聯考題目為何送分

聯考題目為何送分 _?

張海潮

八十六年七月聯考社會組數學有一題填充題:

設方程式 x⁴+ 3x³+ bx²+ cx + 10 = 0 有四個相異有理根, 則其最大根為 。 這題由於沒有事先假設 b, c 是整數, 結果答案變得似乎無法確定, 所以後來考試試務方面 決定全國一律給分。

如果先設它是整係數方程式, 那麼有理根就一定是整數根, 根據題意, 這四根的和是 −3, 乘積是 10, 所以應該是 −1, 1, 2, −5。

現在, 由於不說 b, c 是整數, 但是知道根是有理數, 所以當然, b, c 也自然是有理數, 並且 可以是任意的, 只要根是相異的有理數就好, 因此問題就等同於

四個相異的有理數, 和是 −3, 積是 10, 四個之中的最大可能是多少?

為了符號上的方便, 假設這四個相異的有理數是 x, y, z, u 因此

x + y + z + u = −3 xyzu = 10

把 x 以 −x, y 以 −y, z 以 −z, u 以 −u 代入, 方程式變成 (註一) x + y + z + u = 3

xyzu = 10 令 3 − u = p

x + y + z = p

xyz = 10/u = 10/(3 − p)

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28

2

93

6

由於 z = p − x − y, 因此得到

xy(p − x − y) = 10/(3 − p)

或 xy(x + y) − pxy + 10/(3 − p) = 0 (1) (1) 式可說是換湯不換藥, 求 (1) 式的通解是很困難的, 因為消分母以後

(3 − p)xy(x + y) − (3 − p)pxy + 10 = 0. (2) 這是一個三個變數的整數係數方程, 要求有理根本是數論上的大問題 (註二)。 所以我們偷個巧, 令 x + y = 0 (註三)。 (2) 式變成

−(3 − p)pxy + 10 = 0, y = −x

得 p²x² − 3px²− 10 = 0 (3) 如果判別式 (3x²)²+ 40x² 是有理數的完全平方, (3) 式中的 p 就是有理數, 因為 (3x²)² + 40x² = x²[9x²+ 40], 所以希望 9x² + 40 = l², l 是有理數。

亦即

l²− 9x² = 40 或 (l − 3x)(l + 3x) = 40 (4) 令 l − 3x = α, l + 3x = β, (4) 式變成

x = β − α 6

(5) 40 = αβ

接句話說, 求一部份解的步驟是 (A) 把 40 拆成 α、β

(B) 令 x = ^β−α6

(C) 令 y = −x

(D) 解 p²x²− 3px²− 10 = 0 (E) 令 z = p

(F) 令 u = 3 − z

(G) −x, −y, −z, −u 即為原方程式之解

例 1. 令 α = 4, β = 10, 得 x = 1, y = −1, z = p = ³2 ± ⁷2 = 5 或 −2, u = −2 或 5。

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例2. α = 2, β = 20 得 x = 3, y = −3, z = p = ¹⁰3 或 −¹3, u = −¹3 或 ¹⁰₃。 例3. α = 1, β = 40 得 x = ¹³₂ , y = −¹³2 , z = p = ⁴⁰₁₃ 或 −13¹, u = −13¹ 或 ⁴⁰

13。 注意到 α 可以是很小很小的有理數, 因此可能的解 x 或 y 的絕對值是可以很大的 (註四)。

註一. 只是符號上簡化, 沒有特別的意義。

註二. 數論/代數幾何的用語是“求佈於有理數的代數曲體上的有理點”。

註三. 只求一部份的解。

註四. 有高中老師問起, 怎樣告訴學生這個題目真正的難度在那裡, 所以引發我去想這個問題, 我只能給一點部份的回答。

—本文作者曾任教於臺灣大學數學系, 現已退休—