幾何證明 幾何證明 輔助線輔助線

幾何證明幾何證明 輔助線輔助線

自我評量

在上一冊第 3 章中，我們用過 了 SAS 、 AAS 、 SSS 、 ASA 、 RHS 等判別三 角形全等的性質，你還記得嗎？讓我們一起來 複習吧！

在下列各組圖形中，都有一些用記號 標出的線段或角，如果它們有相同的記號，則 表示它們的長度或角度相同。請對照左邊每一 組全等的圖形，在右邊找出適合的全等性質，

並用線將它們連起來。

 RHS

 SAS

 ASA

 AAS

 SSS











在幾何證明的寫作過程中，除了依據題 目所給的條件外，常會利用一些已學過的幾何 性質、運算規律及等量公理。

在進行幾何推理的寫作時，會將

「已知條件」、「要說明的結論」與「推導或 說明的過程」寫成 、 、 的形式。書寫的方式將以下面的例子 說明：

已知已知 求證求證 證明證明

如右圖，平行四邊形 ABCD 中，

，

對角線 、 交於 O 點，

試說明 ， 。

（兩對角線互相平分）

// CD

AB AD // BC AC BD

OC

OA  OB OD

說明說明

在△ AOB 與△ COD 中，

∵ ，

∴∠1 ∠＝ 3 ，（內錯角相等）

∠5 ∠＝ 6 ，（內錯角相等）

又 ＝ ，（平行四邊形對邊等 長）

所以△ AOB △COD ，（根據 ASA 全等性 質）

故 ， 。

（對應邊相等）

// CD AB

AB

 OC

OA  OB OD CD

現在將「已知條件」、「要說明的結 論」與「推導或要說明的過程」寫成

、 、 的形式如下：

已知已知 求證求證 證明證明 已知已知

如圖，平行四邊形 ABCD 中，

，

，對角線 、 交於 O 點。

// CD AB

// BC

AD AC BD

已知 條件

求證求證 OA OC ^，OB OD 要說明的結論 證明證明

在△ AOB 與△ COD 中

∵ ，（平行四邊形對邊 平行）

∴∠1 ＝∠ 3 ，∠ 5 ＝∠ 6 。（內錯角相 等）

又 ，（平行四邊形對邊等 長）

∴△AOB △COD 。（ ASA 全等性質）

故 ， 。

（對應邊相等）

// CD AB

推導或說明的過程

CD AB 



OC

OA  OB OD

幾何證明的寫作，要從分析出發，才 能確定證明的方向與步驟，以上為例：

， OC（結論）

OA  OB OD

△AOB △COD （ ASA ）

平行線截角性質，平行四邊形性質

（已知）

平行四邊形 ABCD 中，

，

// CD

AB AD // BC

思 路 分 析

推 理 過 程

思路分析是從「結論」推到「已知條 件」，而推理過程則依分析的結果由「已知 條件」逐步推理至「結論」。

請將下面的題目改寫成 、

、 的形式。

已知已知 求證求證 證明證明 如右圖，正方形 ABCD 中

，

E 、 F 分別在 、 上，

且 ＝ 。 請利用三角形全等的性質 來說明△ ABE △ADF 。

BC DC BE DF



搭配習作 P40 基礎題 1

說明：

△ABE 與△ ADF 全等的條件是：

＝ ，（已知）

∠ABE ＝ ______ ，（ ABCD 是正方 形）

＝ _______ ，（ ABCD 是正 方形）

根據 ______ 全等性質，△ ABE △ADF

。

BE DF AB

∠ADF AD

SAS



已知已知 如右圖，正方形 ABCD 中， E 、 F 分 別在 、 上，且 ＝ 。

BC DC BE DF

求證求證 △ABE



證明證明 在△ ABE 與△ ADF 中

∵ ＝ ，（已知）

∠ABE ＝∠ ADF ＝ 90° ， (ABCD 是正方 形 )

＝ ，（ ABCD 是正方形）

所以△ ABE △ADF （ SAS ） BE DF

AD AB



1 等腰三角形兩腰上的高相等 已知已知

求證求證

如右圖，△ ABC 中，

，

， 。

AC AB 

AB

CD  BE  AC CD

BE 

思路分析一

要證明 ， 先找到分別以 、 為一邊的兩個三角形，再 證明這兩個三角形全等。

CD BE 

BE CD

證明一證明一

在△ AEB 與△ ADC 中

∠A ＝∠ A ，∠ AEB ＝∠ ADC ＝ 90° ， △AEB △ADC （ AAS ）

（對應邊相等）

AC AB 



CD BE 

與代數的解題一樣，幾何證明的方法會 隨著不同的思路分析，產生不同的方法，所以 例題 1 也可以用下面的方法證明：



思路分析二

要證明 ， 也可以從面積觀察：在△ A BC 中，若分別以 、 為底，則其高相等。

CD BE 

AC AB 證明二證明二

2 1

2 1

CD BE

AC AB

CD AB

BE AC

CD AB

BE AC





 





‧

‧

‧

‧

‧

△ABC 的面積＝ ‧

已知已知

求證求證 BE  CD

如右圖，△ ABC 中，

， ， 。

AC AB 

BD

AD  AE  CE

思路分析

要證明

，先找到分別以

、 為一邊的兩個 三角形，再證明這兩個 三角形全等

CD BE 

BE CD

證明證明 在△ ABE 與△ ACD 中

∵

∴△ABE △ACD （ SAS ）

故 （對 應邊相等）

AD AB

AC

AE 12

21  



AC AB 

∠A ＝∠ A



CD BE 

幾何證明題的呈現方式，通常有以 下幾個習慣的方法：

(1) 將 這個詞省略。

(2) 把 寫成「試證」。

(3) 可將推理的過程分成幾個步驟，並以 (1) 、 (2) 、 (3) 、……表示。

已知已知 求證求證

2 利用全等證明兩次

如右圖，△ ABC 與△ ABD 中，

， _{，若 E 為}

上任一點，試證 AD

AC  BC  BD

AB EC  ED

證明證明

(1)△ABC 與△ ABD 中

∵ ，

，

∴△ABC △ABD （ SSS ）

故∠ ABC ＝∠ ABD （對應角相等）

(2)△EBC 與△ EBD 中

∵ ，∠ ABC ＝∠ A BD ，

∴△EBC △EBD （ SAS ）

故 （對應邊相等）

AD

AC  BC  BD

ED EC 

AB AB 



BD

BC  EB  EB



如右圖， ， ，

， 與 _{交於 F 點，}

試證∠ 1 ＝∠ 2 。 AC

AB  CE  AB AC

BD  BD CE

(1)△ABD 與△ ACE 中

∵ ，∠ ADB ＝∠ AEC

＝ 90° ，

∠BAD ＝∠ CAE

∴△ABD △ACE （ RHS ）

故 （對應邊相等）

(2)△AEF 與△ ADF 中

∵ ，∠ AEF ＝∠ ADF

＝ 90° ，

∴△AEF △ADF （ RHS ）

故∠ 1 ＝∠ 2 （對應角相等）

AC AB 



AD AE 

AD

AE  AF  AF



如圖 3-1 ，△ ABC 為等腰三角形，

，將△ ABC 對摺，使得 B 點與 C 點疊合。

AC AB 

圖 3-1

如圖 3-2 ，把摺好的三角形打開，則 為△ ABC 的對稱軸

AD

圖 3-2

由此可知：

等腰三角形底邊上的高，就是它的對稱軸，

即

(1) 等腰三角形底邊上的高平分底邊，且平 分頂角。

(2) 等腰三角形的底角相等。

幾何推理進行中，有時僅從「已知條件」

的圖形，並不足以直接推導出結論，常常需要 在原圖形上添加一些圖形，以便連繫「已知條 件」到「要說明的結論」之間的關係，而所添 加的圖形稱為輔助線。

在上面的說明已證實等腰三角形的兩底角 相等，以下我們再以幾何推論的方法，加以證 明。

3 輔助線的應用

如右圖，四邊形 ABCD 中

，

， ，試證∠ A ＝∠

C 。

BC

AB  AD  CD

思路分析一

要證明∠ A ＝∠ C ，先找到 分別以∠ A 、∠ C 為一內角 的兩個三角形，可試著連接

，再證明△ ABD 與△ CBD 全等

BD

證明一證明一

(1) 如右圖，連接 。 (2) 在△ ABD 與△ CBD 中

， ， ，

∴ （ SSS ）

∠A ＝∠ C （對應角相等）

BD

BC

AB  AD  CD BD  BD CBD

ABD  



思路分析二

若連接 ，可將

∠A 分成∠ 1 ＋∠ 3 ，

∠C 分成∠ 2 ＋∠ 4 ，

若能證明∠ 1 ＝∠ 2 ，∠ 3 ＝∠ 4

，

即可推出∠ 1 ＋∠ 3 ＝∠ 2 ＋∠ 4

。

AC

證明二證明二

(1) 如右圖，連接 。 (2) ∵ ，

∴∠1 ＝∠ 2 。

同理，∠ 3 ＝∠ 4 。（

）

(3)∠A ＝∠ 1 ＋∠ 3 ＝∠ 2 ＋∠ 4

＝∠ C

故∠ A ＝∠ C 。 AC BC

AB 

CD AD 

如右圖， ， 。

試證∠ ABD ＝∠ ACD 。 AC

AB  BD  CD

思路分析一

利用三角形的全等性質：

考慮△ ABD 與△ ACD 。

證明一證明一

(1) 連接 。

(2) 在△ ABD 與△ ACD 中

∵ ， ，

∴△ABD ACD （ SSS ）

故∠ ABD ＝∠ ACD （對應角相 等）

AD

AC

AB  BD  CD AD

AD 



思路分析二

利用等腰三角形兩底角相等 : 考慮△ ABC 與△ DBC 。

證明二證明二

(1) 連接 。

(2) 在△ ABC 中，

，

∴∠ABD ＋∠ 1 ＝∠ ACD ＋∠ 2

。

(3) 在△ BCD 中，

∴∠1 ＝∠ 2 。 (4) 由 (2) 、 (3) 得：

∠ABD ＝∠ ACD BC

AC AB 

CD BD 

由例題 3 及隨堂練習可知：

不同的思路會產生不同的輔助線，可以有不 同的證法。

4 角平分線分割對邊比

如右圖，△ ABC 中， 為∠

BAC

的角平分線，交 _{於 D 點}

，試

證 ＝ 。

AD BD

AC

AB ： BD ： DC

證明證明 (1) 過 D 點作 ， 。

(2)∵ 為∠ BAC 的角平分線，

∴ 。 AB

DE  DF  AC AD

DF DE 

證明證明

證 明 過 程 的 項 次 符號 (1) 、 (2) 、 (3)⋯⋯ ，也可以 不必寫出來。

(3)△ABD ：△ ACD

＝ ( ． ． _{) ： ( ．} ． ₎

＝ （ ∵ ）

又△ ABD ：△ ACD ＝ ，

（同高）

∴ ＝ 。

12

12

AB DE AC DF AC

AB ： DE  DF

DC BD ：

AC

AB ： BD ： DC

如右圖，△ ABC 中，

_{＝ 8 ， ＝ 6 ， ＝ 7 ，}

、 、 分別為

∠ BAC 、∠ ABC 、∠ ACB 的角平分線，

試求：

(1) ： 。 (2) 。

(3) ： 。

AB AC BC AD BI CI

BD CD BD

AI ID

(1) ： ＝ ：

＝ 8

： 6 ＝ 4 ： 3 (2) ＝

＝ × 7 ＝ 4 (3) ： ＝ ：

_{＝ 8 ：} 4 ＝ 2 ： 1

BD CD AB AC BD 74

BC 74

AI ID AB BD

5 內冪性質

如右圖，圓上兩弦 、 交

於 P 點，試證 _{× ＝ ×}

AB CD

AP BP CP DP

證明證明

連接 、

△ACP 與△ DBP 中

∠ACP ＝∠ DBP

_{（同 AD} 所對圓周角）

∠1 ＝∠ 2 （對頂角）

∴△ACP∼△DBP （ AA ） ： ＝ ： 故 _{× ＝ ×}

AC BD

AP CP DP BP AP BP CP DP

⁀

如右圖，圓上兩弦

、

，其延長線相交 於圓

外 P 點，試證

× ＝

× 。（外冪性 質）

AB CD

AP BP CP DP

連接 、

在△ ADP 與△ CBP 中

∵∠P ＝∠ P

∠A ＝∠ C ＝ BD

∴△ADP∼△CBP （ A A ）

： ＝ ： 故 _{× ＝}

×

AD BC

12

AP DP CP BP

AP BP CP DP

6 切割線性質

如右圖， _{割圓於 B} 點，

為圓的切線，

試證 _{× ＝}

2 。

AP CP

AP BP CP

證明證明

連接 、

△ACP 與△ CBP 中

∠P ＝∠ P （公共角）

∠1 ＝∠ 2

（弦切角等於同弦所對圓周角）

∴△ACP∼△CBP （ AA ）

： ＝ ： 故 _{× ＝} ²

AC BC

AP CP BP AP BP

CP

CP

如右圖， _{割圓於 B 點}

，

為圓的切線，若 _{＝ 6 ，} ＝

4 ，求 長。

AP CP

CP BP AB

∵ × ＝

2

（ _{＋ 4 ） ×4}

＝ 6²

∴ _{＝ 5} AP BP CP AB

AB

7 中線不等式

如右圖，△ ABC 中， M 為 中 點，

試證 ＋ ＞ 2 。 BC

AB AC AM

證明證明 延長 _{到 D 點，使}

＝ 連接

在△ BMD 與△ CMA 中

∵ ＝ （已作）

＝ _{（ M 為} 中點）

∠1 ＝∠ 2 （對頂角）

∴△BMD △CMA （ SAS ） 故 ＝

在△ ABD 中

＋ ＞ _{＝ 2} 即 ＋ _{＞ 2}



AM AM MD

BD

AM MD

BM MC BC

BD AC

AB BD AD AM AB AC AM

如右圖，△ ABC 中，

＝ ＝

，

請利用例題 7 的結果，

證明 ＋ ＞

＋ 。

BD DE EC

AB AC AD AE

在△ ABE 中

∵D 為 中點

∴ ＋ ＞ 2 ...



在△ ADC 中

∵E 為 中點

∴ ＋ ＞ 2 ...



由＋得： ＋ ＞ ＋

BE

AB AE AD

AD

DC

AC AE

AB AC AD AE

1. 如何寫幾何推理：

(1) 將「已知條件」寫在 。 (2) 將「要說明的結論」寫在 。 (3) 將「推導或說明的過程」寫在 。

已知已知

求證求證

證明證明

2. 思路分析與證明：

(1) 幾何證明的寫作，要從分析出發，才能 確定證明的方向與步驟。

(2) 思路分析，是從「結論」推到「已知條 件」；而證明的書寫則依分析的結果由

「已知條件」逐步推理至「結論」。

3. 輔助線：

幾何推理進行中，有時僅從「已知條件」的 圖形，並不足以直接推導出結論，常常需要 在原圖形上添加一些圖形，以便連繫「已知 條件」到「結論」之間的關係。

4. 思路分析與輔助線：

不同的思路會產生不同的輔助線，可以有不 同的證法。

當我聽別人講解某些數學問題時，常覺得很 難理解，甚至不可能理解。這時便想，是否 可以將問題化簡些呢﹖往往，在終於弄清楚 之後，實際上，它只是一個更簡單的問題。

— 希爾伯特（ David Hilbert ， 1862-1943 ）

3-1 自我評量

( ) 1. 如右圖，圓內兩弦 、 _{相交於 Q 點，}

切圓於 C

點，並交 延長 線於 P 點

，下列敘述何者正確

？

(A) (B) (C) (D)

AB CD CP

AB

DQ BQ

CQ

AQ   

2 CQ CD

CP  

DQ CQ

BQ

AQ   

2 AB BP

CP   C

2. 如下圖，直角三角形 ABC 中，∠ B ＝ 90

° ，

＝ c ， ＝ a ；△ DEF 中，

＝ c ，

＝ a ， ＝ 。 已知已知

AB BC DE EF

DF a²c²

求證求證 △DEF 為直角三角形。

證明證明

∵△ABC 為直角三角形，且∠ B ＝ 90° ， 由勾股定理知：

， ＝ _______

在△ ABC 與△ DEF 中

∵ ， _________ ， ________

_ 　　

∴ （ _____ ） ∠B ＝∠ E ＝ 90°( __________ )

故△ DEF 為直角三角形。

2 2 2

2

2 AB BC a c

AC     AC a²c² DE

AB  EF

BC  AC  DF DEF

ABC  

 SSS

對應角相等

3. 如右圖，△ ABC 中，∠ 1 ＝∠ 2 ，

，試證△ ABC 為等 腰三角形。

// BC AD

證明證明 (1)

∴∠2 ＝∠ C ，∠ 1 ＝∠

B

(2)∵∠ ＝∠ 2 ，1 ∴∠B ＝∠ C 故

即△ ABC 為等腰三角 形

// BC AD

AC AB 

4. 如右圖，四邊形 ABCD 中，∠ ABD

＝

∠DCA ，∠ 1 ＝∠ 2 ，試證

DC AB 

證明證明

O

(1) 在△ OAD 中，∠ 1 ＝∠ 2 ， ∴

(2) 在△ AOB 與△ DOC 中

∵∠ABD ＝∠ DCA ，∠ AOB ＝∠ DO C ，

∴

（ AAS ）

故 （對應邊相 等）

OD OA 

DO AO 

CD AB 

DOC AOB  



5. 如右圖， _{為圓 O1} 的 切線，

_{為圓 O2 的切線， A 為} 切點，

試證

∠BAD ＝ 180° － ∠ BCD

。

（提示：連接 ） 12

ED BF

AC

證明證明

(1) 連接

(2) 1∠ ＝∠ BCA ＝ AB ∠2 ＝∠ ACD ＝ AD

∠BAD ＝ 360° －∠ 1 －∠ 2 －∠ EAF

＝ 360° －∠ BCA －∠ AC D －∠ BAD

＝ 360° －∠ BCD －∠ BA D

2∠BAD ＝ 360° －∠ BCD

∴∠BAD ＝ 180° － ∠ BCD AC

12 12

12

6. 如右圖，△ ABC 中，

_{＝ 4 ， ＝ 8}

，

_{＝ 6 ， ＝ 2}

，則：

(1) 試證△ ABC∼△AED 。

(2) 若 _{＝ 3.5 ，試證}

＝ 7 。

AD DB AE EC

DE BC

證明證明 (1) 在△ ABC 與△ AED 中

： ＝（ 4 ＋ 8 ）：

6 ＝ 2 ： 1

： _{＝（ 6 ＋ 2 ）}

： 4 ＝ 2 ： 1

∵ ： ＝ ： _{，∠ A ＝∠ A}

∴△ABC∼△AED （ SAS 相似）

(2)∵△ABC∼△AED

∴ ： ＝ ： _{＝ 2 ： 1}

： 3.5 ＝ 2 ： 1 _{＝ 7}

AB AE AC AD

AB AE AC AD

BC ED AB AE BC

BC