數學甲
94 年指定科目考試
班級：_________ ／ 座號：_________ ／ 姓名：_________
總 分
第壹部分﹕選擇題（佔78 分）
一﹑單選題（18%）
說明﹕第1 至 3 題，每題選出一個最適當的選項。每題答對得 6 分，答錯倒扣 2 分，倒扣到本大題 之實得分數為零為止，未作答者，不給分亦不扣分。
1. 地震規模的大小通常用芮氏等級來表示，已知芮氏等級每增加 1 級，地震震幅強度約增加為原來的 10 倍，
能量釋放強度則約增加為原來的32 倍。現假設有兩次地震，所釋放的能量約相差 100,000 倍，依上述性 質則地震震幅強度約相差幾倍？請選出最接近的答案。
(1) 10 倍 (2) 100 倍 (3) 1000 倍 (4) 10000 倍 2.
2 sec
3
sin
2 csc
3
cos 可化簡為
(1) sin (2) cos (3) tan (4) cot
3. 令 i 1，z表複數z 的共軛複數。在複數平面上，所有滿足方程式(1 i ) z (1 i )z 0 的複數 z，
會形成下列哪種的圖形？
(1)一點 (2)一圓 (3)一直線 (4)兩直線
二﹑多選題（48%）
說明﹕第1 至 6 題﹐每題各有 4 個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項。每題 8 分，各 選項獨立計分，每答對一個選項，可得2 分，每答錯一個選項，倒扣 2 分，完全答對得 8 分，
整題未作答者，不給分亦不扣分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。
1. 設f (x) x2 a (1 x2 )為一實係數多項式函數，a 為常數。下列敘述何者正確？
(1)不論 a 是何值，f (x)的函數圖形都不可能是直線
(2)不論 a 是何值，若 f (x)有極值，則極值都等於 a（註：極大值與極小值統稱極值）
(3) 0 有可能是 f (x)的極大值 (4)若 a 0，則 f (x) 0 無重根
2. 如圖，ABCD 是邊長為 1 的正方形，在 AB，BC，CD，DA 四邊上依序任取一點 P，Q，R，S（皆非頂 點），若PQRS 是長方形但不是正方形，下列敘述何者正確？
(1)△SAP 與△PBQ 相似 (2)△SAP 和△QCR 全等 (3) PB QB
(4)△PBQ 的最大可能面積為 1
3. 球面 x2 y2 z2 4 與空間中兩點 P (1， 2，1)，Q ( 1，2， 1)的關係是：
(1)直線 PQ 和球面交於兩點 (2)線段 PQ 和球面交於兩點 (3)直線 PQ 和球面相切 (4)直線 PQ 通過球心 4. 宴會在場的 50 位賓客有人偷了主人的珠寶，由於賓客身上都沒有珠寶，而且他們都不承認偷竊，警方決 定動用測謊器，並且只問客人一個問題：「你有沒有偷珠寶？」。已知若某人說謊，則測謊器顯示他說 謊的機率為99％；若某人誠實，則測謊器顯示他誠實的機率是 90％。下列敘述何者正確？
(1)設竊賊只有一人。當賓客受測時，測謊器顯示賓客說謊的機率大於 10％
(2)設竊賊只有一人。當測謊器顯示一賓客說謊時，該賓客正是竊賊的機率大於 50％
(3)設竊賊只有一人。當測謊器顯示一賓客誠實時，該賓客卻是竊賊的機率小於 20％
(4)當測謊器顯示一賓客說謊時，該賓客是竊賊的機率，並不因竊賊人數多少而改變 5. A 是 2 2 方陣，設 A2 A．A，A3 A．A．A，以此類推。已知 A．
1 1
1
1 ，A．
1
1
1
1 ，若有
a，b 使得 A4．
b
a
2
3 ，下列敘述何者正確？
(1) a 3 (2) b 2 (3) A2．
1
1
1
1 (4) A 是一旋轉方陣
6. 有一條拋物線位於坐標平面之上半面（即其 y 坐標 0），並與 x 軸，直線 y x 1，直線 y x 1 相切。
下列敘述何者正確？
(1)此拋物線的對稱軸必為 y 軸
(2)若此拋物線對稱軸為 y 軸，則其焦距為 1（註：拋物線的焦距為焦點到頂點的距離）
(3)此拋物線的頂點必在 x 軸上 (4)有不只一條拋物線滿足此條件
三﹑選填題（12%）
說明﹕第1、2 題為選填題。每一題完全答對得 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
1.全班男女生共 51 人，票選畢業旅行的目的地，每人限投一票，結果如下表。現以簡單隨機抽樣，抽出兩 人，若這兩人都是女生，則這兩人都想去墾丁的機率是0. （以四捨五入取到小數兩位）。
女 男
墾丁 10 10
澎湖 6 10
花東 9 6
2.考慮雙曲線 y2 x2 1 圖形的上半部（如下圖），取此雙曲線上 x 坐標為 n 的點與漸近線 y x 的距離，記 為dn，其中n 為正整數。則limn(n．dn ) 0. （以四捨五入取到小數兩位）。
第貳部分﹕非選擇題（佔22 分）
說明﹕本大題共有二題計算證明題，同時必須寫出演算過程或理由，否則將酌予扣分。每題配分 標於題末。
1. 袋中有三個一樣大小的球，分別標示 10 分、20 分、30 分。重複自袋中取出一球後放回，記錄得分並累 加，其中取出各球之機率皆相等。
(1)求抽三次後總分為 60 分的機率。（5 分）
(2)遊戲「過三十」的規則是重複抽球，直到總得分大於或等於 30 分後停止，總得分恰為 30 分 者輸，超過 30 分者贏。求贏得遊戲之機率。（6 分）
2. 平面上有一橢圓，已知其焦點為(0，0)和(4，4)，且 y x 2 為此橢圓的切線。
(1)求此橢圓的半長軸長。（6 分）
(2)設此橢圓方程式為 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey 1，求 A，B，C，D，E 之值。（5 分）
--- 常用數值
1. 3.1416
2. 2 1.4142﹐ 3 1.7321﹐ 5 2.2361﹐ 7 2.6458 3. log102 0.3010﹐log103 0.4771﹐log107 0.8451
答 案
第壹部分﹕選擇題 一﹑單選題
1. (3) 2. (1) 3. (3)
二、多重選擇題
1. (2)(4) 2. (1)(2)(3) 3. (1)(2)(4) 4. (1)(3) 5. (2)(3)(4) 6. (2)(4)
三﹑選填題 1. 0.15 2. 0.35
第貳部分﹕非選擇題 1. (1)
27 7 (2)
27
11 2. (1) 3 (2) A 5，B 8，C 5，D 4，E 4
解 析
第壹部分﹕選擇題 一﹑單選題
1. 令 A 表震幅強度，E 表能量強度，芮氏等級 L 依題意，可假設L log 10 A log 32 E
則log 32 100000 E log 32 E log 32 100000
log 32 E log25105
log 10 A log 2 10
log 10 A log 2 1
10
log 10 A
3010 . 0
1
log 10 A 3.322
log 10 A 3 log 10 2 log 10 2000 A 與2000 倍最接近的是 1000 倍 故選(3)
2.
2 sec
3
sin
2 csc
3
cos sin 3．cos 2 cos 3．sin 2
sin (3 2 )
sin
3. 令 z x yi，則z x yi
原式 (1 i)(x yi) (1 i)(x yi) 0
2 (x y)i 0 x y 0
∴ 圖形為一直線 故選(3)
二、多重選擇題
(1)當 a 1，f (x) 1 為一水平直線
(2)由上式知，極值出現在 x 0 時，f (0) a，故極值恆為 a (3)若 0 為極大值，則 a 0 f (x) x2 0 為極小值，不合
(4)若 f (x) 0 有重根 判別式 02 4 (1 a) a 0 a 0（由(1)知 a 1 不合）
故選(2)(4)
2.
(1) PAS QBP 90，又 QPS 90
∴ ASP BPQ ∴ △SAP △～ PBQ
(2) △SAP △～ PBQ △～ QCR，又SPQR（長方形對邊）
∴ △SAP △QCR
(3) 設PB x，QB y，
2
1 x 1，
2
1 y 1
AP 1 x，SAQC（由(2)） 1 y 由(1)得
AP SA
BQ PB
x y
1
1 xy
x y
（若 x y 1 CQDRAS 1 y x，APCRDS 1 x y
PQQRRS SP x2y2 PQRS為正方形，不合）
(4) △PBQ 2
1 ．x．x 2 1 x2
2 1
2 1 故選(1)(2)(3)
3. x2 y2 z2 4 22 球心 O (0，0，0)，球半徑 2 由題意得PQ：
2
1 x
4 2
y
2
1 z
球心O 代入PQ符合，即O 在PQ上，故(1)(4)成立，(3)不成立
OPOQ 6 2
∴ P，Q 均在球面上，又 P-O-Q，故(2)成立 4.
(1)50
1 ．99％ 50
49 ．10％ 5000
589 10％
(2)
％
．
％
．
％
． 50 10 99 49
50 1
50 99 1
589
99 50％
(3)
％
．
％
．
％
． 50 90 1 49
50 1
50 1 1
4411
1 20％
(4) P (2 人)
％
．
％
．
％
． 50 10 99 48
50 2
50 99 2
678
198
由(2)得 P (1 人) 589
99 ，P (1 人) P (2 人)
∴ 竊賊人數會影響此測試的機率 故選(1)(3)
5 . 由 A．
1 1
1
1 ，A．
1
1
1
1 A．
1 1 1
1
1 1
1 1
A
1 1
1
1 1
1 1
1
1
2
1
1 1
1
1
1 1
1 1
0 1
1
0
90 cos 90
sin
90 sin 90
cos ，為一旋轉方陣
A2
180 cos 180
sin
180 sin 180
cos
1 0
0 1
A4
360 cos 360
sin
360 sin 360
cos
1 0
0 1
依題意A4．
b
a
2
3 ，A4．
b
a
1 0
0
1 ．
b
a
2
3
b
a
2 3
故選(2)(3)(4)
6. 若限制僅為開口向上的標準型拋物線，則恰一組拋物線滿足該條件（三切線）
【註】射影幾何之巴斯卡（Pascal）定理：「五點可唯一決定圓錐曲線」之應用，可推廣至「五個條件可 唯一決定圓錐曲線」，其中包括「五條切線可唯一決定圓錐曲線」
(1)斜拋物線亦可能滿足，例如
x2 (2 2 2) xy (3 2 2 ) y2 (2 2 2) x (4 2 2) y (3 2 2) 0 (2)若對稱軸為 y 軸，則頂點(0，0)，另二垂直切線的交點(0， 1)在準線上
故準線 y 1，此時拋物線為 x2 4y (3)斜拋物線的頂點不在 x 軸上
(4)含斜拋物線則不只一條
【註】定理：「拋物線的焦點位於其三條切線所成的三角形的外接圓上」－德國數學家朗伯特（ J. H.
Lambert）所提
故本題之拋物線的焦點在
1 1 0
x y
x y y
所成三角形的外接圓上 即 x2 y2 1 圓上 ∵ 限定 y 0，故在上半圓上
所以焦點有無限多個，故所求拋物線不只一個 故選(2)(4)
三﹑選填題
1. 25
2 10 2
C C
20 3 0.15
2.
設P (n， n21)，L：y x
dn d (P，L)
2
| 1
|n n2
2
2 1 n
n
n．dn n．
2
2 1 n
n n．
) 1 (
2
) 1 )(
1 (
2 2 2
n n
n n
n n
2( n2 1 n) n
) 1 1 1 ( 2
1
2
n
nlim(n．dn )
nlim
) 1 1 1 ( 2
1
2
n
2( 1 1) 1
2 2
1
0.35
第貳部分﹕非選擇題 1.
(1) 10 20 30 ( 3
1)3 3 ! 27
6 ……
20 20 20 ( 3 1 )3
27
1 ……
得 27
7
(2)輸的機率
10 10 10 ( 3 1 )3
27
1 ……
10 20 ( 3
1 )2 2 ! 9
2 ……
30 ( 3 1 )
3
1 ……
得 27 16
∴ 贏的機率 1 27 16
27 11
2.
(1) F1(0，0)，F2(4，4)，L：y x 2 F1對L 之對稱點 F1( 2， 2 )
長軸長 2 a F 1F2 (4 2)2(4 2)2 6
∴ a 3 (2) 由橢圓定義
2
2 ( 0)
) 0
(x y (x4)2 (y4)2 6 移項得 (x4)2 (y4)2 6 x2y2
平方得(x2 8x 16) (y2 8y 16)
36 12 x2 y2 x2 y2
移項化簡得3 x2y2 1 2x 2y
平方得9 (x2 y2 ) (4x2 8xy 4y2 4x 4y 1) 移項化簡得5x2 8xy 5y2 4x 4y 1
