2-2 線 性 規 劃

2-2 線 性 規 劃

1. 在坐標平面上判別下列不等式所在的區域：

(1)

﹒ (2)

﹒

解：

2. 在坐標平面上標示出滿足下列不等式組的區域：

(1)

2 5 2 4 0, 0 x y

x y

x y

  

  

   



﹒ (2)

2 5 2 4 0, 0 x y

x y

x y

  

  

   



﹒

解：

3. 試寫出不等式組﹐使其圖形滿足右圖（含邊界）的四邊形區域﹒

解：

4 8 0 3 15 0

0, 0

x y

x y

x y

  

   

  



4. 設限制條件為

2 4 2 5 0, 0

x y

x y

x y

 

   

   



﹐試用線性規劃的平行線法﹐

求

的最大值﹒

解：

由目標函數值變化﹐在 ( , ) (2,1)x y  時﹐k 有最大值 10﹒

5. 設限制條件為

2 4 2 5 0, 0

x y

x y

x y

 

   

   



﹐試用線性規劃的頂點法﹐

求

的最小值﹒

解：

( , )x y k3x4y (4, 0) 12

(2, 1) 10 (0, 5) 20

故 ( , ) (2,1)x y  時﹐ k 有最小值 10﹒

6. 試求

的最小值﹐而限制條件為

4 2 6 5 2 8

0, 0

x y

x y

x y

  

    

   



﹒

解：

( , )x y k 3x4y (2, 1) 10 (4, 0) 12 (10 4, )

3 3

46 3 ( , )4 7

3 3

40 3 故 ( , ) (2,1)x y  時﹐ k 有最小值 10﹒

1. 工廠生產

﹐

兩種產品﹐產品每單位的原料成本﹐加工成本及利潤如下：

原料成本（元） 加工成本（元） 利潤（元）

A

1 2 3

B

2 1 4

若要使原料成本不超過 4 元﹐加工成本不超過 5 元﹐則應生產多少單位可得 最高利潤？

解：

設生產 x 單位的 A 產品及 y 單位的 B 產品﹐

原料成本（元） 加工成本（元）

A （ x 單位） x 2x

B （ y 單位） 2 y y

則目標函數為 3x4y﹐原料成本為x2y﹐加工成本為 2x ﹐ y 得線性規劃的數學模式為

求k 3x4y的最大值﹐而限制條件為

2 4

2 5

0, 0

x y

x y

x y

 

  

  



﹒

(2)可行解區域如下圖：

(3)求目標函數值﹐

( , )x y k3x4y (0, 0) 0 ( , 0)5

2 7.5

(2, 1) 10 (0, 2) 8

故 ( , ) (2,1)x y  時﹐ k 有最大值 10﹐

即生產 2 單位的 A 產品及 1 單位的 B 產品﹐可得最高利潤 10 元﹒

2. 有

﹐

兩種飼料﹐每公斤的熱量﹐維他命及售價如下：

熱量（千卡） 維他命（公克） 售價（元）

A

1 2 3

B

2 1 4

若每頭牛每日至少需 4 千卡熱量及 5 公克維他命﹐在經濟考量下﹐應如何調 配每頭牛的飼料？

解：

設使用 A ﹐ B 飼料各 x 公斤﹐ y 公斤﹐

熱量（千卡） 維他命（公克） 售價（元）

A （ x 單位） x 2x 3x

B （ y 單位） 2 y y 4 y

則目標函數為 3x4y﹐熱量為x2y﹐維他命為 2x ﹐ y 得線性規劃的數學模式為

求k 3x4y的最小值﹐而限制條件為

2 4

2 5

0, 0

x y

x y

x y

 

  

  



﹒

(2)可行解區域如下圖：

(3)求目標函數值﹐

( , )x y k 3x4y (0, 5) 20 (2, 1) 10 (4, 0) 12

故 ( , ) (2,1)x y  時﹐ k 有最小值 10﹐

即使用 A 飼料 2 公斤﹐ B 飼料 1 公斤﹐飼料的成本最少為 10 元﹒

3. 為預防禽流感﹐營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位的 營養素

､至少 72 單位的營養素

和至少 60 單位的營養素 C 給他的雞群﹐

這三種營養素可由兩種飼料中獲得﹐且知第一種飼料每公斤售價 5 元並含有 7 單位的營養素

﹐3 單位的營養素

與 3 單位的營養素 C ；第二種飼料每 公斤售價 4 元並含有 2 單位的營養素

﹐6 單位的營養素

與 2 單位的營養 素 C ﹒若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養要求﹐試問最少的 飼料成本是多少？

解：

A B C 價格（元）

第一種飼料 x （單位） 7x 3x 3x 5x 第二種飼料 y （單位） 2 y 6 y 2 y 4 y 7 2 84

3 6 72 3 2 60 0, 0

x y

x y

x y

x y

 

  

  

  



(2)目標函數k 5x4y﹐

(3)求目標函數值﹐

( , )x y k5x4y (24, 0) 120

(18, 3) 102 (6, 21) 114 (0, 42) 168

知x18﹐y 時﹐飼料的成本最少為 102 元﹒ 3

4. 南北生技農場今年生產一種植物共 1 萬公斤﹐該植物每 200 公斤可提煉 1 公 斤的中草藥﹐每 5 公斤可製成 1 公斤的健康食品﹒中草藥每公斤可獲利 5000 元﹐健康食品每公斤可獲利 100 元；根據市場調查每年中草藥最大需求量為 30 公斤﹐健康食品最大需求量是 1800 公斤﹒如果南北生技農場決定提煉中 草藥 x 公斤﹐並製成健康食品

公斤﹐設 k 為其可獲利潤﹒

(1)試以 x ﹐

表示 k ﹒

(2)如果想獲得最大利潤﹐則 x ﹐

的值為何？

解：

植物重量（公斤） 利潤（元）

中草藥 x （公斤） 200x 5000x

健康食品 y （公斤） 5 y 100 y

(2)線性規劃的數學模式為

5000k x100y﹐而限制條件為

0 30 0 1800 200 5 10000

x y

x y

  

  

  



﹐

得可行解區域如下圖：

( , )x y k 5000x100y (0, 0) 0 (30, 0) 150000 (30, 800) 230000 (5, 1800) 205000 (0, 1800) 180000 得x30﹐y800時有最大利潤 230000 元﹒

5. 某公司所生產的產品﹐存放在甲﹐乙兩倉庫分 別有 50 單位､40 單位﹐現在市場

､市場

分 別的需求量是 20 單位､30 單位﹐右表是各倉 庫運輸到各市場的每單位運輸成本：

在滿足

﹐

市場的需求下﹐最節省的運輸成本為 18000 元﹒【92 數乙】

市場

市場

倉庫甲 500 元 450 元

倉庫乙 400 元 300 元

解：

設市場 A ﹐ B 來自倉庫甲的產品 各 x ﹐ y 單位﹐則目標函數

500 400(20 ) 450 300(30 )

k x  x y y

100 x150y17000﹐

而限制條件為

0, 20 0 0, 30 0

50 50 ( ) 40

x x

y y

x y x y

  

   

  

   



﹐即

0 20 0 30

10 50

x y

x y

  

  

   



﹒

(2)可行解區域如下圖：

(3)求目標函數值﹐

( , )x y 100k x150y17000 (10, 0) 18000

(20, 0) 19000 (20, 30) 23500 (0, 30) 21500 (0, 10) 18500

故 ( , ) (10, 0)x y  時﹐ k 有最小值 18000 元﹒

6. 建築公司在房市熱絡時推出甲､乙兩型熱門預售屋﹒企劃部門的規劃如下：

甲型屋每棟地價成本為 500 萬元﹐建築費用為 900 萬元﹐乙型屋每棟地價成 本為 200 萬元﹐建築費用為 1500 萬元﹐公司在資金部分限制地價總成本上 限為 3500 萬元﹐所有建築費用的上限為 1 億 2000 萬元；無論甲型或乙型售 出﹐每棟獲利皆為 500 萬元﹐假設推出的預售屋皆可售出﹐請問推出甲､乙 兩型預售屋各幾棟﹐公司才可得到最大利潤﹒

解：

成本（萬） 建築費用（萬） 利潤（萬）

甲型屋 x （棟） 500x 900x 500x

乙型屋 y （棟） 200 y 1500 y 500 y 得限制條件為

500 200 3500 900 1500 12000

0, 0

x y

x y

x y

 

  

  



﹐即

5 2 35 3 5 40 0, 0

x y

x y

x y

 

  

  



﹐

市場 A 市場 B

倉庫甲 x y

倉庫乙 20 x 30y

目標函數k500(xy)﹐ 可行解區域如下圖：

( , )x y k500(xy) (0, 0) 0 (7, 0) 3500 (5, 5) 5000 (0, 8) 4000

因此推出甲型預售屋 5 棟﹐乙型預售屋 5 棟時﹐公司可得最大利潤 5000 萬元﹒

7. 某歌唱訓練班根據以往的經驗得知：每花 10 萬元在報章雜誌上替歌手打廣 告可以提升歌手的形象指數 5 點﹐知名度指數 10 點；反之﹐若是在電臺上﹐

同樣花 10 萬元替歌手打廣告﹐則可以提升歌手的形象指數 6 點﹐知名度指 數 4 點﹒根據市場調查發現成為名歌星的形象指數至少 160 點﹐知名度指數 亦至少 160 點﹐而且綜合指數（形象指數與知名度指數的和）至少 360 點﹒

試問：歌唱訓練班要讓一位新歌手（假設其形象指數與知名度指數皆為 0）

成為名歌星至少應該花多少廣告費？這些廣告費報章雜誌與電臺應各分配 多少﹐效果最好﹒

解：

得

5 6 160 10 4 160 15 10 360

0, 0

x y

x y

x y

x y

 

  

  

  





5 6 160 5 2 80 3 2 72 0, 0

x y

x y

x y

x y

 

  

  

  



﹒

(2)可行解區域如下圖：

(3)求目標函數值﹐

( , )x y 10(k xy) (0, 40) 400 (4, 30) 340 (14, 15) 290 (32, 0) 320

故報章雜誌花費 140 萬元﹐電臺花費 150 萬元時﹐廣告花費最少為 290 萬 元﹒