渾沌與傅立葉分析

(1)

渾沌與傅立葉分析

目的

利用 LabVIEW 所寫的頻譜分析程式，以電腦音效卡做為訊號的輸出與接收器。收到訊號後再經過 LabVIEW 的傅立葉分析程式來找出輸入訊號的頻譜。

對渾沌電路(Chua’s circuit)做頻譜分析。

原理

傅立葉轉換原理

定義函數 f 的傅立葉轉換 F

{ } f ( ) t ^∞ f ( ) t e ⁻

^iω^t

dt

∞

∫ −

=

(eq.1) F

{ } ^f ( ) ^t

^為_{ω 的函數，F}

{ } ^f ( ) ^t

=F

( )

ω (eq.2) 傅立葉轉換可用來做頻譜分析，可以將接收訊號所包含的頻率找出來。我們可以舉一些簡單的例子來看:

考慮一個週期 T 的方波訊號，定義如下:

( ) { t =

f

if

2 / 0

0 2

/

T t

t T

<

−

( ^t ^T ) ^f ( ) ^t

f + =

這個函數有複數級數的傅立葉表示

( )

n

( )

⁽ ⁿ ⁾ ^it

n e t ki

f ² ¹

⁰

1 2

2

_ω

π

∞ −

−∞

∑ =

⁻₋

= ，ω =

₀

2π/

T

(eq.3)

令

( )

ⁿ ^it

n n

e c t

f ∑ ^∞ ^ω

⁰

−∞

=

= 兩邊取傅立葉轉換

F ( )

ω =F

{ } ^f ( ) ^t

⁼

{ }

_



 



 −

=

∑

∑ ^∞

−∞

=

∞

−∞

= c e ^ω

⁰ 2π

c

δ ω

n

ω

0

n

n it

n n

nF (eq.4)

其振幅-時間的函數圖形及傅立葉函數分析圖形如圖 1(a)(b)所示。

t ( )

t

f





=−

0 2

π n

ki

c

_n if n is odd if n is even -ω

₀

ω

₀

3ω

₀

5ω

₀

(a) (b) -k

k

c

_n

圖 1(a) 方波振幅-時間函數圖形圖 1(b) 傅立葉函數分析圖形

(2)

另外若考慮一弦波訊號

f ( ) t

=cos(ω

₀ t

)，同樣將兩邊取傅立葉轉換得

F ( )

_{ω =F}

{ } f ( ) t

=π

[

δ

(

ω −ω

0 ) (

+δ ω+ω

0 ) ]

(eq.5) 可以發現此一弦波只有一個震盪頻率ω ，見圖 2(a)(b)

₀

了解傅立葉分析基本原理後，接下來我們將利用 LabVIEW 所寫的頻譜分析程式(見補充資料)，以電腦音效卡做為訊號的輸出與接收器，分別來分析 LabVIEW 程式產生的訊號及訊號產生器脈波訊號的頻譜。

渾沌電路(Chua’s circuit)介紹

如圖3所示Chua’s Circuit 由四個線性元件(二個電容，一個電感，一個線性電阻)和一個非線性電阻所組成。

利用克希荷夫定律 (Kirchhoff’s Law)，可將Chua’s Circuit 表示成一微分方程組(式6、7、8)：

( ) t f

t ω

( )

ω

F

ω

0

− ω

₀

(a) (b)

圖 2(a) Cosine 弦波振幅-時間函數圖形圖 2(b) 傅立葉函數分析圖形

圖 3 Chua’s circuit

(3)

( 2 1 ) ( ) 1 1

1

v v f v R

dt

C dv

= − − (eq.6)

( 1 2 ) 3 2

2

1

v v i R

dt

C dv

= − + (eq.7)

2 3 v

dt

L di

=−

(eq.8)

其中

i

R =

f ( ) v

R =

G

b

v

R +

( G

a −

G

b

) { v

R +

B

p −

v

R −

B

p

}

2

1 (eq.9)

非線性電阻的部分可用運算放大器作成負阻抗電路，且當VR大於某一電壓值時，運算放大器開始saturate，將兩個這樣的運算放大器並聯，就可以得到I-V 曲線為圖4的非線性電阻。

電路中的電阻及運算放大器的saturation voltage( R1 , R2 , R3 , R4 , R5 , R6 , E

sat

)可以決定Ga , Gb , Bp。只要改變C1、C2、R、L 等參數便可以觀察到不同週期的週期軌道或渾沌(chaos)軌道。C1、C2、L 都是不容易改變的參數，因此我們選定C1=0.0155µF、C2=0.3474µF 並利用RCL Meter 量得L=11.0534mH，串聯電阻Rs=13.9596。只要改變不同的R值，很容易就可以觀察到現象。(關於Chua’s circuit請參考應電實驗室網頁中大學部計畫的成果資料。)

i

R

v

R

G

b

B

p

−

G

b

G

a

B

p

圖 4 非線性電阻的 I-V 特性曲線。

G 、

_a

G 為斜率，轉折點位於

_b

v =

_R −

B

_p及

v =

_R

B

_p

(4)

實驗裝置

圖 3 圖 4

實驗步驟

利用 LabVIEW 程式對訊號產生器產生的訊號作傅立葉分析

1. 先將函數訊號產生器(1)(2)的輸出接上緩衝器(Buffer；圖 3)的輸入端，

後將緩衝器的輸出端和音效卡(介面如圖 5)的 Line In 相接(接線如圖 8 所示)，(別忘記!緩衝器上的 OP 是需要電源的，請幫緩衝器接上±15V 的電 源；圖 4)。調整訊號產生器(1)上的旋鈕輸出 1kHz、振幅 0.2V 的弦波及 訊號產生器(2)輸出 2kHz、振幅 0.2V 的方波。

2. 執行名稱訊號分析.vi 的 LabVIEW 程式，此時觀察程式操作介面上示波圖 5 音效卡介面 Speaker Out

Line In

Microphone

訊號輸入端

訊號輸出端

+15V G -15V

圖 6 Chua’s circuit 信號輸出端圖 7 Chua’s circuit 電源輸入端可變電阻

接

ch1

接

ch2

+15V G G -15V

(5)

器上的圖形是否正確？傅立葉分析所得的圖形頻率的尖峰都出現在何處？和訊號產生器輸入的頻率一致嗎？

3. 實驗所得傅立葉分析的結果和數學上真正去計算所得的結果一致嗎？

圖 8 第一部分儀器接線圖

利用 LabVIEW 產生合成訊號並將之作傅立葉分析

1. 首先執行訊號分析.vi 的 LabVIEW 程式，操作介面中訊號輸出區(圖 10) 可以設定輸出訊號的波形型式、振幅及相位，將 9 個訊號相加後成一矩陣，再經由音效卡輸出。頻率部分由基頻控制，分別為基頻× 1~× 9。將 Signal 1 輸出波形調成輸出 sine 波，振幅調為 1mV，相位為零，讓 Signal 3 同樣輸出 sine 波，振幅 1mV，相位零。在程式中示波器圖形上看見甚麼？傅立葉分析圖形呢？(可將結果用數位相機拍下來)

2. 將音效卡的 speaker out 接到真正的示波器上，訊號輸出維持和步驟 1 一樣的設定，請問示波器上的圖形和程式操作介面中示波器的圖形一樣嗎？

3. 調整不一樣的取樣方法，請問傅立葉分析所得結果有不同嗎？

渾沌電路(Chua’s circuit)的頻譜分析

1. 執行程式名稱 Signal-In.vi 的 LabVIEW 程式，可以發現程式的介面中多了一個 X-Y 圖(圖 11)。

2. 將 Chua’s circuit 的信號輸出端(圖 6)接到緩衝器的輸入端，緩衝器的輸出端請先接一 T 形頭把信號分成兩組，將兩組信號分別接至示波器及音效卡的 Line-In(圖 9)，如此我們可以同時從示波器及 LabVIEW 的操作介面上觀察到渾沌電路相圖上的變化。調整渾沌電路上的可變電阻使之為 Period-1 的情況，分別紀錄下示波器及 LabVIEW 的操作介面上的雙訊號輸出圖和相圖，兩者觀察到的情況一致嗎?紀錄下 LabVIEW 的操作介面上傅立葉分析圖。主要的頻率出現在哪裡?(記得渾沌電路也請接上

±15V 的電源，圖 7)

3. 分別調整渾沌電路上的可變電阻使之為 Period-2、Period-2、Period-4、

Spiral、Double scroll 的情況，重複實驗步驟 2。

Speaker Out

Line In

Microphone

buffer ^{訊號輸入端}

訊號輸出端

訊號產生器(1)

訊號產生器(2)

(6)

音效卡

buffer

訊號輸入端

訊號輸出端

Speaker Out

Line In

Microphone

渾沌電路 Ch1 Ch2

Ch1 Ch2 T 頭

圖 9 渾沌電路頻譜分析接線圖

0

-0 0

500

0 100 200 300 400

rsor 1 ursor 0 0 Sig n al 1

2 Filter order

1.00 輸入校正

5E-3

700E-12 10E-9 100E-9 1E-6 10E-6 100E-6 1E-3

20000 0.0 5000.0 10000.0 15000.0 ? ? ? ? ? -? ?

7E-3

3E-9 10E-9 100E-9 1E-6 10E-6 100E-6 1E-3

20000.

0.0 5000.0 10000.0 15000.0 ? ? ? ? ? -? ? X-axis is frequency

X-axis is frequency Sig n al In p u t

Exponential Window sine

Wavetype

Sig n al 2

square Wavetype 2

Sig n al 3

triangle Wavetype 2

Sig n al 4

sine Wavetype 3 Sig n al Ou t p u t

100 AverageNumber

3.00 Amplitude (mV)

1.00 Amplitude (mV) 2

sine Wavetype 4

Sig n al 5 Sig n al 6 Sig n al 7 Sig n al 8

sine Wavetype 5

sine Wavetype 6

sine Wavetype 7 0.00

phase

0.00 phase 2

0.00 phase 3

0.00 phase 4

0.00 phase 5

0.00 phase 6

0.00 phase 7

0.00 phase 8

1000.00 基頻 (Hz)

sine Wavetype 8

0.00 phase 9 Sig n al 9

設定相位

示波器

傅立葉分析圖形-白線示波器

設定波形形式設定振幅

設定基頻設定取樣方法

圖 10 LabVIEW 程式的操作介面

傅立葉分析圖形-橘線

(7)

0

-0 0

3000

2500 2600 2700 2800 2900

Plot 0 Plot 1 2

Filter order 1.00 輸入校正

4E-6

516E-15 10E-12 100E-12 1E-9 10E-9 100E-9 1E-6

2000.

0.0 500.0 1000.0 1500.0

? ? ? ? ? -? ?

91E-6

15E-12 100E-12 1E-9 10E-9 100E-9 1E-6 10E-6

2000.

0.0 500.0 1000.0 1500.0

? ? ? ? ? -? ?

X-axis is frequency

Sig n al In p u t

Hanning Window 100

AverageNumber

0.1

-0.1 0.0

0.2

-0.2 -0.1 0.0 0.1

XY Grap h

圖 11 LabVIEW 程式的操作介面(具 XY 圖)

預習問題

1. 請查物數課本將原理部分所提方波、弦波傅立葉轉換所得結果推導一次。

2. 何謂 Chua’s Circuit?請參考應電實驗室網頁中大學部計畫的成果資料。

傅立葉分析圖形-橘線

傅立葉分析圖形-白線

示波器

X-Y 圖

渾沌與傅立葉分析