xxxxxxfxfff  1313310303110130103 102 年度指定科目考試數學乙試題

(1)

102

年度指定科目考試數學乙試題

第壹部分﹕選擇題（單選題﹑多選題及選填題共占 76 分）

一﹑單選題（占 12 分）

說明﹕第 1 題至第 2 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案卡之

「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得 6 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐該題以零 分計算﹒

(　　 )1. 設^a﹐b﹐c為實數﹐且二次多項式 ^{f x}

 

^^{ax x}



^{ }¹



^{bx x}



^{ }³

 

^{c x}^¹

 

^x^³



^滿足 ^f

 

⁰ ^⁶^﹑

 

¹ ²

f  ﹑ ^f

 

³ ^{ }²^﹒請問a b c  等於下列哪一個選項﹖

(1)0　(2)2

3　(3)1　(4) 1

 　(5)2 4

 ﹒3

【解答】(2)

【詳解】 ^f

 

⁰ ^{ }^{6 3}^c﹐c2

 

¹ ² ²

f    b﹐^b^{ }¹

 

³ ^{2 6}

f    a﹐ 1

a

 3

1 2

3 1 2 3

a b c

       故選(2)﹒

另解﹕由插值多項式知﹕

     

       

         

   

1 3 1 3

3 1 0

3 0 3 1 1 0 1 3 0 1 0 3

x x x x x x

f x f



f



f

 

     

     

     

   

1 3 1 3

2 2 6

3 2 1 2 1 3

x x



x x



x



x



      

     

         

1 1 1 3 2 1 3

3

x x x x x x

        

得 1

a

  ﹐3 b 1﹐c2 1 2 3 1 2 3

a b c

        故選(2)﹒

(　　 )2. 綜合數種糧食的【糧食自給率】定義為

A

B

﹐其中A為「每一種糧食之國內生產量乘以該糧食每單位產生熱量之後的總和」，B為「每一種糧食之國內消費量乘以該糧食每單位產生熱量之後的總和」﹒已知甲﹑乙﹑丙三種糧食相關數據如下表：

糧食國內生產量

（單位：千公噸）國內消費量

（單位：千公噸）單位糧食產生的熱量

（單位：大卡／每百公克）

甲 1000 1200 300

乙 280 320 100

丙 100 1000 600

請問綜合甲﹑乙﹑丙這三種糧食的【糧食自給率】最接近下列哪一個選項﹖

(1)37%　(2)39%　(3)41%　(4)43%　(5)45%﹒

【解答】(2)

(2)

【詳解】1千公噸10⁷百公克

A﹕



1000 300 280 100 100 600 10    



 ⁷ 388 10 ¹⁰ B﹕



1200 300 320 100 1000 600 10    



 ⁷992 10 ¹⁰ 糧食自給率為

10 10

388 10

0.391 39%

992 10

A

B

   

 故選(2)﹒

二﹑多選題（占 40 分）

說明﹕第 3 題至第 7 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記在答案卡 之「選擇（填）題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得 8 分﹔答錯 1 個選項 者﹐得 4.8 分﹔答錯 2 個選項者﹐得 1.6 分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者﹐該題以零 分計算﹒

(　　 )3. 坐標平面上兩點

 

^4,1 ^和

 

^5,9 ^在直線³^{x y k}^{  }⁰^{的兩側﹐其中}k為整數﹒請選出正確的選項﹕

(1)滿足上式的k最少有5個 (2)所有滿足上式的k的總和是35 (3)所有滿足上式的k中﹐最小的是7 (4)所有滿足上式的k的平均是9

(5)所有滿足上式的k中﹐奇數與偶數的個數相同﹒

【解答】(3)(5)

【詳解】∵點

 

^4,1 ^和

 

^5,9 ^在直線³^{x y k}^{  }⁰^的兩側﹐

∴



^{3 4 1}^{  }^k

 

^{3 5 9}^{  }^k



^⁰



¹¹ ^k

 

⁶ ^k



⁰

    ^



^k^¹¹

 

^k^⁶



^⁰   6 k 11﹐又^k為整數 k 7﹐8﹐9﹐10 (1)錯誤﹐滿足上式的k有₄個

(2)錯誤﹐滿足上式的k的總和為7 8 9 10 34    (3)正確﹐滿足上式的k中﹐最小的是7

(4)錯誤﹐滿足上式的k的平均為7 8 9 10 17

4 2

   

(5)正確﹐滿足上式的k中﹐偶數有₂個﹐奇數有₂個故選(3)(5)﹒

(　　 )4. 下列有關循環小數的敘述中﹐請選出正確的選項﹕

(1)0.7 0.3 0.6 0.4   　(2)0.72 0.28 1.1  　(3)_{0.7 0.3 1}_ _ 　 (4)0.5 0.5 1.1  　(5)_{0.49 0.5}_ ﹒

【解答】(1)(4)(5)

【詳解】(1) 正確﹐∵ 7 3 10 0.7 0.3

9 9 9

    ﹐ 6 4 10 0.6 0.4

9 9 9

    　　　∴0.7 0.3 0.6 0.4  

(2)錯誤﹐∵ 72 28 100 0.72 0.28

99 99 99

    ﹐ 1 10 1.1 1

9 9

  　　　∴0.72 0.28 1.1 

(3)

(3)錯誤﹐ 10 0.7 0.3 1

  9 

(4)正確﹐∵ 5 5 10 0.5 0.5

9 9 9

    ﹐ 1 10 1.1 1

9 9

  　　　∴0.5 0.5 1.1  (5)正確﹐ 45 1

0.49 0.5 90 2

   故選(1)(4)(5)﹒

(　　 )5. 某研究所處理個人申請入學﹐其甄選總成績係採計測驗 A 分數及測驗 B 分數各占50%﹒50 位申請同學依甄選總成績高低排序﹐錄取前20名﹒現依准考證號碼順序﹐將這些同學的成績列表如下﹕（例如﹕第一位同學的測驗 A 分數及測驗 B 分數分別為93分及28分）

測驗 A 93 98 100 100 100 98 96 96 98 96 96 98 98 測驗 B 28 50 59 22 52 67 30 15 46 11 72 21 59 測驗 A 93 100 100 100 100 98 98 96 98 100 96 100 96 測驗 B 24 13 53 33 61 57 55 26 35 40 9 60 23 測驗 A 96 96 96 100 100 96 98 98 91 100 96 100 98 測驗 B 66 29 34 58 55 35 16 28 28 72 51 39 40 測驗 A 98 96 96 93 98 96 98 98 98 98 93

測驗 B 18 43 8 38 32 53 38 53 30 54 72

所有學生測驗 A 分數的平均數為97.38﹐而測驗 B 分數的平均數為40.22﹒現從甄選總成績﹑

測驗 A 分數及測驗 B 分數之中任選兩種成績作散布圖﹐圖甲及圖乙為其中之二﹔兩圖中各有 50個資料點﹐每一點代表一位同學﹔兩個橫軸與縱軸之單位長可能皆不相同﹒請選出正確的選項﹕

(1)圖乙的橫軸為測驗 A 分數 (2)圖乙的縱軸為甄選總成績 (3)圖甲的橫軸為甄選總成績

(4)若只以測驗 B 分數高低錄取20位同學（不採計測驗 A 分數）﹐錄取的同學與以甄選總成績高低錄取的同學完全相同

(5)甄選總成績的平均數為97.38及40.22的平均數﹒

【解答】(1)(2)(4)(5)

【詳解】(1) 正確﹐由成績列表知﹐測驗 A 只有91﹐93﹐96﹐98﹐100五種分數﹐

　　　所以圖乙的橫軸為測驗 A 分數

(4)

(2)正確﹐甄選總成績最低為96 8 2 52

  ﹐最高為100 72 2 86

  ﹐ 　　　所以圖乙的縱軸為甄選總成績

(3)錯誤﹐承(2)知甲的縱軸為甄選總成績﹐而橫軸為測驗 B 分數 (4)正確﹐由圖甲的縱軸為甄選總成績﹐橫軸為測驗 B 分數知﹕

　　　若只以測驗 B 分數高低錄取20位同學﹐錄取的同學與以甄選總成績高低錄取的同學完全相同

(5)正確﹐若xi表示測驗 A 分數﹐yi表示測驗 B 分數　　　甄選總成績的平均數為

　　　 1 ¹ ¹ ² ² ⁵⁰ ⁵⁰

50 2 2 2

x



y x



y x



y

    

 

  

　　　 1 ¹ ² ⁵⁰ ¹ ² ⁵⁰

2 50 50

x



x

 

x y



y

 

y

 

   

 

　　　 ¹



97.38 40.22



2 

　　　即97.38及40.22的平均數為甄選總成績的平均數故選(1)(2)(4)(5)﹒

(　　 )6. 想要了解選民對某候選人真正的支持度（支持率）^p﹐四家媒體所做的民意調查結果如下表所示﹕

媒體A 媒體B 媒體C 媒體D

p 0.30 0.40 0.30 0.28

 0.02  _B 0.01 0.01 其中_p表示抽樣支持度﹐  

^p  

¹ 

^p



n



 ﹐n為抽樣人數﹒請選出正確的選項﹕

(1)在95%的信心水準之下﹐媒體_A抽樣所得^p的信賴區間為^0.28,0.32

(2)如果媒體B抽樣的人數與媒體_A相同﹐則 大於 _B ^0.02 (3)媒體C抽樣人數約為媒體A抽樣人數的兩倍

(4)媒體A的抽樣支持度比媒體_B的抽樣支持度更接近候選人真正的支持度^p

(5)在95%的信心水準之下﹐至少有一家媒體抽樣所得^p的信賴區間會包含真正的支持度^p﹒

【解答】(2)

【詳解】(1) 錯誤﹐在95%的信心水準之下﹐媒體_A抽樣所得^p的信賴區間為　　　 

p

^{2 ,} 

p

² 0.3 0.04,0.3 0.04    0.26,0.34

(2)正確﹐  0.3 0.7

A

n

   ﹐  0.4 0.6

B

n

  

　　　當n相同時﹐ _B  _A﹐即 大於 _B ^0.02 (3)錯誤﹐ A 2 C

　　　 0.3 0.7 0.3 0.7

2 _C 4 _A

A C

n n

 

   

(5)

　　　媒體C抽樣人數為媒體A抽樣人數的4倍

(4)錯誤﹐因為真正的支持度^p未知﹐所以無法判斷哪一個媒體的抽樣支持度更接近真正的支持度^p

(5)錯誤﹐因為真正的支持度^p未知﹐所以不知道是否至少有一家媒體抽樣所得^p的信賴區間會包含真正的支持度^p

故選(2)﹒

(　　 )7. 已知二階方陣

a b A c d

 

  

 滿足 1 5 1 2

A

      

   ﹐ 1 7 2 4

A

      

   ﹒請選出正確的選項﹕

(1)A的行列式（值）為6　(2) ² 1 0 5 6

A A

0 1

   

 　(3) ¹ 2 2 0 3

A

^   

  

  (4) 1 9

3 6

A

   

   

   　(5)^{1 1}^A^^{5 7} ﹒

【解答】(1)(2)(4)

【詳解】∵ 1 5 1 2

A

   

   

   ﹐又 1 7 2 4

A

   

   

   

∴ 1 1 5 7 1 2 2 4

A

   

   

   

5 7 1 1 1 5 7 2 1 3 2 2 4 1 2 2 4 1 1 0 2

A

 

         

             

(1)正確﹐A的行列式為3 2 0 2 6

(2)正確﹐ ² 3 2 3 2 9 10 0 2 0 2 0 4

A

     

     

     ﹐

　　　 1 0 15 10 6 0 9 10 5 6

0 1 0 10 0 6 0 4

A

       

        

       

(3)錯誤﹐ ¹

1 1 2 2

1 3 3

0 3

6 1

0 2

A

^

  

 

  

    

   

 

  (4)正確﹐ 1 3 2 1 9

3 0 2 3 6

A

       

 

       

        (5)錯誤﹐^{1 1} ^{1 1} ^{3 2} ^{3 4}

A

0 2

  

  故選(1)(2)(4)﹒

三﹑選填題（占 24 分）

說明﹕1. 第 A 至 C 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8-14）﹒

　　　2. 每題完全答對給 8 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A. 從玫瑰﹑菊花﹑杜鵑﹑蘭花﹑山茶﹑水仙﹑繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排成一列﹐其中杜鵑及山茶都被選到﹐且此兩盆花位置相鄰的排法有　　種﹒

【解答】120

(6)

【詳解】C⁵₂  3! 2! 120種﹒

B. 袋中有3顆白球與₁顆黑球﹐每次隨機從袋中抽出₁球﹐袋中每一球被抽到的機率皆相同﹐抽出後不放回﹐直到抽中黑球時遊戲結束﹒若在第k次抽到黑球﹐則得到k元獎金﹒此遊戲可獲得獎金的數學期望值為元﹒（化為最簡分數）

【解答】5 2

【詳解】隨機變數X 為抽到黑球時得到的獎金﹐機率分布如下﹕

1 2 3 4

1 3 1 1 3 2 1 1 3 2 1 1 4 4 3 4 4 3 2 4 4 3 2 1 4

X

P

        

期望值

 

¹ ¹ ² ¹ ³ ¹ ⁴ ¹ ⁵

4 4 4 4 2

E X

         元﹒

C. 在坐標平面上﹐設O為原點﹐向量

 ^a

^

 

^1,2 ^﹐

 _b

_

_{ }

_2,1 ^﹐

 _c

_

_{ }

_1,1 ^﹐

 _d

_{ }

_

_1,1

_

^﹒P為平面上的動點﹐令點集合

A



P OP x a

 

y b

0 

x

1 0 

y

1



  

_且 _且 _﹐點集合 0 1 0 1

B



P OP x c

 

y d

 

x

 

y





  

_且 _且 _﹐則區域_A__B_的面積為 _{﹒（化為最簡分數）}

【解答】1 3

【詳解】集合

A



P OP x a

 

y b

0 

x

1 0 

y

1



  

_且 _且  集合

B



P OP x c

 

y d

0 

x

1 0 

y

1



  

_且 _且  區域AB為圖形的鋪色部分

: 2

OA y



 x﹐

^{CE y} 

^:       ¹

 ^x

¹

 ^{x y}

²_﹐

OA



^與_CE



^交於

^{F }

^{2 4}_{3 3}^, ^

 ﹐ 2 4 3 3,

OF 



  

 



因此區域AB的面積為

1 1 1 1

| 2 4 |

2 3

3 3

 ﹒

第貳部分﹕非選擇題（占 24 分）

說明﹕本部分共有二大題﹐答案必須寫在「答案卷」上﹐並於題號欄標明大題號（一﹑二）與子題號

（(1)﹑(2)﹑...）﹐同時必須寫出演算過程或理由﹐否則將予扣分甚至零分﹒作答務必使用筆 尖較粗之黑色墨水的筆書寫﹐且不得使用鉛筆﹒每一子題配分標於題末﹒

一. 已知log 2 0.3010 ﹐log3 0.4771 ﹒

A(1,2)

D( 1,1) E

a

F C (1,1) B(2,1)

c b

O x

y

d

(7)

(1) 請以對數律計算^log1.5﹒（不必四捨五入）（3分）

(2) 請以對數律計算^{log 1.5}

 

⁶⁰^{﹒（不必四捨五入）（}³^分）

(3) 請問

 

^1.5 ⁶⁰的整數部分是幾位數﹖請說明理由﹒（3分）

(4) 請問

 

^1.5 ⁶⁰的整數部分中﹐最左邊的數字是幾﹖請說明理由﹒（₃分）

【解答】(1)0.1761　(2)10.566　(3)11位數　(4)3

【詳解】(1) 3

log1.5 log log3 log 2 0.4771 0.3010 0.1761

 2     ﹒

(2)^{log 1.5}

 

⁶⁰ 60log1.5 60 0.1761 10.566   ﹒

(3)∵^{log 1.5}

 

⁶⁰ 10.566 10 0.566  首數為10﹐∴

 

^1.5 ⁶⁰^為¹¹^位數﹒

(4)∵log3 0.4771 且log 4 2log 2 0.6020 

∴10 0.4771 log 1.5 

 

⁶⁰10 0.602 10 log 3 log 1.5 

 

⁶⁰10 log 4

 

⁶⁰

10 10

3 10 1.5 4 10

    

因此

 

^1.5 ⁶⁰的整數部分中﹐最左邊的數字為3﹒

二. 某工廠使用三種貴金屬元素合成兩種合金﹐其中每單位的甲合金是由5公克的_A金屬﹑3公克的_B 金屬以及3公克的C金屬組成﹐而每單位的乙合金是由3公克的_A金屬﹑6公克的_B金屬與3公克的

C金屬所組成﹒已知甲﹑乙合金每單位的獲利分別為600﹑700元﹒若工廠此次進了1000公克的A 金屬﹑1020公克的B金屬與660公克的C金屬投入生產這兩種合金﹐試問甲﹑乙兩種合金各應生產多少單位﹐才能獲得最大利潤﹖又此時利潤為多少﹖（12分）

【解答】甲合金生產100單位﹐乙合金生產120單位﹐最大利潤為144000元

【詳解】依題意分析得表格如右

設甲﹐乙兩種合金各生產^x﹐^y單位﹐

依題意得 0 0

5 3 1000 3 6 1020 3 3 660

x

y x y x y x y

 

   

  

  



目標函數為600x700y（元



^,

   

^0,0 ^200,0

 

^170,50

 

^100,120

 

^0,170



600 700 0 120000 137000 144000 119000

x y

x



y

∴甲合金生產100單位﹐乙合金生產120單位﹐最大利潤為144000元﹒

貴金屬

合金 ^A ^B ^C

甲合金 5 3 3

乙合金 3 6 3