6 積分的應用

(1)

6 ^{積分的應用}

(2)

6.5 _{函數的平均值}

(3)

3 3

函數的平均值

計算 n 個數值 y₁, y₂, . . . , y_n 的平均值很簡單：

但要怎麼計算一天之內的平均溫度才算合理呢？計算溫度需要測量數值，那麼要測量多少數值也才算合理呢？

右圖一是在一天中的不同時間點所測量的溫度值。

我們大致上估計有一個平均 溫度為 T_ave 。

圖一

(4)

函數的平均值

一般來說，我們想測量函數的平均值，首先便是要平均的測 量在不同時間或地點的數值。考慮函數 y = f(x) 在範圍 a

 x

 b 上。我們可以將 [a, b] 等分為 n 個區間，其中每一個小

區間寬度為

x = (b

– a)/n 。

接著我們在每個區間上都挑選一個取樣點 x₁

, . . . , x

_n



，並 測量其值 f(x₁

), . . . , f(x

_n

) ，最後再來平均：

舉例來說，若 f 為時間 x 時的溫度，我們一天分 24 區段，

每小時測量一次，則 n = 24 。取樣點 x_i



也就是在 i 時與 i+1 時之間的某個時間點。

(5)

5 5

函數的平均值

由於

x = (b

– a)/n ，我們可以改寫 n = (b – a)/x ，此時平 均值則為

其中最右方的加總，便是 f 在 [a, b] 區間上的黎曼和。

所以若我們增加 n 的取樣次數，似乎我們計算平均值時，這個平均值便會靠近某個數值。

(6)

函數的平均值

從定積分的定義我們可以知道這個數值的極限為

因此，我們可以定義連續函數 f(x) 在 [a, b] 區間上的平均值為：

(7)

7 7

範例一

計算 f(x) = 1 + x² 在 [–1, 2] 上的平均值。

解:

考慮 a = –1, b = 2 ，計算平均值的積分為

(8)

函數的平均值

考慮 T(t) 表示時間 t 時的溫度，根據前面的定義，我們可以得到一個合理的平均溫度值。同時，一天下來溫度起起伏伏，

溫度的變化是連續的，似乎應該會有哪個時間點的溫度正好要等於一整天的平均溫度吧？

如右圖所示，溫度曲線與平均溫度相交於中午前後某一點。

更一般來說，給定 [a, b] 上的函數 f ，是否存在其中一點 c ，其函數值 f(c) 恰好為函數在 [a, b] 上的平均值呢？

Figure 1

(9)

9 9

函數的平均值

答案是肯定的，不過我們需要要求函數 f(x) 是連續函數。此時我們有下面定理：

積分均值定理的證明，可以利用一般均值定理再配合微積分基本定理得到。

(10)

函數的平均值

幾何觀點可以幫助我們了解這個定理，考慮 f(x) 為正值函數，

則此時 f(x) 在 [a,b] 上的積分，可以看成是從 x = a 至 x = b 累積同一個平均數值所得：

圖二

6 積分的應用