第廿三回 排列組合(2)
未全法則，一以貫之
高中基礎數學統整講義
一、排列
1. 將 n 個相異物品排成一列，則其方法數(排列數)共有 !n 種。
2. 從 n 個相異的物品中取出 k 個(k ≤n)排成一列，其方法數(排列數)共有 ! ( )!
n k
P n
n k
= − 種。
【口訣】 P全未(味全法則)――未：未必全用的人或物，全：全用的人或物。
【口訣】思考的主體――全：全用的人或物。
【例題 1】將 7 張椅子排成一列，讓 5 位小朋友就座，每人只能佔用一張椅子，問共有多少種坐 法？[2520]
解：
【類題 1】將 5 張椅子排成一列，讓 7 位小朋友就座，每人只能佔用一張椅子，沒有位子的就用 站的，試問共有多少種坐法？[2520]
解：
二、錯排――錯開某些位置的排列
1. 設 n 個相異物品排成一列，
(1)甲不排在首位的方法共有n!− n( −1)!種。
【例題 2】甲、乙、丙、丁、戊、己 6 個人排成一列，
(1)甲排在首位的方法共有幾種？
(2)甲不排在首位的方法共有幾種？
(3)甲不排在首位，乙不排在第二位的方法共有幾種？
(4)甲、乙、丙分別不排在首位、第二、三位的方法共有幾種？
解：
【類題 2】五男五女參加一個舞會，
(1)當第一首曲子時，男女任意配對，問共有幾種配對法？
(2)當第二首曲子響起時，男女重新配對，但各人必須交換舞伴，
試問共有幾種配對法？
解：
【例題 3】A, B, C, D, E, F, G 七人排成一列，求下列各情形的方法數：
(1)任意排列 (2)A, B 相鄰 (3)A 在首位且 B 在末位 (4)A 在首位或 B 在末位 (5)A 不在首位且 B 不在末位 解：
【類題 3】A, B, C, D, E, F, G 七人排成一列，求下列各情形的方法數：
(1)A 在首位且 B 不在末位。[600] (2)A, B, C 相連。[720] (3) A, B, C 彼此不相鄰。[1440]
解：
【例題 4】將編號 1~6 號的 6 個球滾入編號 1~6 號的 6 個洞，每洞一球，
【類題 4a】將 1, 2, 3, 4, 5 不重複地排成一列，設為a1,a2,a3,a4,a5，其中滿足 0
) 5 )(
4 )(
3 )(
2 )(
1
( −a1 −a2 −a3 −a4 −a5 = 的共有幾種？[76]
解：
【類題 4b】袋中有 9 個球，各標上 1, 2, 3, …, 9 等 9 個數字，今每次從袋中取出一球，取後不放 回，若規定 1、2、3 號球分別要在第三、五、九次被取出，而 4、5、6 號球不許在第一、二、
六次被取出，則共有幾種取法？[426]
解：
三、同物排列
1. 設 n 個物品可分成 m 類，每類各有k1,k2,k3,⋯,km個相同物品，且k +k +k +⋯+km =n
3 2
1 ，
若將此 n 個物品排成一列，則其方法數(同物排列數)為
1 2
!
! ! m! n k k ⋯k
種。
【例題 5】將 10 本不同書，依下列情形處理，各有幾種方法？
(1)分給 A、B、C 三人，A 分得 3 本，B 分得 3 本，C 分得 4 本。
(2)分裝成三袋，其中兩袋各 3 本，另一袋 4 本。
解：
【類題 5】將 10 本不同書，依下列情形處理，各有幾種方法？
(1)分給 A、B、C 三人，分別分得 2 本，3 本，5 本。[2520]
(2)分裝成三袋，分別為 2 本，3 本，5 本。[2520]
解：
四、重複排列
1. 設有 n 類物品，每類物品皆至少有 k 件，現由此 n 類物品中取出 k 個排成一列，若允許 重複選取，則其方法數(重複排列數)為 nk。
【口訣】未全(味全法則)――未：未必全用的人或物，全：全用的人或物。
【例題 6】3 本不同書分給 5 個人，依下列情形，各有幾種方法？
(1)每人所得不限。 (2)每人至多一本。
解：
【類題 6a】5 本不同書分給 3 個人，依下列情形，各有幾種方法？
(1)每人所得不限。[243] (2)每人至少一本。[150]
解：
【類題 6b】(1)有 5 種不同的酒，3 個不同的酒杯，每杯只倒一種酒，試問有幾種不同的倒法？
[125]
(2)有 3 種不同的酒，5 個不同的酒杯，每杯只倒一種酒，試問有幾種不同的倒法？[243]
解：
【例題 7】有 5 封不同的信件，要投入甲、乙、丙、丁四個不同的郵筒，若甲、乙、丙三郵筒均 至少投一封，則有幾種投法？[390]
解：
【類題 7】有渡船 3 艘，每艘安全載量為 5 人，求下列各情況下安全過渡的方法數：(1)4 人 (2)5 人 (3)6 人 (4)7 人 (5)8 人過渡
[(1)81；(2)243；(3)726；(4)2142；(5)6174]
解：
五、組合
1. 從 n 個相異物品中取出 k 個之取法(組合數)為 !
! !( )!
n
n k
k
P n
C
k k n k
= =
− 。
2. (1)Ckn =Cnn−k (餘組合) (2)Ckn+1=Ckn−1+Ckn(n≥k ≥1) (巴斯卡定理) 證明：
【口訣】 C全未(味全法則)――未：未必全用的人或物，全：全用的人或物。
【口訣】排列有次序，組合無次序。
【口訣】組合與同物排列是一體的兩面。
六、分組/分堆組合
1. 將 n 個人分成 m 組，第 i 組有ki個人，其中k +k +k +⋯+km =n
3 2
1 ，若此 m 組的
功能或性質皆不同，則其分法(分組組合數)共有 1 1 2
1 2 3
1 2
= !
! ! !
m m
k n k n k k n
k k k k
m
C C C C n
k k k
− − −
⋯
⋯
種。
【口訣】n 中選 k 的組合也是分組組合(兩組：被選到&未被選到， !
! ( )!
n n n k
k k n k
C n C C
k n k
−
= = −
− )。
【口訣】數組的分組組合與數類的同物排列是一體的兩面。
2. 將 n 個人分成 m 組，第 i 組有ki個人，其中k +k +k +⋯+km =n
3 2
1 ，若此 m 組中
有 r 組的功能或性質相同，則其分法(分堆組合數)共有
1 2
!
( ! ! m!) ! n
k k ⋯ k r
種。
【口訣】排列組合者，加減乘除而已矣。
【例題 8】甲、乙、丙……等 10 人，分住 A, B, C 三間寢室，A 住 3 人，B 住 3 人，C 住 4 人，
求下列各情形的方法數：
(1)任意分配。[4200] (2)甲、乙同寢室。[1120] (3)甲、乙同寢室，甲、丙不同寢室。[910]
解：
【類題 8】有 A, B, C 三輛汽車供 7 人乘坐，但每車至多可坐 5 人，試問有幾種方法？[2142]
解：
【例題 9】12 本不相同的參考書依下列分法，求其方法數：
(1)6 本給甲，4 本給乙，2 本給丙。[13860]
(2)依 6, 4, 2 自由分配給甲、乙、丙三人。[83160]
解：
【類題 9a】(1)7 本不同的書，全部分給 3 人，每人可以兼得，求有幾種分法？[2187]
(2)7 本不同的書，全部分給 3 人，每人至少分得 1 本，求有幾種分法？[1806]
(3)7 本相同的書，全部分給 3 人，每人可以兼得，求有幾種分法？[36]
解：
【類題 9b】從 16 個象棋子：將、士、士、象、象、車、車、馬、馬、包、包、卒、卒、卒、卒、
卒之中選出 5 個排成一列的方法有幾種？[12351]
解：
【類題 9c】甲、乙…等 9 人分乘 3 輛汽車，依下列情形，各有幾種方法？
(1)汽車分 A, B, C，每車 3 人。[1680] (2)汽車分 A, B, C，每車 3 人且甲、乙同車。[420]
(3)不區分汽車，每車 3 人。[280] (4)不區分汽車，每車 3 人且甲、乙同車。[70]
解：
七、重複組合
1. 設有 n 類不同物品，每一類都可取出任意多件(可為 0 件)，當總共取 k 件時，每一種取法就 稱為 n 中取 k 的一個重複組合（稱重複是因每類物品可以重複取，稱組合是因不論取的次序，
只論每類取得的件數）。
2. n 中取 k 的重複組合數Hkn，即方程式x +x +⋯+xn =k
2
1 的非負整數解個數，亦即Hkn =Ckn+k−1。 【口訣】 H全未(味全法則)――未：未必全用的人或物，全：全用的人或物。
【口訣】記名投票：重複排列；無記名投票：重複組合。
【例題 10】三個人至冰店吃冰，冰店只賣二種冰，試問顧客有幾種吃法？而老闆又有幾種賣法？
試說明與重複排列及重複組合之關係。
解：
【類題 10】考慮集合S =
{
A,B,C,D}
，試依照下列各種方式，分別求出從 S 中選取兩個字母的 方法數：(1)直線排列；(2)重複排列；(3)典型組合；(4)重複組合。
解：
【例題 11】有 7 件不同禮物要分給甲、乙、丙、丁四人，若每人至少得一件，則有幾種方法？
解：
【類題 11】將 8 個插班生編入 5 個班，每班至少 1 人，有幾種方法？[126,000]
解：
【例題 12】6 種不同飲料，4 個杯子，每個杯子倒一種飲料，依下列情形，各有幾種方法？(1) 杯子相異，杯中飲料相異。[360] (2)杯子相異，杯中飲料可相同。[1296]
(3)杯子相同，杯中飲料相異。[15] (4)杯子相同，杯中飲料可相同。[126]
解：
【類題 12】將 4 個梨 5 個蘋果分給 3 個人，依下列情形各有幾種方法？
(1)每人所得不限。[315] (2)每人至少一個梨。[63] (3)每人至少一個梨或蘋果。[228]
解：
【類題 13】在 三 位 數 中，百 位 數 與 個 位 數 之 差 的 絕 對 值 為 2 的 數，共 有 個 ？ [150] 【87.學測】
解：
【類題 14】有 一 片 長 方 形 牆 壁 ， 尺 寸 為 12×1(即 ： 長 12 單 位 長 ， 寬 1 單 位 長 )。 若 有 許 多 白 色 及 咖 啡 色 壁 磚 ， 白 色 壁 磚 尺 寸 為 2×1， 咖 啡 色 壁 磚 尺 寸 為 4×1， 用 這 些壁 磚 貼 滿 此 長 方 形 ， 問 可 貼 成 幾 種 不 同 的 圖 案 ？ [13] 【88.學測】
解：
【類題 15】體 操 委 員 會 由 10 位 女 性 委 員 與 5 位 男 性 委 員 組 成 。 委 員 會 要 由 6 位 委 員組 團 出 國 考 察 ， 如 以 性 別 做 分 層 ， 並 在 各 層 依 比 例 隨 機 抽 樣 ， 試 問 此 考 察 團 共 有 多 少 種 組 成 方 式 ？ [2100] 【89.學測】
解：
【類題 16】因乾旱水源不足，自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇 2 天停止供水。若 要求停水的兩天不相連，則自來水公司共有多少種選擇方式？[15] 【91.學測】
解：
【類題 17】啦啦隊競賽規定每隊 8 人，且每隊男、女生均至少要有 2 人。某班共有 4 名男生及 7 名女生想參加啦啦隊競賽。若由此 11 人中依規定選出 8 人組隊，則共有 種不同的組 隊方法。[161] 【93.指考乙】
解：
【類題 18】在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳 1 個單位，跳動過程可重複經過任何一點。若經過 6 次跳動後運動物體落在＋4 處，則此運動 物體共有 種不同的跳動方法。[6] 【94.學測】
【類題 19】某地共有 9 個電視頻道，將其分配給 3 個新聞台、4 個綜藝台及 2 個體育台共三種 類型。若同類型電視台的頻道要相鄰，而且前兩個頻道保留給體育台，則頻道的分配方式共 有 種。[576] 【95.學測】
解：
【類題 20】某動物園的遊園列車依序編號 1 到 7，共有 7 節車廂，今想將每節車廂畫上一種動 物。如果其中的兩節車廂畫企鵝，另兩節車廂畫無尾熊，剩下的三節車廂畫上貓熊，且要求 最中間的三節車廂必須有企鵝、無尾熊及貓熊，則 7 節車廂共有幾種畫法？[72] 【98.指考乙】
解：
【類題 21】若數列a a1, 2,…,ak,…,a10中每一項皆為1或 1−，則a1+a2+⋯+ak +⋯+a10之值有多少種可能？
(1) 10 (2) 11 (3) P210 (4) C102 (5) 210 [(2)] 【99 學測】
解：
【類題 22】有一個兩列三行的表格如右圖。在六個空格中分別填入數字 1、2、3、4、5、6(不得 重複)，則 1、2 這兩個數字在同一行或同一列的方法有 種。[432] 【99.學測】
解：
【類題 23】三角形 ABC 是一個邊長為 3 的正三角形，如右圖所示。若在每一邊的兩個三等分點 中，各選取一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？[(1)(2)]
(1)依此方法可能連成的三角形一共有 8 個
(2)這些可能連成的三角形中恰有 2 個是銳角三角形 (3)這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是直角三角形 (4)這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是鈍角三角形
(5)這些可能連成的三角形中，恰有 1 個是正三角形 【101.學測】
解：
【類題 24】一乒乓球隊有 6 位選手，其中甲、乙、丙為右手持拍的選手，丁、戊為左手持拍的 選手，而己為左右手皆可持拍的選手。現在要派出兩名選手參加雙打，規定由一名可以右手 持拍的選手與一名可以左手持拍的選手搭配。請問共有多少種可能的搭配？[(3)]
(1) 7 (2) 9 (3) 11 (4) 13 (5) 15 【101.指考乙】
解：
【類題 25】將 24 顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃 子裡都裝奇數顆。請選出分裝的方法數。[(2)]
(1) 55 (2) 66 (3) 132 (4) 198 (5) 253 【102.學測】
解：
【類題 26】從玫瑰、菊花、杜鵑、蘭花、山茶、水仙、繡球等七盆花中選出四盆靠在牆邊排成 一列，其中杜鵑及山茶都被選到，且此兩盆花位置相鄰的排法有幾種？[120] 【102.指考乙】
解：
【類題 27】一 個 房 間 的 地 面 是 由 1 2 個 正 方 形 所 組 成 ， 如 右 圖 。 今 想 用 長 方 形 瓷 磚
舖滿 地 面，已 知 每 一 塊 長 方 形 瓷 磚 可 以 覆 蓋 兩 個 相 鄰 的 正 方 形，即 或
。則 用 6 塊 瓷 磚 舖 滿 房 間 地 面 的 方 法 有 幾 種 ？[11] 【103.學測】
解：
【類題 28】用 1、5、6、7、9 組成的三位數（不同位可以用相同數字），其個位數字、十位數字、
百位數字的總和為偶數者共有__________種。[49] 【103.指考乙】
解：
【類題 29】小燦預定在陽台上種植玫瑰、百合、菊花和向日葵等四種盆栽。如果陽台上的空間 最多能種 8 盆，可以不必擺滿，並且每種花至少一盆，則小燦買盆栽的方法共有__________種。
[70] 【104.學測】
解：
【類題 30】將正方形 ABCD 的每一條邊各自標上 1、2、3 中的某一個數，使得任兩條相鄰的邊，
都標有恰好差 1 的兩個數。滿足這種條件的標示法總共有多少種？[(4)]
(1) 2 (2) 4 (3) 6 (4) 8 (5) 10 【104.指考乙】
解：
【類題 31】考慮每個元（或稱元素）只能是 0 或 1 的2 3× 階矩陣，且它的第一列與第二列不相 同且各列的元素不能全為零，這樣的矩陣共有幾個？[42] 【105.學測】
解：
【類題 32】甲先生、乙先生、丙先生、丁先生四位男士以及 A 小姐、B 小姐、C 小姐、D 小姐 四位女士想要混搭兩部計程車，每車載有四名乘客，已知：
(一)甲先生與 A 小姐同車 (二)乙先生與 B 小姐同車 (三)C 小姐與 D 小姐不同車，
請選出正確的選項。[(2)(5)] 【105.指考乙】
(1) A 小姐與 D 小姐必不同車 (2) 甲先生與 B 小姐必不同車 (3) 乙先生與丙先生必同車
(4) 如果乙先生與丁先生同車，則丙先生與 B 小姐必同車 (5) 如果 D 小姐與乙先生同車，則 C 小姐與 A 小姐必同車 解：
【類題 33】小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫。他的餐點共有四種選擇：牛肉 麵、大滷麵、咖哩飯及排骨飯。小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐：（甲）每天只選 一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次 （乙）連續兩天的餐點不能重複且不連續兩 天吃麵食，根據上述原則，小明這五天共有幾種不同午餐計畫？[(2)]
(1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84 【106.學測】
解：
【類題 34】某 年 學 科 能 力 測 驗 小 華 的 成 績 為 ： 國 文11級分 、 英 文12級分 、 數 學 9級 分 、 自 然 9級分 、 社 會12級分 。 他 考 慮 申 請 一 些 校 系 ， 表 1 為 大 考 中 心 公 布 的 學 測 各 科 成 績 標 準 ； 表 2 是 他 最 有 興 趣 的 五 個 校 系 規 定 的 申 請 檢 定 標 準 ， 依 規 定 申 請 者 需 通 過 該 校 系 所 有 檢 定 標 準 才 會 被 列 入 篩 選 。 例 如 甲 校 系 規 定 國 文成 績 須 達 均 標 、 英 文 須 達 前 標 、 且 社 會 須 達 均 標 ； 丙 校 系 則 規 定 英 文 成 績 須 達 均 標 、 且 數 學 或 自 然 至 少 有 一 科 達 前 標 。 表 2 空 白 者 表 示 該 校 系 對 該 科 成 績 未 規 定 檢 定 標 準 。
表 1 學 測 各 科 成 績 標 準 表 2 校 系 篩 選 規 定
根 據以 上 資 訊 ， 試 問 小 華 可 以 考 慮 申 請 哪 些 校 系 ( 會 被 列 入 篩 選 ) ？ [(1)(4)]
(1)甲校系 (2)乙校系 (3)丙校系 (4)丁校系 (5)戊校系？ 【107.學測】
解：
頂標 前標 均 標 後 標 底 標 國 文 13 12 10 9 7 英 文 14 12 9 6 4 數 學 12 10 7 4 3 自 然 13 11 9 6 5 社會 13 12 10 8 7
國 文 英 文 數 學 自 然 社會 甲 校 系 均 標 前標 均 標 乙 校 系 前 標 均 標 前標 丙 校 系 均 標 一 科 達 前 標
丁 校 系 一 科 達 前 標 均 標 均 標 戊 校 系 均 標 前標 均 標 前 標
【類題 35】某 畢 業 班 由 8 位 同 學 負 責 畢 旅 規 劃 ， 分 成 A、 B、 C 三 組 ， 且 三 組 分 別 由 3 人 、 3 人 、 2 人 組 成 。 8 位 同 學 每 人 都 會 被 分 配 到 其 中 一 組 ， 且 甲 、 乙 兩 位 同 學 一 定 要 在 同 一 組 。 這 8 位 同 學 總 共 有 幾 種 分 組 方 式 ？ [(1)]
(1)140 種 (2)150 種 (3)160 種 (4)170 種 (5)180 種 【109.指考乙】
解：
