【解說】 (1) 先找出 P 在直線 上的投影點 O

103 學年度普通型高級中等學校數學及自然學科能力競賽 數學科能力競賽決賽口試試題參考解答

【口試 A】第一題

設 P 與 Q 為空間中二定點， 為空間中一直線，且 P、Q 與直線 不共平面。試在直 線 上作出一點 M 使得：對於直線 上每個點 X，恆有

QX PX QM

PM    。

【解說】

(1) 先找出 P 在直線 上的投影點 O。

(2) 以 O 為旋轉中心，OP 為旋轉半徑，旋轉 一圈得圓 O。

(3) 以↔

OQ 和 兩直線所決定的平面。 交圓於兩點 S, T，其一與 Q 在 的同側，

設為 S, 另一與 Q 在 的異側，則為 T。

(4) T, Q 在平面上且在 的異側，且TX PX,  X 。

(5) 連TQ, TQ交 於一點 M，此點即為使得TMQM TX QX 對任一 上的點 X 都成立。

(6) M 即為問題答案的點。

【理由】

PMQM TMQMTXQX , 而TX PX， 即 PMQM PX QX 對 上的任一點 X 都成立。

【註】

如果 P, Q 與直線 共面，M 點就是 P, Q 在 上的投影垂足P Q , 為端點，滿足 P M MQ : PP QQ: 的內分點 M; 如圖(一)。

圖(一) (P, Q 與 共面)

一般 P, Q 與 不共面時，將 P, Q 在 上的投影垂足分別記為P Q , 時，M 點也是

: :

P M MQ PP QQ 的內分點。本口試題的重點在於知道 M 點的找法時，其理由為 何？

【代數解法】

不失一般性，經平移後我們可設直線 的參數式為xat y, bt z, ct，且設 點M at bt ct( , , ), ( , , ), ( , , ) ，則 P x y z_{1 1 1} Q x₂ y₂ z₂

2

2 2 2

1

k k k

k

P M Q M a t x b t y c t z



 



2

2 2 2 2 2 2 2

1

2 _{k k k k k k}

k

a b c t a x b y c z t x y z







^{ a2  b2  c2}





其中，

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( )( ) ( )

, ^{k k k k k k}

k k k

k k

a b c x y z ax by cz

ax by cz

u v

a b c a b c

      

 

 

    。

又坐標平面上g t( ) : (tu₁)² (0 v₁)²  (tu₂)² (0 v₂)² 可以表示x軸上 的點( , )t 0 到兩點A u v( , ), ( ,_{1 1} B u₂ v₂)的距離之和，且點A與點 B 在 x軸的兩側，

故g t( )的最小值為AB。亦即 AB與x軸的交點為( , ) 時，則t₀ 0 g t( )的最小值為 g t( )₀ AB 。此時，點 M 的坐標為M at bt ct( ₀, ₀, ₀) ，且PM  QM 的最小值為 a² b² c²  A B a²  ²b  ²c(₁ u₂) u²( ₁ v₂)。 v²

B A

( ,0)t0

x y

【口試 A】第二題

設數列 a_n 滿足：a₁ 1,a₂ 2；當n3時，a_n a_n1，且a 是不能表成_n a_ia_j 的最小正 整數，其中1 i  j n。試求a₁₀₃之值。

【解】試算前幾項得1, 2, 4,7,10,13，故公式a_n 3n5對於n3, 4,5,6皆成立。

以下證明此公式a_n 3n5對任意正整數n3皆成立。

設a_n 3n5對n3, 4,5, ,k皆成立。則a_k1a_k 3k5，且 a_k1 a₁ a_k 3k4，a_k1 a₂a_k 3k3。 故a_k13k2。

在a a₁, ₂, ,a 中，只有_k a 除以₂ 3的餘數為2，其餘除以3的餘數皆為1。所 以，其中任意兩數之和，除以3的餘數必為0或2，也就是餘數必不等於1。 因此，^{3k 2 3}





所以，a₁₀₃ 3 103 5 304。