第 3 章水文解析第 1 節水文統計解析目次

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第 3 章水文解析第 1 節水文統計解析

本節は、第 2 章水文・水理観測第 2 節降水量観測、第 3 節水位観測、第 4 節流量観測で規定されている方法等により得られ、第 5 節水文資料の整理・保存と品質管理で規定されている方法により蓄積・管理された水文資料等の統計的解析についての技術的事項を定める。

一般に河川計画及びそれを実現するための河川管理施設等の設計や管理のよりどころとなる目標としては、既往の事象の中で厳しいもの又は既往の事象の頻度解析によって計画規模若しくは目標とする規模の値を推定したものが選ばれる。本節で規定する水文頻度解析手法は、計画規模の頻度で生起すると想定される事象を既往の水文資料から推定する際に用いられ、また、

あわせて、任意の事象の発生頻度を既往の水文資料から推定する際にも用いられる。

従来、水文頻度解析においては、水文資料の定常性等を仮定することが多かったが、地球温暖化に伴う気候変化が予測されており、その吟味も重要となってきているので解析の前提条件の確認手法について述べる。

水文統計解析には、資料の収集及び解析手法の前提条件の検討、水文頻度解析、時系列変化特性の解析等が含まれる。

資料の収集及び解析手法の前提条件の検討では、水文統計解析を行うに当たり基本的な事項を述べるとともに、水文頻度解析の前提条件を満たしているかどうかの検討の方法について述べる。また、水文頻度解析において、次に述べる定常解析又は非定常解析のどちらを適用すべきかを選択する際のよりどころとなる水文資料の定常性の検討の方法について述べる。

水文頻度解析は、水文諸量の規模とその発生頻度の関係を統計的な方法により推定するものであり、前述の定常性の検討結果に応じて、定常な水文量の頻度解析又は非定常な水文量の頻度解析を適用する方法について述べる。

時系列変化特性の解析において、周期性等の時間変化特性の解析を行う方法について述べる。

1．2 資料の収集及び解析手法の前提条件の検討

＜考え方＞

水文統計解析の基となる水文資料は、解析の目的、解析方法、資料収集・整理の難易等を考慮して選定する。水文資料の選定、収集に当たっては次の各項目について調査・検討を行う。

１）水文資料の存在状態

２）観測又は記録の方法、水文資料の精度、代表性等の特性３）水文資料収集に関する時間、費用等の作業の程度４）他の調査成果資料

年最大値資料はその変動が大きいので水文資料の特性から吟味することは容易ではないが、

平均値に比べ異常に大きいものや小さいもの等を見つけた場合は、その年の気象条件を吟味し、

水文資料の妥当性を調べ、測定時の野帳等に戻って観測値の徹底的な吟味を行う。

また、水文資料を水文頻度解析に用いる際の検討項目として、１）ランダム性、２）独立性、

３）均質性、４）定常性が考えられる。

１）ランダム性(Randomness)

ランダムとは、標本の変動が自然由来であることである。例えば、人為的に調節された流量データはランダムとはみなされないので調節効果を除去する必要がある。

(3)

２）独立性(Independence)

独立とは、標本の各データがそれぞれ他のデータの影響を受けていないことである。例えば、

本日の流量は昨日の流量の影響を受けている（昨日の流量が大きければ、本日の流量も大きい）

ので独立とはいえず、双方を水文資料に含めることはできない。通常、データのサンプリング間隔を大きくすれば独立とみなせる。

３）均質性(Homogeneity)

均質とは、標本が一つの母集団からのものとみなせることである。

４）定常性(Stationarity)

定常とは、標本からランダムな変動を除いた後の成分が時間的に変化していないことである。

非定常なデータは、トレンド（長期的傾向変化）、ジャンプ（急激な変化）又は周期を持つ。例えば、トレンドは徐々に進む流域の改変等、ジャンプは自然的、人為的な条件の急変等と関係する。

定常性が満たされない場合は、水文資料から周期成分やジャンプの影響を排除した資料についてトレンドの有意性について検討し、有意と認められない場合は周期成分やジャンプの影響を排除した資料について定常性を前提とした水文頻度解析を適用する。そうでない場合は水文頻度解析にトレンド成分を内包する非定常な水文量の頻度解析を行う方法が考えられる。

1．2．1 水文資料の周期性の検討

＜例示＞

水文資料の周期性の有無は、標本自己相関係数を用いたコレログラム（時系列相関図）で評価することができる。水文資料が独立同一分布からの標本かどうかを検定する手法として、有意水準を 5％とするとき、標本 , , ⋯ , の自己相関係数が信頼限界± 1.96 √⁄ の範囲に入るかどうかで判断できる。もし、想定される周期の 2～3 倍程度（または 40 タイムステップ程度）までの標本自己相関係数を求めて、そのうち 2、3 個以上が信頼限界外となるか、1 個が信頼限界のはるか外になれば、独立同一分布であるという仮説を棄却する。棄却された場合、調和解析等により周期成分を除去して水文頻度解析を行う必要がある。

1．2．2 水文資料のジャンプの検討

＜例示＞

水文時系列資料がジャンプを有するかどうかの判断には、t-検定や Mann-Whitney 検定を用いることができる。なお、ジャンプは観測期間の長短により検出されなかったり、検出されたりするので、水文資料が十分な観測期間を有しているかどうかも併せて検討する必要がある。十分な観測期間の長さについては、水文資料の特性により異なる。水文資料が十分な観測期間を有していない場合は、ジャンプを有していないとみなす。また、ジャンプの原因が明確な場合、

観測期間を分けた検討が必要である。

例えば、年降水量、洪水期降水量、月降水量、年最大日雨量、年最大時間雨量等の水文時系列資料を収集した場合、これらのうち最も安定的と考えられるのは年降水量である。日降水量や時間降水量等の年最大値は変動が激しく、ジャンプを検出することが難しい。このため、たとえ年最大値の解析が目的とするところであっても年降水量等の平均的特性を表すものによる検討を行うことが望ましく、そこで有意なジャンプが検出されれば、観測期間を分けた検討を行う。

(4)

1．2．3 水文資料のトレンドの検討

＜例示＞

水文時系列資料がトレンドを有するかどうかの判断に使える手法として、Mann-Kendall 検定や新記録数検定等がある。ただし、検出力がそれぞれ異なり、必ずしも水文資料が単調なトレンドを有していることは少ないことから、複数の方法や対象期間等により評価する必要がある。

１）Mann-Kendall 検定

Mann-Kendall 検定は、トレンドが線形か非線形かを問わずに水文時系列資料のトレンドを検定するノンパラメトリックな手法である。本検定の帰無仮説 H₀と、対立仮説 H₁は、以下に示すとおりである。

H₀ : 個のデータ , , ⋯ , が独立で同一の確率分布に従う。

H₁ : 個のデータ , , ⋯ , が同一の確率分布に従わない。

Mann-Kendall 検定においては、式（3-1-4）で与えられる統計量Zを定義する。

= sign − (3-1-1)

sign( ) = 1 > 0 0 = 0

−1 < 0

(3-1-2)

Var( ) = 1

18 ( − 1)(2 + 5) − ( − 1)(2 + 5) (3-1-3)

=

− 1

Var( ) > 0 0 = 0

+ 1

Var( ) < 0

(3-1-4)

ここに、はデータ , , ⋯ , を昇順に並べたとき、同じ値が連続して出現する個数を表し、はその組数を表す。ここで、有意水準をとしたとき、標準正規変量が | | > _⁄ のとき仮説 H₀は棄却される。ここに、 _⁄ は標準正規分布の超過確率 ⁄ に相当するクォンタ2 イルである。また、 > 0 のとき、水文時系列資料は上昇傾向であることを示し、 < 0 のときは下降傾向であることを示す。

２）新記録数検定

水文時系列資料が定常で独立同一分布に従う場合、最初の記録を新記録として、以降この新記録が更新される回数を数える。この数は理論的に次式で表されるので、観測値から得られる新記録の回数と比較することにより定常性を評価できる。

γ n 1ogn 1 3 1 2

11    (3-1-5)

ここには観測回数（年最大値を対象とする場合観測年数）、はオイラー定数であり、約 0.577216 である。時系列が増加傾向であれば、観測値から得られる新記録の数は理論値を上回り、減少傾向であれば逆に下回ることになる。例えば、有意水準 5％のとき、 =25、50、100 に対する新記録の個数の上限値はそれぞれ 7、8、9 である。

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＜参考となる資料＞

水文時系列資料の定常性の解析の詳細については、下記の資料が参考となる。

1) 徐宗学，竹内邦良，石平博：日本の平均気温・降水量時系列におけるジャンプ及びトレンドに関する研究，水工学論文集，第 46 巻，pp.121-126，2002.

2) Salas, Jose R.：Analysis and Modeling of Hydrologic Time Series，Chap. 19, Handbook of Hydrology, (Ed.) D. R. Maidment, McGraw-Hill, New York，pp.19.1-19.72，1993.

3) 飯山由利子，西村和夫，渋谷政昭：新記録数検定の検出力，応用統計学，Vol.24 No.1，

pp.13-26，1995.

4) 関静香，加藤琢朗，志村光一，山田正：荒川水系における大雨の新記録出現理論に基づいた発生頻度に関する研究，土木学会第 55 回年次学術講演会，Ⅱ-155，2000.

5) 竹内啓，藤野和建：スポーツの数理科学―もっと楽しむための数字の読み方 (応用統計数学シリーズ)，p.181，共立出版，1988.

6) P.J. Blockwell・R. A. Davis 著者，逸見功・田中稔・宇佐美嘉弘・渡辺則生訳：入門時系列解析と予測，p.431，シーエーピー出版，2004.

1．3 定常な水文量の頻度解析

＜標準＞

定常性を前提とした水文量の生起頻度の解析は以下の手順による。

１）候補確率分布モデルの列挙２）確率分布モデルの母数推定３）候補モデルのスクリーニング

４）確率水文量のバイアス補正と安定性の評価５）確率分布モデルの決定

1．3．1 候補確率分布モデルの列挙

＜例示＞

水文頻度解析に用いるモデルの候補を解析対象水文資料に応じて列挙する方法がある。

＜例示＞

１）水文時系列資料を一定の区間に分割し、それぞれの区間に含まれる最大値を収集した水文資料を区分最大値という。一般に極値資料とも呼ばれる。極値資料は 3 つの型の極値分布で表されることが証明されており、これらを一つの式で表したものが一般極値分布

（GEV）である。一般極値分布の形状母数が 0 の場合が Gumbel 分布であり、を変量とするときそれぞれ確率密度関数 ( )、確率分布関数 ( )は次のように表される。

Gumbel 分布 a）

( ) =exp − −

exp −exp − − (3-1-6)

( ) = exp −exp − −

(3-1-7) 一般極値分布

b）

(6)

( ) =1

1 − ( − )

exp − 1 − ( − ) ^/

(3-1-8)

( ) = exp − 1 − − ^/

(3-1-9)

ここに：位置母数、：尺度母数、：形状母数であり、 =0 の場合が Gumbel 分布である。なお、一般極値分布は＞0 の場合、上限値を有する。

+ / (3-1-10)

２）閾値超過資料（POT：peaks over threshold）は、閾値を超過する独立なピーク値を全て取り出した資料である。年最大値資料が他の年の年最大値より大きな年間第 2 位や 3 位などのデータを使わず、また、年によっては洪水とみなせないような事象を含むのに対し、適切に閾値を選べばこのように特性の異なる水文資料を含むことを回避できる利点がある。閾値の選定によく用いられる手法としては、標本平均超過関数を用いる手法がある。以下に指数分布、一般 Pareto 分布を例示する。

一般 Pareto 分布の形状母数が 0 の場合が指数分布であり、を変量とするとき、それぞれ確率密度関数 ( )、確率分布関数 ( )は次のように表される。

指数分布 a）

( ) =exp − −

(3-1-11)

( ) = 1 − exp − −

(3-1-12)

一般 Pareto 分布 b）

( ) =1

1 − − (3-1-13)

( ) = 1 − 1 − − ^/ (3-1-14)

ここに、：位置母数、：尺度母数、：形状母数であり、 =0 の場合が指数分布である。

なお、一般 Pareto 分布は＞0 の場合、上限値を有する。

+ / (3-1-15)

３）よく知られているように、誤差は正規分布に従う。また、一定期間内の日降水量等の短時間降水量は指数分布で表される場合が多い。指数分布に従う二つの変量の和はガンマ分布で表される。このように各分布の特徴や既往の事例などを踏まえ、対象とする水文資料の解析においては適切と考えられる分布を列挙する。以下に正規分布、Pearson Ⅲ 型分布の確率密度関数 ( )、確率分布関数 ( )を例示する。

正規分布 a）

( ) = 1

√2π exp −1 2

− (3-1-16)

(7)

( ) = 1

√2π exp −1 2

−

∞

(3-1-17)

ここに：平均、：標準偏差である。特に、＝0、＝1 の場合を標準正規分布と呼び、

これに対する確率分布関数の数表が用意されている。

Pearson Ⅲ型分布 b）

形状母数が 0 でなければ次の変数変換を行うと、

= 4

, =1

2 | |, = −2

, ≠ 0 (3-1-18)

の正負ごとにの分布範囲，確率密度関数 ( )及び確率分布関数 ( )が以下のように表される。

＞0 の場合、の分布範囲： < ∞ ( ) =( − ) exp −( − )/

( ) (3-1-19)

( ) = , −

( ) (3-1-20)

＜0 の場合、の分布範囲：−∞ < <

( ) =( − ) exp −( − )/

( ) (3-1-21)

( ) = 1 − , −

( ) (3-1-22)

ここに、 ( , ) は不完全ガンマ関数

( , ) = exp(− ) (3-1-23) である。

Pearson Ⅲ型分布はが 0 に近づくとき、正規分布に漸近し、 =2 の場合、指数分布となる。

1．3．2 確率分布モデルの母数推定

＜例示＞

解析対象水文資料を用いて候補モデルの母数を求める際には、標本の大きさに応じて適切な推定法を用いるなどの手法があり、積率法、L 積率法、最尤法等の手法が用いられている。なお、

小標本（標本サイズ＜30）については、L 積率法がよく用いられている。

１）積率法

従来、確率分布モデルの母数推定に当たってはその原点及び平均値まわりの積率、すなわち、

平均値、分散、歪みをそれぞれ標本から得られる標本平均、不偏分散、不偏歪み等に等しいとおいて分布モデルの母数を推定する積率法を用いて、分布モデルの母数を求めてきた。

確率分布モデルの確率密度関数を ( )とするとき、この平均、分散及び歪みはそれぞれ、

(8)

= ( )

∞

(3-1-24)

= ^∞ ( )

∞

− (3-1-25)

= ^∞ ( )

∞

(3-1-26)

と表される。一方、標本 , , ⋯ , から得られる標本平均 ̂ 、不偏分散、不偏歪みは、

̂ =1

(3-1-27)

= 1

− 1 ( − ) (3-1-28)

=( − 1)( − 2) ( − ) (3-1-29)

と表される。 ( )が 2 母数の場合、(3-1-24)と(3-1-25)の左辺を(3-1-27)と(3-1-28)に置き換えて連立方程式を解くことにより、母数を求めることができる。3 母数の場合、(3-1-24)、

(3-1-25)及び(3-1-26)の左辺を(3-1-27)、(3-1-28)及び(3-1-29)に置き換えて連立方程式を解くことにより、母数を求めることができる。なお、3 母数の場合、種々の歪みの補正が提案されている。

２）L 積率法

大きく外れたデータが含まれ歪んだ水文資料に対処するために考案された手法が PWM(probability-weighted moments)や L 積率（L Moments）を用いる手法である。L 積率は順序統計量の線形和で表される特徴を持つ(L は linear combinations に由来する)。

( = 1,2, ⋯ , ) を標本から得られた順序統計量( ≥ ≥ , ⋯ , ≥ )とするとき、PWM は次式で定義される。

= E ( ) = (3-1-30)

PWM の標本推定値を算定するには 2 つの方法がある。最も単純な方法は確率分布関数 ( )にプロッティング・ポジションを使う方法である。

=1

1 − − 0.35

(3-1-31)

もう一つの方法は不偏推定値を求める方法であり、次式で表される。

(9)

=1 −

− 1 = 1 + 1

−

+ 1

(3-1-32)

この式を＝0、1、2、3 について具体的に書くと次のようになる。

= (3-1-33)

= ( − )

( − 1) (3-1-34)

= ( − )( − − 1)

( − 1)( − 2) (3-1-35)

= ( − )( − − 1)( − − 2)

( − 1)( − 2)( − 3) (3-1-36)

このようにして求めた PWM を用いて L 積率は、次式で求めることができる。

= (3-1-37)

= 2 − (3-1-38)

= 6 − 6 + (3-1-39)

= 20 − 30 + 12 − (3-1-40)

= ⁄ (L − CV) (3-1-41)

= ⁄ (L − skewness) (3-1-42)

= ⁄ (L − kurtosis) (3-1-43)

これらの L 積率を各確率分布モデルの母数と L 積率の関係を表す連立方程式に代入することにより各確率分布モデルの母数を求めることができる。

Gumbel 分布 a）

= ⁄log2 , = − (3-1-44) ここに：オイラーの定数であり、約 0.577216 である。

一般極値分布（GEV）

b）

7.8590 + 2.9554 , = 2

3 + −log 2

log 3 (3-1-45)

=(1 − 2 ) (1 + ) (3-1-46)

= − 1 − (1 + ) ⁄ (3-1-47)

指数分布 c）

= 2 , = − (3-1-48) 下限値が既知の場合

= − (3-1-49)

(10)

=1 − 3

1 + (3-1-50)

= (1 + )(2 + ) (3-1-51)

= − (2 + ) (3-1-52) 下限値が既知の場合

=( − )

− 2 (3-1-53)

= (1 + )( − ) (3-1-54)

正規分布 e）

= , = √π (3-1-55)

Pearson Ⅲ型分布 f）

1 + 0.2906

+ 0.1882 + 0.0442 , = 3π , for 0 < | | < 1

3 (3-1-56) 0.36067 − 0.59567 + 0.25361

1 − 2.78861 + 2.56096 − 0.77045 , = 1 − | | , for 1

3< | | < 1 (3-1-57)

が与えられる場合には次式の方がよい。

= 2

√ sign( ) , = √ π ( ) +1

2 , = (3-1-58)

３）最尤法

確率密度関数が ( ) = ( ; )で与えられ、母数ベクトルをとするとき、次式で表される尤度関数

( ) = ( , , , ⋯ , ) = ( , ) (3-1-59)

を最大にする母数ベクトル

= max ( ) (3-1-60) を推定値とする手法が最尤法である。通常は尤度関数の自然対数をとった対数尤度関数を最大にすることにより最尤推定量を求める。

1．3．3 候補確率分布モデルのスクリーニング

＜例示＞

候補モデルの解析対象水文資料への適合度を評価する手法として SLSC(Standard Least Square Criterion)が用いられてきている。SLSC は次式で定義される。

SLSC =

| − | , =1

( − ^∗) (3-1-61)

ここに、及びはそれぞれ非超過確率 0.99 と 0.01 に対する当該確率分布の標準変量、：

標本の大きさ、：順序統計量を推定母数で変換した標準変量、 ^∗：確率分布モデルで求めたプ

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ロッティング・ポジションに対応するクォンタイルを推定母数によって変換した標準変量である。

SLSC は値が小さいほど適合度が良いと判断される規準であり、これが一定の水準を満たすことによりスクリーニングを行なう。SLSC は 0.04 以下であれば適合度を満足するとして用いられてきている場合が多い。

プロッティング・ポジションとしてはこれまでにいろいろな式が提案されている。水文資料から得られた順序統計量( ≥ ≥ , ⋯ , ≥ )の番目の値の超過確率は次式により、統一的に表すことができる。

= −

− 2 + 1 (3-1-62)

ここに、：標本サイズ、：プロッティング・ポジションを決める定数であり、提案者により異なる。Weibull:0、Blom:0.375、Cunnane:0.4、Gringorten:0.44、Hazen:0.5 等がある。

SLSC を求める際にはプロッティング・ポジションとして多くの分布によく適合する Cunnane プロットがよく用いられている。なお、小標本の場合は、Weibull プロットを用いる手法がある。

なお、SLSC による適合度の評価と併せて適切な確率紙にプロットしてモデルの適合度を確認する手法が用いられている。

＜例示＞

確率分布モデルの適合度を確認する手法として、Gumbel 確率紙及び指数確率紙を用いた例を示す。

図3-1-1 Gumbel 確率紙の事例

（極値資料）

図3-1-2 指数確率紙の事例

（POT 資料）

1．3．4 確率水文量のバイアス補正と安定性の評価

＜例示＞

一定レベルの適合度を満足する確率分布モデルを対象に、必要に応じてリサンプリング手法を用いることにより、確率分布モデルの確率水文量のバイアスを補正するとともにその安定性

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を評価する手法として jackknife 法や bootstrap 法がある。

jackknife 法は大きさ個の標本のうち番目の１データのみを欠いたデータ数 − 1個の標本を全てのについて作成し（セット作成することになる）、これらの標本から求めた統計量をもとに不偏推定値及びそのまわりの推定誤差を算定する手法である。

一方、bootstrap 法は大きさ個の標本から重複を許して任意に個取り出した標本を複数作成し、これらの標本から求めた統計量を基に不偏推定値及びそのまわりの推定誤差を算定する手法である。

jackknife 法は計算回数が少なく、作成する標本数、不偏推定値及び推定誤差が一意的に定まるのに対し、bootstrap 法は作成する標本数が任意に設定でき、作成する標本数によって不偏推定値や推定誤差が異なる。両手法によるバイアス（偏倚）補正量は、bootstrap 法のバイアス補正量が jackknife 法のバイアス補正量の( − 1)⁄ となるが、が極端に小さくなければこの差は小さい。

jackknife 法の具体的手順は以下のとおりである。大きさの標本の各データを , , ⋯ , とする。これを用いて求める母集団の特性を推定する統計量を

= ( , , ⋯ , ) (3-1-63) とする。大きさ個の標本のうち番目の１データのみを欠いたデータ数 − 1個の標本を用いた統計量を

( )= ( , , ⋯ , , , ⋯ , ) (3-1-64) とする。 _{( )}は = 1,2, ⋯ に対して求まるので個求まることになる。

( )の平均値を

(∙)=1

( ) (3-1-65)

により求める。バイアス推定値は次式で与えられる。

BIAS = ( − 1) _(∙)− (3-1-66)

これを用いて統計量のバイアスを補正した jackknife 推定値は次式で与えられる。

= − BIAS = − ( − 1) _(∙) (3-1-67)

また、jackknife 法による推定誤差分散は、

VAR = − 1

( )− _(∙) (3-1-68) で求められる。

jackknife 法を適用しない場合の統計量が1⁄ のオーダーのバイアスを有しているのに対し、

(3-1-67)で示される jackknife 推定値のバイアスは1⁄ のオーダーであり、jackknife 法によるバイアスの補正が有効である。

1．3．5 確率分布モデルの決定

＜例示＞

適合度の基準を満足する確率分布モデルを用いる方法がある。

確率分布モデルを選択する場合には、適合度の基準を満足するものの中から安定性の良好な

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確率分布モデルを採用する方法がある。この場合、本節の 1.3.4 で求められた確率水文量の推定誤差分散の平方根である推定誤差を指標とし、相対的にこれが小さい確率分布モデルを選択する方法が考えられる。

超過確率若しくは非超過確率に対応する確率水文量又は任意の規模の変量に対応する超過確率若しくは非超過確率は、用いることとした確率分布モデルから推定する。

任意の規模の変量に対応する非超過確率を求めるには確率分布関数 ( )のに単に代入すればよい。超過確率は1 − で求めることができる。超過確率の逆数が再現期間（return period）である。

Return Period = 1

1 − (3-1-69)

確率水文量を求めるには、用いることとした分布の確率分布関数 ( )を変量について解いた式に、非超過確率を代入して確率水文量を求める。年最大値等の極値資料を対象とする分布の確率水文量を求めるための例を以下に示す。

１）Gumbel 分布

( ) = − ∙ log(−log( )) (3-1-70)

２）一般極値分布

( ) = + 1 − (−log( )) ⁄ ( ≠ 0) (3-1-71)

POT の閾値を超える変量、その非超過確率を表す確率分布関数 ( )及び年最大値資料の確率分布関数 ( )の間には次式の関係がある。

( ) = exp − (1 − ( )) (3-1-72) ここに、は閾値を超える事象の年間発生率である。この式を ( )について解き、年最大値資料の非超過確率に対応する非超過確率を次式で求め、これを(3-1-12)や(3-1-14)の ( )の代わりに置き換えてついて解けば、(3-1-74)や(3-1-75)になり、年最大値資料を対象とした再現期間に対応する確率水文量を求めることができる。

= 1 +log( )

(3-1-73)

３）指数分布

( ) = − ⋅ log −log( )

(3-1-74)

４）一般 Pareto 分布

( ) = + 1 − −log( )

( ≠ 0) (3-1-75)

５）正規分布

正規分布の確率分布関数の逆関数は陽には表せないので、標準正規分布表を用いるか、誤差関数の逆関数を用いるなどして確率水文量を求める。

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1．3．6 確率分布モデルの決定に関する補足事項

＜例示＞

本節の 1.3.5 の確率分布モデル選定において判断が難しい場合は、赤池の情報量基準(AIC)による評価も併せて用いる手法が考えられる。

AIC は次式で定義される。

AIC = 2 − 2MLL (3-1-76) ここには母数ベクトルの次元数（母数の数）である。MLL は最大対数尤度

MLL = log , (3-1-77)

であり、母数ベクトルは最尤推定量であるが、L 積率を用いて母数推定した場合にはその母数ベクトルを代わりに用いる。

一般に母数の数が多くなると分布の適合度はよくなる。AIC は母数の数を考慮していることが適合度のみを評価する他の規準とは異なる。AIC の値が小さいほどよいモデルであると判断される。

本基準に従い水文頻度解析を実施する際には、下記の資料が参考となる。

1) 岩井重久，石黒政儀：応用水文統計学，森北出版，1970.

2) 角屋睦：水文統計論，土木学会水理委員会水工学シリーズ，64-02，p.59，1964.

3) 高橋倫也：極値統計学，統計数理研究所公開講座，p.57，2008.

4) 宝馨：水文頻度解析の進歩と将来展望，水文・水資源学会誌，Vol.11 No.7，pp.740-756，

1998.

5) 水文・水資源学会編集：水文・水資源ハンドブック，pp.238-248 7.3 水文頻度解析，

朝倉書店，1997.

6) Stedinger, J.R., R.M. Vogel, and E. Foufoula-Georgiou ： Frequency Analysis of Extreme Events，Chap. 18, Handbook of Hydrology, (Ed.) D. R. Maidment, McGraw-Hill, New York，pp.18.1-18.66，1993.

7) 林敬大，立川康人，椎葉充晴，萬和明，Kim Sunmin：SLSC による水文頻度解析モデル適合度評価への統計的仮説検定の導入，土木学会論文集 B1( 水工学 ) ， Vol.68 No.4 ， pp.1381-1386，2012.

8) 葛葉泰久：治水計画策定における統計的手法－SLSC 及び費用便益分析に関する考察－，

土木学会論文集，Vol.66 No.1，pp.66-75，2010.

1．4 非定常な水文量の頻度解析

＜例示＞

定常とみなせない場合の水文量の頻度解析として、以下の手順による方法が考えられる。

１）水文資料の周期性やジャンプの有無を検討し、これらを含まない水文資料とする。

２）水文時系列資料の統計特性の時間的変化がモデルの中に組み込まれた確率分布モデルの母数を推定し、確率評価を行う。例えば、年最大値等の極値資料を扱う一般極値分布の場合や POT 資料を扱う一般 Pareto 分布の場合、位置母数、尺度母数及び形状母数の 3 母数で表されるが、そのうち、位置母数及び尺度母数が時間的に変化するモデルを考える。

( ) = + 又は ( ) = + + (3-1-78)

(15)

( ) = exp( + ) (3-1-79) このような母数の中のパラメータを最尤法で解くことにより、時系列変化を表す確率分布モデルを推定する。

時系列資料の統計特性の時間的変化をモデルの中に組み込んだ確率分布モデルの詳細については、下記の資料が参考となる。

1) Coles, S.：An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values，Springer，

p.208，2001.

2) 高橋倫也：極値統計学，統計数理研究所公開講座，p.57，2008.

1．5 時系列変化特性の解析

＜考え方＞

水文現象には時間的にある程度規則性を持ちつつかつ徐々に平均や分散等の統計的特性が変化すると考えられるものが多い。時系列解析はこの時間変化の特性を定量的に明らかにすることを目的とした解析法を総称したものであり、以下の方法が考えられる。

時系列現象の変化状態を大別すると、一般に長期的傾向変化（トレンド）、周期性変化、持続性変化及び偶然性の変化に分けられる。これらの特性を定量的に明らかにする場合には、それぞれに対応した解析方法が必要である。

気候変化等の影響を受け解析対象水文資料の統計的特性が経年的に変化していると判断される場合の水文頻度解析には、本節の 1.4 の非定常性を考慮した検討を行う。

なお、水文資料の統計的特性は観測期間により経年的な変化の有意性が異なるため、観測期間の取り方を変えた評価を行うなど慎重な検討が必要である。

＜例示＞

水文時系列資料の時間経過に対する状態の傾向を把握する方法として、次に示す事項のいずれかの方法又はこれらを組み合わせた方法が考えられる。

１）経過時間と、対応する水文資料の値を図化整理（時系列図）して、直接その変化状態を見る。

２）資料の値について移動平均値を求め、その時間的な変化傾向を見る。

３）任意の時間区分によって資料を数群に分け、それぞれの群についての観測値の平均値、

分散、系列相関係数等の統計量を求め、それから推定される母集団の特性値について、

各群の値を比較する。

４）コレログラム（時系列相関図）を作成して、周期性変化及び持続性変化の傾向の有無を見る。

図 3-1-3 に 1876 年から 2010 年までの東京の年降水量とこれを 11 年で移動平均したものを示す。

この事例について全期間を対象に Mann-Kendall 検定を行うと =-0.36 となり、定常であるという仮説は有意水準 5％で判断すると棄却されないので有意な減少傾向とはいえない。

図 3-1-4 は同期間の年最大日雨量の推移を示したものである。

図 3-1-4 の水文資料について観測開始から 25 年経過した 1900 年から 2010 年までを対象に Mann-Kendall 検定を行った結果を図 3-1-5 に示す。

(16)

この図から横軸が 1950 年付近に＞1.96 となっている部分が見られる。この部分は 1876 年から 1950 年ごろまでのデータで判断すると有意水準 5％で判断すると定常であるという仮説は棄却されることを示している。しかし、その後のデータの蓄積で、2010 年までの全てのデータを用いると =1.18 となり、同仮説は棄却されない。

図3-1-3 東京の 1876−2010 の年降水量と 11 年の移動平均（太線）

図3-1-4 東京の 1876−2010 の年最大日降水量

図3-1-5 東京の 1876−2010 の年最大日降水量のトレンド評価

(17)

図 3-1-6 は東京の 1876 年から 2010 年までの月降水量のコレログラムを示したものであり、

12 か月の周期性がはっきり現れているのが分かる。

図3-1-6 東京の 1876−2010 の月降水量のコレログラム

コレログラムのパターン形状の特徴、すなわち時系列変化の特徴はおおよそ図 3-1-7 のように分類することができる。

図3-1-7 時系列変化のパターン

① ほとんど完全な周期性（a） ② 持続性（減衰傾向）（c）

周期性と偶発性の混合型（a’） ③ 純偶発性（d）

周期性と持続性の混合型（b）

なお、周期性の理由が明確でない場合、コレログラムによる完全な周期性の判断基準としては、水文資料全期間の中に数サイクル以上周期が含まれていること等が考えられる。

更に、詳細に時系列変化の特性を求める場合には、おおよそ以下に示す方法の 1 つ又はそれらを組み合わせた方法によって基本的な解析を行ってもよい。

東京　 1876.Jan-2011Sep

0 10 20 30 40 50 60 70

月

自己相関係数

(18)

を推定する。

２）周期解析（又はピリオドグラム解析）等の方法によって、周期変化成分の特性を求める。

３）コレログラム解析その他の方法によって、周期成分の変化及び持続性変化の特性を求める。

４）もとの時系列変化を上記１）ないし３）で求められる規則的変化成分と残りの不確定な変化成分に分ける。後者についてはその分布特性及び生起特性についての解析を行う。

(19)

第 3 章水文解析第 2 節流出解析

流出解析に用いる流出モデルは多種多様であり、また、次々と新たな流出モデルや解析手法が考案されている。そのため、本節は、河川等の調査で行う流出解析に共通する技術的事項について記載するとともに、河川等の調査で適用実績のある代表的な流出モデルを例示する。

2．1 総説

2．1．1 流出解析の目的

＜考え方＞

河川等の調査で行う流出解析の目的は、一般に、以下のように大別できる。

１) 河川等の計画や河川管理施設等の設計のための河川流量の計算２) 実時間での河川流量（特に洪水時の流量）の予測

３) 長期の河川流量の計算

４) 流域や気候の変化に伴う水循環の変化の予測

５) 水文観測が十分でない流域の長期又は洪水時の河川流量の計算６) 流出現象のより深い理解のための解析

本節では、特に断りのない限り、１）河川等の計画や河川管理施設等の設計のための河川流量の計算、又は３）長期の河川流量の計算の目的での流出解析について記述する。

流出解析の目的分類とその解説の詳細については、下記の資料が参考となる。

1) 池淵周一，椎葉充晴，宝馨，立川康人：エース水文学 (エース土木工学シリーズ)，

pp.125-126，朝倉書店，2006.

2) 日本学術会議：回答河川流出モデル・基本高水の検証に関する学術的な評価，p.3，2010.

＜必須＞

流出解析の方法・手順は、流出解析の目的や利用可能な資料等に応じて適切に設定しなければならない。

2．1．2 流出モデルの種類と特徴

＜例示＞

流出モデルは視点ごとにさまざまな分類が可能である。代表的な分類例とそれぞれの特徴を以下に示す。

１）予測期間からみた分類

・短期流出モデル

・長期流出モデル

短期流出モデルは、洪水流出モデルとも呼ばれ、数時間から数日の流出現象を計算するモデルである。数日の河川流量を 1 時間単位又はそれよりも短い時間単位で計算する。この場合の流出モデルは、斜面流出過程と河道網での流れのモデル化が流出モデルの主要部分となり、蒸

(21)

発散過程は短期流出モデルに導入しないことが多い。一方、長期流出モデルでは、積雪・融雪や蒸発散の過程を適切にモデルに反映させることが重要となる。

２）降雨―流出の応答の考え方からみた分類

・応答モデル

・概念モデル

・物理モデル

応答モデルは、入出力の応答関係から降雨流出の関係式を構成するモデルである。

概念モデルは、現象を概念的に捉え降雨流出の関係式を構成するモデルである。過去の長期間の降雨と河川流量の水文資料が存在し適切にモデルの定数を設定できれば、比較的精度よく河川流量を予測できる。また、計算負荷が小さいという特徴を有する。

物理モデルは、物理的な法則性に基づいた基礎式から降雨流出の関係式を構成するモデルである。土地利用や流域環境の変化をモデルに表現することができる。

３）モデルの空間的な構成方法からみた分類

・集中定数系モデル（集中型モデル）

・分布定数系モデル（分布型モデル）

集中定数系モデルは、ある対象地点の流量の計算を行うとき、対象地点上流の流域を単位としての流出過程を流域全体で平均化するモデルである。

分布定数系モデルは、降雨時の時空間観測データを取り込み、地形・地質・地被等の地域情報の分布を考慮し、水文量の時空間分布を計算できるような構造のモデルである。

流出モデルの分類と特徴の詳細については、下記の資料が参考となる。

pp.188-191，朝倉書店，2006.

2) 日本学術会議：回答河川流出モデル・基本高水の検証に関する学術的な評価，p.3，2010.

2．2 洪水流出計算 2．2．1 総説

＜考え方＞

洪水流出計算は、一般的に以下の手順で実施される。

１) 流出モデルの選定

２) 水文資料及び流域特性資料の収集と整理３) 流出モデル構造の決定及び入力する降雨の算出４) 流出モデルの定数解析と検証

５) 流量の計算

ただし、洪水流出解析の目的や利用できる水文観測資料の制約、用いる流出モデル等により、

この手順は簡略化される場合もある。例えば、合理式を用いる場合は、３）、４）が省略されることがある。

(22)

2．2．2 洪水流出モデルの選定

＜標準＞

洪水流出モデルは、洪水流出解析の目的や必要とされる水文資料の有無等に応じて、適切な流出モデルを選定し、必要に応じて改良を加えることを標準とする。

例えば、水循環健全化の検討で流域の都市化が流量に与える影響の予測が必要となる場合、

流域変化前後の流出特性を表現できる流出モデルを選定する。

＜例示＞

洪水流出モデルの選定に当たり、モデルの頑健性（異なる洪水事象におけるモデルの適用性）

や十分な適用実績を考慮している例が多い。

合理式は、土地利用に応じた定数の標準値の調査事例が豊富であり、過去の流量資料がない小さな流域での洪水のピーク流量の計算手法として長年の適用実績を有する。

貯留関数法は、我が国における洪水流出に対し高い再現性を有し、広く利用されている。

タンクモデルは、世界の多様な気候条件や流域特性を持つ流域での流出予測に適用された実績を有する一方、多くの定数を過去の水文資料から試行錯誤で求めなければならない。

一般的に、モデル定数の数が多いと再現性は高まる一方で、頑健性が低下する。数多く開発されている分布定数系モデルは、運動方程式に物理式を適用することにより頑健性を損なわない工夫がなされている。

2．2．3 水文資料及び流域特性資料の収集と整理

＜考え方＞

洪水を対象とする水文資料及び流域特性資料は、流出解析の精度を高める観点から、できる限り収集する。また、収集した資料の整理は、用いる流出モデルの構造に適合するように行う。

＜標準＞

解析対象地域内とその近傍の雨量、水位、流量観測記録をできる限り収集し、洪水ごとに資料の存否を整理することを基本とする。

雨量資料については、対象河川流域内の雨量資料だけでは雨量の時空間分布を適切に再現できない場合もあり得ることから、その周辺近傍地域において得られる全ての雨量資料を降雨原因を含めて収集することを基本とする。

流量資料については、流量の観測方法を明示するものとする。

＜標準＞

観測流量が貯水池での調節等の人為的影響や洪水時の外水氾濫等の偶発的影響を受ける場合、流出解析の目的に応じた適切な方法でこれらの影響を考慮することを標準とする。

＜例示＞

流域平均雨量と観測流出高の時系列変化図を作成することで、洪水事象ごとの降雨と流出の関係の特徴を把握する方法がある。

＜推奨＞

必要に応じ、水文資料の照査に利用可能な関連資料を整理する。

天気図等の気象情報、レーダ雨量、浸水被害や土砂災害等の災害記録は雨量資料の精度の把握に、また、観測所以外の地点で特定の期間に調査された水位、流量、水位痕跡等は観測所で

(23)

の流量資料の精度の把握に役立つことが多い。

＜推奨＞

必要に応じ、当該流域の地形、地質、土地利用、土地被覆等の資料を収集、整理し、流域分割の妥当性の検討や流出モデルの定数解析、流出計算結果の分析等に活用することを推奨する。

2．2．4 洪水流出モデル構造の決定と入力する降雨の算出

＜標準＞

洪水流出計算では、当該河川流域を流出計算の基本単位（小流域や小区画など）に分割し、

河道モデルにより連結し計算することを基本とする。その際には、洪水流の伝播や河道貯留の影響等の取扱いに留意しなければならない。

＜標準＞

洪水流出計算における河道の洪水波を追跡する場合の河道計算方法は、流域の基本単位の流出モデルの精度と整合のとれた手法を、河川における洪水波の伝播に伴う水理量の変化を知ることを目的とした一次元の解析手法から選定することを標準とする。

＜例示＞

洪水流出計算における河道計算方法は、水理学的追跡法と水文学的追跡法に大別できる。

水理学的追跡法は、一次元開水路流れの運動方程式を、差分法や特性曲線法などの数値計算法により数値解を得る手法であり、河川の断面の水理学的特性に関する情報が必要となる。開水路流れの運動方程式においてどの項まで考慮するかによって、いわゆる不定流計算であるダイナミック・ウェーブモデルから、拡散波モデル、キネマティック・ウェーブモデルまでの選択肢がある。

水文学的追跡方法は、河道区間への流入と流出の応答関係を数式化する手法であり、更に以下のように分類できる。

１) ある河道区間内の水体の連続方程式と運動方程式（貯留関数）を用いる方法２) 洪水波の伝播速度（遅れ時間）を設定する方法

３) 洪水流の水位の相関を利用する方法

１)の方法としては、貯留関数法、Muskingum 法等がある。貯水池内の洪水追跡法として、河道区間の水体の水面が一様に昇降する場合の貯留関数法に相当する貯水池モデルがある。これらの定数は、河道区間の横断面形状等の水理学的情報から求めることができる。

２)の方法としては、Manning 式や Chezy 式といった等流式を用いる方法、合理式の洪水到達時間を求める式を用いる方法、貯水池などにおける長波の伝播速度を用いる方法がある。水理・

水文学的情報が限定された条件下において簡易的に計算を行いたい場合に有用である。

３)は、洪水流出計算の対象地点以外の地点で水位予測を行う場合や、実時間洪水予測等で用いられる方法である。

集中定数系モデルによる洪水流出計算での河道計算方法は、下記の資料が参考となる。

1) 土木学会水理委員会：水理公式集［平成 11 年版］，pp.119-125，丸善，1999.

(24)

貯留関数法及び Muskingum 法による河道計算における定数の水理学的推定法は、下記の資料が参考となる。

2) 橋本宏，藤田光一：洪水追跡法（その２）―洪水追跡モデルの適用限界と未知パラメータの推定法―，土木技術資料，28-8，pp.442-448，1986.

河道計算方法の詳細については、下記の資料が参考となる。

pp.125-126，朝倉書店，2006.

＜必須＞

流出モデルに入力する雨量は、流出モデルの流域の基本単位ごとの面積平均雨量とする。面積平均雨量の算出に当たっては、流域内の地形性降雨の地域分布特性、年代により異なる降雨観測所網、欠測状況等を考慮し、最も適切と考えられる方法により行うものとする。

＜例示＞

面積平均雨量を算出する方法としては、等雨量線法、ティーセン法、算術平均法、支配圏法、

高度法、代表係数法等がある。

等雨量線法、ティーセン法、算術平均法、支配圏法、高度法については、下記の資料が参考となる。

1) 日本学術会議：回答河川流出モデル・基本高水の検証に関する学術的な評価，pp.27-28，

2010.

代表係数法については、下記の資料が参考となる。

2) 木村俊晃：相関関係の解析を基礎とした流域平均雨量の算定法，土木技術資料，2-5，

pp.173-179，1960.

＜例示＞

レーダ雨量計解析処理データが地上雨量計による観測雨量から算出される雨量より高精度と判断できる場合、これを幾何補正して入力値とする方法がある。

また、過去観測された気象情報と気象数値モデルを用いて過去の気象を詳しく解析する同化解析の結果である「再解析データ」から降雨量を抽出し利用する方法も研究されている。

＜例示＞

実時間洪水予測において流出モデルに入力する予測雨量が必要な場合、地点での降雨予測値から面積平均雨量を算出し入力する方法や気象数値予測結果を入力する方法がある。

実時間洪水予測については、下記の資料が参考となる。

1) (財)河川情報センター：中小河川における洪水予測の手引き，2002.

＜標準＞

洪水流出計算では、流域での雨水の損失・保留機能を内蔵するものは別として、直接流出（表

(25)

面流出＋中間流出）成分を計算対象とすることを標準とする。一つの洪水事象での総有効降雨量は、直接流出成分の総量に等しくなる。直接流出成分は、観測ハイドログラフの基底流出成分の分離により求めることを標準とする。流出成分の分離方法として、洪水立ち上り点で水平に分離する方法、ハイドログラフ逓減部の折曲点と洪水立ち上り点を結んだ線で分離する方法等がある。

流出成分の分離の詳細については、下記の資料が参考となる。

1)土木学会水理委員会：水理公式集［平成 11 年版］，p.36，丸善，1999.

＜例示＞

有効降雨に関する定数は、観測資料から得られる洪水期間の水収支に基づき求めることができる。

また、降雨の初期に凹地等に貯留される効果が水収支等から認められる場合、これを有効降雨の算出に組み入れた計算法を用いることができる。

有効降雨の算出手順の考え方については、下記の資料が参考となる。

1) 日本学術会議：回答河川流出モデル・基本高水の検証に関する学術的な評価，pp.5-6，

2010.

2．2．5 洪水流出モデルの定数解析と検証

＜考え方＞

洪水流出モデルの定数解析、検証のための洪水事象は、過去の記録を超える洪水のピーク流量の予測、大洪水から中小洪水までのハイドログラフの再現等の流出計算の目的や利用できる観測資料等を勘案して選定する。

定数解析が適切に行われたことは、観測流量と計算流量を比較することで確認する。

検証用の洪水事象は、定数解析用と異なる洪水事象を選定することが望ましいが、大洪水等の事象数が限られる場合、当該流出モデルが様々な流域で検証された実績を有することをもって検証を省略し、より多くの洪水事象を定数解析に用いることによりその精度を向上させるものとする。

＜必須＞

洪水流出モデルの定数解析は、観測資料の精度に大きく依存するので、流域平均雨量等の入力値又は観測流量の精度が著しく低いと判断される場合、定数解析対象から除外するものとする。

＜標準＞

洪水流出モデルの定数解析に当たっては、例えば大洪水のピーク流量の再現といった流出計算で再現しようとする事象について、複数の洪水事象のピーク流量を適切に再現できるよう対象洪水を選定することを標準とする。ただし、個別の洪水事象の現象の理解など特定の目的の場合はその限りではない。

(26)

＜推奨＞

洪水流出モデルの定数解析に当たっては、できるだけ多くの洪水事象を対象とすることが望ましい。

＜例示＞

計算流量と観測流量との適合度を定量的に示す数値指標としては、ピーク流量付近の誤差に重みをおく評価基準、相対基準、相対 2 乗基準、Nash-Sutcliffe 効率等がある。

適合度を示す各数値指標については、下記の資料が参考となる。

1) 望月邦夫：淀川の治水計画とそのシステム工学的研究，京都大学博士論文，1970.

2) 角屋睦，永井明博：流出解析手法（その 11），農業土木学会誌，第 48 巻第 11 号，pp.851-856，

1980.

3) Nash J. E. and Sutcliffe, J. V.：River Flow Forecasting Through Conceptual Models Part I - A Discussion of Principles，Journal of Hydrology，10，pp. 282-290，1970.

2．2．6 洪水流量の計算

＜考え方＞

流量の計算は、同定された流出モデルに降雨を入力して行う。

2．3 低水流出計算 2．3．1 総説

＜考え方＞

低水流出解析の一般的手順は、基本的に洪水流出解析の手順と同じである。以下、洪水流出解析とは異なる項目について記述する。

＜考え方＞

流量は 1950 年代以降の記録が多いが、雨量の記録は相当長期にわたって存在する。低水流出計算は、流量未観測期間の流量資料の補完（復元）の目的で利用されることが多い。

＜標準＞

低水流出解析は、通常、日単位あるいは半旬単位で行うことを標準とする。

＜標準＞

日平均流量(m³/s)を流出高(mm/day)に変換する際、日雨量、日流量の日界を把握し、流出計算時の留意事項として記録する。例えば、日流量は、自記水位記録の観測所の場合は 1 時から 24 時までの毎正時の流量の平均、水位標の観測所の場合は通常 6 時及び 18 時の流量の平均である。

2．3．2 蒸発散量の計算

＜標準＞

低水流出計算では、降雨及び融雪を入力し、これから損失を差し引いた量が時間をかけて流出すると考え、これを追跡計算するのが一般的である。損失は、蒸発散による大気への水移動、

流域貯留量変化、深層地下水帯水層を通した流域外への流失である。河川流域を対象とする場

(27)

合は、通常、最後の流失は無視できると考えるのが一般的である。また、1 水文年の始まりと終りでは、流域貯留量変化は無視できると考え、この間の損失はすべて蒸発散であるとし、1 水文年の水収支に合うように蒸発散量を推定する方法を基本とする。

＜標準＞

蒸発散量は、可能蒸発散量又は観測蒸発量に水収支から求めた係数を掛けて算出することを基本とする。

水収支が不明な場合は、過去の調査事例から、当該流域への適用が妥当と考えられる係数を適用する。

ただし、上記より精度が高いと考えられる観測が行われている場合は、これも利用する。

＜例示＞

地表への水分の供給が十分になされると仮定した場合の可能蒸発散量を推定する方法として、多くの式が提案されている。気温と緯度で決まる日照量から推定する Hamon 公式、

Thornthwaite 公式といった経験的な公式や、より詳しい微気象観測情報を必要とする Penman 公式、Penman-Monteith 公式などが提案されている。

観測蒸発量は、気象庁等が観測するパン蒸発量が利用できる。

可能蒸発散量の推定法の詳細については、下記の資料が参考となる。

＜例示＞

河川流域の水収支から求めた日本の平均的な年降雨損失量は、全国平均で約 500mm、北海道で約 400mm、瀬戸内・九州で約 600mm 程度という調査結果が得られた事例がある。

河川流域の水収支から求めた全国の平均的な年降雨損失量の詳細については、下記の資料が参考となる。

1) 建設省技術研究会（編集）：利水計画における流況把握の研究，第 23 回建設省技術研究会報告，p.4，1970.

2．3．3 取水・還元量等の推定

＜考え方＞

利水計算目的での低水流出計算を行う際には、貯水池による調節や上流での取水・還元等の人為的影響がない場合の自然流量をあらかじめ算出し、この自然流量を予測する流出モデルを構築する。

＜標準＞

貯水池による調節、取水・還元量は観測値を利用することを基本とする。

観測資料がない場合は、許可水利権量や河川区域での水収支等の情報から推定するものとする。その情報も利用できない場合は、他河川での調査事例の準用等を行う。

(28)

＜推奨＞

農業用水の取水量の実測値がない場合、以下に挙げる方法等で取水量を推定することが望ましい。

１）水収支法

農業用水取水がないと仮定し計算した河川流量と同一地点での観測流量の差を正味の農業用水取水量（＝農業用水取水量－還元水量）として求める方法。

２）減水深法

水田その他の農耕地の減水深にその面積を乗じて農業用水量を求め、これを取水量とする方法。

土地改良事業における減水深の計画値に関しては、下記の資料が参考となる。

1) 土地改良事業計画設計基準「計画農業用水(水田)」，平成 5 年 5 月，農林水産省構造改善局，pp.33-56.

2．3．4 積雪・融雪量の推定

＜考え方＞

融雪流出が認められる河川流域では、降雪・積雪・融雪量を推定し、融雪が降雨に加算されると考え、流出計算を行うのが一般的である。

＜標準＞

降水観測は、一般には、降雪・降雨を区別せずに観測されているため、降水時の地上気温観測値から当該地点での地上気温を推定し、降雪・降雨の判別を行うことを基本とする。

積雪量は、降雪量から融雪量を差し引いた量を積算して求める。

融雪量は、気温のみから融雪量を推定する簡易的な方法である積算暖度法（degree-day 法）

で求める。より精度を求める場合は、積雪量の熱収支から求める方法等がある。

積算暖度法の詳細については，下記の資料が参考となる。

1) 土木学会水理委員会：水理公式集［平成 11 年版］，p.27，丸善，1999.

＜例示＞

積雪量分布は、衛星や航空機等からのリモートセンシング情報から積雪域を推定し、推定積雪密度から積雪量を推定方法もある。この方法は、降水量から計算した積雪量分布・融雪量推定の妥当性を検証する手段として用いることができる。

積雪層の熱収支から推定される融雪量は、積雪表面での放射収支、顕熱・潜熱収支、降雨により与えられる熱量、積雪底面での土壌からの熱伝導から算出される。これらを気象庁アメダス等の気象観測値から推定する簡易的な熱収支法である「日射量・気温・降水量を用いた融雪モデル」も提案されている。

「日射量・気温・降水量を用いた融雪モデル」の詳細については、下記の資料が参考となる。

(29)

2．4 主要な流出モデルの事例

＜例示＞

流出モデルは利用者により適宜改良されることが多くあり、同一名称の流出モデルであっても異なる計算方法をとることもあるため、ここでは河川等の調査で利用実績のある流出モデルについて例示する。さらに、近年開発が進められ実用例も増えつつある分布定数系モデルの一つを例示する。ここに例示した流出モデル以外にも、国内外で多くの流出モデルが提案されている。

１）合理式

合理式は洪水のピーク流量を推算するための簡便な方法であって、貯留現象を考慮する必要のない河川でピーク流量のみが必要とされる場合に広く用いられている。ピーク流量を推定する諸公式は、一般に流域面積の関数としたものが多い。比流量法の Creager 曲線もその一つであるが、最大流量はもとより流域面積のみの関数ではないから、他のいろいろな要素、例えば降雨強度や流域の植生、傾斜の度合いなどを考慮した流出計算法が必要とされ、また、洪水頻度をも要因の中に入れられれば河川等の計画に当たって更に有用となる。このような点を考慮した簡単な流出計算式として合理式が提案された。これは流域の形を河道に対して対称な長方形と考え、雨水は流域斜面を一定速度で流下し、河道に入るものと考える。そして流域の最遠点に降った雨が流域の出口に達するまでの時間を洪水到達時間と呼び、時間内の降雨強度に流域の土地利用に応じた流出係数を乗じて流出量を計算する。

合理式によるピーク流量は次式で与えられる。

fRA Q_p

6 . 3

 1 (3-2-1)

ここに、Q_pはピーク流量(m³/s)、fは流出係数、R は洪水到達時間内の雨量強度(mm/h)、Aは流域面積(km²)である。

合理式は、次の仮定の上に作成されたものであるので、適用に当たっては、これらの仮定にできるだけ近い流出特性を示す流域に用いるように注意しなければならない。

a）ある降雨強度R の降雨による流出量 Qは、その強度の降雨が洪水到達時間かそれ以上の時間継続するとき最大になる。

b）降雨の継続時間が洪水到達時間に等しいか、それ以上長い、ある降雨強度 R による最大流出量Q_pはその降雨強度Rと直線関係にある。

c）最大流出量Q_pの生起確率は、与えられた洪水到達時間に対する降雨強度Rの生起確率に等しい。

d）流出係数fはどの確率の降雨に対しても同じである。

e）流出係数fは与えられた流域に降る全ての降雨に対して同じである。

これまでの試験地などにおける調査結果によれば、これらの前提条件に比較的近い流出特性を示す流域として、降雨の浸透や貯留の少ない市街化された流域が挙げられる。一般に流域面積が大きくなると貯留効果が大きくなり、合理式の線形仮定が成立しなくなるので注意しなければならない。適用すべき流域の大きさは 100km²程度以下であることが多い。

当該流域特有の流出係数及び洪水到達時間は、過去の水文観測資料から求めることができる。

(30)

る場合がある。

過去の水文資料がない流域では、流出係数と洪水到達時間を流域の地被、植生、形状、開発状況などを勘案して決定する必要がある。流出係数と洪水到達時間についてはいろいろな値が提案されているが、その一部を示すと次のようである。なお、計画に用いられる流出係数の値については、計画編第 2 章も参照することができる。

a）物部による日本河川の流出係数(物部、1933)

表3-2-1 日本内地河川の流出係数

地形の状態 Fp

急しゅんな山地三紀層山地

起伏のある土地および樹林地平らな耕地

灌漑中の水田山地河川平地小河川

流域の半ば以上が平地である大河川

0.75～0.90 0.70～0.80 0.50～0.75 0.45～0.60 0.70～0.80 0.75～0.85 0.45～0.75 0.50～0.75

b）「下水道施設計画・設計指針と解説」の流出係数

表3-2-2 工種別基礎流出係数の標準値（日本下水道協会、2009）

工種流出係数

屋根 0.85-0.95

道路 0.80-0.90

その他の不透面 0.75-0.85

水面 1.00

間地 0.10-0.30

芝，樹木の多い公園 0.05-0.25 こう配の緩い山地 0.20-0.40 こう配の急な山地 0.40-0.60

基礎流出係数：細分化された基礎工種ごとの流出係数

表3-2-3 用途別総括流出係数の標準値（日本下水道協会、2009）

用途総括流

出係数

敷地内に間地が非常に少ない商業地域及び類似の住宅地域 0.80

浸透面の屋外作業等の間地を若干もつ工場地域及び若干庭がある住宅地域 0.65

住宅公団団地等の中層住宅団地及び 1 戸建て住宅の多い地域 0.50

庭園を多くもつ高級住宅地域及び畑地等が割合残っている郊外地域 0.35

総括流出係数：工種ごとの基礎流出係数を工種面積比で重付けして平均した流出係数

第 3 章 水文解析 第 1 節 水文統計解析 目 次