第壹部分：選擇題(55%)

第壹部分：選擇題(55%)

一、單選題(30%)

說明：第 1 至 6 題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，

答錯不倒扣。

1. ABCΔ 中，∠C=90°，∠A=40°，CD⊥AB於D 點，設AB= ，則c CD ？ = (1) csin40°cos40° (2) ctan40°sin40°

(3) ctan40°cos40° (4) csin²40° (5) ccos²40°

2. 設 f(x)為多項式函數，若x³f(x)除以(3x−2)之餘式為6，則x²f(x)除以(3x−2)之餘式為

(1) 2 (2) 4 (3) 6

(4) 8 (5) 9

3. 設複數平面上三點Z 、₁ Z 、₂ Z ，所在的位置如右圖所₃ 示，則 2

1 3 2 2

Z Z

Z 之值所在的點，下列哪一點最接近？

(1) A 點 (2) B 點 (3) C 點 (4) D 點 (5) E 點

4. 在坐標平面上三點A(1,2)，B(5,5)，C(−5,10)，若ΔABC之外心坐標設為( ba, )，則a+ b2 =？

(1) 5 (2)

2

15 (3) 10

(4) 2

25 (5) 15

5. ABCΔ 內接於半徑R=2 3的圓，∠A=75°，AC=2 6 ，則AB ？ = (1) 3+ 2

(2) 3+ 1 (3) 6 (4) 6+ 2 (5) 2 3

6. 一個無窮等比數列：< L ,L>

2 , 1 2 , , 1 2 , 1 2 , 1 2 1

4 3

2 n ，今從這個無窮數列，擷取部分的項，亦成一個無

窮等比數列，使這個無窮等比級數和為 7

1，則這個新數列

(1) 首項為 4

1 (2) 首項為

8

1 (3) 首項為

16 1

(4) 首項為 32

1 (5) 公比為

64 1

二、多選題(25%)

說明：第7 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選項標示 在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得5 分，只錯一個選項可得 2.5 分，錯兩個或兩個以上選項不給分。

7. 設 f(x)=x⁴ +2x³ −16x²−2x+k=0，已知： f(x)=0的所有解中，其中之二根和為 2，下列選項 何者是正確的？

(1) )y= f(x 之函數圖形與x 軸交於兩點 (2) 0f(x)= 之最大根為3

(3) 0f(x)= 之最小根為− 3 (4) 0f(0)<

(5) f( 3)⋅ f(− 3)>0

8. 一數列<a_n >滿足a₁=1，a₂ =4，且3a_n+2 =5a_n+1−2a_n，則

(1) a₃ =6 (2)

3 14

4 = a (3) 27

16

5 6 − a =

a (4) ( )

3 2

1 1

2 n n n

n a a a

a ₊ − ₊ = ₊ − (5) ₁ ) ¹

3 (2 3 ⁻

− = ⋅

− _n ⁿ

n a

a

9. 三角形 ABC 中， A∠ 、 B∠ 、 C∠ 之對邊，分別為 a、b、c，下列何者可以決定「唯一」之三角形？

(1) a=2 ，b=3 ，∠B=105° (2) a=3 ，b=2 ，∠B=105° (3) a=3 ，b=2 ，∠B=35° (4) a=12，b=24，∠A=32° (5) a=12，b=24，∠A=30°

10. 設三次方程式 f(x)=(x+1)(x−1)(x−3)+(x+2)(x−2)(x−4)+(x−2)(x−3)(x−5)=0，問在哪兩個 連續整數之間使f(x)=0有實根？

(1) )(−1,0 (2) (0,1) (3) (1,2) (4) )(2,3 (5) (3,4)

11. 定義：[α,β]為實數軸上的閉區間，即[α,β]={x α≤x≤β}； 設二次函數f(x)=ax² +bx+c，a>0，a、b、c∈ ，則 R

(1) )f(x 在[α,β]^{必有最大值和最小值} (2) )f(x 在[α,β]^{之最小值是} f(α)或 f(β) (3) )f(x 在[α,β]^{之最大值是} f(α)或 f(β)

(4) 設 f(x)在實數上之最小值是 f(P)，則 f(2−P)= f(2+P) (5) 設 f(x)在整個實數軸上有最大值

第貳部分：選填題(45%)

說明：1. 第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12~26)。

2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 利用對數值表及內插法計算：a=⁵ 300=3.○¹²○¹³○¹⁴ (近似至三位小數) 常用對數表log₁₀x

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038

B. 如右圖：ΔOAB、ΔOBC、ΔOCD、ΔODE均為直角三角 形，∠AOB=∠BOC=20°，∠COD=40°，∠DOE=80°， 設OE=60，則AB ○= ¹⁵.○¹⁶ (近似一位小數)

(cos20°=0.9397，sin20°=0.3420，tan20°=0.3640)

C. 在平面上設O( ,00)、A( ,900)、B( ,0135)、C( ,90135)，今有甲、乙、丙三隻螞蟻，在平面上，

甲螞蟻自A 點以每秒 6 單位之速度向 O 點移動 乙螞蟻自B 點以每秒 9 單位之速度向 O 點移動 丙螞蟻自O 點以每秒 13 單位之速度向 C 點移動 試計算最快在 ○¹⁷ 秒鐘後，三隻螞蟻會成一直線。

D. 立法院三讀通過交通安全法規：汽車駕駛人若經酒精測試超過一定標準，則受罰或扣車。酒測標準 是0.25 Mg/L，超過此 0.25 Mg/L 的標準會受到 15,000~60,000 元的罰鍰；但若超過 0.55 Mg/L，酒 駕者不僅要受罰鍰，更要扣車，且肇事者還需以公共危險罪受刑法審判。

假設一瓶「紅猴牌」啤酒會使酒精測試值增加0.2 Mg/L，一杯「黑牛」威士忌會使酒精測試值增 加0.6 Mg/L。一天，阿呆一口氣喝了 5 瓶「紅猴牌」啤酒，和一杯「黑牛」威士忌，假使每休息 1 小時，酒精測試值會降為原來的 0.72 倍，問至少需經過 ○¹⁸ 小時後，阿呆才能安全上路，避免 受罰。(log2=0.3010，log3=0.4771，log5=0.6990)

E. 設0≤ x<2π，問滿足

2 7 1

cos x= 之解有 ○¹⁹○20 個

F. 若a 表一邊長為 4 的正方形，而在此正方形的一個邊上，作₁ 出底角為30 之等腰三角形，再以此等腰三角形之兩腰長為° 邊向外各作正方形a ，依這方法一直作下去，求所有正方形₂ 面積和= ○²¹○²²

G. 設

5 sin2 5

cos2π π

ω= +i ，若ω^k在複數平面上所對應之點P ，_k k =0,1,2,3,4，則

=

×

×

× _{0 2 0 3 0 4}

1

0P PP PP PP

P ○²³

H. 設A(2,0)、B(0,−4)，若P( yx, )為直線AB 上之動點，則 ^x+ )^y最小值= 3

(1

9 ○²⁴○²⁵

I. 設f(x)為一個四次多項式，若 f(x)以(x−1)³除之餘式為 3，以(x−2)除之餘式為 6，以(x+2)除 之餘式為30；則 f(0)= ○²⁶

參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式ax²+bx+c=0的公式解：

a ac b x b

2

2−4

±

=−

2. 平面上兩點P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂)間的距離為P₁P₂ = (x₂−x₁)²+(y₂−y₁)² 3. 通過(x₁,y₁)與(x₂,y₂)的直線斜率

1 2

1 2

x x

y m y

−

= − ，x₂≠ x₁

4. 首項為a ，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為₁

2 ) ) 1 ( 2 ( 2

)

(a₁ a n a₁ n d

S_n n ⁿ + −

+ =

=

5. 首項為a ，公比為 r 的等比級數前 n 項之和為₁

r r S a

n

n −

= − 1

) 1

1( ；無窮等比級數若是收斂，其和

r S a

= − 1

1

6. 三角函數的和角公式：sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB

7. ΔABC 的正弦定理： R

C c B b A

a 2

sin sin

sin = = = ΔABC 的餘弦定理：c² =a² +b²−2abcosC

8. 棣美弗定理：設Z =cosθ+isinθ，n∈ ，則Z Zⁿ =cosnθ +isinnθ

9. 參考數值： 2 ≈1.414； 3≈1.732； 5 ≈2.236； 6 ≈2.449；π ≈3.142 10. 餘式定理：多項式 f(x)除以ax− 之餘式為b ( )

a f b

11. 算幾不等式：設a>0，b>0，則a+b ≥ ab 2