齐次方程 第三节

齐次方程 第三节

一、齐次方程

一、齐次方程

形如 ( ) d

d

x y x

y 



令 ,

x

u  y 则 y  ux ,

代入原方程得

d , d d

d

x x u x u

y  

) d (

d u

x x u

u  



x x u

u

u d

) (

d 



两边积分 , 得

 _



积分后再用 x

y 代替 u, 便得原方程的通解 . 解法 :

分离变量 :

例 1. 解微分方程 tan . x y x

y  y 

解 : ,

x u  y

令 则y  u  xu, 代入原方程得 u

u u

x

u     tan

分离变量 x

u x u

u d

sin d

cos 

两边积分





得 ln sin u  ln x  ln C , 即 sin u  C x 故原方程的通解为 C x

xy 

sin _{( C 为任意常数 )}

例 2. 解微分方程( y²  2 xy)dx  x² dy  0.

解 : ²

 

d

d ₂

x y x

y x

y  

方程变形为 ,

x u  y

令 _则有

2u u2

u x

u    

分离变量 x

x u

u

u d

d

2  



积分得 1 ln ln ,

ln x C

u

u    

 

x u x

u u

d d 1

1

1   

即 

代回原变量得通解

即 C

u u

x (  )1 

y C x

y

x (  )  (C 为任意常 数 )

o y

可得  OMA =  OAM =  x

例 3. 在制造探照灯反射镜面时 ,

解 : 设光源在坐标原点 ,

则反射镜面由曲线 y  f (x) _绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T

由光的反射定律 : 入射角 = 反射, 角

x

y 

 cot



yy 

 

2

2 y

x

OM  

M T

A P

 y



取 x 轴平行于光线反射方向 ,

从而 AO = OM OP AP 



要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状 .

而 AO

于是得微分方程 : x yy 

  x²  y²

利用曲线的对称性 , 不妨设 y > 0,

 

d 1

d    y

x y

x

y x

, v y x  则

y , v  x 令

1 2

d

d v

y

y v  

y y v

y v x

d d d

d  

C y

v

v 1 ) ln ln

(

ln   ²  

积分得

故有 2 1

2

2  

C v y C

y , x v

y 

代入 ^得 )

( 2

2 2 C

x C

y   ⁽ 抛物线 )

2

2 1

)

( v v

C

y    C v y

v  1 ² 

故反射镜面为旋转抛物面 .

于是方程化为

( 齐次方程 )

( h, k 为待

*

1 1

d 1

d

c y

b x

a

c y

b x

a x

y







  (c²  c₁²  0)

, .

1 当 ^{1 1} 时 b

b

a a ^作变换 x  X  h, y  Y  k ,

d d

, d

d x  X y  Y

则 原方程化为

Y b X

a

Y b X

a X

Y

1

d 1

d



   a h  bk  c

1 1

1h b k c

a  



令 a h  bk  c  0

1 0

1

1h  b k c 

a ^{, 解出 h , k}

Y b X

a

Y b X

a X

Y

1

d 1

d



  ^{( 齐次方程 )} 定常数 ),

,

, 代入

将 X  x  h Y  y  k

求出其解后 , 即得原方

程的解 .

, .

2 当 ¹  ¹ 



b a

a _{原方程可化为}

) 1

( d

d

c y

b x

a

c y

b x

a x

y







 



令 v  a x  by,

x b y x a

v

d d d

d   则

d 1

d

c v

c b v

x a v



 





注 : 上述方法可适用于下述更一般的方程

 

1 1

d 1

d

c y

b x

a

c y

b x

f a x

y







  (c²  c₁²  0) )

0 (b 

例 4. 求解

 



2  5



y x

解 : h  k  4  0 令x  X 1, y  Y  5 ,

Y X

Y X

X Y



  d

得 d 再令 Y ＝ X u ,

得

令 h  k  6  0 得 h  k1,  5

X u X

u

u d

1 d 1

2 





积分得 arctanu  ₂¹ ln(1 u²)  ln C X 代回原变量 , 得原方程的通解

:

1 arctan 5



 x

y  



 

 



 



 ²

1 1 5

2ln 1

x

y  ln C (x 1)

2  5



y x

利用 得 C = 1 , 故所求特解为

1 arctan 5



 x

y ^ln





2

1   

 x y

思考 : 若方程改为 , 6 4 d

d







 

y x

y x

x

y 如何求解 ? 提示 : 令 v  x  y.