2-3 組組組組 合合合合 重點一重點一重點一重點一 組組組組 合合合合

2-3 組 組 組 組 合 合 合 合

重點一重點一

重點一重點一 組組組組 合合合合 例題

例題 例題 例題 1

試計算下列各式之值：

(1) C ＋₂⁶ C ＝ ¹⁰₇

(2) 若C ＝₄ⁿ C ，則₇ⁿ n＝

解解

解解 (1) C₂⁶＋C₇¹⁰＝C₂⁶＋C₃¹⁰

＝6 5 2 1

×

× ＋10 9 8 3 2 1

× ×

× ×

＝15＋120

＝135 (2) 由C_kⁿ＝C_{n k}ⁿ_－ 性質知

n＝4＋7＝11

例題 例題 例題 例題 2

(1) 某一號碼鎖的號碼是由 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 等 10 個數字所組成的 4 個數字碼，

若已知密碼的數字是由小而大的相異數字組成，則總共有 種可能的號碼。

(2) 啦啦隊競賽規定每隊 8 人，且每隊男、女生均至少要有 2 人。某班共有 5 名男生及 7 名女 生想參加啦啦隊競賽，若由此 12 人中依規定選出 8 人組隊，則共有 種不同的組隊 方法。

解解

解解 (1) C₄¹⁰＝10 9 8 7 4 3 2 1

× × ×

× × × ＝210（種）

(2) C₂⁵×C₆⁷＋C₃⁵×C₅⁷＋C₄⁵×C₄⁷＋C₅⁵×C₃⁷

＝10×7＋10×21＋5×35＋1×35

＝70＋210＋175＋35

＝490（種）

（2 男 6 女） （3 男 5 女） （4 男 4 女） （5 男 3 女）

平面上有 9 個點，其中除有 5 點共線外，沒有任何 3 點共線，則這 9 點共可決定：

(1) 條直線。

(2) 三角形。

解解

解解 (1) 直線有C₂⁹－C₂⁵＋1＝36－10＋1＝27（條）

(2) 三角形有C₃⁹－C₃⁵＝84－10＝74（個）

例題 例題 例題 例題 4

袋中有 5 個不同的紅球，4 個不同的白球，由袋中同時取出 3 球，則：

(1) 至少有 1 白球的取法有 種。

(2) 承(1)，若將取出之 3 球排成一列，則有 種不同的排法。

解 解 解

解 (1) C₃⁹－C₃⁵＝84－10＝74（種）

(2) 74×3!＝444（種）

在一棒球隊中，有 6 個外野手，7 個內野手，5 個投手與 2 個捕手，每一外野手都可守備外野 的三個位置，而每一個內野手都可守備內野的四個位置。

(1) 欲從這些球員中選出 3 個外野手，4 個內野手，一投手與一捕手的 9 個上場成員，共有 種選擇方式。

(2) 承(1)，上場守備的陣容有 種方式。

解 解 解

解 (1) 上場的成員有 6 個外野手選 3 個，7 個內野手選 4 個，5 個投手選 1 個，2 個捕手選 1 個

故有C₃⁶×C₄⁷×C₁⁵×C₁²＝7000（種）

(2) 守備陣容中，3 個外野手可以互換、4 個內野手可以互換，分別有 3!、4!種方式 因此守備陣容有 7000×3!×4!＝1008000（種）

重點二 重點二 重點二

重點二 重複組合重複組合重複組合重複組合 例題

例題 例題 例題 6

(1) 4 顆相同的骰子同時擲出時，檯面上所呈現的有 種不同的結果。

(2) 某披薩專賣店舉辦「買大送大」的優惠活動，杰倫班上訂購了 3 個大披薩，加上贈送的 3 個（口味亦可任選），共有 6 個大披薩，今天店裡有海鮮、什錦、總匯、夏威夷四種口味，

在任選的情況下，總共有 種不同的選擇方式。

解 解 解

解 (1) C₄^{6 4 1＋ －} ＝C₄⁹＝126（種）

(2) C₆^{4 6 1＋ －} ＝C₆⁹＝C₃⁹＝84（種）

8 件相同的玩具分給 4 位小朋友，玩具必分完，則：

(1) 有 種可能的分法。

(2) 若每人至少分得 1 件，則有 種可能的分法。

解 解 解

解 (1) 將 8 件相同物分成 4 類，

有C₈^{4 8 1＋ －} ＝C¹¹₈ ＝C¹¹₃ ＝165（種）

(2) ∵相同物 ∴每人先發 1 件玩具，剩下 4 件可隨便給 故有C₄^{4 4 1＋ －} ＝C₄⁷＝C₃⁷＝35（種）

例題 例題 例題 例題 8

5 件相同的玩具與 6 本相同的書分給 3 位小朋友，東西必分完，則：

(1) 有 種可能的分法。

(2) 若每人玩具、書皆至少分得 1 件，則有 種可能的分法。

解解

解解 (1) ∵玩具與書為相異物

∴利用乘法原理分別處理玩具與書兩部分

∴計有C₅^{3 5 1＋ －} ×C₆^{3 6 1＋ －} ＝C₅⁷×C₆⁸＝C₂⁷×C₂⁸＝21×28＝588（種）

(2) 先發給每人 1 件玩具及 1 本書，

此時剩下的 2 件玩具及 3 本書可隨便給 3 位小朋友

∴計有C₂^{3 2 1＋ －} ×C₃^{3 3 1＋ －}＝C₂⁴×C₃⁵＝6×10＝60（種）

(1) 6 本相同的筆記本，任意分給 3 人，不一定要分完的方法數有 種。

(2) 將 8 本相同的筆記本分給甲、乙、丙三人，甲至少得 1 本、乙至少得 2 本、丙至少得 3 本，

共有 種分法。

解解

解解 (1) C₆^{4 6 1＋ －} ＝C₆⁹＝C₃⁹＝84（種）

(2) 先發給甲 1 本、乙 2 本、丙 3 本 剩下的 2 本隨便分給 3 個人 計有C₂^{3 2 1＋ －} ＝C₂⁴＝6（種）

例題 例題 例題 例題 10

(1) 非負整數解有 組。

(2) 正整數解有 組。

解 解 解

解 (1) C₈^{4 8 1＋ －} ＝C¹¹₈ ＝C¹¹₃ ＝11 10 9 3 2 1

× ×

× × ＝165（組）

(2) C₄^{4 4 1＋ －} ＝C₄⁷＝C₃⁷＝7 6 5 3 2 1

× ×

× × ＝35（組）