3 數 學

《3 -1》 【背面尚有試題】

O x

y ( 2,6) ( 0,4)

x＝2

1. 期中考試，數學題目偏難，全班最高分為 60 分，最低分為 20 分，蘇老師擬用一個一次函數

來加分，使 20 分變成 50 分，60 分變成 100 分。

(1) 若平平考了 32 分，則加分後變為 65 分。

(2) 若安安加分後變成 90 分，則安安原來為 52 分。 ( 每格 8 分，共 16 分 ) 解：設原來為 x 分，加分後為 y 分，

y＝ax＋b ⇒



_50＝20a＋b 100＝60a＋b ⇒



a＝ 5 4

b＝25 ∴ y＝ 5 4 x＋25 (1) y＝ 5

4 ×32＋25＝40＋25＝65（分）

(2) 90＝ 5

4 x＋25 ⇒ x＝⁵²（分）

2. 請描出二次函數 y＝－1

2 x²＋2x＋4 的圖形，並寫出頂點坐標及對稱軸。又圖形與 y 軸交點坐

標為何？ ( 10分 )

解：y＝－1

2 ( x²－4x )＋4＝－1

2 ( x－2 )²＋4＋2＝－1

2 ( x－2 )²＋6

∴ 頂點坐標為 ( 2 , 6 )，對稱軸為 x＝2 與 y 軸交點為 ( 0 , 4 )

3. 將 y＝x²－4x 的圖形沿 x 軸往右平移 3 單位，再沿著 y 軸往下平移 2 單位，得到函數 y＝f (x)

的圖形，則 f (x)＝ x²－10x＋19 。 ( 10分 )

解：y＝x²－4x＝( x－2 )²－4

∴ 新圖形為 y＋2＝( x－2－3 )²－4 ⇒ y＝( x－5 )²－6＝x²－10x＋19

數 學 (一)

隨 堂 單 元 卷

3

《3-2》

4. 二次函數 f (x)＝x²＋3x＋7 且－2 ≤ x ≤ 2，則 f (x) 的最大值為 17 ，最小值為 19 4 。

解：f (x)＝x²＋3x＋7 ( 10分 )

＝( x²＋3x＋9 4 )＋

19

4 ＝( x＋

3

2 )²＋ 19 4 ， 當 x＝－3

2 時，有最小值 19

4 ， 又 f (－2 )＝4－6＋7＝5，

f (2)＝4＋6＋7＝17→最大值

《3 -1》 【背面尚有試題】

x

O 1 x

y

( 3,0) ( －1,0)

5. 二次函數 f (x)，其圖形過 ( 1 , 7 )、( 4 , 13 ) 且對稱軸為 x＝2，則 f (x)＝ 2x²－8x＋13 。 解：設 f (x)＝a ( x－2 )²＋b， ( 10分 )



f (1)＝a＋b＝7 f (4)＝4a＋b＝13 ⇒



_a＝2 b＝5

∴ f (x)＝2 ( x－2 )²＋5＝2x²－8x＋13

6. 設 f (x)＝ax²＋bx＋c 之圖形如右，請判斷下列各式與 0 之關係。

（即“＞”或“＝”或“＜”） ( 每格 3 分，共 21 分 )

(1) a ＜ 0。 (2) b ＞ 0。 (3) c ＞ 0。

(4) b²－4ac ＞ 0。 (5) a＋b＋c ＞ 0。

(6) a－b＋c ＝ 0。 (7) 4a＋2b＋c ＞ 0。

解：(1) 開口向下 ⇒ a＜0 (2) 頂點 x＝－ b

2a ＞0 ⇒ b＞0 (3) f (0)＝c＞0

(4) a＜0，b²－4ac＞0（或圖形與 x 軸有兩交點 ∴ b²－4ac＞0）

(5) f (1)＝a＋b＋c＞0 (6) f (－1 )＝a－b＋c＝0 (7) f (2)＝4a＋2b＋c＞0

7. 在二次函數 y＝－2x²＋3x＋k 中，若對一切實數 x，其對應的函數值 y 恆為負數，則實數 k

的取值範圍為 k＜ －9

8 。 ( 10分 )

解：y＝f (x) 的圖形為開口向下的拋物線

∴ 頂點 y 坐摽：－ D

4a ＜0 ⇒ － D

4 (－2 ) ＜0 ⇒ D＝b²－4ac＜0

∴ D＝9－4×(－2 )×k＜0 ⇒ 8k＜－9 ⇒ k＜－9 8

《3-2》

8. 試問 f (x)＝x²－x＋2 在 上是奇函數或偶函數？是嚴格遞增函數或嚴格遞減函數？ ( 13 分 )

解：(1) 因 f (1)＝1－1＋2＝2，f (－1 )＝1＋1＋2＝4，

得 f (－1 )≠－f (1)，所以 f (x)在 上不是奇函數

又 f (－1 )≠f (1)，所以 f (x)在 上也不是偶函數

(2) 因 1＜2，而 f (1)＝2，f (2)＝4，

得 f (1)＜f (2)，f (x)不是嚴格遞減函數

又－1＞－2，而 f (－1)＝4，f (－2 )＝8，

得 f (－1 )＜ f (－2 )，f (x)不是嚴格遞增函數

所以 f (x)在 上既不是嚴格遞增函數，也不是嚴格遞減函數