6 積分的應用

6 ^{積分的應用}

6.1 _{更多計算面積的方式}

曲線之間的面積

如下圖，我們想計算介於 x = a, x = b, y = f(x), y = g(x) 之間 的面積。

曲線之間的面積

同樣我們可以將這塊區域用長方塊去覆蓋。將 [a, b] 切分成 n 個等長的長條，接著用 f(x_i^*) – g(x_i^*) 做為長方塊的高度。

曲線之間的面積

在這個分割之下的黎曼和為

也就同時是我們想了解區域面積的一個逼近值。

接著，若在每一個點的高度 f(x) – g(x) 為連續函數的話。我 們便可以根據黎曼積分的存在性，知道這個逼近值在 n  分割越切越細的同時，長方塊的面積 S 會逼近區域面積 A 。 也就是

曲線之間的面積

我們寫成一個定理：

一個特殊的情況便是 g(x) = 0 ， 此時S 便是 f(x) 的曲線下面 積。

曲線之間的面積

另一個特殊的情況是，當 f, g 均為正值，此時從下圖可以看 出， f 與 g 之間的面積，便是 f 的曲線下面積，減去 g 的曲 線下面積。

S

範例一

計算在 y = e^x, y = x, 以及 x = 0 與 x = 1 之間所為的區域面 積。

解:

如右圖四所示，圖形的上界是

y = e

範例一 / 解

利用定理的公式 f(x) = e^x, g(x) = x ，計算範圍在 a = 0 以及

b = 1 之間的積分：

cont’d

曲線之間的面積

在實際的計算前，我們會先稍微刻劃要計算面積的區域。了 解哪一條曲線在上，哪一條曲線在下，接著在每一段長方塊 的地方，了解長方塊的高度是哪一段差：

曲線之間的面積

接著計算面積，便是先計算每一段長方條的面積值：

(y_T – y_B) x

其中 y_T 為在上方的曲線高度， y_B 為在下方的曲線高度。加 總後便得到黎曼和，接著取極限得到積分：

另一點可以稍微注意的是，下圖左端點兩個函數並沒有重合，

卻在右端點重合於一點，但是這並不影響結果。

曲線之間的面積

若我們考慮這樣的情況，在某些區 間上 f (x) 

g (x) ，但在另外的區

f (x) 。

於是我們可以將區域分成幾塊

S

此時面積便可以分開計算

A = A₁ + A₂ + A₃ + …

我們可以觀察出在每一段取值的高度為：

f (x) – g (x) 若 f (x)  g (x)

圖九

曲線之間的面積

當我們單純是要計算總面積的和時，面積的正負便沒有意義。

於是在利用長方塊逼近區塊面積時，在每一段長方塊所取值 的高度必定是取正值的 |f(x) – g(x)| ，於是我們可以改寫面積 的計算公式：

範例五

計算在 x = 0 與 x =



解: 我們先大致上刻劃兩條曲線的圖形。計算交點發生在 sin

x = cos x ，也就是 x = 

x  

x  





範例五 / 解

藉由這個觀察我們將面積分成兩部分積分：

cont’d

範例五 / 解

剛好這是一個特殊的例子，由於 sin(x) – cos(x) 剛好是對 x =  /4 這條軸線是點對稱。也就是取了絕對值之後，函數

|sin(x) – cos(x)| 對 x = /4 是左右對稱。

此時從 x = 0 至 x = /2 的面積便剛好是從 x = 0 至 x = /4 的兩倍：

cont’d

曲線之間的面積

另一方面，有些圖形的界線可能並不好用 x 的函數來表達，

反而是利用 x 是 y 的函數可以描述圖形區塊的左右邊界。

如下圖所示，圖中淺色的區塊是由 y = d, y = c, x = f(y) 以及 x = g(y) 所圍成的。其中 f(y)  g(y) 在 c  y  d 上。

此時的面積便可以用橫條的方塊所覆蓋，當分割越切越細時，

便可以寫成如下的積分：

曲線之間的面積

在我們刻畫好圖形之後，了解哪一條曲線在左、哪一條在右，

於是面積便可以寫成：

最後，更一般的狀況，若 f(y) 與 g(y) 不斷交叉時，我們跟前面一 樣，可以在積分內加上絕對值，

來表示面積。