 線性規劃

線性規劃

例題 1

試在聯立不等式

 



的條件下，求 4x＋12y 之最大值為 ‧

解析：

由 （x，y） 4x＋12y

（0，0）

（5，0）

（3，8）

（0，10）

0 20 108

120……最大 故 4x＋12y 之最大值為 120

例題 2

試在聯立不等式

 



2x＋7y≧20 x≧0

y≧0

的條件下，求 x＋2y 之最小值為 ‧

解析：不等式之圖形如右所示

由 （x，y） （0，8） （1，4） （3，2） （10，0）

x＋2y 16 9 7 10

知 x＋2y 之最小值為 7 例題 3

若（x，y）為聯立不等式



 3x＋y^≧9 x－2y≦－4

x＋5y≦31 所表示圖形上的任一點，且 P＝kx＋y 在

（1，6）有極小值時，則 k 的範圍為 ‧ 解析：聯立不等式



 ^3x＋y≧9 x－2y≦－4 x＋5y≦31

之圖形如右圖三角形的區域 其頂點為（1，6），（2，3），（6，5）

（x，y） （1，6） （2，3） （6，5）

P＝kx＋y k＋6 2k＋3 6k＋5

∵P＝kx＋y 在（1，6）有極小值 _^ k＋6≦2k＋3

k＋6≦6k＋5  ^k≧3 k≧ 1

5，故 k≧3

例題 4

在一個牽涉到兩個未知量 x，y 的線性規劃作業中，有三個限制條件‧坐標平面上符 合這三個限制條件的區域是一個三角形區域‧假設目標函數 ax＋by（a，b 是常數）在 此三角形的一個頂點（19，12）上取得最大值 31，而在另一個頂點（13，10）取得最 小值 23‧現因業務需要，加入第四個限制條件，結果符合所有限制條件的區域變成一 個四邊形區域，頂點少了（19，12），新增了（17，13）和（16，11）‧在這四個限制 條件下，請選出正確的選項‧

( )A ax＋by 的最大值發生在（17，13） ^{( ) B} ax＋by 的最小值發生在（16，11）

( )C ax＋by 的最大值是 30 ( )D ax＋by 的最小值是 27‧ 【92.指考甲】

解析：設目標函數 f（x，y）＝ax＋by 則 f（19，12）＝19a＋12b＝31

f（13，10）＝13a＋10b＝23

∴a＝b＝1，亦即 f（x，y）＝x＋y 又 f（17，13）＝17＋13＝30

f（16，11）＝16＋11＝27

∴後來的最大值為 30，最小值為 23 ，故選 ( )A ( )C

例題 5

南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤，該植物每 200 公斤可提煉 1 公斤的中草 藥，每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品‧中草藥每公斤可獲利 5000 元，健康食品每 公斤可獲利 100 元；根據市場調查每年中草藥最大需求量為 30 公斤，健康食品最大 需求量為 1800 公斤‧如果南北生技農場決定提煉中草藥 x 公斤，並製成健康食品 y 公 斤，設 P 為其可獲利潤‧

( )1 試以 x，y 表示 P‧

( )2 如果想獲得最大利潤，則 x，y 的值為何？說明理由‧ 【93.指考乙】

解析： ( )1 由題意得 P＝5000x＋100y

( )2 因



 ^0≦x≦30 0≦y≦1800 200x＋5y≦10000

，即 

 ^0≦x≦30 0≦y≦1800

40x＋y≦2000其圖形如右下，頂點是

（0，1800），（0，0），（30，0），（30，800），

（5，1800），又

（x，y） P＝5000x＋100y

（0，1800） 180,000

（0，0） 0

（30，0） 150,000

（30，800） 230,000……最大

（5，1800） 205,000

故當 x＝30，y＝800 時，可獲得最大利潤 230,000 元

例題 6

為預防禽流感，營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的營養素 A，

至少 72 單位的營養素 B 和至少 60 單位的營養素 C 給他的雞群‧這三種營養素可由兩 種飼料中獲得，且知第一種飼料每公斤售價 5 元並含有 7 單位的營養素 A，3 單位的營 養素 B 與 3 單位的營養素 C；第二種飼料每公斤售價 4 元並含有 2 單位的營養素 A，6 單位的營養素 B 與 2 單位的營養素 C‧

( )1 若雞場主人每天使用 x 公斤的第一種飼料與 y 公斤的第二種飼料就能符合營養師吩 咐，則除了 x^≧0，y^≧0 兩個條件外，寫下 x，y 必須滿足的不等式組‧

( )2 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求，則 x，y 的值為何？最少

的飼料成本又是多少？ 【95.指考乙】

解析： ( )1 依題意，整理資料如下：

營養素

飼料 A B C 售價 第一種飼料（x） 7 3 3 5（元／公斤）

第二種飼料（y） 2 6 2 4（元／公斤）

由以上可知

 



x≧0，y≧0

  

( )2 欲求花費 5x＋4y 之最小值

（0，42） （6，21） （18，3） （24，0）

5x＋4y 168 114 102

最小 120 當 x＝18，y＝3 時，5x＋4y 有最小值 102

故使用第一種飼料 18 公斤，使用第二種飼料 3 公斤可得最少的飼料成本 102 元 例題 7

某歌唱訓練班根據以往的經驗得知：每花 10 萬元在報章雜誌上替歌手打廣告可以提 升歌手的形象指數 5 點，知名度指數 10 點；反之，若是在電台上，同樣花 10 萬元替 歌手打廣告，則可以提升歌手的形象指數 6 點，知名度指數 4 點‧根據市場調查發現 成為名歌星的形象指數至少 160 點，知名度指數亦至少 160 點，而且綜合指數（形象 指數與知名度指數的和）至少 360 點‧試問：歌唱訓練班要讓一位新歌手（假設其形 象指數與知名度指數皆為 0）成為名歌星至少應該花多少廣告費？這些廣告費報章雜 誌與電台應各分配多少，效果最好‧（請在坐標平面上畫圖求解） 【91.指考乙】

解析：設需花費報章雜誌費 10x 萬元，電台費 10y 萬元

則

 



10x＋4y≧160

15x＋10y≧360

  

5x＋2y≧80 3x＋2y≧72 欲求目標函數 f（x，y）＝x＋y 之最小值 不等式組之圖形如右

（x，y） f（x，y）＝x＋y

（32，0） 32

（14，15） 29 →最小值

（4，30） 34

（0，40） 40

∴廣告費應分配報章雜誌 140 萬元，電台 150 萬元，可得最小花費為 290 萬元 例題 8

某公司所生產的產品存放在甲、乙兩倉庫分別有 50 單位，40 單位，現在市場 A，市場 B 分別的需求量 是 20 單位，30 單位，右表是各倉庫運輸到各市場的 每單位運輸成本‧在滿足 A，B 市場的需求下，最節

省的運輸成本為 元‧ 【92.指考乙】

市場 A 市場 B 倉庫甲 500 元 450 元 倉庫乙 400 元 300 元

解析：設甲倉庫運送 x 單位至市場 A 運送 y 單位至市場 B

則乙倉庫運送（20－x）單位至市場 A 運送（30－y）單位至市場 B

 



0≦y≦30

  

0≦x≦20 0≦y≦30

目標函數 f（x，y）＝500x＋450y＋400（20－x）＋300（30－y）＝100x＋150y＋17000 由 （x，y） （10，0） （20，0） （20，30） （0，30） （0，10）

100x＋150y＋17000 18000 19000 23500 21500 18500

∴當 x＝10，y＝0 時，最小運輸成本為 18000 元