自我評量
蔡桃桂與家人到好玩農場踏青，已知全票每
張 x 元，且一張全票比優待票貴 15 元。他們
買了 2 張全票及 4 張優待票共需 210 元，求
全票、優待票每張各為多少元？
如何解決上面的問題呢？我們可以把問題中 提到的數量關係，以含文字符號的式子表示，再 依據等量關係列成一元一次方程式，然後依照上 一節所學一元一次方程式的解法來解決原來的問 題。
以下我們將逐步分析原敘述中的各個段落，
分別找出它們蘊涵的意義。請留意標示粗體字的
部分，它的目的是學習如何將已知條件轉譯為數
學式子或方程式，然後再進行適當的解題步驟。
蔡桃桂與家人到好玩農場踏青
， 已知全票每張 x 元，且一 張全票比優待票貴 15 元。
他們買了 2 張全票及 4 張 優待票共需 210 元，求全票
、優待票每張各為多少元？
已知全票每張 x 元，則優待 票每張（ x － 15 ） 元。
1. 以文字符號
來表示問題中
不同的數量。
蔡桃桂與家人到好玩農場踏青
，已知全票每張 x 元，且一 張全票比優待票貴 15 元。 他 們買了 2 張全票及 4 張優待 票共需 210 元 ，求全票、優 待票每張各為多少元？
2. 將各數量的
關係列成一元
一次方程式。
2 張全票需 2x 元， 4 張優待票需 4 （ x － 15 ）元，因為共需 210 元，
所以可列出一元一次方程式 2x ＋ 4 （ x － 15 ）＝ 210 。 解一元一次方程式
2x ＋ 4 （ x － 15 ）＝ 210 得 2x ＋ 4x － 60 ＝ 210 2x ＋ 4x ＝ 210 ＋ 60
6x ＝ 270 x ＝ 45
3. 解一元一
次方程式。
蔡桃桂與家人到好玩農場踏青
，已知全票每張 x 元，且一 張全票比優待票貴 15 元。他 們買了 2 張全票及 4 張優 待票共需 210 元， 求全票、
優待票每張各為多少元？
4. 將方程式的解 代回原問題中
， 確定是否 符合題意。
全票每張 45 元，優待票每張為 x － 15 ＝ 45 － 15 ＝ 30 （元）
2×45 ＋ 4×30 ＝ 90 ＋ 120 ＝ 210 （元） 滿足方 程式
所以全票每張 45 元，優待票每張 30 元。
1 倍數問題
上次段考，光良的國文成績為 x 分，若光良的 數學成績是國文成績的 2 倍少 40 分，且這兩科 的成績合計為 170 分。求光良的國文成績、數 學成績各為多少分？
解 解
搭配習作 P56 基礎題 3 ／ P57 基礎題 6
數學成績是國文成績的 2 倍少 40 分：
因為國文成績為 x 分，所以數學成績為
（ 2x － 40 ）分。
解 解 國文成績加數學成績等於 170 分：
因此可列出一元一次方程式 x ＋（ 2x － 40 ）＝ 170 。 解一元一次方程式
x ＋（ 2x － 40 ） ＝ 170
得 3x － 40 ＝ 170 3x ＝ 210
x ＝ 70
所以國文成績為 70 分，數學成績為
2x － 40 ＝ 2×70 － 40 ＝ 100 （分）。
170 － x ＝ 2x － 40
國文成績 70 分，數學成績 100 分
在例題 1 中，若光良的國文成績為 x 分，
依題意「兩科的成績合計為 170 分」，則
數學成績為（ 170 － x ）分。請依「數學成
績是國文成績的 2 倍少 40 分」列出一元
一次方程式，並分別求出國文成績與數學成
績。
在日常生活中，我們遇到的問題並沒有人幫 我們設定好未知數。如何適當的使用文字符號，
將相關數量列成一元一次方程式，以解決應用問
題呢？通常我們會依據題目的敘述，將希望求得
的答案直接假設為未知數 x 。
2 相反數問題
搭配習作 P58 基礎題 8阿嬌設計一個電腦小程式，每 按一次按鈕，螢幕左邊的數字 會自動加 1 ，同時間螢幕右 邊的數字則會自動減 2 ，如 果一開始螢幕左邊的數字為－
15 ，螢幕右邊的數字為 128
。請問要按幾次按鈕，螢幕兩
邊的數字會互為相反數？
解 解 設須按 x 次按鈕。
螢幕左邊的數字等於（－ 15 ＋ x ） 螢幕右邊的數字等於（ 128 － 2x ）
因為 ( － 15 ＋ x) 和 ( 128 － 2x) 互為相 反數
因此可列出一元一次方程式
( － 15 ＋ x) ＋ (128 － 2x) ＝ 0
解（－ 15 ＋ x ）＋（ 128 － 2x ）＝ 0 得－ 15 ＋ x ＋ 128 － 2x ＝ 0
113 － x ＝ 0
x ＝ 113
所以須按 113 次按鈕。
34 次
在例題 2 中，若阿嬌修改此電腦程式，使得 每按一次按鈕，螢幕左邊的數字會自動加 2
，同時間螢幕右邊的數字則會自動減 3 ，如
果一開始螢幕左邊的數字為 50 ，螢幕右邊的
數字為－ 16 。請問要按幾次按鈕，螢幕兩邊
的數字會互為相反數？
3 點餐問題
解 解
搭配習作 P58 基礎題 8
某速食店一份套餐和一份兒童餐共需 180 元
，曉萱和家人共點了 2 份套餐和 3 份兒童 餐，合計為 430 元。請問一份套餐多少元？
因為想求出一份套餐 多少元，所以假設套 餐每份 x 元。
解 解
2 份套餐需 2x 元，
3 份兒童餐需 3 （ 180 － x ）元。
2 份套餐加 3 份兒童餐的總價錢等於 430 元：
因此列出一元一次方程式 2x ＋ 3(180 － x) ＝ 430 。 解 2x ＋ 3 （ 180 － x ）＝ 430
得 2x ＋ 540 － 3x ＝ 430
－ x ＋ 540 ＝ 430
－ x ＝－ 110
x ＝ 110
所以套餐每份 110 元。
2 × 套＋ 3 × 兒＝ 4 30
x ？
假設一份套餐 x 元。
一份套餐和一份兒童餐共需 180 元：
所以兒童餐每份為（ 180 － x ） 元。
在例題 3 中，若我們假設兒童餐每份 y 元
，請以此未知數 y 列出一元一次方程式，並 求出兒童餐每份的售價，再算出套餐每份的售 價。 2 （ 180 － y ）＋ 3y ＝ 430
兒童餐每份 70 元，套餐每份 110 元
由例題 3 及隨堂練習，我們發現假設每份 套餐的售價為未知數 x ，與假設每份兒童餐的售 價為未知數 y ，隨著假設對象的不同，列出來的 方程式也不一樣，但是將方程式所求得的解代回 原題目時，並不會影響最後的答案。
有時候題目中要求得的答案不只一個，這時
我們可以任意選擇其中一個來當未知數 x 。不過
若能根據它們之間的數量關係仔細選擇，將會使
方程式的列式更容易。
4 三數和差問題
甲、乙、丙三人共同儲蓄，已知甲比乙少儲蓄 270 元，乙比丙多儲蓄 100 元，三人共儲蓄 1 520 元。請問甲、乙、丙三人各儲蓄多少元？
搭配習作 P57 基礎題 5
解 解 求甲、乙、丙三人各 儲蓄多少元，可以先 假設甲儲蓄 x 元。
假設甲儲蓄 x 元。
甲比乙少儲蓄 270 元：
乙儲蓄的錢為（ x ＋ 270 ）元。
乙比丙多儲蓄 100 元：
丙儲蓄的錢為
（ x ＋ 270 ）－ 100 ＝ x ＋ 170
（元）
三人共儲蓄 1520 元：
因此列出一元一次方程式
x ＋ (x ＋ 270) ＋ (x ＋ 170) ＝ 15
20 。
解 解 解 x ＋ (x ＋ 270) ＋ (x ＋ 170) ＝ 1520
得 3x ＋ 440
＝ 1520
3x ＝ 1080 x ＝ 360
甲儲蓄的錢為 360 元，
乙儲蓄的錢為 x ＋ 270 ＝ 360 ＋ 270 ＝ 630 ( 元 ) ，
丙儲蓄的錢為 x ＋ 170 ＝ 360 ＋ 170 ＝ 530 ( 元 ) 。
甲＋乙＋丙＝ 152 0
x ？ ？
甲、乙、丙三人中，乙 和甲、丙都有直接的數 量關係所以選擇乙當未 知數較為方便。
(y － 270) ＋ y ＋ (y － 100) ＝ 1520
甲儲蓄 360 元，乙儲蓄 630 元，丙儲蓄 530 元 在例題 4 中，若假設乙儲
蓄 y 元，請以此未知數 y 列出一元一次方程式，
並求出甲、乙、丙三人各
儲蓄多少元？
選擇不同的未知數，有時候可能使我們不 容易列出方程式或讓列出的方程式比較複雜，
連帶影響了解題的難易度。我們來看看下面的
例子：
5 三數和差問題
將一袋桃子平均分給一群小朋友，若每人分 10 個，則剩 8 個；若每人分 12 個，則不足 6 個。請問小朋友有多少人？桃子總共有多少個
？
搭配習作 P57 基礎題 6 、 7
解一 解一
每人分 10 個 剩 8 個
10x ＋ 8
每人分 12 個不足 6 個
12x － 6
兩者都表示桃子的總數
解一解一
設人數為 x 人
設小朋友有 x 人。
則 10x ＋ 8 ＝ 12x － 6 8 ＋ 6 ＝ 12x － 10x 14 ＝ 2x
2x ＝ 14 x ＝ 7
所以小朋友有 7 人，
桃子總數為 10x ＋ 8 ＝ 10×7 ＋ 8 ＝ 78 （ 個）。
也可以這樣算：
桃子總數為 12x － 6
＝ 12×7 － 6
＝ 78 （個）
解二 解二
每人分 10 個 剩 8 個
每人分 12 個不足 6 個
兩者都表示小朋友的總數 10 8
x
12 6
x
解二 解二 也可以這樣算：
小朋友有 ＝
＝ 7( 人 ) 12 6
x
12 6 78
12 6 10 8 x x
設桃子數為 x 個 設桃子有 x 個。
則＝
兩邊同乘以 60
得 6 （ x － 8 ）＝ 5 （ x
＋ 6 ）
6x － 48 ＝ 5x ＋ 30 6x － 5x ＝ 30 ＋ 48 x ＝ 78
所以桃子有 78 個
，
小朋友有
＝ ＝ 7
（人）。
10 8 x
10 8
78
老師帶了一桶棒棒糖獎勵此次段考數學滿分的同 學，若數學滿分的同學每人分 8 根棒棒糖，則 剩下 3 根；若每人分 10 根棒棒糖，則不夠 5 根。請問此次段考數學滿分的同學有多少人？
一桶棒棒糖有多少根？
4 人， 35 根棒棒糖
6 折扣問題
某廠牌的電腦若以定價的七五折 賣出，則賠本 2000 元；若改以 定價的九折賣出，可賺 4000 元
。
請問這臺電腦的定價是多少元？
解 解
定價的七五折 賣出賠 2000 元
定價的九折 賣出賺 4000 元
兩者都表示電腦的成本
100 75 x 2000 4000
100 90 x
解 解 設這臺電腦的定價 x 元
則 ＝
75x ＋ 200000 ＝ 90x － 400000 600000 ＝ 15x
x ＝ 40000
所以這臺電腦的定價是 40000 元。
100 75 x 2000 4000
100 90 x
某物品若以定價的七五折賣出，則賠本 40 元
；若改以定價的九折賣出，可賺 110 元，請問
此物品的成本是多少元？ 790 元
有時我們求出方程式的解，代回原題目後
會發現答案與現實生活或原題意不符，此時就
表示這個應用問題沒有解。
7 年齡問題
某天杰倫問數學老師今年幾歲，老師說：「我 的年齡比我兒子大 28 歲； 8 年後，我的年齡是 他的 5 倍多 4 歲。」請幫杰倫算出老師今年幾 歲？老師的兒子今年幾歲？
解 解 老師 ( 歲 ) 兒子 ( 歲 )
今年 x x － 28
8 年後 x ＋ 8 (x － 28) ＋ 8
搭配習作 P58 基礎題 8
解解
則他的兒子今年為（ x － 28 ） 歲；
8 年後，老師為（ x ＋ 8 ） 歲，
他的兒子為（ x － 28 ）＋ 8 ＝ x － 20
（歲）。
x ＋ 8 ＝ 5 （ x － 20 ）＋ 4 x ＋ 8 ＝ 5x － 100 ＋ 4
x ＋ 8 ＝ 5x － 96 104 ＝ 4x
x ＝ 26
8 年後，老師的年齡是
兒子年齡的 5 倍多 4 歲
設老師今年 x 歲，
解解
所以老師今年為 26 歲，
老師的兒子今年為 x － 28 ＝ 26 － 28 ＝－ 2
（歲），
因為年齡不可能為負數，所以這個問題沒有解。
飛兒說她的生日日期為月分的 15 倍，且 其月分和日期的和為 32 。請問飛兒的說法 正確嗎？為什麼？
不正確，因為解得其生日為 2 月 30
日，不合理
一元一次方程式應用問題之解題步驟：
(1) 先從問題的敘述中找出條件。
(2) 選擇一個適當的未知數。
(3) 把問題中提到的數量關係，以含文字符號
的式子表示。
(4) 依據數量關係列成一元一次方程式。
(5) 依據所列的方程式求出未知數的值。
(6) 依題意寫答。（注意是否符合題意，或有
不合理的情形）
只要給我一個支點，我可以舉起整個地球。
— 阿基米德（ Archimedes ， 287B.C.-212B.
C. ）
3-3 自我評量
1. 惠妹到文具店影印，影印費每張 2 元，加封 面裝訂需 50 元。如果惠妹影印了 x 張，並 加封面裝訂，一共付了 290 元。請問惠妹影 印了多少張？
120 張
2. 奶茶每杯 x 元，若加珍珠粉圓則多加 5 元。
已知柯子堅買了 5 杯奶茶，其中 2 杯有加珍 珠粉圓，一共要付 110 元。請問奶茶每杯多
少元？ 20 元
3. 楊若茹的年齡比老師小 20 歲， 6 年後，老 師的年齡是楊若茹年齡的 2 倍。請問楊若茹 今年多少歲？
14 歲
4. 一群學生分配宿舍，如果 8 人住一間，則 有
3 人無宿舍可住；如果 9 人住一間，則有 一間只住 3 人。請問宿舍有多少間？學生有 多少人？
宿舍有 9 間，學生有 75 人
5. 下表為某照相館的價目表，今逢周年慶，底 片沖洗與照片沖洗皆打九折。逸臣帶了一卷底 片去沖洗規格（ 3×5 ） 的照片若干張，打折 後共付了 189 元。
請問逸臣洗了多少張 照片？
35 張
6. 眾所皆知，壁虎有斷尾求生的本能。有一天 壁虎小白遇到了調皮的人類小新，嚇得斷掉 尾巴趕緊逃走，小白回家後，發現牠斷掉的 尾巴為 2 公分，且此時的身長 （尚未開始 長出尾巴） 為原身長的 23 多 2 公分，請問 小白原身長為多少公分？
12 公分
代數之父—丟番圖
希臘 丟番圖（ Diophantus of Alexandria
， 200-284 ）被譽為代數學（ algebra ）的鼻 祖。代數學不同於其他學科的最大特點是引用 未知數，並對未知數運算。丟番圖引入未知數
，創造未知數的符號，並架構方程式的思想體
系。以下所引用的是丟番圖的墓誌銘，內容純
粹是用數學問題的形式寫的 ：
設丟番圖活了 x 年
（用 x 表示各時段的年數）
5 4
x6 x12 x7
x2
列式與求解
x ＝ 84 （歲）
x x x
x
x
45 2 7
12
6
