歸納及討論

每個正角柱體在高為 1 和 2 時，比表面積都不可能大於 1，且都分別趨近 0.5 和 1；當正角柱體的高為 3 以上時，比表面積才會大於 1，且高越大，用越小的邊 長能讓正角柱體的比表面積大於 1。

三、正角柱體比表面積的增長幅度 (一) 正三角柱

(二) 正四角柱

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6

正三角柱比表面積

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6

正四角柱比表面積

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5

(三) 正五角柱

(四) 正六角柱

歸納及討論

從圖表可以看出每種正角柱體在同樣高的情況下，會隨著邊長增加跟著上升，

但是成長速度趨緩，會趨近於某個數字。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6

正五角柱比表面積

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6

正六角柱比表面積

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5

四、最佳比表面積的正角柱體

正角柱體 邊長 高 體積 表面積 比表面積

正三角柱 1 3 1.2990 9.8660 0.1317

正四角柱 1 3 3 14 0.2143

正五角柱 1 3 5.161432 18.44095 0.27989 正六角柱 1 3 7.794229 23.19615 0.336014 正三角柱 5 5 54.1266 96.6506 0.5601

正四角柱 5 5 125 150 0.8333

正五角柱 5 5 215.0597 211.0239 1.019125 正六角柱 5 5 324.7595 279.9038 1.160254 正三角柱 10 5 216.5064 236.6025 0.915064

正四角柱 10 5 500 400 1.25

正五角柱 10 5 860.2387 594.0955 1.447981 正六角柱 10 5 1299.038 819.6152 1.584936 我們發現在相同邊長及相同高的情況下，正六角柱有最佳的比表面積，比表面 積大小依序為：正六角柱>正五角柱>正四角柱>正三角柱，因此可以推論出正角柱 體的底面形狀有越多邊，就會有最佳的比表面積。

五、以未知數探討正角柱體比表面積 (一) 正三角柱

1.設正三角柱邊長為 n，高為 h，體積為^√3

4 × 𝑛²× ℎ，表面積為2 ×^√3

4 × 𝑛²+ 3𝑛ℎ，比表面積為

√3 4×𝑛²×ℎ 2×^√3₄×𝑛²+3𝑛ℎ。

2.探討高為 1 至 5 的正三角柱比表面積，將高代入以上公式後，數據分別為：

邊 長

高 (h)

比表面積 初步化簡

根號以小數表示 (取近似值)

n 1

√3 4 × 𝑛² 2 ×√3

4 × 𝑛²+ 3𝑛

√3𝑛 2√3𝑛 + 12

𝑛 2𝑛 + 6.928

n 2

√3

4 × 𝑛²× 2 2 ×√3

4 × 𝑛²+ 6𝑛

√3𝑛

√3𝑛 + 12

𝑛 𝑛 + 6.928

n 3

√3

4 × 𝑛²× 3 2 ×√3

4 × 𝑛²+ 9𝑛

3√3𝑛 2√3𝑛 + 36

3𝑛 2𝑛 + 20.784

n 4

√3

4 × 𝑛²× 4 2 ×√3

4 × 𝑛²+ 12𝑛

2√3𝑛

√3𝑛 + 24

2𝑛 𝑛 + 13.856

n 5

√3

4 × 𝑛²× 5 2 ×√3

4 × 𝑛²+ 15𝑛

5√3𝑛 2√3𝑛 + 60

5𝑛 2𝑛 + 34.64

(二) 正四角柱

1.設正四角柱邊長為 n，高為 h，體積為𝑛²× ℎ，表面積為 2𝑛²+ 4𝑛ℎ，比表面 積為 ^𝑛2×ℎ

2𝑛²+4𝑛ℎ。

2.探討高為 1 至 5 的正四角柱比表面積，將高代入以上公式後，數據分別為：

邊 長

高 (h)

比表面積 初步化簡

根號以小數表示 (取近似值)

n 1 𝑛²

2𝑛²+ 4𝑛ℎ

𝑛 2𝑛 + 4

𝑛 2𝑛 + 4 n 2 𝑛²× 2

2𝑛²+ 8𝑛

𝑛 2𝑛 + 4

𝑛 2𝑛 + 4 n 3 𝑛²× 3

2𝑛²+ 12𝑛

3𝑛 2𝑛 + 12

3𝑛 2𝑛 + 12 n 4 𝑛²× 4

2𝑛²+ 16𝑛

2𝑛 𝑛 + 8

2𝑛 𝑛 + 8 n 5 𝑛²× 5

2𝑛²+ 20𝑛

5𝑛 2𝑛 + 20

5𝑛 2𝑛 + 20

(三) 正五角柱

1.設正五角柱邊長為 n，高為 h，體積為 ^5𝑛2

4𝑡𝑎𝑛36^𝑜× ℎ，表面積為 ^5𝑛2

4𝑡𝑎𝑛36^𝑜× 2 + 5𝑛ℎ，比表面積為

5𝑛2 4𝑡𝑎𝑛36𝑜×ℎ 5𝑛2

4𝑡𝑎𝑛360×2+5𝑛ℎ。

2.探討高為 1 至 5 的正五角柱比表面積，將高代入以上公式後，數據分別為：

邊 長

高 (h)

比表面積 初步化簡

根號以小數表示 (取近似值)

n 1

5𝑛² 4𝑡𝑎𝑛36^𝑜 5𝑛²

4𝑡𝑎𝑛36⁰× 2 + 5𝑛

𝑛 2𝑛 + 4𝑡𝑎𝑛36⁰

𝑛 2𝑛 + 2.9067

n 2

5𝑛² 4𝑡𝑎𝑛36^𝑜× 2 5𝑛²

4𝑡𝑎𝑛36⁰× 2 + 10𝑛

𝑛 𝑛 + 4𝑡𝑎𝑛36⁰

𝑛 𝑛 + 2.9067

n 3

5𝑛² 4𝑡𝑎𝑛36^𝑜× 3 5𝑛²

4𝑡𝑎𝑛36⁰× 2 + 15𝑛

3𝑛 2𝑛 + 12𝑡𝑎𝑛36⁰

3𝑛 2𝑛 + 8.7186

n 4

5𝑛² 4𝑡𝑎𝑛36^𝑜× 4 5𝑛²

4𝑡𝑎𝑛36⁰× 2 + 20𝑛

2𝑛 𝑛 + 8𝑡𝑎𝑛36⁰

2𝑛 𝑛 + 5.8124

n 5

5𝑛² 4𝑡𝑎𝑛36^𝑜× 5 5𝑛²

4𝑡𝑎𝑛36⁰× 2 + 25𝑛

5𝑛 2𝑛 + 20𝑡𝑎𝑛36⁰

5𝑛 2𝑛 + 14.531

(四) 正六角柱

1.設正六角柱邊長為 n，高為 h，體積為^3√3

2 × 𝑛²× ℎ，表面積為2 ×^√3

2 × 𝑛²+ 6𝑛ℎ，比表面積為

3√3 2 ×𝑛²×ℎ 2×^3√3₂ ×𝑛²+6𝑛ℎ。

2.探討高為 1 至 5 的正六角柱比表面積，將高代入以上公式後，數據分別為：

邊 長

高 (h)

比表面積 初步化簡

根號以小數表示 (取近似值)

n 1

3√3 2 × 𝑛² 2 ×3√3

2 × 𝑛²+ 6𝑛

√3𝑛 2√3𝑛 + 4

𝑛 2𝑛 + 2.3093

n 2

3√3

2 × 𝑛²× 2 2 ×3√3

2 × 𝑛²+ 12𝑛

√3𝑛

√3𝑛 + 4

𝑛 𝑛 + 2.3093

n 3

3√3

2 × 𝑛²× 3 2 ×3√3

2 × 𝑛²+ 18𝑛

3√3𝑛 2√3𝑛 + 12

3𝑛 2𝑛 + 6.928

n 4

3√3

2 × 𝑛²× 4 2 ×3√3

2 × 𝑛²+ 24𝑛

2√3𝑛

√3𝑛 + 8

2𝑛 𝑛 + 4.6187

n 5

3√3

2 × 𝑛²× 5 2 ×3√3

2 × 𝑛²+ 30𝑛

5√3𝑛 2√3𝑛 + 20

5𝑛 2𝑛 + 11.5467

歸納及討論

每個正角柱體在高為 1 的情況下，比表面積皆為 ^𝑛

2𝑛+某數，就算邊長一直增加也 不可能超過 1，只會趨近 0.5。高為 2 也是相同的情況，比表面積為 ^𝑛

𝑛+某數，只會 趨近 1。

從表格也能觀察出，為何柱體的底面形狀有越多邊會有越佳的比表面積，雖然 趨近的值都相同，但是分母加的數字比較少，導致分母小，比表面積值變大。

六、各正角柱體比表面積的規律

(一) 根據前面的歸納及討論，會發現高對正角柱體的比表面積的影響較大，甚至可 以限制比表面積的最大值。

(二) 若忽略 ^𝑛

2𝑛+某數中分母加的某數，以極大的數值代入 n，每個正角柱體在想同底 面邊長的情況下，比表面積趨近的數字也相同。

高 正三角柱 正四角柱 正五角柱 正六角柱

1

𝑛 2𝑛 + 6.928

𝑛 2𝑛 + 4

𝑛 2𝑛 + 2.9067

𝑛 2𝑛 + 2.3093 若以極大數值代入 n，比表面積趨近 0.5

2

𝑛 𝑛 + 6.928

𝑛 2𝑛 + 4

𝑛 𝑛 + 2.9067

𝑛 𝑛 + 2.3093 若以極大數值代入 n，比表面積趨近 1

3

3𝑛 2𝑛 + 20.784

3𝑛 2𝑛 + 12

3𝑛 2𝑛 + 8.7186

3𝑛 2𝑛 + 6.928 若以極大數值代入 n，比表面積趨近 1.5

4

2𝑛 𝑛 + 13.856

2𝑛 𝑛 + 8

2𝑛 𝑛 + 5.8124

2𝑛 𝑛 + 4.6187 若以極大數值代入 n，比表面積趨近 2

5

5𝑛 2𝑛 + 34.64

5𝑛 2𝑛 + 20

5𝑛 2𝑛 + 14.531

5𝑛 2𝑛 + 11.5467 若以極大數值代入 n，比表面積趨近 2.5

(三) 各正角柱體的比表面積會趨近相同的值，關鍵是正角柱體的高。高為 1，趨近 0.5；高為 2，趨近 1；高為 3，趨近 1.5；高為 4，趨近 2；高為 5，趨近 2.5。

高 1 2 3 4 5 h

各正角柱體比表 面積趨近的值

0.5 1 1.5 2 2.5 ℎ

2 歸納出所有正角柱體的比表面積會因為高的關係趨近於相同的值，因此，設正 角柱體的高為 h，其比表面積為^ℎ

2。

陸、 結論

一、各種正角柱體在不同邊長及高的情況對比表面積的影響 (一) 所有正角柱體皆會因為底面邊長增加，提升比表面積。

(二) 所有正角柱體皆會因為高的長度增加，提升比表面積。

(三) 所有正角柱體的高要大於 2，比表面積才有機會大於 1。

二、不同正角柱體比表面積的關係

(一) 在所有正角柱體底面邊長及高一樣的情況下，正六角柱比表面積>正五角柱比表 面積>正四角柱比表面積>正三角柱比表面積。

(二)正多角柱的底面邊數越多，比表面積會越大。

三、以未知數列式歸納影響正角柱體的關鍵

(一) 雖然邊長和高增加都會讓正角柱體的比表面積增加，但是高又更加關鍵，可以 限制正角柱體比表面積的最大值。

(二) 在正多角柱相同高的情況下，以極大的數字代入底面邊長，所有正多角柱的比 表面積都會趨近相同的值。設高為 h，比表面積趨近^ℎ₂。

柒、 參考資料及其他

一、康軒版 五下、六下數學課本。

二、錦子老師：十個辦公最常用的基本 Excel 函數。取自

https://ccenjor.pixnet.net/blog/post/222455338

四、GeoGebra 數學軟體。取自 https://www.geogebra.org/

評語

組別：國小組 科別：數學

作品名稱：「表」裡如「一」─ 探討正角柱體的高及底面邊長對比 表面積之影響

名次：2 編號：Am-7 優點：

作品題材是有趣的體積與面積主題，與小學生的 學系內容密切相 關，並做適度地延伸。作品說明書撰寫清楚，容易閱讀。

建議：

學生對比表面積的一般公式的了解與圖表的解讀尚有進步的空間。