第五章《東算抄》內容分析（下）

第五章《東算抄》內容分析（下）

本章內容主要分成二部分，首先探討的是《東算抄》卷之四，也就是最後一 卷其中包含〈問答〉、〈雜題〉、〈附啟蒙捷術〉兩個單元。再者，所要研究的是目 錄中未標明的部分－〈追錄〉。

5.1 卷之四的內容分析

第四卷可說是《東算抄》極具特色的部分，其中〈問答〉之內容是節錄一七 一三年六月二十一日（「癸巳閏五月二十九日」），洪正夏「與劉生壽錫入（賓）

館中與五官司曆何國柱論算。」的內容中，所涉及的數學問題及三淵先生所問的 天文曆法問題。〈雜題〉之名雖於目錄中有標題，但卻不見於卷之四文本內容之 中，筆者認為應是介於〈附啟蒙捷術〉與「日去地圖」間的律呂隔八相生圖及音 律部分。〈附啟蒙捷術〉中包含假令盈不足術與開方釋所，皆抄自算學啟蒙，〈追 錄〉中有〈堆積還源門〉、〈盈不足〉、〈方程正負〉。

5.1.1 〈問答〉

筆者在比較東算抄及九一集後，認為〈問答〉應包含兩部分其一是洪正夏

「與劉生壽錫入（賓）館中與五官司曆何國柱論算。」；其二是三淵先生問曆法 問題，將數學論證討論或反思的情形呈現於書中可說是東算家的特色之一，¹這 種方式使讀者經解凍的過程後，又能感受到當時的「溫度」。

5.1.1.1 〈問答〉與歷史現場

在論述數學內容前，讓我們先回到歷史現場，將鏡頭拉回至一七一三年此時 正值清康熙五十二年，正是五官司曆根據朝鮮李朝肅宗三十九癸巳年實錄，當年 五月「壬辰，平安監司俞集一以勑使牌文出來事啟聞。其文曰：『欽差頭等侍衛 阿齊圖、護獵總管穆克登奉命前往朝鮮國，五月初二日起行。詔書一道，御杖一 對，欽差牌貳面，迴避肅靜牌四面，黃傘貳柄，五官司曆前例所無也，六品通官 三員，跟役十九名。』」可見，何國柱的確伴隨阿齊圖與穆克登此行訪問朝鮮。

此行的相關活動由《朝鮮李朝實錄》中趙泰耇的一則見證，可略知一二，茲引述 如下：²

1 參見《東算抄》卷之四〈問答〉，頁 325-333。

2 參見洪萬生，〈十八世紀東算與中算的一段對話：洪正夏 vs.何國柱〉，頁 6。

物

錘

?

七 寸 二 分半 五 寸 八 分

七 寸 二 分半 五 寸 八 分

?

（七月）乙亥，引見大臣備局諸臣。【趙】泰耇曰：「五官司曆出來時，許遠學得 儀器算法，仍令隨往義州，盡學其術矣。儀器之用有『儀象志』，『黃赤正球』等 冊，算書及此等冊使之刊布，儀器亦令造成。而司曆又言，爾國所無書冊器械，

當歸奏密給云，日後使行，許遠使之隨往好矣！」上允之。

其中許遠為觀象監官員，李朝肅宗四十一年乙未 (1715 年) 時果然奉派出訪 清朝欽天監，帶回《日食補遺》、《交食證補》、《曆草胼枝》等書，測算器械六種 以及西洋自鳴鐘，可見此時天文曆法之問題頗受朝鮮當時執政者所重視，也可瞭 解《東算抄》或《九一集》收錄曆法問題於書中的脈絡。

由洪正夏於《九一集》中所記錄對話現場可知至少有洪正夏、劉壽錫、何國 柱與阿齊圖四人，九一集中將對話內容編為 21 個問題，但東算抄僅節錄 4 題且 一題「約瑟夫斯問題」未見於《九一集》，不知是否另有他人提問？或是兩書之 中之問題，並未涵蓋當時所有對話的數學內容，但可發現「對話」是常在東算家 中展開的。筆者就研究內容在此僅探討東算抄中的問題：

〔1〕無星秤問題

今有無星秤稱物，只云錘邊七寸二分半，物邊五寸八分，錘重三兩，問物重 幾何？

答曰：物重三兩七錢五分。

法：置錘邊七寸二分半，以錘重三兩乘之，得數為實，以物邊五寸八分除之 得數，合問。

此一問題可視為槓桿原理的應用，或求重心的問題。其平衡點的位置即為所 求，如圖示：

其利用「反衰法」可解此類問題，但利用槓桿原理可寫成：

Ž Ž

•¨

•¨ L W L

W × × ，故物邊 3.75

8 . 5

25 . 7

3× =

L_•¨ 。由此可知當時東算家不 只處理單純的數學問題而是擴大了數學解題的層面。此題與〈縱橫乘除門〉

的第三題本質相同，³只不過在該門所用的豬隻重量要對應到此題所用的長 度，又見東算家的轉化能力。

3 參見《東算抄》，頁 86。

甲 乙

丙 丁 戊 己 庚 壬 辛

癸

戊 乙

丁 丙

甲

﹝2﹞約瑟夫斯（Josephus）問題：

或問，今有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十人，乃計十拔 去，而後欲使甲留在，問自何人為始？

答曰：自丁為始。

法曰：置一於上為法，置二於下為實，乃法加十共 得十一，又加一得三，以實三減去法十一，自盡則餘法 二。又法二加十得十二，又實三加一得四，以實四減去

法十二，自盡則餘法四。又法四加十得十四，又實四加一得五，以實五減去 法十四，自盡則餘法四。又法四加十得十四，又實五加一得六。以實六減去 法十四，自盡則餘法二。又法二加十得十二，又實六加一得七，以實七減去 法十二，自盡則餘法五。又法五加十得十五，又實七加一得八，以實八減去 法十五，自盡則餘法七。又法七加十得十七，又實八加一得九，以實九減去 法十七，自盡則餘法八。又法八加十得十八，又實九加一得十，以十減去法 十八，自盡則餘法八。以八為始，八即丁也，計之，合問。

將其解法整理如下 ：

法 1 1 2 4 4 2 5 7 8 實 2 3 4 5 6 7 8 9 10

餘法 1 2 4 4 2 5 7 8 8

先以一為法二為實，「餘法」為（法＋脫數）÷實之餘數，但不得為０，若能 整除則以實為法餘法為下一步驟之「法」，「實」乃逐次加一，如此連續步驟，

直到實加一恰為原人數為止，此時餘法即為所求。

〔1〕 圓外切八邊形邊長問題

或問，有圓徑十尺，外切八邊形每邊若干？

答曰：每邊四尺有奇。

法：置徑十尺自乘得一百為實，倍徑得二十為縱方，以一為 隅法，平方開之，得每邊數，合問。

解曰：丙自乘倍之當折半而倍之者，欲兼得戊也，平方開之，以 加丁，即得乙丁戊之通長，即圓徑也，故徑自乘則其為數 也，有丁自乘數一段，乙戊通長自乘數一段，即丙自乘兩 段丁與乙戊相乘數二段，故曰徑自乘內有面自乘數三段，

八邊面自乘數，面乘乙戊數兩段，故為實。

倍徑，則有丁面兩個，乙戊通長兩個，故為縱方。

以一為隅者，縱方之中只有丁兩介，故為縱方，故欲加入一丁也。

又法：置徑十尺以七因七即一段斜也，以十七十七即一段斜，兩段方相併數除之，

得八角，每面四尺十七分之二。

此題有兩種解法：

解法一：利用代換方式列方程式解之：

•è

’š

‰³

’š

‰³ b

‰³ b

b

•¸

•¸

+ +

= + +

+

=

×

×

=

×

=

× 2 2 2

2 ²

10²=（乙+丁+戊）²

=乙²+丁²+戊²+2 乙丁+2 丁戊+2 乙戊 =丙²+丁²+2（乙丁+戊丁）+丁² =丙²+2 丁²+2（乙丁+戊丁）

=丙²+2 丁（乙+戊+丁）

= x²+20x…..（設邊長為 x）

解法二：利用方五斜七，設邊長為 x

17 4 2 7 10

17 7 10 10

2 7

5

=

⇒

=

= +

+

= + +

×

=

x x

x x

‰³

•¸

•è

’š

‰³

•¸

‰³

由此題之解法可見其靈活，以同質性的變數代換而列出方程式，方程式 一旦列出就難不倒精於開方各術的算學者。再者，可觀察到發散性思考的特 質，東算家不拘泥於圓之內切，而以一外切四邊形作為輔助。

〔2〕 正四面體體積

或問，有等邊立三角體，每邊十尺，問內容積若干？

答曰：一百一十七尺八寸四分九厘六毫一絲有奇。

法：以十尺為弦，自乘，又十尺折半得五尺為句，自乘，相減餘七十 五尺為實，平方開之得股八尺六寸六分不盡四厘四戶為中長，以每面 十尺乘之折半得平，三角積四十三尺三寸，寄左，又列中長八尺六寸 六分，二之三而一，得中心五尺七寸七分三厘三毫不盡一系為句，就 自乘得三十三尺三寸三分０九戶九二八九，又上斜十尺為弦，自乘得 一百，以小減多餘六十六尺六寸六分九厘００七息一一為實，平方開 之，得股八尺一寸六分五厘一毫不盡，即中高也，以中高乘寄左，得 三百五十三尺五寸四分八厘八戶三系，三歸，得立積，合問。

三 分 之 二

10 x

h

( )

84961 . 117 1651 . 8 3 . 3 43 1

1651 . 8 33099289 .

33 10

33099289 .

33 773333 .

5

773333 .

3 5 66 2 . 8

3 . 43 66 . 8 2 10 1

66025404 .

8 75 5

10

2 2

2 2

=

×

×

=

=

−

=

=

=

×

=

=

×

×

=

=

=

−

=

é“Ï h x

ŽOŠpŒ`–ÊÏ

’†ü’·

由此問題的解題方式，可看出對於相關的幾何知識，已有正確的認知，例如 重心於中線的位置，在關孝和的《括要算法》的利卷裡有求正三角形平中徑、角 中徑與面積問題，數據相同，東算家很可能將其轉變為求正四面體體積問題。

第五至七題為三淵先生所提問，與〈周髀算經〉測日高之問題類似：

〔3〕 或問，諅三百篇九百四十分者何也？

答曰：日、月不及天十三度十九分度之七，內減日不及天一度，餘十 二度十九分度之七，通分納子，又以四因，即九百四十分。

此處未出現「法曰」，應是對於時的對談很忠實的紀錄，故未加入「法曰」，

直接以「問」－「答」形容，是非常口語化的。

〔7〕周公至洛，定天下之中，立八尺之表，南入千里差一寸，問日去地幾 里差一寸者，南八千里立八尺表，則日影七尺九寸，故謂之差一寸也。

答曰：日去地八萬里。

解曰：自洛南入八萬里至丹穴，丹穴當戴日月行道之地，立八尺之表則 影一寸，又出千里則影二寸，又出八萬里至洛陽則影八尺，而八尺 表之影八尺，故比如小方田也，八萬里則如大方田，故日去地亦八 萬里也，自丹穴以南至於日南之國則日影皆向南，⁴所謂開北戶以向 日者也，日南之國在日之南。

4 「丹穴」一詞在《詩經》爾雅中有如此描述：「岠齊州以南，戴日為丹穴，北戴斗極為空桐，

東至日所出為大平，西至日所入為大蒙。太平之人仁，丹穴之人智，大蒙之人信，空桐之人武。」， 故古人認為「丹穴」於日之正下方。

以「千里差一寸」利用比例關係並輔以下圖說明：

日

小 方 田 丹穴 洛陽

此處所謂「千里差一寸」，應是源自於《周髀算經》卷上之二，其中有一段 對話：

昔者榮方問於陳子曰：今者竊聞夫子之道，知日之光大，光之所照一日所行，遠 近之數…天地之廣袤，夫子之道皆能知之，其信有之乎？陳子曰：然…陳子曰：

日中立竿測影…周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸，髀者股也，正晷者勾也，正 南千里勾一尺五寸，正北千里勾一尺七寸。⁵

最後得到結論為「周髀長八尺，勾之損益，寸千里」，依此東算抄的日去地 圖便繪製成等腰三角形。在本題雖無較艱深之數學論述，但可知曆算、測望問題 是算家需會處理的問題。而三淵先生適合許人？為何題問此問題？筆者將留待第 六章探討。

5.1.2 雜題：律呂隔八相生圖

律學又稱律呂或律呂之學，律呂之學在中國古代聲學理論中佔有重要地位，

而中朝之間的音樂自古就有相互交流，律學又是樂器的製作與樂曲的編寫的基 礎，聲學不僅是用在音樂方面，還跟五行、地支或節氣相結合，雖然後者未具實 質意義，但能反映當時的自然觀。

5 引自漢．趙君卿注、唐．李淳風釋，《周髀算經》，收入郭書春主編，《中國科學技術典籍通彙》

數學卷，第一分冊，（鄭州：河南教育出版社，1993），頁 19。

東算抄在此列出律呂隔八相生圖，顯然是抄自於《算法統宗》的律呂相生圖，

並列出相互間的推算方法，而「隔八」二字應從《算法統宗》之律呂相生歌而來：

律呂相生識者稀，黃鐘九寸是根基，

隔八生陰三損一，陰率生陽益一奇，

黃林大簇皆全寸，餘者通之更不疑，

具用九分乘見積，四時氣候配攸宜。

【圖 5-1《算法統宗》之律呂相生圖】

【圖 5-2《東算抄》之律呂相生圖】

除了表示各律之推算規則外，筆者認為將律學納入《東算抄》，應與自十七 世紀起，朝鮮在傳統宮廷音樂與舞蹈的範疇之外，又積極發展出三種不同的聲樂 形式－抒情曲（gagok）、敘事曲（gasa）、詩歌吟唱（shijo），介於中產階級與 貴族之間的文人學者留下許多的樂譜抄本，⁶有間接關連。

黃鐘律又是律學之根本，在此《東算抄》與《算法統宗》的陳述略有差異，

其從音樂和算理兩方面來說明：

黃鐘律，長者聲下，故重濁而舒遲；短者聲高，故清輕而剽急。陽生陰曰下 生，陰生陽曰上生，皆以左旋。

陽生陰三分損一，隔八生陰，陰生陽三分益一，隔八生陽。

其中各律之管長數據早在東漢末《周禮》注釋中就有記載，給出了以寸為單 位的十二律管長其數據為：

黃鐘： 9 寸 應鐘：

27

420寸 無射：

6561

46524寸 南呂：

3 51寸

夷則： 729

5451寸 林鐘：6寸 蕤賓：

81

626寸 仲呂：

19683 12974

6 寸

姑洗： 9

71寸 夾鐘：

2187

71075寸 大簇：8寸 大呂：

243 8104寸

若以三分損益法「二因三歸為損，三分損一；四因三歸為益，三分益一」，⁷ 林鐘即「陽生陰，三分損一，隔八生陰，陰生陽，三分益一，隔八生陽」來計算，

黃鐘為 9 寸且屬性為陽，則隔八相生得林鐘，即 6 3

9×2 = ，由林鐘起隔八相生得

大簇 8 3

6×4 = ，以此類推可得到各律長。

5.1.3 附啟蒙捷術

〈附啟蒙捷術〉共分為兩部分二十八題，其中假令盈不足術三題，開方釋鎖 二十五題，在此雖名之啟蒙捷術，但卻未用算學啟蒙的方法，足見主體性與自主 性的呈現。

6 參閱《韓國》，頁 76。

7 參閱劉鈍《大哉言數》，頁 149。

5.1.3.1 假令盈不足

此部分三個問題分別抄自《算學啟蒙》盈不足術門第六、七、九題，其中「假 令」之用法應倣自《算學啟蒙》，其於解盈不足問題時必言「假令」二字，⁸有假 設之意，此三題分別用三種方式解題，不僅是一題多解，而是對同一類型的問題 展現不同的數學思維，從單一的題提升為「類」，其分析如下：

〔1〕 今有甲米不知其數，貯於四碩五 斗囤中，乙誤入粟，滿而相和，

今變為糲米，共量得三碩四斗四 升，問甲米、乙粟各幾何？糲米 六升折粟一斗

答曰：甲米一碩八斗五升，乙粟 二碩六斗五升。

法曰：置四石五斗內減三石四斗四升，

餘為一石六升，以四升除之，得乙粟，

又四石五斗內減乙粟餘為甲米，合問。

餘一石六升即糠，而以四升除之者，即粟一 斗，米為六升，糠為四升，故以糠四升計粟一 斗。

用現代符號表示解法 設甲米：x 乙粟：4.5-x 體積比 米：粟=10：6=5：3

( )

85 . 1 74

. 0 4 . 0

44 . 3 6 . 0 5

. 4

=

⇒

=

=

×

− +

x x

x x

此題的「糲米六升折粟一斗」為關鍵，由此得知體積之比，然後列方程式求解。

接著又再度出現「攜酒遊春」問題，與上一章節的解法又有差異，其所用方法 乃採逐步推演，未直接使用盈不足術：

〔2〕 今有人攜酒遊春，不知其數，

只云遇務而添酒一倍，逢花而 飲三斗四升，今遇務逢花各四 次，酒盡壺空，問原攜酒幾何？

答曰：三斗一升八合七勺半。

法曰：置第四次所飲三斗四 升，內半減第四次所添，餘一斗七升；

又加第三次所飲三斗四升，內半減第 三次所添，餘二斗五升半；又加第二 次所飲三斗四升，內半減第二次所 添，餘二斗九升七和半，又加第一次 所飲三斗四升，內半減第一次所添，

餘為原攜數，合問。又一法見物不知總門

設原攜酒：x

( )

[ ]

[ ]

( )

[ ]

[ ]

( )

[ ]

( )

1875 . 2 3

4 . 3 975 . 2

975 . 2 2

95 . 5 2

4 . 3 55 . 4 2 . 3 2

55 . 2 2

7 . 1 4 . 4 3 . 3 4 . 3 2 2

7 . 2 1

4 . 4 3 . 3 4 . 3 4 . 3 2 2 2

0 4 . 3 4 . 3 4 . 3 4 . 3 2 2 2 2

+ =

=

= + =

=

−

=

+ =

=

−

−

=

=

=

−

−

−

=

=

−

−

−

−

x x D

x C

x B

x

8 參見元．朱世傑《算學啟蒙》，頁 1174。

此題解法似乎是為〈物不知總門〉之同類型題目（第十題）做完整的過程解 說，筆者認為並非作者不懂盈不足術，而是東算家注重解題的過程。

第三題是二色方程問題，一樣寫推理過程，不直接使用盈不足術：

〔3〕 今有鵝鴨九十九隻，直錢九百三 文，只云鵝九隻直錢一百二十三 文，鴨六隻直錢四十六文，問二 色及各價幾何？

答曰：鵝二十四隻直錢三百二十 八文，鴨七十五隻直錢五百七十五文。

法曰：置九十九隻，以鴨三隻價 二十三文乘之，得二貫二百七十七文又置 九百三文，三因得二貫七百九文，二數 相減餘四百三十二文，為實，又置鵝三 隻價四十一文，內減鴨三隻價二十三 文，餘十八文為法，實如法而一，得鵝 二十四隻，又列九十九隻內減鵝二十四 隻，餘七十五隻即數鴨，求價用異乘同 除法，合問。

本題是以「方程術」解之：

解法：設鵝：x 鴨：y

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3 ...

2709 23

41 3 2

2 ....

6 903 46 9

123

1 ....

99

=

⇒

=

⇒

−

= +

⇒

×

= +

⇒

×

= +

= +

x x

y x

y x y x y x

其實以方程式列式解答，所得之數與盈不術公式的各個元素可相互呼應，今 將過程完整寫，出足證理路清楚，一方面也便於他人研讀。

5.1.3.2 開方釋所

開方釋所共二十五題，全數皆抄自《算學啟蒙》之〈開方釋所門〉其對照表 如下：

東算 啟蒙 東算 啟蒙 東算 啟蒙 東算 啟蒙 東算 啟蒙 1 8 6 15 11 20 16 26 21 31 2 10 7 16 12 21 17 27 22 32 3 12 8 17 13 23 18 28 23 33 4 13 9 18 14 24 19 29 24 34 5 14 10 19 15 25 20 30 25 22

較 直 田 直

田 直田 直田 和

平 長 題目雖同，但解法有所差異，其中第九、十、十一、二十三題為一題二法，

第二十五題用三法，第一、八、九、十四繪有圖形。與《算學啟蒙》最大的差異 在於未使用天元術，且繪有圖形作為輔助。利用圖形的輔助在解決數學問題時有 畫龍點睛，使人易曉之功用。例如在處理面積問題，出入相補原理，弦圖，條段 法等，在《東算抄》的開方釋所第一題便利用條段法，即朱世傑所說的古法：

〔1〕今有直田八畝五分五釐，只云長平和得九十二步，問長平各幾何？

答曰：長五十四步，平三十八步。

法曰：列和自之得八千四百六十四即直田四段即較自乘合數，內減直積四倍八 千二百八餘二百五十六即較自乘數，平方開之得較十六，副置和加較折 半得長，減較折半得平，合問。

在東算抄中繪製有圖 其解法為設長：x 平：y

一畝＝240 平方步，故八畝五分五釐＝8.55×240＝2052 x＋y＝92

xy=2025

(

) (

)

( ) ( )

16

256 2025 4

92 4 ²

2 2

=

−

∴

=

×

−

=

− +

=

− y x

xy y

x y x

x=54，y=38

其實若忽略「立天元一」之用法細究各題之解法卻與啟蒙有相同之處：

題 文

〔5〕今有直田九畝八分，只云長取八分之五，平取三分之二，相併，得六十 三步，問長、平各幾何？

答曰：平四十二步，長五十六步。

解 法 東算抄 法曰：列分母三分 八分

之二 之五 互乘子，得十五箇長、十 六箇平，又分母八分、三 分相乘得二十四，以乘云 數得一千五百十二，此十 五長、十六平相和之數，

設長：x 平：y 依題意列式：

寄左，列積通步以十五乘 之，得三萬五千二百八十 為實，以寄左數為縱方，

以十六為隅法，減縱平方 開之，得平，以平除積得

長，合問。

( )

56 42 2352 42

35280 1512

16

35280 1512

16

35280 16

1512

35280 15

2352 15

1512 24

63 16 15

2352 240

8 . 9

3 63 2 8 5

2 2

=

÷

=

=

−

=

−

= +

−

=

−

=

×

=

=

×

= +

=

×

=

= +

x y

y y

y y

y y xy

y x xy

y x

算學啟蒙

術曰：依圖佈算

長 平

母互乘子乃得長十五箇平 十六箇，分母相乘得二十 四，乘六十三得一千五百 一十二即是十五長十六平數 也，立天元一為平 ，以 十六乘之減云數，餘為十

五長 ，用平乘之為

十五段積 ，寄左，

列畝通步以十五乘之，與 寄左相消得開方式

，平方開之得 平，以平除積得長，合 問。

依圖佈算 8 5 3 2

1512 24

63 16

15’· + •½ = × = 設平為 x

( )

56 42 2352 43

0 35280 1512

16

35280 240

8 . 9 15

16 1512 15

16 1512 15

2

=

÷

=

=

=

− +

−

=

×

×

−

−

=

’·

x

x x

x x

’iÏ

x

’·

第十七題的解法非常特殊，若以其解題所列的方程式而言，已帶有根號而且 對於各項的稱呼用甲、乙、丙縱表示：

〔17〕今有圓田一段，周為實，平方開 之，得數，加入原積共得一百一 十四步，問周徑各幾何？

答曰：周三十六步，徑一十二 步。

法曰：列共數十二乘之得一千三百六十八

為實，以十二為甲縱，一為丁縱即隅法， 帶縱三乘方開之得平方開之數，自之得 周，三而一得徑，合問。

今以現代符號表示：

設周為 x 依題意列式：

36 6

1368 12

1368 12

114 12

12 114

2

2 2

=

=

= +

=

×

= +

= +

x x

x x

x x x x

對同一問題，《算學啟蒙》解題的方向不同「立天元一為徑」，所列之方程式 為「9x⁴ −2736x² −48x+207936=0」，雖然筆者無法斷言是否朱世傑刻意避開 未知數於根號之中的情形？但可以肯定的是《算學啟蒙》中所列的方程式，未出 現類似的方程式。

第二十五題提出三種解法，其中一法與《算學啟蒙》實質上相同。另外，還 提出一個捷算法：

〔25〕今有大、小方田二段，只云大 方冪內減小方面餘一千二百 六十八步、又云小方冪內減大 方面餘七百四十八步，問大小 方面各幾何？

答曰：大方面三十六步，小方面二 十八步。

法曰：列大方餘冪自之得一百六十萬 七千八百二十四，內減小方餘 冪得一百六十萬七千七十六為 實，以一為甲縱，倍大方餘 冪為乙縱，以一為丁縱即隅 法，三乘方翻法開之，得大 方面，加入小方餘冪得七百 八十四為實，平方開之得小方 面，合問。

今以現代符號代數解法表示：

設大方面：x 小方面：y

748 1268

2 2

=

−

=

− x y

y x

（一）

( )

36

0 1607076 2536

0 748 1268

1268 2

748 1268

1268

3 4

2 2

4

2 2 2

=

= +

−

−

=

− +

−

×

−

=

−

−

⇒

−

=

x

x x x

x x x

x x

x y

（二）啟蒙之法

( )

0 558236 1496

1268 748

748

2 4

2 2 2

=

−

−

−

=

y y

y x

一法：列小方餘冪自之得五十五萬九 千五百四，內減大方餘冪得五 十五萬八千二百三十六為實，以 一為甲縱，倍小方餘冪為乙 縱，以一為丁縱，三乘方法 開之得小方面，加入大方餘 冪得一千二百九十六為實，平 方開之得大方面，合問。

一法：列大方餘冪平方開之得三十六， 則積不足為二十八，此即小方面所減數 也，又列小方餘冪加三十六得七百八十四

為實，平方開之得二十八，則積無餘及 不足，合問。此非正法，然亦可為捷徑之一 段，故今姑錄之卷末云爾。

( )

28

0 558236 1496

1268 748

748

2 4

2 2 2

=

= +

−

−

=

−

−

−

=

y

y y y

y y

y x

（三）

28 784

784 36 748

1268 28

1296 1296 36

....

6089 . 35 1268

2

=

= +

=

−

=

=

積無餘，及不足。

其中第三個方法雖言「非正法」，但其原理是正確的，先求其最接近之數，

因 1268 是減 y 後所得之數，故假設 x 是 36，此有點類似單設法求解，且預估的 方式是正確的。

由以上兩題可見轉化及自主，並發現提升之處，但既然此處題目完全與算學 啟蒙相同作者肯定參考過算學啟蒙來編寫，但為何捨天元術不用，亦未像開方各 術門廣用籌式表達方程式，仍須仔細探究？

另外，由第二十五題的解法最末所言「…故今姑錄之卷末云爾。」，可確定 原書應以此為終，其後之追錄為追加之部分，與附錄中未記載相符。

5.2 卷之四內容特色

從卷之四可說是《東算抄》中最令人感到有「溫度」的部分，藉著〈問答〉

的探究，彷彿將讀者帶回 1713 年那場對話場景之中。此外本卷之〈附啟蒙捷術〉

的題目全部「抄」自《算學啟蒙》的〈開方釋所門〉，可見編者或作者頗重視『智 慧財產權』，筆者將本卷之體例、內容特色，歸納整理如下：

（1）本卷的體例共有如下九種：

1.「今有」－「答曰」。

2.「或問」－「答曰」－「法曰」。

3.「或問」－「答曰」－「法」－「又法」。

4.「或問」－「答曰」－「法」。

5.「或問」－「答曰」。

6.「又問」－「答曰」。

7.「…問…」－「答曰」－「解曰」。

8.「今有」－「答曰」－「法曰」。

9.「今有」－「答曰」－「法曰」－「一法」。

（2）收錄數學對話的內容，可見當時的對話頗受到重視，清朝使節來訪應 是當時宮廷中之大事，東算家把握學習的機會，並彰顯自己的成就。

《東算抄》把情境去除掉，只列出單純問題形式，可見原先成書的動 機應再研究。

（3）收錄三淵先生所題問之相關天文曆法問題，可知曆算亦是東算家所需 具備的算學能力。當時算學家的交遊情形與算學家所扮演的角色，亦 值得再研究。

（4）〈附啟蒙捷術〉中的〈假令盈不足〉，皆未用盈不足術解題，「攜酒遊 春」問題以逐步推導解題，另一題用方程術解題，皆未使用現成之口 訣或公式，有解說之意。而不用公式更可彰顯其對問題本質的瞭解。

（5）〈開方釋所〉所有問題皆收錄自《算學啟蒙》之〈開方釋所門〉，但差 別在於皆未用天元術解題。

（6）第 16、22、23、24 倣《算法統宗》以“○”為斷句符號。

（7）〈開方釋所〉第二十五題，用類似單設法解題，展現出靈活的思維，

但東算家指稱「此非正法」，也可看出其對數學嚴謹性的認定。

（8）由〈開方釋所〉最後一題所寫「此非正法亦可為捷徑之一段，故今姑 錄之卷末云爾」，⁹可知卷之四為原本預定之最後章節。

5.3 追錄

此部分共二十題，未記載於東算抄的目錄之中，故名為〈追錄〉，共分為〈堆 積還源門〉十一題，主要是探討堆垛問題。盈不足術包含持錢買絲、松竹並生共 兩題，方程正負七題，其中兩題與《算學啟蒙》方程正負門相同，另有堆垛問題 四個及一個均輸問題。

5.3.1 堆積還源門

同樣是處理堆垛問題，但〈堆積還源門〉與〈缶瓶堆垛門〉最大的不同在於，

前者加入了圖示驗證，並貼心地佈置了數目較小的「假如」題，附於「今有」題 之後以方便繪圖及解說。筆者今將書中圖示繪出，並從中發現東算家的創見。

9 參見《東算抄》卷之四，頁 370。

5.3.1.1 平面問題：茭草、圓箭、方箭

〔1〕今有茭草底子每面五十四，問積幾何？

答曰：一千四百八十五束。

術曰：副置五十四束，下位添一束以乘上位得二千九百七十，半之，得 積，合問。

即

( )

2 1485 54 1

54+ × =

此題完全抄自算學啟蒙，緊接著第二題就以圖形解說：

〔2〕假如茭草底子每面五束，問積幾何？

答曰：十五束。

列五束於上，下位添一相乘得三十，

半之，得十五，合問。餘皆倣此

此題「列五束於上，下位添一相乘」乃配合圖示，不同於第一題之公式解法「副 置五十四束下位添一束以乘上位」。

第三、四題為「圓箭」問題，第一個解法利用等差級數性質，第二個解法利 用公式解法。

〔3〕今有圓箭一束，外周五十四隻，問積幾何？

答曰：二百七十一支。

術曰：副置五十四隻，下位添六，以乘上位得三千兩百四十為實，以 圓法十二而一，加心箭一隻，合問。

利用圓法，設外周為 n，則圓箭總數為

( ) ( )

12 1 1 6

2 6 1 6 6

× +

= +

+

 

 − +

+ n n

n n

，接著 給出假如題並繪出圖示（左圖為原書之圖，右二圖為筆者繪製，以佐證「圓箭六 包一」）。

〔4〕假如圓箭一束，外周十八隻，問積幾何？

答曰：三十七隻。

列十八隻於上位，添六支以乘下位，得四百三十二為實，十二而一得數，

加心箭一隻，合問。圓箭六包一

第一個解法利用

( )

2 1 6 1 6 6

+

 

 − + + n n

，即設外周為 n ，先去掉中心 1 個後，可將圓 箭展開，則各層形成一公差為六的等差數列，先算出該數列之和，最後再把中心 加回來。

圓箭虛積四百三十二即外周十八加六得二十四以十八乘之得數者乃元積之 十二倍而心箭初不入故加一隻然後合問餘皆倣此。

第二個解法為

( )

12 1 6 × +

+ n

n ，即設外周為 n ，先去掉中心 1 個後，

(

)

處理方箭問題時仍配合不同的公式給予不同的圖示加以驗證：

〔6〕假如方箭外周十六，問積幾何？

答曰：二十五。

圓箭外周十八隻加六相乘之圖

方箭外周十六各加四相乘之圖 方箭四百即方積十六倍餘皆倣此 又有下法圖詳見可推

方箭八包一

設外周為 n，此法為利用

( ) ( )

16 2 4

4

4 ² = + ²

 n− + n

，其中

( )



 − + 4 2

4

n 為方箭每邊之

長。則

(

)

另一個圖解法利用設外周為 n ，

( ) ( )

16 1 1 8

2 8 1 8 8

× +

= +

+

 

 − +

×

+ n n

n n

，同樣利用

「方箭八包一」的特性，先去掉中心 1 個，則由內而外每一層形成一個公差為八 的等差數列，求出級數和，再將中心加回來即為所求。圖解如下：

5.3.1.2 立體問題：三角垛、四角垛

前一小節處理有關平面問題，本小節探討立體問題，並以三角垛與四角垛為 例，解三角垛問題一般以

( ) ( )( ) [ ( ) ]

6 2 3 6

2 1 2

1 n n n n n n

n

n + = + + = + + ×

∑

式，今分析第八題之解法如下：

〔8〕假如每面底子五箇，共積幾何？

答曰：三十五箇。

第一個圖解法圖示為利用逐層遞推的方式：

甲在上 乙

丙

丁

戊在下

方箭周十六加八相乘之圖 置周添八以週乘得數為實以 十六除之加中心一

右三稜高下前 後各五面

第二個圖示解法為利用

( ) ( )( ) [ ( ) ]

6 2 3 6

2 1 2

1 n n n n n n

n

n + = + + = + + ×

∑

( )

[ ]

6 2

3 n

n

n + + ×

：

添 三 合 八介

面五 介

面 五 添 三得 八 以 面 乘 得四 十 二 合 四十 二 介

添

此即

[

(

)

]

第三個圖示解法利用

( ) ( )( ) ( ) ( )

3 2 2

1 6

2 1 2

1 + × +

+ =

= +

∑

n n n

n n n

n ，其圖示如下：

第四個型態的解法為「又面添二即七，以面五相乘得三十五，又面添一得六，相 乘得二百十介，六而一，先添一、後添二亦同」即

( ) ( ) ( )

6 1 2

2

1 = + × +

∑

第十題為四角垛問題以

(

)(

)

(

)

n n ×



 



 +



 

 +

=



 



  +



 

 + + =

= +

∑

圖示：

〔10〕假如每面底子五箇，問共積幾何？

答曰：五十五箇。

右列四十二以面五介乘之得數 乃三角果積六倍數

又面添一即六以面五相乘得三十折 半得十五又面添二即七以十五相乘 得一百五三而一得三十五介合問

第一個圖解法圖示為利用逐層遞推的方式：

四角 果面

甲 乙

丙 丁 戊

第二個解法圖示乃利用

( )( ) ( )



 



  +



 

 + + =

= +

∑

解題者仍畫上輔助線條，以下圖示，筆者乃倣原圖繪製而成。

右二十七介半，又面五介添一得六介，相乘得一百六十五介，三而一，得五十五 個，合問。

第三個解法圖示利用

( )( )

n n

n n n

n n ×



 



 +



 

 + + =

= +

∑

右三十二介半又添半介，以面五介相乘，一百六十二介，¹⁰三而一得五十五介圖。

10 此處原書計算錯誤，應更正為「一百六十五介」。

右四面高下前後左右 五面各五箇

右面五介添半介得五 介半，又以面五相乘得 二十七介半圖

面五介添一箇半得六 箇半，又以面五介乘之 得三十二介半圖