第二節 相關模型

第二章 文獻探討與模型介紹

第一節 文獻探討

在探討死亡率模型前，本文將整理一些國內外對於死亡率曲線相關的研究。

Olivieri(2001)認為死亡率曲線的趨勢，有以下三個較特別的現象:(一)生存函數的 圖形有矩形化(rectangularitization)的趨勢，意味著人類死亡率有改善的趨勢且人 類死亡的時間也有集中於某一個臨界值(人類壽命的極限)的趨勢。(二)生存函數 矩形化的邊界有向高齡歲數移動的趨勢，代表著人類目前人類壽命極限有隨著時 間而遞延的效果。(三)在青少年部份，可以發現到意外身亡的情形較其他年齡層 來的嚴重，其變異也較其他的高，似乎意味著主導青少年死亡率的主要因素不在 是自然死亡的因素而是意外死亡的因素。此外，由於早期資料對於高年齡層死亡 率統計有所遺漏，故對於高齡層死亡率曲線的研究顯得格外的重要。對於高年齡 死亡率模型，首推大家所能熟知的即是 Gompertz 模型，但是近年來根據許多學 者的研究發現，Gompertz 法則對於 100 歲以上死亡率模型會有所偏差，如 Perls (1995)文中提及根據近年來死力的曲線可以發現，死力與年齡的關係在高高齡的 地方會有由遞增轉變成遞減的趨勢，這將對於用 Gompertz 模型預測 100 歲以上 人口的死力時，會造成高估的現象。

關於死亡率模型一般可分為人類的壽命有極限及無極限兩種觀點，對於這些 議題也許多生物與人口學者有相關的討論，如 Fries(1980)提及如果要使人類平均 壽命提高到 85 歲以上，則必須克服所有能避免的致病因子。而 Olshansky 與 Carnes(2001)也提及若可以進一步克服現在所有尚無有效治療方法的疾病，如癌 症與心血管疾病等不治之症，則人類的平均壽命則預期可達到 95 歲至 100 歲左 右。Wilmoth(1997)文中也發現了，隨著醫療環境的進步，各年齡層死亡人數的 分布有右移且集中的趨勢且呈現接近常態分配的圖形，並可藉此現象推估壽命可

能的極限。而國內也有學者如陳寬政(1999)曾探討人類壽命的極限，並利用邏輯 成長函數推算平均餘命的趨勢。

第二節 相關模型

一般死亡率模型可分為靜態死亡率模型與動態死亡率模型。靜態模型主要在 於建構出年齡組與死亡率之間的關係，如 Gompertz 模型與 Heligman-Pollard 等 模型，其面臨如何建構動態死亡率的解決方式，多為利用統計方法，如時間序列 模型或拔靴法等方法進行未來死亡率的預測。相較於靜態模型，動態模型則納入 年代的變數，並試圖建構年份與死亡率之間的關係，如 Lee-Carter 模型與 SOA 等模型，此類的模型都常會包含了與年齡及年代有關的參數，也因此對於未來死 亡率的預測，動態模型較常為人使用。

首先介紹一些較為人熟知的靜態模型，如 Gompertz 模型、Heligman-Pollard 模型與 Carriere 模型。

1. Gompertz 模型

Gompertz(1825)觀察到 30 歲以後，人類的死力隨著年齡的增加而呈現出幾 何級數地成長遂歸納出以下的模型假設:

x

x = BC

μ

其中B>0、C >1為 Gompertz 假設參數，而x代表年齡、μ_x代表著x歲人的死 力。這模型相當廣用於高年齡死亡率的預測與修勻，如余清祥(Yue, 2002)利用 Gompertz 模型適當地估計日本、瑞典等四個國家老年死亡率。

2. Heligman-Pollard 模型

Heligman 和 Pollard(1980)提出以八個參數的模型去估計澳洲死亡率曲線的 模型，其模型如下：

( )^c (ln ln )²

x x B E x F x

x

q A De GH

p

+ − −

= + +

其中A B

, ,...,

p

q

Heligman-Pollard 模型分成三部分，其中 ^{( )}

x Bc

A ⁺ 代表著嬰幼兒時期遞減死亡率的 趨勢、De^{−E(lnx−lnF)2}代表著青少年時期死亡率因意外死亡等原因略有隆起的部分 與GH^x則代表著如同 Gomperz 模型所假設的老年時期死亡率呈現幾何遞增的情 形。

3. Carriere 模型

Carriere(1992)提出另一個類似 Heligman-Pollard 模型的參數模型以用來描述 全年齡層的死亡率情形，模型如下：

1

( ) ( )

m i i k

S x S x

=

= ∑ Ψ

其中參數

Ψ

1

1

m i k=

∑ Ψ =

^{S x}

^{( )}

別代表著新生兒面臨因素 i 下的存活函數。Carriere 在文中則建議可以把所有死 亡的因素分成三階段，分別是嬰幼兒時期、青壯年時期與老年時期。其中嬰幼兒 時期的存活函數以 Weibull 分配的存活函數表示、青壯年時期的則以 Inverse Weibull 存活函數代表、老年時期則以 Gompertz 模型所代表的存活函數代表之。

目前國內也有學者利用該模型來描述台灣地區的死亡率情形，如林麗芬(1996)利 用該模型來建立老年經濟安全的制度。

介紹完以上的參數模型以後可以發現，上述的模型中其所描述的死亡率與年 齡的關係，並看不出其能描述隨著年代的增加，未來死亡率的趨勢是如何改變的 趨勢，則有學者紛紛思考著如何以靜態模型用來估計動態死亡率，以下將簡介關 於這方面學者的研究。

Blaschke(1923)提出了以 Makeham 模型為基礎的死亡率預測模型:

x x(t) γ(t) α(t)β(t)

μ = +

其中μ_x(t)代表著在 x 歲的人在年代 t 之下的死力(mortality rate)，γ(t)、α(t)和β(t) 分別代表著在年代 t 之下的參數γˆ t( )、αˆ t( )和βˆ t( )。其配適方法主要分成兩個步 驟:(一)在固定年代 t 之下，估計出三個參數的估計值。(二)分別找出三個參數估 計值與年代 t 的關係，並加以外插預測出下一個年代的參數，代回 Makeham 模 型的假設，即可得到死亡率的估計值。

相對於 Blackchke 所提出年代(period)的想法，Davidson and Reid(1927)提出 以世代(cohort)的觀念建構類似的模型:

x x(t) δ(τ) ϕ(τ)ψ(τ)

μ = +

其中τ =t−x，代表世代亦即為出生年代的意思。此外，δ(τ)、ϕ(τ)和ψ(τ)分別 代表著在世代τ 之下的參數。不難發現以上兩位學者都以 Makeham 模型為基礎，

差別的在於 Blaschke 認為在同一年代的資料會滿足 Makeham 模型，而 Davidson and Reid 則認為應該是同一個世代的資料為 Makeham 模型。

接下來將介紹與本文引用的 RF 模型一樣為動態模型的 SOA 模型、RF 模型 與 Lee-Carter 模型。

1. SOA 模型與 RF 模型

提到 SOA 模型，則不得不提及 Cramer(1935)的文章，在 1924 年時英國的 Institute of Actuaries 已經採取一套死亡率的預測方式如下:

t

x t a x b x c x

q ( )= ( )+ ( ) ( )

其中q_x(t)代表著 x 歲的人在年代 t 之下的死亡率，a(x)、b(x)與c(x)分別代表著

在年齡 x 之下的參數。這模型主要的特色在於死亡率的改善會隨著年代 t 的增 加，以指數的方式遞減。這種模型分別被 SOA(1995)與 CMI(1999)應用於年金生 命表的建構。而 SOA 模型如下:

) 1994

1 )(

1994 ( )

( = _x − _x ^t−

x t q AA

q

其中AA 為在_x x 歲下的改善因子(improvement factor)。相較於下一章會提及的 RF 模型，可以發現兩者死亡率下降的速度皆呈現指數下降的趨勢，相異之處在於 SOA 模型在0< AA_x <1條件下各年齡組最終的死亡率將會逼近 0，而 RF 模型則 會逼近一個與年齡有關的值。

2. Lee-Carter 模型

Lee 和 Carter 在 1992 年亦提出了一個預測美國死亡率變化的模型:

t x t x x t

x a b k

m _, ) _,

ln( = + +ε

其中m_x.t為在年代 t 下，x 歲人的中央死亡率(Central Death Rate) a 為在x x 歲下，死亡率的平均曲線

b 為在x x 歲下，相對死亡率的變化速度

k 為在年代t t 下，死亡率的強度(Intensity of Mortality)

t

εx, 為在年代 t，x 歲之下的隨機誤差

而其中的a 、_x b 和_x k 皆為欲估計的參數。在_t Lee-Carter 模型中，多半設定k 為含_t 位移的一階自我迴歸(first order autoregression with drift)的時間序列模型,其模型 如下：

t t

t Z k e

k = + ₋₁ +

其中 Z 為平均位移常數，e 代表著隨機誤差項。目前國內學者余清祥與曾奕翔_t (2006)以 Lee-Carter 模型用來估計台灣未來死亡率的情形，並探討在死亡率改善 下相關年金的問題。