微積分

微積分^二版

林光賢．陳天進．劉明郎著

Chapter 7 多變數微積分

Chapter 7 多變數微積分

 課程內容

多變數函數

偏微分

多變數函數的極值

受制型極值與拉氏乘子 法

最小平方法

全微分

二重積分

 學習目標

如何在三維坐標上描繪出

二個變數函數的圖形

如何求偏導數與多變數函

數的極值

如何使用拉氏乘子法求受

制型的極值

如何使用最小平方法建立

數學模型

瞭解全微分的意義及其應

用

如何求二重積分

多變數函數

 本章之前所討論的函數都只有一個自變數，其格式 為 y = f(x) 。許多函數可能含有若干個自變數，例 如長途電話費就與三個變數有關：距離、通話時段 與通話時間。

 首先介紹兩個變數的函數，函數 f 與二個變數 x

， y 有關，則寫成 z = f(x, y) ， f(x, y) 的定義域為 函數有定義的所有有序對 (x, y) 的集合。值域則為 所有函數值的集合。

求定義域與函數值

 設 ，求 (a) 定義域　 (b) f

(9, 2) 。

 設 f(x, y) = e^xy

 lny ，求 (a) 定義域　 (b) f(2, 1) 。

2

)

,

(

y x

x

f



成本函數與生產函數

 求成本函數

某公司生產腳踏車與直排輪鞋，其每週的固定成本為 120000 元。其變動成本分別為腳踏車 2200 元，直排輪鞋 700 元。

(a) 求其成本函數。

(b) 求生產 200 台腳踏車與 300 雙直排輪鞋的總成本。

 Cobb-Douglas 生產函數

經濟學家用來描述資本財與勞動力兩者間的關係稱為 Cobb-D ouglas 生產函數，其形式如下：

其中 K 表示資本財的單位， L 表示勞動力的單位。通 常資本財則包括建築物、設備與原物料，勞動力都以工時為 單位。若 P(K, L)=100K^1/4L^3/4，求 P(150, 220) 。

1 0

, 0 ,

) ,

(K L  K^L^1      P

三個或更多變數的函數

 求體積與面積

一個上面有開口的箱子，中間有隔板均分成二部分如下圖 所示。求箱子的體積 v 與箱子所需的紙板面積 M 。

解 : v = xyz

M = yz + 2xy + 3xz

描繪函數圖形

 格式為 z = f(x, y) 的函數，欲描繪 z = f(x, y) 的圖 形需要使用三維空間才能描出點 (x, y, z) 。例如點 (2, 3, 4) 與 (2, 2, 3) 描繪於右圖。

 通常函數 z = f(x, y) 的圖形 為三度空間的曲面 (surface)

。繪製含有二變數的函數圖 形需應用到三度空間的圖，

是一件不容易的事。

描繪函數圖形

 繪出 f(x, y) = x² + y² 的圖形。

 解 : 先令 z = x² + y² 。然後 選擇若干個 x 與 y 的值

。當 x = y = 0 ，得 z = 0 + 0 = 0 ，表示點 (0, 0, 0)

。當 x = 1 與 y = 1 ，得 z = 1² + 1² = 2 ，表示點 (1, 1, 2) 。當 x = 0 與 y = 2

，得 z = 0 + (2)² = 4 ，表 示點 (0, 2, 4) 。其完整的 圖形如右圖。

相對極點

 定義 7-1: 曲面 z = f(x, y) 上的點 (a, b, c) ，若對 (a, b) 周 圍某個區域內的所有 (x, y) 均有 f(a, b)  f(x, y) ，稱為相對 極大點。

 定義 7-2: 曲面 z = f(x, y) 上的點 (a, b, c) ，若對 (a, b) 周圍 某個區域內的所有 (x, y) 均有 f(a, b)  f(x, y) ，稱為相對極小 點。

鞍 點

 我們有時也會以相對極點 (relative extreme point) 來統稱相 對極大點與相對極小點這兩種極點。曲面上可能會有若干個 相對極點，甚至沒有極點。

 另外下圖的點稱為鞍點 (saddle point) ，從曲面的一個曲線 來看鞍點是最高點，從另一條曲線來看這個最高點卻又變成 最低點，所以鞍點不是相對極點。

隨堂演練 7-1

1. 繪出 f(x, y) = 3x + y + 2z = 6 的圖形。

2. 存款 10,000 元於銀行帳戶 內，若連續型複型複利為 r% 且存款 t 年，將帳戶 的累積總存款記為 r 與 t 的函數為 A(r, t) ，求 A(5, 10) 。

3. 求下列函數的定義域：

4. 將下圖圓柱體的表面積表 示成 r 與 h 的函數 S(r, h) ，並求 S(3, 10) 。

y y x

x h

y x

y x g

y x

y x f

 









 ) 1 , ( c.

25 )

, ( b.

2 3

) , ( a.

2 2

偏微分

 對於單一變數的函數 f(x) ，其導數 f '(x) 是用來度量 當獨立變數 x 產生變化時，函數值 f(x) 的變化率。

 對於超過一個變數的函數 y = f(x₁, x₂, … , x_n) 我們當然 也可以問當獨立變數 x_i 改變時 f(x₁, x₂, … , x_n) 的變 化為何？

 多變數函數有多個導數，每個單一變數對應一個導數

，這個導數我們稱為偏導數 (partial derivative) ，其過 程稱為偏微分 (partial differentiation) 。

 偏導數是用來度量當其中一個變數變動而其餘固定不 變時，多變數函數值的變化率。

偏導數

 定義 7-3:

1. 函數 f(x, y) 對 x 的偏導數為

在計算 時， y 維持固定不變。

2. 函數 f(x, y) 對 y 的偏導數為

在計算 時， x 維持固定不變。

h

y x f y

h x f x h

f ( , ) ( , )

lim

 





x f





h

y x f h

y x f y h

f ( , ) ( , )

lim

 





y f





偏導數

 求偏導數

 偏導數常以寫在函數下的足標來表示，足標為 x 表示 對 x 的偏微分，足標為 y 表示對 y 的偏微分。即

 若 f(x, y) = 5x³  3x²y⁴ 6y³，求 f_x(x, y) ， f_y(x, y) 。

 若 f = e^xln y ，求 f_x， f_y 。

 若 f = (xy³ + 2)³，求 f_x 。

) 1 2

2 3

( ,

,

, ^{3 5 5 2 3 2}

5

3 _^ _^ _^    

_x x y _y x y _x y _x x x y y x

yz xz y

x

y y x x

f f

y x f z

y x f y

x f

y x f y

x f

,

) , (

) , ( )

, (

), , ( )

, (





















偏導數

 求偏導數

若 ，求 g_y。

若 f(x, y) = ln(x³+y³) ，求 f_y(x, y) 。

若 ，求 f_x(2, 1) 。

求 。

 偏導數的意義

偏導數只對其中的一個變數微分，其餘的維持不變，因此 偏導數可解釋為一次只針對一個變數的瞬時變化率。

 f_x(x, y) = ( 當 y 固定時，函數 f 對 x 的瞬時變化率 )

 f_y(x, y) = ( 當 x 固定時，函數 f 對 y 的瞬時變化率 )

2 2

2 y x

g xy

 

2

) 2

,

(x y e^{x y}

f  ^

) (x³y²z

y f





偏導數的意義

 設 Cobb-Douglas 生產函數為 P(K, L) = 20K^0.3L^0.7 。 求 P_K(150, 120) 及 P_L(150, 120) ，並解釋其意義。

 解 : P_K = 6K^0.7L^0.7

, P

(150, 120)= 6(150)

(120)

 5.13

產能約增加 5.13 單位。這稱為資本財的邊際生產量

解。 : P_L

=14K

, P

(150, 120)=14(150)

(120)

 14.9

6

，產能約增加 14.96 單位。這稱為勞動力的邊際生產

量。這兩個值表示在 K = 150 與 L = 120 單位時，欲增加生產 量增加勞動力一單位的效果約等於增加一單位資本財的 3 倍

偏導數的意義

 就如同導數一樣，偏導數也可以解釋成邊際函數。

令 C(x, y) 為生產 x 單位產品 A 與 y 單位產品 B 的成本函數，則

C_x(x, y) = ( 產品 A 的邊際成本函數，當產品 B 的產量 維持不變時 )

C_y(x, y) = ( 產品 B 的邊際成本函數，當產品 A 的產量 維持不變時 )

 同理，對收入與利潤函數上述之定義同樣適用。偏 微分只定義一個變數的邊際函數，這時其他的變數 均維持不變。

求邊際利潤函數

 某公司每日由生產 x 台電腦與 y 台鍵盤所得的利 潤為 P(x, y) = 6x^3/2 + 4y^3/2 + xy 。求其邊際利潤函數，

計算 P_y(225, 400) 並解釋其意義。

 解 : P_x

(x, y) = 9x

+ y, P

(x, y) = 6y

+ x

(225, 400) = 6(400)

+ 225 = 345

意義 : 當產量為 225 台電腦與 400 台鍵盤時

，這時鍵盤的產量由 y = 400 增為 y = 401 時，利 潤約增加 345 元。

偏導數就是斜率

 函數 f(x, y) 在三度空間上表示成曲面，偏導數則是曲面 上不同方向的斜率： 表示曲面上 P 點在 x 方向的斜率， 表示曲面上 P 點在 y 方向的斜率，如圖所示。

) , (x₀ y₀

x f





) , (x₀ y₀

y f





 在右圖中，想像由點 P 往 y 軸的方向前進這時是上坡還是 下坡呢？這時是上坡的方向，

因為 。由點 P 沿 x 軸的方向前進則是下坡，因

為 。

 0



 x f

 0



 y f

偏導數就是斜率

 某公司每週生產電視與收音機的數量分別表示為 x 與 y 。 其利潤函數 P(x, y) = 40x  x² + 80y  y² ，求此函數圖形 z

= P(x, y) 在點 (20, 40, 2000) 往 x 軸與 y 軸方向的斜率。

 解 :

0 )

40 ( 2 80 )

40 , 20 (

2 80

0 )

20 ( 2 40 )

40 , 20 (

2 40

) 80

40

( ^{2 2 2}















 

   













Pyy Px P

x Px

y x

y y

x x

 Q = (20, 40, 2000) 為圖形 z

= P(x, y) 的最高點，這時正 是二個方向斜率均為 0 之

偏導數在經濟學的應用

 偏導數可用來描述二種商品彼此為互相競逐型還是 互補型。

 二種商品稱為彼此競逐型，當一種商品的需求增加 時伴隨的結果是另一種商品需求的減少。咖啡與茶 葉就是最古典的競逐型商品的範例，還有如國產汽 車與進口汽車的競爭、自用車通勤與大眾運輸工具 通勤、白米與麵粉的消費。

 互補型商品表示二種商品間有同向的關係，當一種 商品的需求增加時，另一種商品的需求也跟著增加。

例如高爾夫球桿與高爾夫球鞋、刮鬍刀與刮鬍泡等

。

商品互為競逐型與互補型

 假設有二種商品 A 與 B 。 x 與 y 分別表示商品 A 與 B 每 單位的價格。令函數 f(x, y) 表示商品 A 的需求函數，函數 g (x, y) 表示商品 B 的需求函數。此函數恆有下列關係：

: 因為商品 A 的價格 x 上升，則商品 A 的 需求會下降。

 兩商品在價格 (x₀, y₀) 時為競逐型

: 表示當商品 B 的價格上升時，

商品 A 的需求增加；知 B 的價格上升時，商品 B 的需求 減少；商品 B 的需求減少導致商品 A 的需求增加。

 兩商品在價格 (x₀, y₀) 時為互補型

: 表示某商品價格的上升必使另 一商品的需求減少，就是二者需求均減少。

0

,

0 

 _^





y g x

f

0 )

, (

, 0 ) ,

( _{0 0}  ^_{ 0 0} 



 _y^f x y ^g_x x y

0 ) , (

, 0 ) ,

( _{0 0}  ^_{ 0 0} 



 _y^f x y ^g_x x y

競逐型與互補型

 兩種商品 A 與 B ，當其價格分別為 x 與 y 時 的需求函數為

f(x, y) = 300 6x²

+ 10y

(A 的需求函數 ) g(x, y) = 600 + 6x  2y

(B 的需求函數 )

 兩種商品 A 與 B ，當其價格分別為 x 與 y 時 的需求函數為

(A 的需求函數 )

(B 的需求函數 )

y x

yy x x

y x g

y x f

4 34030

) , (

) , (









高階偏導數

 重複執行偏微分於多變數函數上將產生高階偏導數 (higher order p artial derivative) 。因這時會遇到混合的偏微分，要注意其符號的 用法，就是先針對某個特定變數做偏微分，然後再對其他變數執 行偏微分。

 我們將二階偏導數的符號及意義表列如下：

求二階偏導數

 求函數 f(x, y) = x²y³ + e^2x lny 的四個二階偏導數。

 解 : 首先求 f_x = 2xy³ + 2e^2x lny

x xy y

xx x

e xy

f

y e

y

f 2 2 2

2 3

6

ln 4

2









x yy y

x yx y

e y

x f

e xy

f

1 2 2

2 2 2

6 2

6







 ^f_{換偏微分的先後次}^{xy = fyx ，這表示調}

序並無不同。

隨堂演練 7-2

1. 求 f_x(x, y) 與 f_y(x, y) 。

2. 驗證 fxy = fyx：

3. 存款 10,000 元 於銀行帳戶 內，存款 t 年以年息 r 的連 續型複利計息，則其帳戶總額 為 A(r, t) = 10000e^rt，求 ，並解釋其意義。

4. 求函數的三個一階偏導數

：

5. 根據所給的一組需求函判 別這兩種商品為競爭型或互 補型：

xy xy

xye y

x f

x e

y x f



 ) , ( b.

ln )

, ( a.

) 3 ln(

) , ( b.

) , ( a.

2 3 2

y x

y x f

e y

x

f ^{x y}





 ^

r t r A



 ( , )

) 2

ln(

) , , ( b.

3 2

) , , (

a. ^{2 2 2}

z y xy

z y x f

z y

x z

y x f











y x

y x

g x

y y x f

x x

y x g

y x

y x f























20 )

, (

10 )

, ( b.

5 100

) , (

2 50 )

, ( a.

2 3

3 2

多變數函數的極值

 函數 f(x, y) 的圖形可看成曲面，這個曲面就像地表的地形 有相對極大點 ( 山峰 ) 與相對極小點 ( 谷底 ) 以及鞍點。

 以函數的觀點而言，函數在這些點產生相對極大值與相對極 小值或者兩者皆不是。本節將討論如何求出臨界點及使用二 階導數判別法來判別函數的相對極值。

 山丘的最高點的斜率 ( 或稱坡度 ) ， 不論從那個方向看都是 0 。這時可 以將一枝旗桿水平放在最高點上 ( 如圖 ) 。偏導數 f_x 與 f_y 分別表示 x 與 y 方向的斜率，所以在相對極 大點與極小點上這二個偏導數應該 均為 0 。我們就稱此點為臨界點 (c ritical point) 。

臨界點

 定義 7-4: 若 f_x(a, b) = 0 且 f_y(a, b) = 0 ，則稱點 (a, b) 為函數 f(x, y) 的臨界點。

 求臨界點

求函數 f(x, y) = 6x + 3y  x²  y² – xy 的臨界點。

D 判別法

 D 判別法 : 若點 (a, b) 為函數 f(x, y) 的臨界點，令 D D = fxx(a, b) ． fyy(a, b)[fxy(a, b)]²

1. 若 D > 0 且 f_xx (a, b) < 0 ，則 f(a, b) 為函數 f(x, y) 的相對極大值。

2. 若 D > 0 且 f_xx (a, b) > 0 ，則 f(a, b) 為函數 f(x, y) 的相對極小值。

3. 若 D < 0 ，則 (a, b) 為函數 f(x, y) 的鞍點。

 使用 D 判別法應注意以下事項：

D > 0 並不足以保證該臨界點為相對極大值或相對極小值。需再檢查二階 導數的正負 ( 即檢查 fxx 或 fyy 均可 ) ，才能判定為相對極大或相對極 小。

D < 0 表示臨界點是鞍點，不必考慮 fxx 的正負。

D = 0 表示 D 判別法無法判別，這個臨界點可能是相對極大、相對極小 或鞍點。

利用 D 判別法求極值

 利用 D 判別法求極值

求函數 f(x, y) = 6x + 3y  x² y² – xy 的極值。

 求相對極值

求函數 的相對極值。

 求最大利潤

某汽車廠生產小型與中型轎車，小型車的價格函數為 p (x) = 60 8x ， x ≦ 7 ；中型車的價格函數為 q(y) = 80 

4y ， y ≦ 20 ，價格以萬元為單位，生產量 x 與 y 則 表示每小時的產量。若該車廠的生產成本為 C(x, y) = 52x + 64y  8xy + 20 萬元。求車廠追求最大利潤的最佳生產量 與售價為何？並求其最大利潤。

2

) 2

,

(x y e^{x y}

f  ^

求相對極值

 求最大利潤與最佳售價

某超商有白色蛋和棕色蛋可供顧客選購，這兩種蛋互為競 逐型商品，其銷售量依售價互相消長。假設該超商已知當 白色蛋每斤 x 元，棕色蛋每斤 y 元時，白色蛋每日的 銷售量為 W(x, y) = 35015x + 6y ( 斤 ) 。棕色蛋每日的 銷售量為 B(x, y) = 250  10y + 4x ( 斤 ) 。求超商每日售 蛋的最大收入，最佳售價 x 與 y 分別為何？

 求相對極值

求函數 f(x, y) = x² + y³  8x  27y 的相對極值。

獨佔事業與偶佔事業

 最後我們介紹法國經濟學家 Antoine Cournot 於 1938 年比較獨佔 事業 (monopoly ，市場只有一家供應商 ) 與偶佔事業 (duopoly

，市場有二家競爭的供應商 ) 的差異。這個比較方法，應用多變 數函數求極大值的技巧，得到相當有趣的結果。

 獨佔事業：假設劉先生擁有一口良質的礦泉，使用自有的泉源生 產礦泉水且為小鎮的唯一供應商，因為生產成本極低，此處不予 計算。如果他的價格函數為 p = 60 0.01x ， x≦6000 ，其中 p 表示每日可以賣出 x 公升的價格。故劉先生的收入函數為 R(x)

= (60  0.01x)x = 60x  0.01x²。要使收入最大，求 R'(x) 並令其 等於 0 ：

因此劉先生每日售出 3000 公升，售價則為 p = 60  0.01( 300 0) = 30 ( 元 / 公升 ) 。最大收入為 ( 因為二階導數為負 ) R(3000) = 60 ． 3000 0.01(3000)² = 90000 。

3000

0 02

. 0 60 )

(      ₀⁶⁰_.02 

 x x x

R

偶佔事業

 偶佔事業：劉先生的鄰居陳先生發現賣水還頗有賺頭，也開了一口 泉井生產起礦泉水和劉先生競爭。這時劉先生與陳先生需爭食同一 塊市場。設陳先生每日售出 y 公升。這時兩人的價格函數為 p

= 60  0.01(x + y) = 60  0.01x  0.01y

 這兩人的收入仍是價格乘以數量：

( 劉的收入 ) = p ． x = (60  0.01x  0.01y)x = 60x 0.01x² 0.01xy ( 陳的收入 ) = p ． y = (60 0.01x 0.01y)y = 60y 0.01xy 0.01y²

 兩人都想追求最大收入，故取偏導數並令其為 0 ：

所以每人每日都賣出 2000 公升。售價則為 p = 60  0.01(2000 + 2000) = 60 – 40 = 20 ( 元 / 公升 ) 。每個人的收入則為 40000 元。

2000

0 2000 02

. 0 01

. 0 60

0 01

. 0 02

. 0

60   



 



  

 x y

y x

y x

獨佔事業與偶佔事業

 我們列一個表比較獨佔與偶佔的差異如下：

 由上表可知偶佔的情況生產較多的礦泉水，且售價也降低了。

Cournot 下結論認為競爭的狀態較獨佔的狀態對消費者有利。

但是，聰明的商人最後終究瞭解其收入 40000 元小於 90000 元 的一半，這會趨使他們走向合作，共享市場，最後變成獨佔 的狀態。這種狀態稱為聯合壟斷 (collusion) 。這就是當市場 僅有極少數的供應商時，最後會趨向聯合壟斷而不是完全競 爭的理由。

隨堂演練 7-3

1. 求函數 f(x, y) = 3x²  2xy + y² + x 的臨界點。

2. 求函數 的相 對極值。

3. 求體積為 27 平方公尺的立方體，表面積最小的長、寬與 高。

4. 求三個正數其和為 48 ，其乘積為最大。

5. 某工廠生產 A 與 B 兩產品，其需求函數分別為 p(x, y)

= 4 x + 3y 與 q(x, y) = 8 + x  2y ，求其收入最大的定價 為何？

2 2

1 1

) 3 ,

(x y xy x y xy

f   

受制型極值與拉氏乘子法

 許多商業上的應用，希望找到多變數函數的最大值 與最小值，並且這些變數需滿足某些限制式 (constr aint) 。例如，公司想要獲取最大利潤並使其花費在 原定預算之內，或者某酒廠想要設計一個鋁罐希望 所使用的材料最小但容量正好為 500cc 。

 這類受制型極值的問題可使用拉氏乘子法 (Lagrang e multiplier method) 求解，這方法是法國數學家 Jos eph Louis Lagrange (1736-1813) 所發明的。

求受制型的最大利潤

 某家電公司，希望訂定最適當的標準型與豪華型洗 碗機的生產數量，以獲取最大的利潤。若已知其利 潤函數為 P(x, y) = 40x + 20y  x²  y² ( 元 ) ，其中

x 與 y 分別表示標準型與豪華型洗碗機的每日產量。

該公司每日的產能為 20 台洗碗機。

 每日的產能為 20 台，可以寫成 x + y = 20 。在例 中我們欲求 P(x, y) 的最大值，此 P(x, y) 稱為目 標函數 (objective function) 。產能受制於 (subject t o, s.t.) x + y – 20 = 0 的限制式。問題可以寫成

0 20

s.t.max ( , ) 40 20 ^{2 2}





    

y

x x y x y x y

P

拉氏乘子法

 我們利用多變數函數的方法來求解。首先，我們引入一個新的 變數 ，將此問題改寫成函數 L(x, y, ) 稱為拉氏函數 (Lagra nge function) ，為目標函數加上 ^{乘以限制式：}

 拉氏函數有三個變數 x 、 y 與 ，我們分別對這三個變數求 偏導數並令其為 0 ：

 聯立方程式解為 x = 15 ， y = 5 ，  = 10 因此 P(15, 5) 即 為最大利潤。所引進的變數 ^{稱為拉氏乘子} (Lagrange multipl ier) 。

) 20 (

20 40

) , ,

(x y  x  y  x²  y²  x  y 

L  

0 20

0 2

20 2 0

40







   

   



y x

L

y

L x

L

y x





拉氏乘子法

拉氏乘子法

 當利用拉氏乘子法找出臨界點後，這方法並未保證 所找到的臨界點即為目標函數的最大值或最小值。

 D 判別法， D = f_xxf_yy  (f_xy)² ，只適用於非受制型的 極值問題，在解受制型的極值問題並不適用。

 遇到受制型的極值問題時，我們必須確認最大值或 最小值確實存在，也就是確定問題有答案，則解答 必在由拉氏乘子法所求出的臨界點之中。

 要如何確認所求的問題有解呢？事實上，大部分合 理的應用問題都有解。

拉氏乘子法求最大面積

 農夫想要沿著房子的一面牆圍一座矩形的畜欄，靠 牆的這邊不需要柵欄，如果他只準備 80 公尺的柵欄

，請問如何圍出最大的面積？

 解 : 問題變為 :

先寫出拉氏函數

求拉氏函數的偏導數令其為 0 ：

0 80 2

s.t.max





 y x xy A

) 80 2

( )

, ,

(x y  xy  x  y 

L  

0 80 2

00 2







  

  



y x L

x

L y

L

y x





4020 20







^y x

拉氏乘子法求半徑與高

 製罐公司設計容量為五公升的圓柱型鐵罐，希望使 用最少的材料，求此鐵罐的半徑與高。

 解 : 為使鐵罐所使用的材料為最少，就是要求鐵罐有最小的表面 積。令半徑為 r ，高為 h ，則鐵罐的表面積為 A = 2r² + 2r h 體積則為 V = r² h 。所以原問題變成：

5000

s.t.

2 2

min 2

2





 h r

rh r

A

  

拉氏函數為

求拉氏函數的偏導數令其為 0 ：

) 5000 (

2 2

) , ,

(r h  r²  rh  r²h 

L     

0 5000

0 2

0 2

2 4

2

2





















h r L

r r

L

rh h

r L

h r

 









h r  2

54 . 18.27

9 hr 

拉氏乘子法求最大產能

 某工廠預估其生產函數為 P(K, L) = 100K^1/4 L^3/4，其中 K 與 L 分別代表資本財與勞動力的單位數量。每單位的資本財成 本為 200 元，每單位的勞動力成本為 100 元。若每小時 所能使用的資本財及勞動力限制為 8000 元，求資本財與勞 動力的配置數量使產能為最大。

 解 : 原問題變成

8000 100

200

s.t.max ( , ) 100 ^{1 4 3 4}



  L

K L K L

K P

拉氏函數為

) 8000 100

200 (

( , , ) 100 ^{1 4 3 4}





 

L

K K L

L K

L  

令其偏導數為 0 ：

0 8000

100

200 100 0

75

0 200

25 1 4 1 4 4 3 4 3







  







 



L K

L K L

L

L K

L

L K



 K

L 6 60

 10 L

K

拉氏乘子的意義

 拉氏乘子  有極重要的意義，若我們將目標函數的單位稱為「目標單 位」，限制式所使用的單位稱為「限制單位」，則 ^{的意義如下。}

 |= 每增加額外一單位的限制單位約可增加的目標單位的數量。

 觀察農夫圍畜欄的例子，農夫總共有 80 公尺的柵欄，這是他的預算。

因此 為每增加 1 公尺的材料畜欄所增加的面積。該例題的 = 20

，表示每增加 1 公尺的材料則畜欄約增加 20 平方公尺。

 設農夫現有 81 公尺的材料，他可以將長度 y 增加 1 公尺，用掉多 出來的 1 公尺，面積就多出 20 平方公尺；他也可以將寬度增加 0.5 公尺，多出來的面積還是 20 平方公尺；但是如果我們以材料 81 公 尺，使用拉氏乘子法重解，所得的答案為 x = 20.25 ， y = 40.5 ， A = (20.25)(40.5) = 820.125 其所增加的面積應為 20.125 平方公尺，這是我 們前面解釋 時均宣稱「約」的原因。

受制型極值的幾何意義

 求

2

s.t.max ( , ) 16 ^{2 2}



   

y

xf x y x y

 解 : 拉氏函數為

L(x, y, ) = 16 – x² – y² + (x + y – 2) L_x = 2x +  = 0

L_y = 2y +  = 0 L_ = x + y – 2 = 0

14 )

1 , 1 (

1

,

1 

 f

y x

目標函數 f(x, y) = 16  x²  y² 為開口向下的拋物面，

其最大值出現在 (0, 0, 16) 。

求最大值與最小值

 求函數 f(x, y) = 4xy 滿足 x² + y²=50 的最大值與最小值。

 解 :

拉氏函數為

L_y = x + 2y = 0 L_ = x² + y² – 50 = 0

yx x

y 2

2 ,  



 



2 2 2

2_x^y  _y^x , y  x

即 y

= x

，所以 y = x 。代入

= 0 ，得 2x

50 = 0 。因此， x

= 5 ， y = 5 。 x = 5 與 y = 5

的組合，共可組成四個臨界點，如

下表：

隨堂演練 7-4

1. 求三個正數其和為 48 ，其 乘積為最大。

2. 某人欲建一塊矩形的停車 場，其中一邊利用現成建築 物的一面牆，其餘三邊使用 圍籬。若他有 200 公尺的 圍籬，應該如何圍出面積最 大的停車場？

3. 某工廠其生產函數為 P(K, L) = 100 K^0.8L^0.2，其中 K 與 L 分別代表資本財與勞 動力的單位數量。

每單位的資本財成本為 2 00 元，每單位的勞動力成 本為 100 元。若每日能使 用的總成本限制為 20000 元，求資本財與勞動力的配 置數量使產能為最大。

4. 計算隨堂演練第 2 題與第 3 題的 ^{值，並解釋其意} 義。

5.

0 ,

8

s.t.

) , ( max

2 2

 



 y

x

y x

xy y

x f

最小平方法

 本書使用許多數學模型描述利潤函數、生產函數與 成本函數等函數。這些函數如何得到的？

 例如 Cobb-Douglas 生產函數 P = aK^bL^1b 。如何決 定 a 與 b 的值？這個問題稱為擬合曲線 (fitting curve) ，就是尋找一個函數，使該函數的圖形與所 收集資料呈現的圖形非常地擬合。

 最簡單的問題為直線擬合 (fitting a straight line) ， 就是給予一組資料點 (x₁, y₁) , (x₂, y₂) , … , (x_n, y_n) 找 到最「擬合」的直線方程式 y = ax + b ，最常使用 的方法為 最小平方法 (method of least squares) 。所 求出的直線可用來描述資料的趨勢或作預測。