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6 積分的應用
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6.4 功
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功
「做功」的功常用來表示完成某些物理運動的效能。
在物理中，功和施作功的力士息息相關的。
在直觀上，我們需要施力去完成一些物理運動，例如將書本 從桌上水平移開，或者抵抗重力往上拉開。
功
我們考慮一個物體受力沿著直線運動，其位置的函數為 s(t) ， 由牛頓第二運動定律，其物體運動的原因來自於力量施予的 加速度：
在 SI 制系統中，質量的單位是公斤 (kg) ，距離的單位是公 尺 (m) ，時間的單位是秒 (s)，力量的單位是牛頓 (N = kg m/s2)
由第二運動定律的公式，可知一牛頓的力作用在一公斤的物 體上可以產生 1 公尺每秒平方的加速度。
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功
考慮施力為常數、加速度也為常數。
此時施力所做的功 (或者說效能) ，我們定義為施力乘上運動的 距離
W = Fd
力的單位為牛頓，距離單位為公尺，此時功的單位便是牛頓 公尺，也同時是我們常見的能量單位焦耳 (joule) 。
範例一
自地板提起 1.2 公斤重的書放至 0.7 公尺高的書桌需要做多 少功？利用重力加速度常數 g = 9.8 m/s2 。
解:
注意到拉提的力氣剛好與重力成反作用力，因此提力為
F = mg = (1.2)(9.8)
= 11.76 N 由定義可知
W = Fd = (11.76)(0.7)
8.2 J7
功
前述的計算是當施力是常數的情況下，那麼若施力是變動的 該怎麼辦呢？
我們考慮物體沿著 x 軸移動，從 x = a 移動至 x = b 的位置。
而在 x 點時，所受到的施力為 f(x) 。(假設 f 為連續函數)
考慮物體在運動到每一點位置附近，施力的變化幅度不大，
則此時在該點附近施力的功則可以用 f(x)
x 逼近。
而在不同點上我們可以把短暫的位移乘上短暫時間內的平均 施力，所得到的功加總起來，大致上便能近似這段過程的功。
功
我們考慮切分 [a, b] 為 n 段，每一小段為 [xi-1,xi] ，長度等寬 皆為
x = (b-a)/n 。
由於假設在每一小段的施力相差不大，此時每一小段中的功 則可近似為
W
i f( ) x
其中 為 [xi-1,xi] 中的取樣點。接著加總每一小段的功，我們便可以得到總功的近似值
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功
同樣，我們藉由取 n 越來越多，區間分割越來越細的同時，
總功的近似值也就會趨近一定積分：
範例二
若物體在距原點 x 公尺處，會受到 x2 + 2x 牛頓往正 x 軸的 推力。則在當此物體從 x = 1 移至 x = 3 時，此力所施作的 功為？
解: 直接積分
得到功 W 大約為 16.67 焦耳。
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功
接下來我們從實際的物理問題來觀察。
虎克定律表示，維持一個彈簧形變的力等比於彈簧伸長量。
也就是當 x 為彈簧形變變化的長度時，其受力為
f(x) = kx
其中 k > 0 為彈簧的彈力係數。
功
下圖可以說明虎克定律的受力：
圖一
虎克定律
(a) 自然狀態 (b) 施加力量使其伸長
光滑底面
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範例三
40 牛頓重的力可以使彈簧從自然長度 10 公分伸長至 15 公 分。則當施力使彈簧自 15 公分伸長至 18 公分時，需要施力 做多少功？
解:
根據虎克定律，我們假設施力與伸長量的關係為
f(x) = kx.
由於 40 牛頓可以從 10 公分伸長為 15 公分，伸長量也就是 0.05 公尺，代入公式得
40 = k (0.05)
範例三 / 解 cont’d
因此
k = = 800
於是 f(x) = 800x ，因此當彈簧自 15 公分伸長至 18 公分時，
其伸長量自 0.05 公尺變化為 0.08 公尺，其間在每一個位置 x 所受的力為 f(x) = 800 x 。
因此在這段期間所受的功為
= 400[(0.08)2 – 0.05)2]
= 1.56 J
