教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
雙邊頻譜(Double-Sided Frequency Spectrum)
z
有別於用餘弦(cosine)訊號所形成的單邊頻譜；根據尤拉公式(Euler equation)，可將餘弦訊號寫成兩個相同大小(magnitude) 但反方向等速旋轉的相量 (phasor)的和。即
z
由上式可知，一餘弦訊號 可表示成兩個反向旋轉的相量的和。第一個旋 轉相量每秒 圈；第二個旋轉相量每秒轉( )，其負號是表示相反方向。t f j
x j t
f j X j
t f j x j
t f j x j
x x
x
x x
x x
x x
x x
e A e
e A e
e A e
e A e
t f A
t x
) ( 2 2
2 2
2 2
2 2
) 2
cos(
) (
−
−
−
−
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎥⎦ +
⎢⎣ ⎤
= ⎡
+
=
+
=
π θ
π θ
π θ
π θ
θ π
f
x)
−x (t f
x27
雙邊頻譜(Double-Sided Frequency Spectrum)(續)
x(t)的頻域表示有兩種方式：
(1)採用餘弦訊號：
(2)採用旋轉相量和：
0
)
( ⎩⎨⎧ =
= 其他
x
x
f f
f A
A
0)
( ⎩⎨⎧ =
= 其他
x
x
f f
f
Ph θ
0
or
)
( 2
⎩⎨
⎧ = = −
= 其他
x x
A
f f f f
f
A
x0
) ( ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
=
=
x x
x x
-f f
θ
f f
θ f
Ph
其他方式(1)僅含 之頻域範圍，故稱為單邊頻譜。
方式(2)頻域 f 包含正頻率及負頻率，故稱為雙邊頻譜。
≥ 0 注
f
意：
教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.7
試繪出
之單邊及雙邊頻譜。
t j
j t
j
j
e e e
e t
t
x ( ) = 3 cos[ 2 π ( 10 ) − ( π 3 )] = ( 1 . 5
− π 3)
2π(10)+ ( 1 . 5
− π 3)
2π(−10)【解】 (1)單邊頻譜：
29
©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nded., John Wiley & Sons, 1998.
範例4.7(續)
(2)雙邊頻譜：
(1)振幅的雙邊頻譜為一偶函數，其大小為單邊振幅頻譜的一半。
(2)相位的雙邊頻譜為一奇函數，其正頻率範圍之大小與單邊相位 頻譜相等。
©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nded., John Wiley & Sons, 1998.
注 意：
範例4.8
請繪出以下訊號的雙邊頻譜。
【解】方式1：用尤拉公式改寫訊號成複指數型式
) 4 / 4000
cos(
4 ) 3000 sin(
2 ) 2000 cos(
3 )
( t = π t + π t + π t + π
x
) 4 / 4000 ( )
4 / 4000 (
) 2 / 3000 ( )
2 / 3000 ( 2000
2000
) 4 / 4000 ( )
4 / 4000 (
3000 3000
2000 2000
) 4 / 4000 ( )
4 / 4000 (
3000 3000
2000 2000
2 2
2 3 2
3
2 2
2
3 2
3
) (
2
) 1 (
) 2 (
3
) 4 / 4000
cos(
4 ) 3000 sin(
2 ) 2000 cos(
3 )
(
π π π
π
π π π
π π
π
π π π
π
π π
π π
π π π
π
π π
π π
π π
π π
+
− +
−
−
−
−
+
− +
−
−
+
− +
−
−
+ +
+ +
+
=
+ +
+ +
+
=
+ +
− +
+
=
+ +
+
=
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
t j
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e e
e j e
e e
t t
t t
x
2 π/
e
−je
jπ/2教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
範例4.8(續)
方式2：改寫訊號成餘弦標準式
由三個餘弦(cos)訊號組合而成，振幅大小分別為3、2與4；頻率分別為 1000、1500與2000 Hz；以及相位分別為0、 與 ，再繪出對應的 雙邊頻譜。
) 4 / 4000
cos(
4 ) 2 / 3000
cos(
2 ) 2000 cos(
3
) 4 / 4000
cos(
4 ) 3000 sin(
2 ) 2000 cos(
3 )
(
π π
π π
π
π π
π π
+ +
− +
=
+ +
+
=
t t
t
t t
t t
x
2 π /
− π / 4
32
範例4.8(續)
訊號的雙邊頻譜
©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，
2007。
範例4.9
)]
6 ( ) 20 ( 2 sin[
2
] ) 15 ( 2 sin[
) 2 (1/
] ) 15 ( 2 cos[
) 2 (1/
)]
4 ( ) 10 ( 2 cos[
) 2 / 3 ( )]
4 ( ) 10 ( 2 cos[
) 2 / 3 ( ) (
π π
π π
π π
π π
−
−
+ +
− +
+
=
t
t t
t t
t x
) x (t
試繪其雙邊頻譜。
【解】改寫
)]
3 ( )
20 ( 2 cos[
2
)]
4 ( ) 15 ( 2 cos[
] ) 10 ( 2 cos[
3 ) (
π π
π π
π
+ +
− +
=
t
t t
t x
©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nded., John Wiley
訊號頻寬(Bandwidth)
z
範例4.9中，訊號包含的頻率為10Hz，15Hz及20Hz，故該訊號的頻寬z
某些訊號包含所有的頻率，此類訊號之頻寬是指在此一頻寬範圍內包含有 訊號的大部分能量。Hz 10 10
20 − =
x
= B
©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nded., John Wiley & Sons, 1998.
教育部資通訊科技人才培育先導型計畫 第四章 傅立葉級數
訊號頻寬(Bandwidth)(續)
z
令 為訊號在其頻寬內所具有的能量與訊號總能量的比值，常用的 值 有：(1) 稱為3dB頻寬或半功率(half-power)頻寬
(2) 頻寬
α
⇒
=
= 0 . 707 2
α 1
% 90 1
.
0 ⇒ α =
36
