第 4 章《九章算術細草圖說》之內容分析（二）

(1)

第 4 章《九章算術細草圖說》之內容分析（二）

由於《九章算術細草圖說》內容繁多，分為〈方田〉、〈粟米〉、〈衰分〉、〈少廣〉、〈商功〉、〈均輸〉、〈盈不足〉、〈方程〉、〈句股〉等九個章節。上一章已介紹

〈方田〉、〈粟米〉、〈衰分〉等三個章節，本章再介紹其餘的〈少廣〉、〈商功〉、〈均輸〉、〈盈不足〉、〈方程〉、〈句股〉等六個章節。

4.1 少廣

少廣章內容有少廣術、開方術、開圓術、開立方術、開立圓術等，共計二十四問，本文在此各術皆舉一例探討。在《九章算術》原文與劉徽注寫道：「少廣者以御積幂方圓。」

¹

也就是說，在少廣章探討的問題大都是開平方求正根、開立方求正根、開圓求直徑、開立圓求直徑的問題，並且有多位數開平方，開立方的通用法則。

4.1.1 少廣術

在少廣章的章首處，《九章算術》原文寫道：「少廣術曰：置全步及分母子，

以最下分母，遍乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之於左。命通分者，又以分母遍乘諸分子，及已通者，皆通而同之，并之為法。置所求步數，以全步積分乘之為實。實如法而一，得從步。」

²

而李潢立即寫「說曰」解釋如：「置全步及分母子，以最下分母，遍乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之於左者：如第十一問，最下分母一十二，以分母一十二，遍乘諸分子齊其子也，以分母一十二，

乘全步，通其分也，又以各分母，除所通數置之於左，以俟通而同之也。……」

3

我們可以發現，此處，李潢舉少廣章第十一問為例來說明，可見李潢寫《九章算術細草圖說》時，應是先讀完整個章節，再加以補寫其「說曰」的內容。而不是每看一術曰，就立即加以解釋術曰的內容而已。

1

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 1。

2

引自同上。

3

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 2。

(2)

《九章算術細草圖說》少廣章第一問至第十一問，皆為少廣術的題目，我們看第一題：

（一）題目：今有田廣一步半。求田一畝，問從幾何？

⁴

荅曰：一百六十步。

術曰：下有半，是二分之一。以一為二，半為一，并之得三，為法。置田二百四十步，亦以一為二乘之，為實。實如法得從步。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置一步二分步之一於位，以分母二，乘分子及全步，皆為二，又以其母除之，則一為二，半為一，并之，

得三，為法。置田二百四十步，亦以一為二，乘之，得四百八十步為實，

實如法，得一百六十步，即從步也，

合問。

1. （1+

2 1 ）×2=2+1 2. 2+1=3

3. 240×2=480 4. 480÷3=160

在《九章算術細草圖說》少廣章第五問的「草曰」中，第一次出現「欽裴按」

的用詞，

⁵

如本章第五問的「草曰」，原本李潢的細草，將四分之一乘六，得四分之六，是為了符合原文的「術曰」，而沈欽裴按：「約四分之六為二分之三，則從省矣。」

⁶

即沈欽裴認為，將四分之六，約分成二分之三，則可以化簡算式。

4.1.2 開方術

《九章算術細草圖說》少廣章第十二問至第十六問，皆為開方術的題目，我們看第十二題：

（十二）題目：今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？

⁷

荅曰：二百三十五步。

開方求方幂之一面也。術曰：置積為實，借一算，步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除，除已，倍法為定法，其復除，折法而下。復置借算，步之，如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除，以所得，

4

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 2。

5

沈欽裴依照李潢《九章算術細草圖說》的體例，而自行加上「欽裴按」，來說明或校正李潢《九章算術細草圖說》的內容。

6

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 6。

7

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 22。

(3)

副從定法。復除折下，如前。若開之不盡者為不可開，當以面命之，若實有分者，通分內子為定實，乃開之，訖，開其母報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之，訖，令如母而一。

而在開方術曰之後，李潢認為原術文的部分有錯，因此，李潢寫按文為之校勘如下：

潢按：術文「又以母再乘定實」，「再」字衍。

⁸

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置積五萬五千二百二十五為實，借一算，置於下，步之，超一等，

至百而止，議得二百，置於實上，以乘所借一算，得二百為法，置於實之下，借算之上，以議與法相乘，得四萬，以減實，實餘一萬五千二百二十五，除已，倍法，得四百為定法，折而下，復置借算，步之，超一等，至十而止，議得三十，置於實上，次前議以乘借算，得三十，副之，以三十加定法，得四百三十，為定法，與議三十相乘，得一萬兩千九百，以減實，

實餘二千三百二十五，除已，以所副三十，從定法四百三十，得四百六十為定法，折而下，復置借算，步之，

超一等，至步而止，議得五，置於實上，次前議，以乘借算得五，加定法，

得四百六十五為定法，以議五乘之，

得二千三百二十五，減實，適盡，上議得二百三十五步，即方也，合問。

1. 55225=50000+5200+25 2. 200×200=40000

3. 55225－40000=15225 4. 200+200=400

5. 430×30=12900 6. 15225－12900=2325 7. 430+30=460

8. 465×5=2325 9. 2325－2325=0

10. 故 200+30+5=235 為方

此處，李潢依「術曰」寫的「草曰」內容，以現今的說法，可用一般的乘法公式表示如：

設面積 A＝

(^a

+

^b)²

＝

a²

+ 2

ab

+

b²

8

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 24。而郭書春的《匯校九章算術》，與李繼閔

的《九章算術校證》，皆依李潢刪除「再」字。

(4)

＝

再依序找 a 與 b，反覆這個步驟，就可以求得答案。

，黃乙、兩朱為次商所除隅幂及兩廉幂隅，兩

( ^a ^b) ^b

a²

+ 2 + ⋅

又此處，李潢也補圖說明之：

如圖：黃甲為初商所除方幂青為三商所除隅幂及兩廉幂。

⁹

黃丙青

青

黃乙朱

朱黃甲

圖 4－1：開方

在此處，李潢用圖巧妙地用圖來表示

(^a

+

^b)²

就是「黃乙」

＝，其中可視為「黃

甲」，而 2ab 可視為「兩朱」，而

2 2

2

ab b a

+ +

，然後令

a2

b2 (^a

+

^b)²

＝，再找新的者觀察李潢的用詞，應補上「黃丙、兩青為三商所除隅幂及兩廉幂。」

.1.3 開圓術

細草圖說》少廣章第十七問、第十八問，皆為開圓術的題目，我們看第十七題：

：今有積一千五百一十八步四分步之三，問為圓周幾何？

¹⁰

荅曰：一百三十五步。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

2

a1

b ，重複此步驟，便可完成。但是，李潢並沒有交代「黃丙」這個區域，而筆1

4 《九章算術

（十七）題目

開圓術曰：置積步數，以十二乘之，以開方除之，即得周。

9

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 31。

10

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 22。

(5)

草曰：置積一千五百一十八步四分步

之三，通分內子，得六千七十五步， 1. 1518+

以十二乘之，得七萬二千九百步為實，開方除之，得二百七十步，置分母四，開之，得二，以除二百七十步得一百三十五步，即圓周也，合問。

，

4 3 =

4 6075 6075×12=72900 3.

2. 270 72900 = 4.

4=2

5. 270÷2=135

在此處，「開圓術」亦是以「周三徑一」為率，

¹¹

令 π

=3

，那麼這個公式是正確無誤的。

術

《九章算術細草圖說》少廣章第十九問至第二十二問，皆為開立方術的題目，

：

立方。問為立方幾何？

¹²

荅曰：一百二十三尺。

已，三之為定法，復除，折而下，

復借一算，置下行。步之，中超一，下超二位。

¹³

同樣

曰：置積一百八十六萬八百六十七而止，議得一百，置於實上，以再

1. 1860867=1000000+860000+867 3. 10000×100=1000000

4.1.4 開立方

我們看第十九題

（十九）題目：今有積一百八十六萬八百六十七尺，此尺謂立方尺也，凡物有高深而言積者，曰

開立方立方適等，求其一面也。術曰：置積為實。借一算，步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除

以三乘所得數，置中行，

復置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、并中從定法。復除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內子為定實。定實乃開之，訖，開其母以報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。

，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草

尺為實，借一算，步之，超二等，至 2. 100×100=10000 百

乘所借一算，得一萬為方法，置於實下，議與法相乘，得一百萬以減實，

4. 1860867－1000000=860867 5. 3×10000=30000

11

參閱本論文第三章，3.1.14 圓田術。

12

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 33。

13

依照郭書春的《匯校九章算術》，頁 158。認為「位」字，「等」之誤，依錢校本校正。筆者亦

同意郭書春的說法。

(6)

實餘八十六萬八百六十七尺，除已，

置方法一萬，三之，得三萬為定法，

復除，折而下，以三乘上議一百，得三百為廉法，置中行，復借一算，置下行，步之，中超一，下超二，至十而至，議，得二十，置於實上，次前議，以議二十，一乘中三百，得六千為三廉幂，再乘，下一算，得四百為隅幂，皆副之，以加定法三萬，得三萬六千四百為定法，與議二十相乘，

得七十二萬八千，以減實，實餘一十三萬二千八百六十七尺，除已，倍下四百為八百，并中六千，得六千八百，

從定法三萬六千四百，得四萬三千二百為定法，復除，折而下，以三乘上議二十，得六十，從中行三百，得三百六十為廉法，復借一算，置下行，

步之，至尺而至，議得三，一乘中三百六十，得一千八十為三廉幂，再乘，

下一算，得九為隅幂，并之，得一千八十九，以加定法四萬三千二百，得四萬四千二百八十九為定法，與議三，相乘，得一十三萬二千八百六十七，以減實，適盡，上議得一百二十三尺，即立方也，合問。

6. 3×100=300 7. 20×300=6000 8. 20×20=400

9. 30000+6000+400=36400 000

8000=132867

44289 3=132867

67=0 立方 10. 36400×20=728

11. 860867－72 12. 400×2=800 13. 800+6000=6800 14. 6800+36400=43200 15. 3×20=60

16. 60+300=360 17. 3×360=1080 18. 3×3=9 19. 1080+9=1089 20. 1089+43200=

21. 44289×

22. 132867－1328 23. 故 100+20+3=123 為

此處，李潢依「術曰」寫的「草曰」內表示如：

容，以現今的說法，可用一般的乘法公式

＝＝

(^a

+

^b)³

設體積 V＝

a³

+ 3

a²b

+ 3

ab²

+

b³

(

^a ^ab ^b

)

^b

a³

+ 3

²

+ 3 +

²

⋅

再依序找這個步驟，就可以求得答案。

又此處，李潢也補圖說明之：

如圖：三廉各以兩面之幂，連於兩方之面，一隅連於三廉之端。

¹⁴

a 與 b，反覆

14

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 43。

(7)

隅隅隅廉廉

廉廉

圖 4－2：開立方

4.1.5 開立圓術

《九章算術細草圖說》少廣章第二十三問、第二十四問，皆為開立圓術的題十三題：

開立圓術曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得，開立方除之，即丸

同樣

曰：置積四千五百尺，以十六乘之，

，開立方除之，得二十尺，即立圓

1. 4500×16=72000 3.

目，我們看第二

（二十三）題目：今有積四千五百尺，亦謂立方之尺也。問為立圓徑幾何？

¹⁵

荅曰：二十尺。

徑。

，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草

得七萬二千尺，九而一，得八千尺為 2. 72000÷9=8000 實

徑也，合問。

20

3

8000 =

3

3 4

r V

=

π

在此處，「立圓」就是現今我們說的「球」，以現今的知識知道，球體積，

「術曰」中，體積乘以十六，再除以九，最後再開立方，即使以 π

=3

而計算，

也不是精確值。而李潢也依「李淳風注釋」中「祖沖之父子的開立圓術」，寫「潢按」校正如下：

潢按：丸居立方三分之一。據術意，當作丸居立方二十一分之十一。

¹⁶

15

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 43。

(8)

因此，李潢也知道《九章算術》的「開立圓術」是球體積公式的近似值，但當時無法求得精確值。若以現代符號表示，球體積與外切立方體積之比值為

( )

2 3

π

r

4

r3

"

523598 .

= 0

=

π

，又祖沖之父子的結論為 11 = 0 . 523809 " " 。我們可

3

6 21 以知道，這個近似值已經準確到小數點以下第三位了。

4.2 商功

商功章內容多為立體形狀體積的計算，共計二十八問，本文在此舉一些例子章算術》原文與劉徽注寫道：「商功者以御功程積實。」

¹⁷

也就是說，在商功章探討的問題大都是講述土木工程及立體體積的數學問題。

《九章算術細草圖說》商功章第一問至第二十二問、第二十六問、第二十七問、第二十八問，皆為求立體形狀體積的題目，我們先看第二題：

（二）題目：今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，

曰：并上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺。

在此處，李潢也補圖說明之：

丁皆上廣，戊至己為高，甲乙、丁丙、

探討。在《九

4.2.1 立體形狀的體積

問積幾何？

¹⁸

荅曰：一百八十九萬七千五百尺。

術

如圖：辛壬、庚癸皆下廣，乙丙、甲庚辛、癸壬皆為斷袤。

¹⁹

16

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷四少廣，頁 47。

17

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 1。

18

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 2。

19

引自同上。

(9)

己戊

城

丁丙

癸壬

甲乙

庚辛

圖 4－3：城

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置下廣四丈，上廣二丈，并之，

得六丈，半之，得三丈，展為三十尺，

以高五丈，展為五十尺，乘之，得一千五百尺，又以袤一百二十六丈五尺，展為一千二百六十五尺，乘之，

得一百八十九萬七千五百尺，即城積也，合問。

1. 4+2=6 2. 6÷2=3 3. 3 丈=30 尺 4. 5 丈=50 尺 5. 30×50=1500

6. 126 丈 5 尺=1265 尺 7. 1500×1265=1897500

在此處，李潢寫「說曰」來說明「以盈補虛」的道理。「說曰：并上、下廣而半之者，前注所云以盈補虛，得中平之廣，故以高乘之，又以袤乘之，得積。」

²⁰

也就是說，以多補少之後，「城」的體積，由原梯形面積乘以長度，亦可以視為長方體來計算。

因此，我們再看第八題：

（八）題目：今有方堡壔，方一丈六尺，高一丈五尺，問積幾何？

²¹

荅曰：三千八百四十尺。

術曰：方自乘，以高乘之，即積尺。

在此處，李潢也補圖說明之：

如圖：甲乙、丁丙、庚辛、癸壬皆為方，丙壬、乙辛、丁癸、甲庚皆為高。

²²

20

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 3。

21

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 10。

22

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 11。

(10)

方堡壔

甲

庚辛

癸壬

丁丙

乙

圖 4－4：方堡壔

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置方一丈六尺，展為一十六尺，

自乘，得二百五十六尺，以高一丈五尺，展為一十五尺，乘之，得三千八百四十尺，即方堡壔積也，合問。

1. 1 丈六尺＝16 尺 2. 16×16=256 3. 1 丈 5 尺＝15 尺 4. 256×15=3840

知道「方堡壔」如何計算體積，接著下來，我們就可以看第十四問、第十五問、

第十六問的題目：

（十四）題目：今有塹堵下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，問積幾何？

²³

荅曰：四萬六千五百尺。

術曰：廣袤相乘，以高乘之，二而一。

此處，李潢也補圖說明之：

如圖：癸庚為下廣，庚辛為袤，乙辛為高。

²⁴

23

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 22。

24

引自同上。

(11)

庚辛乙

癸壬

丙

圖 4－5：塹堵（一）

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置下廣二丈，展為二十尺，袤一十八丈六尺，展為一百八十六尺，

以相乘，得三千七百二十尺，以高二丈五尺，展為二十五尺，乘之，得九萬三千尺，二而一，得四萬六千五百尺，即壍堵積也，合問。

1. 2 丈＝20 尺

2. 18 丈 6 尺＝186 尺 3. 20×186=3720 4. 2 丈 5 尺＝25 尺 5. 3720×25=93000 6. 93000÷2=46500

而此處，李潢在「說曰」強調「注云：邪解立方得兩塹堵。」

²⁵

也就是說，由對角將立方切開，可以得兩個塹堵，那麼，就可以由圖知，塹堵的體積，是立方體積的二分之一。並且，李潢再補圖以說明之：

如圖：甲壬為立方，甲乙丙丁為上幂，庚辛壬癸下幂，甲乙、辛庚為前幂，

丁丙、壬癸為後幂，甲丁癸庚為在幂，乙丙壬辛為右幂。

²⁶

圖 4－6：立方（李潢補圖）

25

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 23。

26

引自同上。

(12)

邪解立方，得兩壍堵，其一壍堵有乙丙壬辛右幂，庚辛壬癸下幂，乙辛庚與丙壬癸前、後兩立句股幂，乙丙癸庚仰脩幂。

²⁷

圖 4－7：壍堵（二）（李潢補圖）

又一壍堵，有甲乙丙丁上幂，甲丁癸庚左幂，乙甲庚與丙丁癸前、後兩倒句股幂，乙丙癸俯脩幂。

²⁸

圖 4－8：壍堵（三）（李潢補圖）

27

引自同上。

28

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 23。

(13)

接下來，我們看第十五問：

（十五）題目：今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺，問積幾何？

²⁹

荅曰：九十三尺、少半尺。

³⁰

術曰：廣袤相乘，以高乘之，三而一。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置廣五尺，以袤七尺，乘之，

得三十五尺，以高八尺，乘之，得二百八十尺，三而一，得九十三尺三分尺之一，為少半尺，即陽馬積也，合問。

1. 5×7=35 2. 35×8=280 3. 280÷3=93+

3 1

再看第十六問：

（十六）題目：今有鼈臑下廣五尺，無袤，上袤四尺，無廣，高七尺，問積幾何？

³¹

荅曰：二十三尺、少半尺。

術曰：廣袤相乘，以高乘之，六而一。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置下廣五尺，以上袤四尺，乘之，得二十尺，以高七尺，乘之，得一百四十尺，六而一，得二十三尺六分尺之二，子母各半之，得三分尺之一，為少半尺，即鼈臑積也，合問。

1. 5×4=20 2. 20×7=140 3. 140÷6=23+

6 2

4. 23+

6 2 =23+

3 1

在此處，李潢也特別將「塹堵」、「陽馬」、「鼈臑」三個圖形並列，如此可使初學者更加明瞭此三者的關係。

如圖：丙乙辛庚癸壬為壍堵，自丙解至庚，分丙乙辛壬立幂為二，一為陽馬，一為鼈臑。

³²

29

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 24。

30

其中「少半尺」是三分之一尺，「半尺」是二分之一尺，「太半尺」是三分之二尺。

31

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 29。

32

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 26。

(14)

圖 4－9：壍堵（四）（李潢補圖）

陽馬有庚辛壬癸下幂，丙壬辛與丙壬癸二立句股幂，丙癸庚與丙辛庚二邪倚句股幂。

³³

圖 4－10：陽馬（李潢補圖）

鼈臑有丙乙辛與乙辛庚二顛倒句股幂，有丙乙庚與丙辛庚二邪幂。

³⁴

33

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 26。

34

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 26。

(15)

圖 4－11：鼈臑（李潢補圖）

此處，李潢再補「說曰」如：「云：合兩鼈臑成一陽馬，合三陽馬而成一立方」，

35

因此，李潢用圖形來說明「陽馬」的體積，是立方體積的三分之一；而「鼈臑」

體積又是「陽馬」的一半，故「鼈臑」的體積，是立方體積的六分之一。另外，

在求「陽馬」體積的「說曰」中，李潢寫：「云：按餘數具而可知者，至安取餘哉。疑文有錯誤，不敢強為之說。」

³⁶

其實這個部分，李潢並沒有看懂劉徽要表達的意思，因此，原文是正確無誤的。

4.2.2 委粟術

《九章算術細草圖說》商功章第二十三問、第二十四問、第二十五問，皆為委粟術的題目，我們看第二十三題：

（二十三）題目：今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈，問積及為粟幾何？

³⁷

荅曰：積八千尺。為粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。

委粟術曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。其依垣者，十八而一。其依垣內角者，九而一。程粟一斛，積二尺七寸。其米一斛，積一尺六寸五分寸之一。其菽、答、麻、麥一斛，皆二尺四寸、十分寸之三。

此處，李潢也補圖說明之：

如圖：丙庚丁辛為下周，甲乙為高。

³⁸

35

引自同上。

36

依照郭書春的《匯校九章算術》，頁 210，認為實際上，此段無誤文奪字。而筆者亦傾向郭書春的說法。

37

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 54。

38

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷五商功，頁 54。

(16)

委粟

乙

丙丁

甲

庚

辛

圖 4－12：委粟

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

委粟草曰：置下周一十二丈，展為一百二十尺，自乘，得一萬四千四百尺，

以高二丈，展為二十尺，乘之，得二十八萬八千尺，三十六而一，得八千尺，即粟積也，合問。

1. 12 丈＝120 尺 2. 120×120=14400 3. 2 丈＝20 尺 4. 14400×20=288000 5. 288000÷36=8000 為粟草曰：置粟積八千尺，以粟斛法

二尺七寸，除之，得二千九百六十二斛二十七分斛之二十六，合問。

1. 8000÷2.7=2962+

27 26

在此處，李潢補圖說明「委粟」於平地，則其體積就是我們現在所說的直圓錐，

而「委粟術」的公式：「下周自乘，以高乘之，三十六而一。」以現今的符號表

示為 36 9

2 1 2

2 2r h h

r

r π π

π

× × × = ，若令π=3，則

3 9

2 2

2r h πr h

π

= ，那麼這個公式，是正確無誤的。

4.3 均輸

均輸章內容都是均輸術，共計二十八問，本文在此舉數例探討。在《九章算

(17)

術》原文與劉徽注寫道：「均輸者以御遠近勞費。」

³⁹

也就是說，在均輸章探討的問題是處理按人口、路程距離、物價等計算捐稅徭役的問題，尤其是與人民從本地運送穀物到京城交稅，所需的時間有關的問題，還有一些與按人口徵稅有關的問題，其中還有衰分與比例的問題。

4.3.1 均輸術

《九章算術細草圖說》均輸章第一問至第二十八問，皆為均輸術的題目，我們先看第一題：

（一）題目：今有均輸粟：甲縣一萬戶，行道八日；乙縣九千五百戶，行道十日；丙縣一萬二千三百五十戶，行道十三日；丁縣一萬二千二百戶，行道二十日，各到輸所。凡四縣賦，當輸二十五萬斛，用車一萬乘，欲以道里遠近，戶數多少，衰出之，問粟、車各幾何？

⁴⁰

荅曰：甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘。

乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。

丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘。

丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。

均輸按此：均輸猶均運也，令戶率出車，以行道日數為均，發粟為輸。術曰：令縣戶數，各如其本行道日數而一，以為衰。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并為法。以賦粟、車數乘未并者，各自為實，實如法得一車，有分者，上下軰之，

⁴¹

以二十五斛乘車數，即粟數。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：令甲縣一萬戶，如行道八日而一，得一千二百五十，為甲泛衰，令乙縣九千五百戶，如行道十日而一，

得九百五十，為乙泛衰，令丙縣一萬二千三百五十戶，如行道十三日而一，得九百五十，為丙泛衰，令丁縣一萬二千二百戶，如行道二十日而一，得六百一十，為丁泛衰，置四縣

1. 10000÷8=1250 2. 9500÷10=950 3. 12350÷13=950 4. 12200÷20=610

5. （1250，950，950，610）=10 6. 1250÷10=125

7. 950÷10=95 8. 950÷10=95

39

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷六均輸，頁 1。

40

引自同上。

41

參照郭書春的《匯校九章算術》，頁 266，說明依李籍《音義》引作「軰」，又云俗作「輩」。

(18)

泛衰，求總等，得一十，以約之，得甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，

丁衰六十一，副并，得三百七十六以為法，乃置賦粟車一萬，乘以甲衰一百二十五，乘之，得一百二十五萬，

為甲實，以乙、丙衰各九十五，乘之，

得九十五萬，為乙、丙實，以丁衰六十一，乘之，得六十一萬，為丁實，

實如法而一，得甲縣車三千三百二十四乘三百七十六分乘之一百七十六，

以等數八約子、母，為四十七分乘之二十二，乙、丙縣車各二千五百二十六乘三百七十六分乘之二百二十四，

以等數八約子、母，為四十七分乘之二十八，丁縣車一千六百二十二乘三百七十六分乘之一百二十八，以等數八約子、母，為四十七分乘之十六，

有分者，上下軰之，得甲縣車三千三百二十四乘，乙、丙縣車各二千五百二十七乘，丁縣車一千六百二十二乘，各以二十五斛乘之，得甲縣粟八萬三千一百斛，乙、丙縣粟各六萬三千一百七十五斛，丁縣粟四萬五百五十斛，合問。

9. 610÷10=61

10. 125+95+95+61=376 11. 10000×125=1250000 12. 10000×95=950000 13. 10000×95=950000 14. 10000×61=610000 15. 1250000÷376=3324+

376 176

16. 3324+

376 176 ＝3324+

47 22

17. 950000÷376=2526+

376 224

18. 2526+

376 224 ＝2526+

47 28

19. 950000÷376=2526+

376 224

20. 2526+

376 224 ＝2526+

47 28

21. 610000÷376=1622+

376 128

22. 1622+

376 128 ＝1622+

47 16

23. 3324+

47 22 取 3324

24. 2526+

47 28 取 2527

25. 2526+

47 28 取 2527

26. 1622+

47 16 取 1622 27. 3324×25=83100 28. 2527×25=63175 29. 2527×25=63175 30. 1622×25=40550

在此處，李潢也特別在說曰中寫道：「是上下軰益，以少從多也。」

⁴²

也就是說，

當要分配車、牛、人等，不可有分數的時後，就依「以少從多」解決之，這個概

42

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷六均輸，頁 6。

(19)

念與現今的四捨五入法，是相近的方法。另外，沈欽裴在此處也寫「欽裴新術」，

其內容是說：此題若先將一萬除以三千七百六十，再各自乘以每一縣的比例，那麼是比較好計算的。而以現今的觀點，就是「先除而後乘」，如此數字較小，可以較容易計算。

接著，我們再看第十二題：

（十二）題目：今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？

⁴³

荅曰：二百五十步。

術曰：置善行者一百步，減不善行者六十步，餘四十步，以為法。以善行者之一百步，乘不善行者先行一百步，為實，實如法得一步。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置善行者一百步，以不善行者六十步，減之，餘四十步，為法，以善行者之一百步，乘不善行者先行一百步，得一萬步，為實，實如法，得二百五十步，合問。

1. 100－60=40 2. 100×100=10000 3. 10000÷40=250

而在此處，李潢寫「潢按」校正如下：

潢按：注「善行者行一百步為追及率」，脫「為」字。

⁴⁴

筆者站在教育的觀點，認為這是很好的校勘。因為「善行者行一百步追及率」，這句話補了「為」這個字，成「善行者行一百步為追及率」，如此，能使該文意更加清楚明瞭。

再接下來，我們再看第二十七題：

（二十七）題目：今有人持米出三關，外關三而取一，中關五而取一，內關七而取一，餘米五斗，問本持米幾何？

⁴⁵

荅曰：十斗九升八分升之三。

術曰：置米五斗，以所稅者三之、五之、七之為實，以餘不稅者二、四、

六互相乘為法。實如法，得一斗。

在此處，李潢寫「潢按」校正術文。並且，說明此處「術曰」的內容與「重今有術」是相通的：

43

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷六均輸，頁 47。

44

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷六均輸，頁 48。但依照郭書春的《匯校九章算術》，頁 289，

認為「善行者行一百步為追及率」，李潢補「為」字，並無必要。

45

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷六均輸，頁 72。

(20)

潢按：術文「互」字衍，

⁴⁶

凡母互乘子，則曰互。母相乘、子相乘，皆不曰互。註有脫誤，補正於後：

此亦「重今有術」也，所稅者，謂今所當稅之，定三、五、七皆為所求率，

二、四、六皆為所有率，置今有餘米五斗，以七乘之，六而一，即內關未稅之本米也，又以五乘之，四而一，即中關未稅之本米也，又以三乘之，

二而一，即外關未稅之本米也。今從末求本，不問中間，故令中率轉相乘，

而同之。

⁴⁷

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置米五斗，以所稅者三，乘之，

得十五斗，又以五，乘之，得七十五斗，又以七，乘之，得五百二十五斗，

為實。以餘不稅者二、四、六相乘，

得四十八，為法。實如法，得十斗，

又退除之，得九升四十八分升之十八，以等數六約子、母，為八分升之三，并之，得十斗九升八分升之三，

合問。

1. 5×3=15 2. 15×5=75 3. 75×7=525 4. 2×4×6=48 5. 525÷48=10+

48 45 斗

6. 48 45 斗＝

48 450 升

7. 48

450 升＝9+

48 18 升＝9+

8 3 升

8. 故 10 斗+（9+

8 3 ）升

而李潢在「說曰」中，亦再次強調：「原術是『重今有』。」

⁴⁸

可見「今有術」在

《九章算術》中真的是很重要的方法。

⁴⁹

4.4 盈不足

盈不足章內容有盈不足術，兩盈、兩不足術，盈適足、不足適足術等，共計二十問，本文在此各術皆舉一例探討。在《九章算術》原文與劉徽注寫道：「盈

46

依照郭書春的《匯校九章算術》，頁 304，認為「李潢按：術文「互」字衍。」，這是不必刪除的。因為不可以注改經，而末說明經文為什麼訛誤。

47

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷六均輸，頁 72。

48

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷六均輸，頁 75。

49

參閱本論文第三章第二節。

(21)

不足者以御隱雜互見。」

⁵⁰

也就是說，在盈不足章探討的問題是算術中盈虧問題的計算方法，用盈不足術方法分解有關營商問題，然而，實際上就是現今的線性插值法，並且還有許多名稱，如試位法、夾叉求零點、雙假設法等。

4.4.1 盈不足術

《九章算術細草圖說》盈不足章第一問至第四問，皆為盈不足術的題目，我們看第一題：

（一）題目：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？

⁵¹

荅曰：七人，物價五十三。

盈不足術曰：盈不足相與同共買物者，置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，并以為實。并盈、不足為法，有分者，通之，副置所出率，以少減多，餘，以約法、實。實為物價，法為人數。

其一術曰：并盈不足為實，以所出率以少減多，餘為法，實如法得一人，以所出率乘之，減盈、增不足，即物價。

⁵²

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

買物草曰：置人出八於右行，盈三居其下，置人出七於左行，不足四居其下，令不足四，維乘所出八，得三十二，令盈三，維乘七，得二十一，并之，得五十三為實，即物價也，并盈三、不足四，得七，為法，即人數也，

合問。

1. 4×8=32 2. 3×7=21 3. 32+21=53 4. 3+4=7

其一術草曰：并盈三、不足四，得七，

為實，以所出七，減所出八，餘一，

為法，實如法，得七，即人數也，副

1. 3+4=7 2. 8－7=1 3. 7÷1=7

50

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷七盈不足，頁 1。

51

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷七盈不足，頁 1。

52

依照郭書春的《匯校九章算術》，頁 308，此處的術曰為：「盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，并以為實。并盈、不足為法。實如法而一。有分者，通之。盈不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，餘，以約法、實。實為物價，法為人數。其一術曰：并盈不足為實。以所出率以少減多，餘為法。實如法得一人。以所出率乘之，減盈、增不足即物價。」

其內容與李潢的《九章算術細草圖說》盈不足術曰，用詞順序有些許不同。

(22)

置人數七，以人出八，乘之，得五十六，減盈三，得五十三。以人出七，

乘之，得四十九，增不足四，亦得五十三，即物價也，合問。

4. 7×8=56 5. 56－3=53 6. 7×7=49 7. 49+4=53

此處，李潢依「術曰」寫的「草曰」內容，以現今的說法，可假設人數為 x 人，

物價為 y 元，而每人出 a 元，盈 m 元；人出 b 元，不足 n 元，列式如下：

n bx y m

ax

− = = +

求得

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

−

= +

−

= +

b a

an y bm

b a

n x m

又其一術的答案為

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

+

=

−

=

−

= +

n bx m ax y

b a

n x m

其實，我們可以知道，這兩個答案是相同，並且是正確無誤的。

4.4.2 兩盈、兩不足術

《九章算術細草圖說》盈不足章第五問、第六問，皆為兩盈、兩不足術的題目，我們看第五題：

（五）題目：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數、金價各幾何？

⁵³

荅曰：三十三人。金價九千八百。

兩盈、兩不足術曰：兩盈、兩不足相與同共買物者，置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，以少減多，餘為實。兩盈、兩不足以少減多，餘為法。有分者通之。副置所出率，以少減多，餘，以約法、實，實為物價，法為人數。

其一術曰：置所出率，以少減多，餘為法。兩盈、兩不足，以少減多，餘為實。實如法而一，得人數。以所出率乘之，減盈，增不足，即物價。

⁵⁴

53

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷七盈不足，頁 11。

54

依照郭書春的《匯校九章算術》，頁 310，此處的術曰為：「兩盈、兩不足術曰：置所出率，盈、

不足各居其下。令維乘所出率，以少減多，餘為實。兩盈、兩不足以少減多，餘為法。實如法而一。有分者通之。兩盈、兩不足相與同其買物者，置所出率，以少減多，餘，以約法、實，實為物價，法為人數。其一術曰：置所出率，以少減多，餘為法。兩盈、兩不足，以少減多，餘為實。

實如法而一，得人數。以所出率乘之，減盈、增不足，即物價。」其內容與李潢的《九章算術細

(23)

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

買金草曰：置人出四百於右行，盈三千四百居其下，置人出三百於左行，

盈一百居其下，令盈一百，維乘所出四百，得四萬，令盈三千四百，維乘三百，得一百二萬，以四萬減一百二萬，餘九十八萬，為實，以盈一百，

減盈三千四百，餘三千三百，為法，

乃置所出四百，以所出三百減之，餘一百，以約法三千三百，得三十三，

即人數也，以約實九十八萬，得九千八百，即金價也，合問。

1. 100×400=40000 2. 3400×300=1020000 3. 1020000－40000=980000 4. 3400－100=3300

5. 400－300=100 6. 3300÷100=33 7. 980000÷100=9800

其一術草曰：置所出四百，以所出三百減之，餘一百，為法，以盈一百，

減盈三千四百，餘三千三百，為實，

實如法而一，得三十三，即人數也，

副置人數三十三，以所出四百，乘之，

得一萬三千二百，減盈三千四百，餘九千八百。以所出三百，乘之，得九千九百，減盈一百，亦餘九千八百，

即金價也，合問。

1. 400－300=100 2. 3400－100=3300 3. 3300÷100=33 4. 33×400=13200 5. 13200－3400=9800 6. 33×300=9900 7. 9900－100=9800

此處，李潢依「術曰」寫的「草曰」內容，以現今的說法，可假設人數為 x 人，

金價為 y 元，而每人出 a 元，盈 m 元；人出 b 元，盈 n 元，列式如下：

n bx y m

ax

− = = −

求得

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

⎧

−

= −

−

= −

b a

an y bm

b a

n x m

又其一術的答案為

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

−

=

−

=

−

= −

n bx m ax y

b a

n x m

其實，我們可以知道，這兩個答案亦是相同，並且是正確無誤的。

草圖說》盈不足術曰，用詞順序亦有些許不同。

(24)

4.4.3 盈適足、不足適足術

《九章算術細草圖說》盈不足章第七問、第八問，皆為盈適足、不足適足術的題目，我們看第七題：

（七）題目：今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數、

豕價各幾何？

⁵⁵

荅曰：一十人，豕價九百。

盈適足、不足適足術曰：以盈及不足之數為實。置所出率，以少減多，餘為法。實如法得一人。其求物價者，以適足乘人數，得物價。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

買豕草曰：以盈一百，為實，置人出一百，以人出九十，減之，餘一十，

為法，實如法，得一十，即人數也，

置人數一十，以適足九十，乘之，得九百，即豕價也，合問。

1. 100

2. 100－90=10 3. 100÷10=10 4. 10×90=900

此處，李潢依「術曰」寫的「草曰」內容，以現今的說法，可假設人數為 x 人，

豕價為 y 元，而每人出 a 元，盈 m 元；人出 b 元，適足，列式如下：

bx y m ax

− = = 求得 ⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

=

= −

bx y

b a x m

其實，我們可以知道，這個答案是正確無誤的。

4.4.4 盈不足術與雙假設法

《九章算術細草圖說》盈不足章第九問至第二十問，皆為盈不足術的應用題目，我們看第十七題：

（十七）題目：今有善田一畝，價三百；惡田七畝，價五百。今并買一頃，

55

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷七盈不足，頁 15。

(25)

價錢一萬。問善、惡田各幾何？

⁵⁶

荅曰：善田十二畝半，惡田八十七畝半。

⁵⁷

術曰：假令善田二十畝，惡田八十畝，多一千七百一十四錢七分錢之二。令之善田十畝，惡田九十畝，不足五百七十一錢七分錢之三。

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置假令善田二十畝，惡田八十畝，多一千七百一十四錢七分錢之二，於右行，令之善田十畝，惡田九十畝，不足五百七十一錢七分錢之三，於左行，左右行錢皆通分內子，

得善田二十畝，惡田八十畝，多一萬二千錢於右行，善田十畝，惡田九十畝，不足四千錢，於左行，令不足四千錢，維乘右行善田二十畝，得善田八萬畝，維乘右行惡田八十畝，得惡田三十二萬畝，令多一萬二千錢，維乘左行善田十畝，得善田一十二萬畝，維乘惡田九十畝，得惡田一百八萬畝，乃并善田，得二十萬畝，并惡田，得一百四十萬畝，各為實，并多一萬二千錢，不足四千錢，得一萬六千錢，為法，實如法，得善田一十二畝半，惡田八十七畝半，合問。

1. 1714+

7 2 =

7 12000

2. 571+

7 3 =

7 4000 3. 4000×20=80000 4. 4000×80=320000 5. 12000×10=120000 6. 12000×90=1080000 7. 80000+120000=200000 8. 320000+1080000=1400000 9. 12000+4000=16000

10. 200000÷16000=12+

16000 8000

11. 12+

16000 8000 =12.5

12. 1400000÷16000=87+

16000 8000

13. 87+

16000 8000 =87.5

此處，李潢依「術曰」寫的「草曰」內容，以現今的說法，已知善田一畝，價三百；惡田一畝，價七分之五百，今并買一百畝，用錢一萬元。

⁵⁸

可假設善田為x 畝，惡田為y畝，列式如下：

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

= +

10000 7

300 500

100

y x

56

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷七盈不足，頁 31。

57

依照郭書春的《匯校九章算術》，頁 339，認為此處孔刻本的荅曰：「善田十二畝半，惡田八十七畝半。」有脫「一」字，應為「善田一十二畝半，惡田八十七畝半。」而據筆者觀察，由於李潢是依原孔刻本為底本，並且對此點沒有提出校勘，應是清朝當時，一十二畝與十二畝，已經是相通的用法。

58

參見本論文第三章第一節。一頃等於一百畝。

(26)

求得 ⎩ ⎨ ⎧

=

= 5 . 12

5 . 12

y x

因此，我們可以知道，這個答案是正確無誤的。

4.5 方程

方程章內容有方程術、正負術等，共計十八問，本文在此各術皆舉一例探討。

在《九章算術》原文與劉徽注寫道：「方程者以御錯糅正負。」

⁵⁹

也就是說，在方程章探討的問題，是介紹線性方程組的解法，其中涉及正負數概念及計算。也就是有關一次方程組的內容，並且，最後還有不定方程。其將方程組的係數和常數項用算籌擺成，這是《九章算術》中解多元一次方程組的方法，而整個消元過程則相當於現今代數中的線性變換。另外，在方程章也提出了正負數的不同表示法和正負數的加減法則。

4.5.1 方程術

《九章算術細草圖說》方程章第一問，為方程術的題目，我們看第一題：

（一）題目：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，

中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾，實一秉，各幾何？

⁶⁰

荅曰：上禾一秉，九斗四分斗之一，

中禾一秉，四斗四分斗之一，

下禾一秉，二斗四分斗之三。

方程術曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、

左禾，列如右方。以右行上禾，遍乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者，遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，

下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘，

如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾，亦以法乘右行下實，而除下禾、

中禾之實。餘，如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

59

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷八方程，頁 1。

60

引自同上。

(27)

在此處，李潢發現方程術曰中的「遍乘左行而以直除。」其中「遍乘左行」是原術文，應是大字體居中書寫，因此，立即補「潢按」如下：

潢按：術文：「遍乘左行」四字，宜作大字居中寫。

⁶¹

同樣，為方便對照，在「草曰」右欄輔以現代數學計算符號說明之：

草曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。次置上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗，於中方。次置上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗，於左方。以右行上禾三秉，遍乘中行，

中行得上禾六秉，中禾九秉，下禾三秉，下實一百二斗，以右行減之，中行上禾空，中禾五秉，下禾一秉，下實二十四斗。又以右行上禾三秉，遍乘左行，左行得上禾三秉，中禾六秉，

下禾九秉，下實七十八斗，以右行減之，左行上禾空，中禾四秉，下禾八秉，實三十九斗。然以中行中禾五秉，

遍乘左行，左行得中禾二十秉，下禾四十秉，下實一百九十五斗，以中行減之，左行中禾空，下禾三十六秉，

下實九十九斗。上為法，下為實，實九十九斗，即下禾一秉之實。寄法三十六為分母。求中禾，以法三十六，乘中行下實二十四斗，得八百六十四斗於下位，以下禾實九十九斗，乘中行下禾一秉，仍得九十九斗，為下禾列實，

以減下位，餘七百六十五斗，如中禾五秉而一，得一百五十三斗，為中禾一秉之實。寄法三十六為分母。求上禾，

亦以法三十六，乘右行下實三十九斗，得一千四百四斗，於下位，以中禾實一百五十三斗秉右行中禾二秉，

得三百六斗，為中禾列實，以下禾實九十九斗，乘右行下禾一秉，仍得九

1. 設上禾一秉實 x 斗，中禾一秉實 y 斗，下禾一秉實 z 斗。

2.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

26 3 2

34 3

2

39 2

3

z y x

3.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

26 3 2

102 3

9 6

78 2 4 6

z y x

4.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

26 3 2

24 5

0

78 2 4 6

z y x

5.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

78 9 6 3

24 5

0

39 2

3

z y x

6.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

39 8 4 0

24 5

0

39 2

3

z y x

7.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

195 40

20 0

96 4 20 0

39 2

3

z y x

8.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

99 36 0 0

24 5

0

39 2

3

z y x

61

引自李潢，《九章算術細草圖說》卷八方程，頁 2。

(28)

十九斗，為下禾列實，并之，得四百五斗，以減下位，餘九百九十九斗，

如上禾三秉而一，得三百三十三斗，

為上禾一秉之實。寄法三十六為分母。乃置上禾實二百三十三斗，中禾實一百五十三斗，下禾實九十九斗，皆如法三十六而一，得上禾一秉實九斗三十六分斗之九，約，為四分斗之一，

中禾一秉實四斗三十六分斗之九，

約，為四分斗之一，下禾一秉實二斗三十六分斗之二十七，約，為四分斗之三，合問。

9. ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎨

⎧

=

= + +

36 99

24 5

0 39 2

3

z

z y x

10. ⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

=

= +

= + +

36 99 36 24 5 99

39 2

3

z y

z y x

11. ⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

=

= +

= + +

36 99 36 24 5 99

39 2

3

z y

z y x

12. ⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

36 99 36 153

36 39 99 36 2 153 3

z y x

13.

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

36 99 36 153

36 333

z y x

14.

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

+

= +

=

+

= +

=

+

= +

=

4 2 3 36 2 27 36 99

4 4 1 36 4 9 36 153

4 9 1 36 9 9 36 333

z y x

第 4 章 《九章算術細草圖說》之內容分析（二）