數學的學習需要精熟練習嗎？
單維彰．2018-03-09 2nd
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在中國的傳統思想中，賦予精熟練習很高的價值，總認為熟能生巧，而反覆的練 習乃至於背誦似乎是學習的正道。如此的傳統學習方法，後來受到教育學者的強 烈批評，卻導致矯枉過正的下場。就像記憶一樣，精熟練習的根本價值並不是為 了快速運算或快速解題，而是為了思考的流暢性。流暢的思考有助於概念的形成 與比對，當然也有助於產生創意。認知心理學證實思考的流暢性擴充了心智容量 (mental capacity)，讓人心有餘力去思考問題的內涵；1創意心理學也有一項共識，
認為思考的流暢性是創造力的必要條件之一。這些現代研究的結論，不啻附和了 中國的一句經驗之談：熟能生巧。
一個思想窒礙阻塞的人，不可能發現概念之間的精妙關聯，也不可能洞察隱 藏在不同事物背後的共同結構；就好像一個說話結結巴巴的人，不可能發出鼓舞 人心的雄辯一樣。2這是流暢性的價值，而精熟練習可以促成流暢；就算流暢沒 有產生創新，至少也能幫助下一階段的學習；因為學習無非就是新概念的形成與 新舊概念的連結，而流暢性對這兩者都很有幫助。
過多的反覆練習當然令人厭倦，而厭倦使人不願意學習。可是缺乏練習導致 生疏與窒礙，而生疏與窒礙使人無力學習。究竟是哪一種狀況（過度練習或缺乏 練習）對於學習的傷害更深？實在難以評估。許許多多的「遊戲式學習」之所以 能夠對中、低成就的學生產生正向影響，說到底，無非就是因為遊戲的設計而讓 學生延長了反覆練習的時間，推遲了心生厭倦的時刻，藉此達到精熟練習的成效 而已。
數學是重理解的學科，絕對沒錯；可是這項信念並不能推論記憶與反覆練習 就是錯誤的學習方法。許多人低估了流暢的操作能力對於「理解」的重要心理影 響。我國的小學教師似乎比較不避諱精熟練習的作業，這可能是因為小學乃合科 教學，教師既然經常要派發反覆練習的識字和寫字作業（這似乎是無可避免的學 習方法），也就順理成章地派發反覆練習的數學作業給學生了。但是中學的數學 專科教師，卻不知不覺地忽略了精熟練習的學習過程。
西方的教育難道真的不讓學生做反覆練習嗎？這肯定是一個錯誤的想像。且 讓我舉暢銷的 Thomas 微積分教科書為例（第 12 版），在其第 7 章引介自然對 數（ln x）那一節的習題裡，連續羅列了18 道基本操作練習題，如以下三幅圖；
然後接著40 道牽涉ln x之基本微分操作練習。
1 王瑞壎翻譯 Marilyn Burns 的 About Teaching Mathematics—A K-8 Resource, 3rd ed 在 3-11 頁引述 Suzanne Chapin 和 Arthur Johnson 合著之 Math Matters, 2nd ed 的內容：「精熟演算規則可以使我 們心智容量增加，我們可以專心於解釋和理解問題的內容。而最糟的情形是學生只將演算規則使 用在心算或死記一些規則—這就是計算的重要。」這兩句話翻譯得不太流暢，而作者恰有一個親 身經驗可以呼應以上論述。請看本文後面的附錄。
2 但是經過心智的努力而克服結巴之後，有可能立刻變成雄辯家，例如電影《王者之聲》所說的 故事。
美國的大學教科書尚且有如此多的基本操作練習，高中階段可想而知。反觀 我國的中學教科書（課外的作業簿或參考書也一樣），習慣在簡短的定義與公式 說明之後，立即展開各式題型的「解題」練習，而幾乎不做基本操作練習。中學 的數學教育長期忽略基本操作練習的必要學習經驗，也許戕害了數學的學習成 效，也降低了教學的效率。
過多或不足的練習都有害於數學的學習，所以數學教師的專業之一，就在於 拿捏適度練習的藝術。數學教師必須建立讓學生適度做精熟練習的專業判斷能 力。
附錄：一項親身經驗
某天，作者在他的女兒還是幼童的時候，教她用手指頭做十以內的加法計算。當 她算出來3 5+ 之後，我立刻就要她做5 3+ ；算出3 4+ 之後，立刻要她做4 3+ 。 如此這般，每當她算出來a+b，我出的下一題就是b+a。做了好幾個練習之後，
她雖然都能算出正確答案，但是每一題都認真地從頭算起，並沒有發現加法的可 交換性。當時我想：「這孩子可能沒有數學天分，別強迫她了。」那是她第一次 學習加法。
過了一段時間，她的十以內加法算得越來越快之後，我就把問題擴充到需要 進位的廿以內的加法計算，但是並沒有強調交換性的啟發（我可能已經放棄了這 項教學目標）。可是，當她可以頗快算出廿以內的加法時，我忽然心生一念，重 做上次失敗的教學，在十以內連續做a+b和b+a的計算。這一次，她在兩三次 計算之後，就發現了加法的可交換性：她會記得a+b的結果，然後偷懶不算b+a
而直接報前一個計算結果。我發現她這麼做之後，把問題提高到廿以內，例如先 算5 7+ ，等她算出來 12，立刻問7 5+ ，這時候她也立刻答 12。可見她並不擔心 在十以內的加法所發現的交換性，是否可以「推廣」到十以上的問題。
作者當時並非數學教育的工作者，但是已經跟師資培育中心的同仁交朋友 了。一位前輩，林信榕教授，聽了我說以上故事之後，就告訴我心智容量 (mental capacity) 的理論。當幼年的女兒初學加法時，計算的規則和程序佔滿了她整個 腦子，使她算過了3 5+ 之後，必須先把記憶空間全部清除，才能重新開始計算 5 3+ ，於是兩者都算完之後，並沒有機會比較兩者答案。後來，等到她的加法計 算足夠熟練之後，做計算所需的記憶空間就減少了，於是算完3 5+ 的結果還存在 記憶裡，等她再算5 3+ 之後，才有機會發現這兩者的結果相等。經過幾次實驗之 後，就像「三人成虎」的原理一樣，她就相信加法是可以交換的了。而且，這個 性質可以讓她偷懶。凡是能偷懶的事，任何人都會樂於接受並且訴諸實踐的。
