會不會比中樂透的頭獎還難呢？

會不會比中樂透的頭獎還難呢？

撲克牌：

從 52 張牌抽出 13 張的情形有：

C ＝ ＝635013559600

又同一花色的有黑桃、紅心、梅花、紅磚，共 4 種，

∴機率＝ ＝ ≒一千五百八十七億分之一

大樂透：

從 49 個號碼中，任取 6 個號碼的情形有：

C ＝ ＝13983816

又頭獎只有一種，

∴中大樂透頭獎的機率＝

≒一千三百九十八萬分之一

49×48×47×46×45×44 6

×5×4×3×2×1

1

158753389900 4

635013559600

52×51×50×49×48×47×46×45×44×43×42×41×40 13

×12×11×10×9×8×7×6×5×4×3×2×1

52 13

49 6

本章從整理資料開始，學習繪製各種統 計圖表，然後再討論資料集中與分散的狀 態，最後從生活情境介紹機率與抽樣調查的 概念。

2-1 次數分配與資料展示

•次數分配與累積次數

•相對次數與累積相對次數

2-2 算術平均數、中位數與眾數

•算術平均數

•中位數

•眾數

2-3 百分位數、四分位數與盒狀圖

•百分位數

•全距

•四分位數

•盒狀圖

2-4 機率與抽樣

•隨機試驗

•樹狀圖

•抽樣調查

•亂數表

統計與機率

次數分配與累積次數

1

2 ^{1 次數分配與資料展示}

我們常從報紙或網路上看到一些由統計數據資料所呈現的統計圖表，例如 下圖是臺北市 民國 97 年交通事故肇事原因分析圖，從圖中可以讓我們警覺到 開車時容易發生車禍的原因。

（資料來源：臺北市政府警察局交通大隊）

圖 2-1 臺北市 民國 97 年交通事故肇事原因分析圖

這些統計圖表是由統計數據所製作出來的，接下來我們將複習國小曾經學 過的長條圖、折線圖與圓形圖。

對應能力指標 9-d-01

未注意車前狀態 19％

違反號誌管制 11％

違反標誌標線 10％

駕駛疏忽 1％

未依規定讓車 3％

酒後駕車 7％

其他 22％

搶越人行穿越道 15％

轉彎不當1％

肇事逃逸 7％

未保持行車距離 4％

文星國中的圖書館有 18000 本圖書，各類書籍的數量如下表：

1製作該校各類書籍數量的長條圖。

2製作該校各類書籍數量的圓形圖。

1 ^{長條圖與圓形圖}

例 題

分類 總類 哲學 宗教 自然科學 應用科學 社會科學 史地 語文 美術 本數

（本）

1 製作長條圖的方法如下：

●

步驟１畫出互相垂直的橫軸與縱軸。

●

步驟２在橫軸標示圖書類別。

●

步驟３在縱軸標示數量與單位（本）。

●

步驟４取適當寬度，在橫軸上依照各類圖書數量往上畫出矩形。

依照上述步驟可以得到下圖：

1000 0 2000 3000 4000 5000

文星國中圖書館書籍數量長條圖 總

類

哲 學

宗 教

自 然 科 學

應 用 科 學

社 會 科 學

史 地

語 文

美 術

分類 本

數 本

︵

︶

2 製作圓形圖的方法如下：

●

步驟１利用 ×360°計算該類圖書在圓形圖中所占圓心角度數。

●

步驟２依照圓心角畫出代表各類圖書數量的扇形。

依照上述步驟可以得到下圖：

該類圖書數量 總圖書數量

分類 總類 哲學 宗教 自然科學 應用科學 社會科學 史地 語文 美術 本數（本）

圓心角 度數（度）

500 10

500 10

500 10

3500 70

2500 50

3000 60

2000 40

4500 90

1000 20

承例題 1，製作文星國中圖書館各類書籍數量的折線圖。

0

總 類

哲 學

宗 教

自 然 科 學

應 用 科 學

社 會 科 學

史 地

語 文

美 術

分類 自然科學

哲學 總類 宗教

應用科學

社會科學 史地

語文 美術

文星國中圖書館書籍數量圓形圖

文星國中圖書館書籍數量折線圖 本

數 本

︵

︶

任何蒐集到的資料，若能做適當的整理與歸納，常常可以將資料當中的資 訊清楚的顯示出來，更容易運用這些資料。

下表是三年甲班第一次期中考數學成績的一覽表，從表 2-1 中，我們可以得 知每位學生的數學成績，但是如果想進一步知道哪一個區間分數的人最多，或者 成績優劣的分布情形，就必須加以整理。

資料整理的方法如下：

●

步驟１將所有資料做適當的分組：

如表 2-1 中，最低分是 36 分，所以從 30 分開始，每 10 分為一組，分 成 30∼40 分、40∼50 分、50∼60 分、60∼70 分、70∼80 分、80∼90 分、90∼100 分等七組。在本教材中規定：分組時，「a∼b」表示資 料在 a 以上（含 a）而未滿 b（不含 b），但特別在處理成績分組時，最後 一組 90∼100 分也含 100 分。

30

∼40 分：成績在 30 分以上（含 30 分）且未滿 40 分（不含 40 分）。

40

∼50 分：成績在 40 分以上（含 40 分）且未滿 50 分（不含 50 分）。

： ：

：

90

∼100分：成績在 90 分以上（含 90 分）且 100 分以下（含 100 分）。

在分組時，每一組的範圍都要相同，

像這樣相同的範圍稱為組距。

表 2-1 三年甲班數學成績一覽表

座號 成績（分） 座號 成績（分） 座號 成績（分）

1 80 11 55 21 66

2 78 12 85 22 85

3 72 13 64 23 38

4 65 14 98 24 66

5 76 15 70 25 84

6 95 16 75 26 58

7 54 17 82 27 89

8 87 18 62 28 43

9 77 19 94 29 64

10 36 20 66 30 44

座號 成績（分）

31 79

32 45

33 88

34 75

35 48

36 100

37 64

38 55

39 76

40 77

次數分配表

●

步驟２統計判斷每一個人的分數歸屬於哪一組，並在該組的計數符號欄畫 記，最後再統計該組的人數：

表 2-2 稱為次數分配表（有些次數分配表不含計數符號欄），從表中我們 很容易發現 70 ∼ 80 分的人數最多。

表 2-2 三年甲班數學成績次數分配表

成績（分） 計數符號欄 次數（人）

30∼40 // 2

40∼50 //// 4

50∼60 //// 4

60∼70 //// /// 8

70∼80 //// //// ¹⁰

80∼90 //// /// 8

90∼100 //// 4

合計

下表是珮茹班上同學體重一覽表，請完成該班同學體重次數分配表。

珮茹班上同學體重一覽表

座號 體重（公斤） 座號 體重（公斤） 座號 體重（公斤）

1 51 11 58 21 59

2 56 12 55 22 49

3 64 13 47 23 59

4 71 14 58 24 56

5 56 15 47 25 52

6 58 16 57 26 67

7 50 17 53 27 52

8 57 18 66 28 70

9 45 19 51 29 48

10 64 20 63 30 64

座號 體重（公斤）

31 68

32 69

33 54

34 77

35 49

36 74

37 61

38 52

39 55

40 62

珮茹班上同學體重次數分配表

體重（公斤） 計數符號欄 次數（人）

45∼50 //// / 6

50∼55 //// /// 8

55∼60 //// //// // 12

60∼65 //// / 6

65∼70 //// 4

70∼75 /// 3

75∼80 / 1

合計

30 2

0 6

4 10

8

40 50 60 70 80 90 100 成績（分）

次 數 人

（　 ）

圖 2-2 三年甲班數學成績次數分配直方圖

在完成次數分配表後，為了讓資料的呈現更容易一目了然，通常會繪製成 次數分配直方圖或次數分配折線圖，方法如下：

1 製作次數分配直方圖：

●

步驟１畫出互相垂直的橫軸與縱軸。

●

步驟２在橫軸標示成績及單位（分），從適當位置開始，由左到右依次標示各 組分數。

●

步驟３在縱軸標示次數及單位（人）。

●

步驟４分別以各組距為底，該組距次數（人）為高畫出長方形，注意底部刻度 間隔要相同，且長方形互相鄰接，不可以有空隙。

依照上述步驟可以得到下圖：

次數分配直方圖與折線圖

符號「 」表示 中間部分省略。

圖 2-3 三年甲班數學成績次數分配折線圖

30 2

0 6

4 10

8

40 50 60 70 80 90 100 成績（分）

次 數 人

（　 ）

由圖 2-2 與圖 2-3 中可知，70∼80 分的人數最多，60∼70 分與 80∼90 分 的人數其次；成績從 50∼60 分到 60∼70 分的人數上升最多。

2 利用次數分配直方圖製作次數分配折線圖：

●

步驟１找出各組的中點，此點稱為組中點，又稱為組中距。

●

步驟２在坐標平面上標出點（

）、（

）、（

）、（

）、

（

）、（

）、（

）。

●

步驟３由左至右用線段依序連接這些點。

依照上述步驟可以得到下圖：

成績（分） 次數（人）

30∼40 2

40∼50 4

50∼60 4

60∼70 8

70∼80 10

80∼90 8

90∼100 4

（30＋40）÷2＝

（40＋50）÷2＝

（50＋60）÷2＝55

（60＋70）÷2＝65

（70＋80）÷2＝75

（80＋90）÷2＝85

（90＋100）÷2＝

組中點

35 45 55 65 75 85 95

合計

表 2-3

三年甲班數學成績

（35 , 2）表示 30≦成績＜40 有 2 人；

（45 , 4）表示 40≦成績＜50 有 4 人。

下表為志傑班上同學體重的次數分配表，請製作該班體重次數分配直方圖 與該班體重次數分配折線圖。

體重（公斤） 次數（人）

45∼50 6

50∼55 8

55∼60 12

60∼65 6

65∼70 4

70∼75 3

75∼80 1

合計 40

志傑班上同學體重次數分配表

45 2

0 6

4 10 12

8

50 55 60 65 70 75 80 體重（公斤）

次 數 人

（　 ）

志傑班上同學體重次數分配直方圖

搭配習作P25 基礎題1

在表 2-2 中，如果想了解成績未達 60 分有多少人，或者成績為 70 分以上

（含 70 分）有多少人，通常會整理成累積次數分配表或繪製累積次數分配折線 圖，方法如下：

1 製作累積次數分配表：

將所有資料做成次數分配表後，從成績最少的一組到成績最高的一組，一組 一組的把人數加上去，完成累積次數分配表如表 2-4：

表 2-4 三年甲班數學成績累積次數分配表

30∼40 2

40∼50 4

50∼60 4

60∼70 8

70∼80 10

80∼90 8

90∼100 4

累積次數（人）

2 6 10 18 28 36 40

合計 40

4 ＋ 2＝ 6 4 ＋ 6＝10 8 ＋10＝18 10 ＋18＝28 8 ＋28＝36 4 ＋36＝40

累積次數分配表與折線圖

志傑班上同學體重次數分配折線圖

2

0 6

4 10 12

8

50 55 60 65 70 75 80 體重（公斤）

次 數 人

（　 ）

2 利用累積次數分配表製作累積次數分配折線圖：

●

步驟１畫出互相垂直的橫軸與縱軸。

●

步驟２在橫軸標示成績及單位（分）。

●

步驟３在縱軸標示累積次數及單位（人）。

●

步驟４在坐標平面上標出點（30 , 0）、（40 , 2）、（50 , 6）、（60 , 10）、

（70 , 18）、（80 , 28）、（90 , 36）、（100 , 40）。

●

步驟５由左至右用線段將這些點依序連接起來。

依照上述步驟可以得到下圖：

30 5 2 6

0 20 40

30 35 36

28

18 25

15

10

40 50 60 70 80 90 100

成績（分）

圖 2-4 三年甲班數學成績累積次數分配折線圖 累

積 次 數

︵ 人

︶

由表 2-4 或圖 2-4 中可知，成績未達 60 分有 10 人；又因為成績累積未 達 70 分有 18 人，所以成績為 70 分以上（含 70 分）有 40－18＝22（人）。

（30 , 0）表示沒有人低於 30 分；

（40 , 2）表示未達 40 分的有 2 人。

完成三年乙班全班同學體重累積次數分配表，並繪製累積次數分配折線圖：

三年乙班全班同學體重累積次數分配表

體重（公斤） 次數（人） 累積次數（人）

45∼50 6 6

50∼55 8 14

55∼60 12 26

60∼65 6 32

65∼70 4 36

70∼75 3 39

75∼80 1 40

合計

搭配習作P27 基礎題2

45 50 55 60 65 70 75 80 8

4 0 32 28 40 36

24 20 16 12

三年乙班全班同學體重累積次數分配折線圖

體重（公斤）

累 積 次 數

︵ 人

︶

如果我們想知道各組人數占總人數的百分比，可以將各組人數與總人 數的比值用百分比表示，稱為各組人數對總人數的相對次數。

例如： 60∼70 分有 8 人，全班共 40 人，得 ×100％＝20％，所以

∼70 分的人數占全班的 20％。

接下來，我們分別將各組人數與全班人數的比值用百分比表示，可得 相對次數分配表如下：

8 40

表 2-5 三年甲班數學成績相對次數分配表

成績（分） 次數（人） 相對次數（％）

30∼40 2 5

40∼50 4 10

50∼60 4 10

60∼70 8 20

70∼80 10 25

80∼90 8 20

90∼100 4 10

合計

30 5 0 10 15 20 25 30

40 50 60 70 80 90 100

圖 2-5 三年甲班數學成績相對次數分配直方圖 根據表 2-5，可以繪製相對次數分配直方圖如下：

成績（分）

相 對 次 數

︵

％

︶

相對次數與累積相對次數

2 對應能力指標 9-d-01

根據圖 2-5 可得相對次數分配折線圖如下：

30 5 0 10 15 20 25 30

40 50 60 70 80 90 100

圖 2-6 三年甲班數學成績相對次數分配折線圖

請完成三年乙班全班同學體重相對次數分配表，並繪製相對次數分配直方 圖與相對次數分配折線圖。

成績（分）

相 對 次 數

︵

％

︶

體重（公斤） 次數（人） 相對次數（％）

45∼50 6 15

50∼55 8 20

55∼60 12 30

60∼65 6 15

65∼70 4 10

70∼75 3 7.5

75∼80 1 2.5

合計

三年乙班全班同學體重相對次數分配表

搭配習作P25 基礎題1

5 0 10 15 20 25 30

45 50 55 60 65 70 75 80

相

對 次 數

︵

％

︶

三年乙班全班同學體重相對次數分配直方圖

體重（公斤）

成績

（分）

次數

（人）

累積次數

（人）

相對次數

（％）

累積相對次數

（％）

30∼40 2 2 5 5

40∼50 4 6 10 15

50∼60 4 10 10 25

60∼70 8 18 20 45

70∼80 10 28 25 70

80∼90 8 36 20 90

90∼100 4 40 10 100

10＋ 5＝ 15 10＋15＝ 25 20＋25＝ 45

25

＋

＝

20

＋

＝

10＋90＝100

合計

表 2-6

三年甲班數學成績

0 10 15 20 25 30

45 50 55 60 65 70 75 80

相

對 次 數

︵

％

︶

三年乙班全班同學體重相對次數分配折線圖

體重（公斤）

為了看出某一層次以上或未達某一層次所占的比例，我們可以製作累積相

對次數分配表。如果想知道 70 分以上（含 70 分）的人數占全班的百分比，或未

達 60 分的人數占全班的百分比，只要將相對次數累加，就可以得到累積相對

次數分配表如下：

圖 2-7 三年甲班數學成績累積相對次數分配折線圖

30 40 50 60 70 80 90 100

0 5 30 25 70

50 45 60 100

80 90

40

20 15 10

累 積 相 對 次 數

︵

％

︶

成績（分）

從表 2-6 可以知道，未達 60 分的人數有 25％；因為未達 70 分的人有

％，所以 70 分以上（含 70 分）的人有 55％（1－45％＝55％）。

利用累積相對次數分配表可以繪製累積相對次數分配折線圖，步驟如下：

●

步驟１畫出互相垂直的橫軸與縱軸。

●

步驟２在橫軸標示成績及單位（分）。

●

步驟３在縱軸標示累積相對次數及單位（％）。

●

步驟４在坐標平面上標出點（30 , 0）、（40 , 5）、（50 , 15）、（60 , 25）、

（70 , 45）、（80 , 70）、（90 , 90）、（100 , 100）。

●

步驟５由左至右用線段將這些點依序連接起來。

依照上述步驟可以得到累積相對次數分配折線圖如下：

（40 , 5）表示成績未達 40 分的有 5％；

（50 , 15）表示成績未達 50 分的有 15％。

0 30 70

50 60 100

80 90

40

20

10

45 50 55 60 65 70 75 80

累 積 相 對 次 數

︵

％

︶

體重（公斤） 次數（人） 相對次數（％） 累積相對次數（％）

45∼50 6 15 15

50∼55 8 20 35

55∼60 12 30 65

60∼65 6 15 80

65∼70 4 10 90

70∼75 3 7.5 97.5

75∼80 1 2.5 100

合計

體重（公斤）

三年乙班全班同學體重累積相對次數分配折線圖

搭配習作P25 基礎題1

完成三年乙班全班同學體重累積相對次數分配表，並繪製累積相對次數分

配折線圖。 三年乙班全班同學體重累積相對次數分配表

右圖是三年丙班週休二日的讀 書時間次數分配折線圖，回答 下列問題：

1 多少人的讀書時間為 6∼8 小時？

2 多少人的讀書時間大於 10 小時？

1 從圖中可以知道電池使用時間在 8∼9 小時的有 10 個。

2 ∵使用時間在 4∼5 小時有 4 個，5∼6 小時有 6 個，

∴電池使用時間少於 6 小時的有 4＋6＝10（個）。

佩君從大賣場買了 50 個電池來 測試它們的使用時間，測試完畢 後，將其使用時間畫成次數分配 直方圖，如右圖所示，回答下列 問題：

1 使用時間在 8∼9 小時的電池 有多少個？

2 使用時間少於 6 小時的電池有 多少個？

2 ^{報讀次數分配直方圖}

例 題

4 2 0 6 4 10 12

8

5 6 7 8 9 10 11

電池使用時間次數分配直方圖 次

數

︵ 個

︶

時間（小時）

三年丙班讀書時間次數分配折線圖 次

數

︵ 人

︶

2 2

0 6 4 10 8 9

1 5 3 7

4 6 8 10 12 14 16

時間（小時）

10

人

7

＋6＋4＝17（人）

下圖是將正義國中三年級 1200 位學生數學成績分組統計後所繪製的累積 相對次數分配折線圖。

回答下列問題：

170 分以上（含 70 分）占全班的百分比是多少？

2不及格（未滿 60 分）有多少人？

370∼90 分（含 70 分，不含 90 分）有多少人？

3 報讀累積相對次數分配折線圖

例 題

正義國中三年級學生數學成績累積相對次數分配折線圖

從累積相對次數分配折線圖可以知道：

1 未達 70 分的人數占全班的 80％，

∴70 分以上（含 70 分）的人數占全班的 1－80％＝20％。

2 不及格（未滿 60 分）的人數占全班的 60％，

∴不及格（未滿 60 分）有 1200× ＝720（人）。

3 未滿 90 分占全班的 90％，未滿 70 分（不含 70 分）占全班的 80％，

∴ 70∼90 分的人數占全班的 90％－80％＝10％。

故 70∼90 分有 1200×

＝120（人）。

100

60 100

0

30 70

50 60 100 80 90

40 20 10

20 30 40 50 60 70 80 90 100

25

累 積 相 對 次 數

︵

％

︶

成績（分）

!次數分配表：

將所有資料適當的分組，並把每一個資料畫記到其中一組作為一次，

最後再將該組次數統計，所得到的統計表稱為次數分配表。

@次數分配直方圖：

以各組為橫軸，次數為縱軸，構成坐標平面，再以各組為底，該組次 數為高，畫出長方形，所得到的直方圖稱為次數分配直方圖。

#次數分配折線圖：

以各組為橫軸，次數為縱軸，構成坐標平面，再以各組的組中點與該 組的次數之數對為坐標畫點，再依序連接各點，所得到的折線圖稱為 次數分配折線圖。

$累積次數分配表：

在次數分配表中，將各組次數依序累加，所得到的統計表稱為累積次 數分配表。

%相對次數分配表：

在次數分配表中，將各組資料的次數與全部資料的比值用百分比表 示，所得到的統計表稱為相對次數分配表。

^累積相對次數分配表：

在相對次數分配表中，將各組相對次數依序累加，所得到的統計表稱 為累積相對次數分配表。

重點回顧

三年戊班共 50 人，右圖 是該班學生的身高累積 相對次數分配折線圖，

則 160 公分（含 160 公分）

以上且未達 170 公分（不 含 170 公分）有多少人？

累 積 相 對 次 數

︵

％

︶

0 30 70 50 60 100 80 90

40

20 10

145 150 155 160 165 170 175 180

身高（公分）

三年戊班學生身高累積相對次數分配折線圖

％－40％＝30％

50

×30％＝15（人）

1 惠雯班上同學的身高如下表，回答下列問題：

惠雯班上同學身高一覽表

自 我 評 量 2-1

1 完成累積相對次數分配表：

惠雯班上同學身高累積相對次數分配表 身高（公分）

140∼150 150∼160 160∼170

合計

計數符號欄

//// ////

//// ////

//// /

次數（人）

3 9 9 6

30

相對次數（％）

10 30 30 20

100

累積相對次數（％）

10 40 70 170∼180 90

180∼190 /// 3 10 100

座號 身高（公分） 座號 身高（公分） 座號 身高（公分）

1 181 11 154 21 174

2 175 12 155 22 168

3 154 13 161 23 163

4 172 14 182 24 162

5 160 15 176 25 170

6 147 16 169 26 153

7 159 17 146 27 165

8 178 18 156 28 180

9 155 19 143 29 158

10 165 20 150 30 167

140 2

0 6

4 10

8

160 180

150 170 190

2 繪製次數分配直方圖：

3 繪製相對次數分配折線圖：

4 繪製累積相對次數分配折線圖：

惠雯班上同學身高次數分配直方圖 次

數

︵ 人

︶

身高（公分）

10

0 30

20

140 150 160 170 180 190

惠雯班上同學身高相對次數分配折線圖 相

對 次 數

︵

％

︶

身高（公分）

0 30 70

50 60 100

80 90

40

20 10

140 150 160 170 180 190

惠雯班上同學身高累積相對次數分配折線圖 累

積 相 對 次 數

︵

％

︶

身高（公分）

三年乙班國文成績累積次數分配折線圖

10 20 30 40

累

積 次 數

︵ 人

︶

40 50 60 70 80 90 100

成績（分）

2 回答下列問題：

1 完成三年乙班國文成績 累積次數分配表：

成績（分）

40∼50 50∼60 60∼70 70∼80 80∼90 90∼100

合計

次數（人）

5 8 9 12 7 9 50

累積次數（人）

5 13 22 34 41 50

三年乙班國文成績累積次數分配表

2 繪製三年乙班國文成績 累積次數分配折線圖：

3大成里共有 1200 人，右圖 是大成里全部里民年齡的累 積相對次數分配折線圖，則 在 30 歲（含 30 歲）以上未達

歲（不含50 歲）有多少人？

累 積 相 對 次 數

︵

％

︶

0 30 70

50 60 100

80 90

40

20 10

10 20 30 40 50 60 70

大成里全部里民年齡累積相對次數分配折線圖 年齡（歲）

80

％－40％＝40％

1200×40％＝480（人）