中華大學碩士論文

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中華大學碩士論文

具時變位能確定性棘輪之傳輸現象 The transport phenomena of a deterministic

ratchet with time-varying potential

系所別：機械工程學系碩士班學號姓名：M09908011 董子慶指導教授：許隆結博士

陳俊宏博士

中華民國 101 年 8 月

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摘要

文獻對確定性棘輪效應的研究中，大都針對週期性外力的振幅對粒子定向傳輸與逆流現象的影響進行研究，本論文希望透過改變週期性外力的頻率對確定性棘輪粒子運動的影響加以探討；另外，文獻中確定性棘輪之位能場隨空間呈週期性但每一週期不對稱的分布，但棘輪位能場不隨時間而改變，本論文嘗試研究具時變位能場的棘輪模型，研究粒子的定向傳輸現象。

結果證明改變無因次參數之振幅 a、阻尼力 b、頻率 ω 皆能影響粒子的運動行為，

其中改變無因次參數 a 對粒子分離的速率最快，而具時變位能場的棘輪模型除了能應 用於粒子的定向傳輸與不同質量的粒子分離外，也能用來簡化模擬實驗中流場的逆流現象。

關鍵字: 確定性棘輪、時變位能、傳輸現象

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ABSTRACT

Most of the previous researches on the deterministic ratchet effect considered the amplitude of the periodic external force to the effect of the particle directional transport and current reversal phenomenon. This paper studies the change of the frequency of the external forces to the effect of the deterministic ratchet particle movement. In addition, previous researches showed that the potential field of the deterministic ratchet is time invariant and distributed in space periodically but distributed asymmetrically in each cycle.

This paper attempts to study the time-varying model of the potential field of the ratchet and the directed transport phenomena of particles.

Results show that the change of dimensionless parameters such as amplitude a, damping force b, frequency ω can affect the movement behavior of particles. Among them, separation rate of particles is most fast for changing the dimensionless parameter a. The time-varying model of the potential field of the ratchet can apply not only to the directional transport of particles and the particle mass separation, but also to simplify the simulation of flow field of counter-current phenomenon.

Keywords: deterministic ratchet, time-varying potential, transport phenomenon

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誌謝

感謝上帝，帶領我來到中華大學就讀研究所，進到了這間實驗室，認識了我的指導教授許隆結老師以及陳俊宏老師，在這兩年裡老師不單是在課業上的教導，也會帶我們一起聚餐及打球，讓我能學習到了許多在課堂上所不會了解的。

我要特別感謝恩師許隆結教授對我的包容與忍耐，在我想要放棄的時候嚴厲的催促我，讓我能夠漸漸改進論文的內容，並且順利的通過口試，如果沒有老師的幫助與督促，我的論文就無法修改完成，也感謝口試委員陳鎮憲老師、陳献庚老師的指教，

讓我的論文內容更加豐富。

在研究生的生活跟大學大不相同，剛進入實驗室時多虧了學長張永杰、藍煒智、

許翔硯的帶領，以及一同進入實驗室的堂弟董子儀還有同屆的李鴻昌、張洸瑋，讓我能了解實驗室的準則規範，也幫助我更能適應在研究所的生活，也要感謝第二年新進的學弟許健聖、魏仕達、張正君、陳仲凱，還有其它間實驗室成員，在許多的大小事上有所幫忙。

最後，我要感謝愛我的家人，若沒有他們的支持、鼓勵與幫助，我也沒辦法走到今天。

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圖目錄

圖 2.1 Loutherback 等人[18]確定性微流體棘輪之流道設計……….5

圖 2.2 時變位能場確定性棘輪之實驗設計……….6

圖 2.3 棘輪的位能圖………8

圖 3.1 (a) 振幅與流率之關係圖……… 10

圖 3.1 (b) 振幅與流率之關係圖(文獻[34] ) ………...11

圖 3.2 位置隨時間變化圖(a)ω=0.43, (b) ω=0.34………...12

圖 3.3 速度隨時間變化圖(a)ω=0.43, (b) ω=0.34………...12

圖 3.4 速度與位置相平面圖 (a)ω=0.43, (b) ω=0.34………...13

圖 3.5 速度隨外力頻率改變分岔圖(a=0.081、b=0.1) ………...13

圖 3.6 粒子流隨外力頻率改變之關係圖 a=0.081、b=0.1.………...15

圖 3.7 在 a=0.081、b=0.1、ω=0.8 時之 (a)位置隨時間變化圖,(b)速度隨時間變化圖,(c)速度與位置相平面圖...16

圖 3.8 阻尼力與流率之關係圖………...17

圖 3.9 位置隨時間變化圖(a)b=0.035, (b)b=0.046………...18

圖 3.10 速度隨時間變化圖(a)b=0.035, (b)b=0.046………...18

圖 3.11 速度與位置相平面圖(a)b=0.035, (b)b=0.046………...19

圖 3.12 在 b=0.1、ω=0.67 時之位能場振幅與流率關係圖………...20

圖 3.13 位置隨時間變化圖(a) a=0.685, (b) a=0.73………...21

圖 3.14 速度隨時間變化圖(a) a=0.685, (b) a=0.73………...22

圖 3.15 速度與位置相平面圖 (a) a=0.685, (b) a=0.73………...22

圖 3.16 分岔圖(b=0.1、ω=0.67) ………...23

圖 3.17 粒子流隨位能變化頻率改變之關係圖 a=0.7、b=0.1………...24

圖 3.18 位置隨時間變化圖(a) ω=0.564, (b) ω=0.482………...25

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圖 3.19 速度隨時間變化圖(a) ω=0.564, (b) ω=0.482………...25

圖 3.20 速度與位置相平面圖 (a) ω=0.564, (b) ω=0.482………...26

圖 3.21 速度隨位能變化頻率改變之分岔圖(a=0.7、b=0.1) ………...26

圖 3.22 阻尼力與流率之關係圖……….….28

圖 3.23 速度隨阻尼力變化之分岔圖(a=0.7、ω=0.67) ………...28

圖 3.24 位置隨時間變化圖(a)b=0.12, (b)b=0.3535………...29

圖 3.25 速度隨時間變化圖(a)b=0.12, (b)b=0.3535………...29

圖 3.26 速度與位置相平面圖(a)b=0.12, (b)b=0.3535………...30

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第一章緒論

1.1 研究背景

棘輪(ratchet)的觀念是由Feynman[1]等人所提出，可以用來解釋為什麼可以在微觀世界裡產生定向傳輸(directed current)。棘輪是指當粒子在不對稱的週期位能面下，

受到一長時間平均為零的干擾力，會使得粒子往單向運動產生淨流(net current)。

Feynman[1] 提出此模型後，Magnasco[2]在物理評論證明它的可行性。近年來，實驗已能進行單分子馬達蛋白的研究，為了解生物分子馬達的運動與傳輸機制，已有許多模型被提出。其中棘輪的模型可以在生物分子馬達上扮演重要的角色，它解釋了許多分子馬達的運動方式。

棘輪的效應除了可用來解釋分子馬達的運動，對於微奈米等級的粒子傳輸技術有著重要的影響。當物質是由奈米尺寸大小組成時，其特性會發生改變，如表面活性變高，且其物理性質與化學性質也會有顯著的變化；而因為粒子極小所以要讓分離不同尺寸的粒子是不容易的，目前已有多篇文獻利用棘輪效應來達成奈米粒子的質量分離技術。對了瞭解與控制這些技術，對於棘輪的傳輸現象與機制的探討是必要的。

1.2 文獻回顧

棘輪模型中，依照時間平均值為零的干擾力(外力)來區分，可分成兩種類型的棘輪：熱棘輪(thermal ratchet)與確定性棘輪(deterministic ratchet)。

一般分子馬達的運動方式是由熱棘輪模型(thermal ratchet)來模擬，此類棘輪模型的干擾力為隨機熱擾動(thermal noise)。近年來，研究生物蛋白質分子學領域中，發現許多蛋白質分子具有方向性運動的特性，這使得熱棘輪的概念可以在生物分子馬達上扮演重要的角色，它解釋了許多分子馬達的運動方式，例如驅動蛋白(kinesin)如何在

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細胞中運動傳輸胞器；阻凝蛋白(myosin)如何在肌動蛋白(actin)上運動產生肌肉收縮等。除了分子馬達外[3-5]，熱棘輪的研究還具有廣大的應用範圍，如奈米摩擦 (nanoscale friction)[6-8]，表面光滑化(surface smoothening)[9]、约瑟夫森结(coupled Josephson junctions)[10]及微尺度下的質量篩選與分離(mass separation)[11-14]。

文獻上的研究顯示在缺乏隨機熱擾動下，由於附加力(additional force)作用，會讓粒子的運動形成複雜的動力行為，進而產生單向運動的淨流，此種棘輪模型一般稱為確定性棘輪(deterministic ratchet)。某些分子馬達的定向傳輸是由於本身內部特殊結構所造成，而非環境的熱擾動所引起。如微管結構的驅動蛋白(microtubule-based kinesin) 可以藉由調整連胞間兩端的頸區(neck region)而達到逆向淨流(current reversal)[15, 16]，

又例如線性結構肌肉內的分子馬達，其定向傳輸是由於本身複雜結構提供運動自由度而形成[17]。對於這些分子馬達的運動描述，確定性棘輪的模型較熱棘輪模型更為適切。對於微流道間的流體傳輸與粒子分離，確定性棘輪亦扮演著重要的角色，

Loutherback等人[18]在微流道中放置周期性的三角障礙物，施加返複式壓力推動流體運動，探討微米粒子在此流道中的運用行為，實驗結果顯示不對稱的障礙物會造成微米粒子的運動有棘輪的效應。

有關棘輪現象的研究，依阻尼力的大小可將模型區分成過阻尼棘輪與欠阻尼棘輪。

其中在過阻尼系統中，粒子的運動強烈受到阻尼力的效應，因此會將慣性(inertia effect) 的效應忽略。Denisov 等人[19]與Cubero 等人[20]的研究中指出，在周期性的位能面下，在過阻尼系統中，存在有一個附加力振幅的臨界值，在此臨界值以下，粒子受局限在某區域內而無定向傳輸。而欠阻尼系統則將慣性的效應考慮進來，一般又稱為慣性棘輪(inertia ratchet)。慣性棘輪由於將質量效應考慮進來，粒子的運動方程會包含一個對位置的二階微分項，其系統的動態行為較為複雜，甚至會有渾沌運動發生[21]。

Hondou 與Sawada[22]指出這種渾沌運動某種程度隱含熱棘輪中的擾動的機制，文獻中也發現在慣性棘輪中，不同參數下會產生多次的逆向淨流[21,23]；Mateos[23]詳細探討產生逆向淨流的原因，發現在確定性棘輪中粒子逆向淨流的產生，是伴隨著棘輪

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由渾沌運動過渡到周期運動的分岔點(bifurcation)，而這個分岔點是屬於間歇渾沌分岔點(intermittent)。Son 等人[24]更進一步確認此間歇渾沌分岔點是屬於第一型的間歇分岔點(Type-I intermittency)。

上述的棘輪皆是探討棘輪處在不對稱但周期性的位能面，但若棘輪所處的介質並非完美無缺，此時位能面的周期性將會破壞。一般討論位能的周期性破壞效應是在棘輪的受力中，加上一項與時間無關、但與空間呈均勻分布(uniformly distributed)之隨機力[25-29]，此種隨機力在統計上稱為淬致無序(quenched disorder)效應。Family 等人[30]探討欠阻尼確定性棘輪中，淬致無序的效應引發的渾沌運動與控制。

Marchesoni[31]與Kolton[32]研究熱棘輪的淬致無序影響，發現此效應會增強粒子的漂移。

文獻上也有利用動電學(electrokinetics)的技術來造成微流道中的流體流動[18]，

Lian 及 Wu[33]利用動電學設計不對稱的電極板，在施加交流電位配合直流偏壓下，

微流體流動的速度可高達 2.5mm/s。Lian 與 Wu 同時發現在特定電壓下，不對稱的電極板造成的電動學效應甚至會讓流體呈現逆流現象，然而文章中並無法對此逆流現象提出合理的理論基礎加以解釋。

1.3 研究目的

以上之文獻針對確定性棘輪效應的研究中，大都針對週期性外力的振幅對粒子定向傳輸與逆流現象的影響進行研究，本論文希望透過改變週期性外力的頻率對確定性棘輪粒子運動的影響加以探討；另外，上述文獻中確定性棘輪之位能場隨空間呈週期性但每一週期不對稱的分布，但棘輪位能場不隨時間而改變，本論文嘗試研究具時變位能場的棘輪模型，研究粒子的定向傳輸現象。透過此具時變位能場的確定性棘輪模型，我們發現粒子在此模型下亦有粒子逆流的現象，此一模型同時提供 Lian 與 Wu 的實驗中逆流現象合理解釋的理論基礎。

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1.4 研究方法

本論文首先對在位能場與外力作用下，單一粒子的運動方程式進行推導與模擬，

再利用統計學的概念，透過大量計算粒子在不同起始狀態下，運動的軌跡與速度分布加以平均，求得整體粒子群的平均運動行為，來探討具時變位能場的棘輪定向傳輸與逆流的現象。

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第二章確定性棘輪模型

有關確定性棘輪的實驗與模型，本章我們將舉兩類有關微流道內，利用確定性棘輪的效應，造成粒子傳輸的相關實驗，之後推導出對應的棘輪數學模型，以供後面章節探討確定性棘輪的傳輸現象與機制。

2.1 微流道內確定性棘輪之相關實驗

目前研究確定性微流體棘輪效應之微流道設計，大都是運用微機電製程在基材上利用蝕刻等技術，在流道中設計周期排列但每一單元不對稱之流道障礙，如圖 2.1 所示為 Loutherback 等人[18]的設計。

圖 2.1 Loutherback 等人[18]確定性微流體棘輪之流道設計

為觀察微粒在此流道下的棘輪運動效應，需利用兩隻注射幫浦在流體流動方向，形成往覆式的壓力分布，讓微粒在流道中來回經過不對稱的流道障礙，來觀察不同粒徑大小的粒子其運動軌跡。

上述的設計，不僅在製程上複雜耗工，同時實驗進行時需有兩支注射幫浦來回動作產生周期力，在實驗架設與控制上亦較為困難。

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另一類利用確定性棘輪的效應的微流道實驗，則是制作週期性的微電極通以交流電壓，造成粒子的傳輸，其實驗的電極排列與流道設計如圖 2.2 所示

圖 2.2 時變位能場確定性棘輪之實驗設計

圖 2.2 的設計中，電極沿著流道方向呈週期性的排列，正負兩極的電極寬度不同，在空間上可以造成週期性但單一週期不對稱的位能場。在正負電極施加交流電壓後，可以造成時變的棘輪位能場，同時此位能場能透過改變流體的電導率(conductance)與介電常數(permittivity)，提供趨動力造成流體或粒子的運動，圖中亦簡單繪出流體分子或粒子在流體中受此棘輪位能力的運動軌跡。

2.2 棘輪運動的數學模型

我們考慮粒子一維運動的問題，當粒子在具有時變的位能勢場影響下，其動量方程式可寫成：

( , )

( ) ( ) dV x t

mx x F t t

 dx 

     (1)

其中m是粒子的質量，γ 是摩擦係數，V x t( , )是時變的位能場，F(t)是確定性的外力，

( )t

 是環境熱擾動的干擾力。

若方程式(1)中考量環境熱擾動所造成的干擾力，此項( )t 為一個隨機分布的函數，則方程式(1)是一個粒子運動的隨機微分方程式，一般稱為朗之萬方程式(Langevin

Electrode

AC Source 流道

Electrode

AC Source

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equation)。此時若V x t( , )是一個隨空間呈週期性分布，但是每一週期不對稱，則方程式(1)可表示熱棘輪的運動行為。若方程式(1)中的環境干擾力( )t 為零，則方程式(1) 是一個粒子運動的確定性微分方程，可表示確定性棘輪的運動行為。

一般考慮棘輪的運動行為時，V x t( , )是一個隨空間呈週期性，但是每一週期不對稱的分布函數。在本論文中我們採用以下的棘輪位能場方程式如下：

( , ) ( ) ( )

V x t V x f t (2)

方程式(2)中的V x( )為：

0 0 0

1 0

2 ( ) 4 ( )

( ) sin sin

4

x x V x x

V x V V

L L

   

 

   

  (3)

其中L是位能的週期、V₁與V₀是常數、x₀是最低點的位置， ( )f t 是位能隨時間變化 的函數。當 f t( ) 1 時，則位能場是空間的函數不隨時間改變，此時方程式(3)之位能場在多篇文獻上[23,34]被用來探討非時變位能場下棘輪的運動行為。

本論文中我們考慮確定粒子在確定性棘輪的運動行為，因此下面的方程式中可忽略( )t 環境熱擾動干擾力的影響。對於確定性棘輪上述 F(t)是確定性的外力通常是一 週期性外力，可表示成：

( ) 0cos( _D )

F t F  t (4)

將方程式(1)以下面參數加以無因次：

* /

x x L，x⁰^* x⁰/L，

*

t 0t， / 0

   D ，^b^/^m⁰，

2

0/ 0

aF mL

(5) 其中₀與分別為：

2 2 2

0 4 V0 /mL

   

(6)

* *

0 0

sin(2 x ) sin(4 x )

    

(7)

因以下方程式皆為無因次化過後之參數，為書寫簡便，故以下之方程式皆省略無因次化之符號“*”。

(15)

動量方程式無因次化後可改寫成：

( , )

cos( ) dV x t

x bx a t

dx 

   (8)

而無因次化後的位能可寫成：

 

( , ) ( ) ( )

V x t  V x f t (9)

而此時無因次化後之V x( )為：

0 0

2

1 1

( ) sin 2 ( ) sin 4 ( )

4 4

V x C  x x  x x

  ^ ^

       (10)

其中，常數 C 的取法為:設V(0)0，可以得到C (sin 2x₀0.25sin 4x₀) / 4 ² 。

在方程式(8)的動量方程式中有三個無因次的參數a、b、；參數aF mL₀/ ₀²受外 力與位能影響，參數 b 是無因次化的摩擦係數，參數是外力跟₀的驅動頻率比。

2.2.1 非時變位能場確定性棘輪

當方程式(9)中的 f t( ) 1 ，則位能場不隨時間變化，棘輪的位能隨空間的變化如圖 2.3 所示。

圖 2.3 棘輪的位能圖此時方程式(8)可改寫成：

( ) cos( ) x bx dV x a t

dx 

    (11)

(16)

此方程式可以用來表示粒子在圖 2.1 中非時變位能場確定性棘輪之運動方程式，其中 b 代表微粒在流體中流動的阻尼力大小、dV x( ) /dx代表周期排列但不對稱之流道障礙對微粒運動的影響、而最後一項acos(t)則代表注射幫浦形成往覆式的壓力給於微粒的周期力。

2.2.2 時變位能場確定性棘輪

而當方程式(9)中的位能場為 f t( )asin(t)而方程式(8)右邊的週期外力為零時，

方程式(8)可改寫成：

sin( )dV x( ) 0 x bx a t

 dx

   (12)

此時方程式(12)中第一項為慣性力，第二項為粒子運動時受流場的阻抗，第三項為粒子處於位能場所施加的力量，則方程式(12)可以表示圖 2.2 的微流道設計下，粒子在時變位能場確定性棘輪的運動方程式。

2.3 多粒子系統運動行為

一般棘輪探討多粒子運動是考慮一群粒子彼此在不同的起始位置與速度，最後將每個粒子的運動行為，藉由統計的理論來探討系統的粒子流[34]。而要定義多粒子系 統的平均流量(J)，就需要先知道多粒子在任一時間的平均速度，假設粒子個數為M _，則任一時間平均速度可定義成：

1

1 ( )

M

j i j

i

v x t

M 





⁽¹³⁾

因為採用數值解去解離散時間，並假設有N段離散時間，則平均粒子流可定義成：

1

1 ^N

j j

J v

N 





⁽¹⁴⁾

由以上兩式，可以得到粒子流 (J)的定義為：

1 1

1 1 ( )

M N

i j

J x t

M N _ _



 

⁽¹⁵⁾

(17)

第三章結果與討論

對於第二章所推導之棘輪運動方程式，我們採用四階的 Runge-Kutta 演算法，用 FORTRAN 程式進行模擬，在對於粒子流的計算，論文中採用 500 個粒子的運動加以平均，每個粒子模擬 500 個外力振盪週期，分成 20000 個離散時間點，亦即方程式(13) 中本論文選取 M=500、N=20000。為驗證程式的準確性，我們模擬方程式(9) 非時變 位能場確定性棘輪之粒子流隨外力振幅的變化。圖 3.1(a)為在b0.1,0.67下，本 論文計算粒子流隨 a 的變化圖。圖 3.1(b)為相同條件下，Metos 等人所得之結果。比 較此兩圖，我們可以清處看到兩者相當一致，也驗證程式的正確性。

圖 3.1 (a) 振幅與流率之關係圖

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圖 3.1 (b) 振幅與流率之關係圖(文獻[34] )

3.1 非時變位能場確定性棘輪運動行為

改變無因次參數 ω

文獻上有關非時變確定性棘輪之探討，大都是研究外力的振幅對傳輸現象的影響，

在此我們討論外力頻率對非時變確定性棘輪傳輸現象的影響。圖 3.2 顯示在 a=0.081、

b=0.1 時，單一粒子在不同外力頻率下位置隨時間變化的關係圖。圖 3.2(a)中，當 ω=0.43

時，可看出粒子位置隨時間震盪往正的方向移動，同時此震盪現象對時間而言具有週期性。而當ω=0.34 時，粒子運動的方向與 ω=0.43 時相反，呈震盪向負方向移動，此 時震盪隨時間並無週期性。圖 3.3 為相同參數下粒子的速度隨時間變化圖，從圖 3.3(a) 更可以清處看出當 ω=0.43 時粒子速度的震盪隨時間具有週期性。圖 3.3(b)中，速度 隨時間呈現不規則的變化，顯示此時粒子的運動是渾沌行為。

(19)

(a) (b)

圖 3.2 位置隨時間變化圖(a)ω=0.43, (b) ω=0.34

(a) (b)

圖 3.3 速度隨時間變化圖(a)ω=0.43, (b) ω=0.34

(20)

(a) (b)

圖 3.4 速度與位置相平面圖 (a)ω=0.43, (b) ω=0.34

圖 3.5 速度隨外力頻率改變分岔圖(a=0.081、b=0.1)

(21)

為更清楚看出粒子運動的週期性與渾沌行為，我們將粒子運動的軌跡與速度的相平面圖繪製在圖 3.4，並將粒子速度隨外面頻率改變之龐加萊(Poincare section)應射分 岔圖(Bifurcation diagram)繪製如圖 3.5 所示。從圖 3.5 的分岔圖可以清楚看出 ω=0.43 時是對應週期運動，而ω=0.34 時對應無窮多個龐加萊應射點，粒子的運動此參數下 確實是渾沌行為，而其對應的相平面圖 3.4(b)也呈現複雜的軌跡。

為探討多粒子流的運動行為，我們計算 500 顆粒子的運對行為，然後依方程式(12) 加以平均得到系統粒子流隨著外力頻率的關係如圖 3.6 所示。圖中當粒子流 J 為正時，

表示粒子流往正方向流動，反之當 J 為負值時，粒子流往負方向流動。圖中顯現多處 粒子流由正轉負的情況。從方程式(4)與(5)對於 ω 的定義可以看出，ω 除了與真實的 外力頻率_D有關外，在無因次的過程中ω 也與粒子的質量有關，圖 3.6 的橫軸 ω 改 變時，可對應真實的實驗情況為相同的粒子在不同的外力頻率下運動，或是不同質量的粒子在同樣的外力頻率下運動。因此從圖 3.6 可以知道，除了外力的振幅外，介由控制外力的頻率也可造成不同的粒子質量往相反方向流動，用以達成粒子的質量分離。

為探討系統造成粒子流逆流現象的機制，我們仔細對應圖 3.5 與 3.6，仔細觀察 圖 3.5 可以發現外力的頻率 ω 從 0.3 到 0.7 間，有很多的渾沌運動區域，中間穿雜著 一些週期運動的視窗 (window) ，其中兩個較大的週期運動視窗在 0.42~0.44 與 ω=0.502~0.57。在0.693時，系統經歷了一個危機分岔(Crisis bifurcation)，當 ω 超過這個值時，系統回復到週期運動。其中在ω=0.42~0.44 與 ω=0.502~0.573 這兩個視 窗時，粒子流皆是往正的方向，而當系統參數通過這兩個進入渾沌區時，粒子流的逆流就會產生。

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圖 3.6 粒子流隨外力頻率改變之關係圖 a=0.081、b=0.1

最後，取一段平均流率幾乎為零的ω 值作模擬，由上圖 3.6 可知，當 ω 大於 0.75 後，平均流率幾乎為零，且前後並沒有產生明顯的逆流現象，取在 a=0.081、b=0.1、

ω=0.8 時進行分析討論，見圖 3.7，而由圖 3.7 我們可以清楚看到，此時粒子屬於周期

性的運動，圖 3.7(c)更能清晰的看出此波段屬於週期一，從圖中可以知道粒子在原地作週期性的往返運動，因此平均而言，粒子在原地不動，故此區段不能用來作定向傳輸。

(23)

(a)位置隨時間變化圖

(b)速度隨時間變化圖

(c)速度與位置相平面圖 圖 3.7 在 a=0.081、b=0.1、ω=0.8 時之

(a)位置隨時間變化圖,(b)速度隨時間變化圖,(c)速度與位置相平面圖

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改變無因次參數 b

無因次參數 b，與阻尼力、質量有關，就實驗上來看與流體性質及粒子質量有關，

也就是說我們可以藉著改變各種不同的流體介質來控制 b，在此模擬中，採用 500 個 粒子、500 個震盪週期、20000 個離散時間點，並就 a=0.081、ω=0.67 時之各種 b 值 進行模擬分析，結果發現在 b>0.2 之後就沒有棘輪的現象發生，故此下圖 3.8 之 b 的 範圍只取 b 介於 0 到 0.2 之間；而造成此現象的原因，應是在模擬時 a 取得太小，且 由於阻尼力對其他條件的影響過大，抑制了棘輪現象的發生，也就是文獻中提到的在過阻尼系統中外力振幅小於臨界值，粒子受到局限性，無法產生定向傳輸。

圖 3.8 阻尼力與流率之關係圖

(25)

從圖 3.8 來看，取粒子往正負方向流動各一點，以 b=0.035 及 b=0.046 來觀察其 運動現象，而由圖可見，我們取的兩個區間皆為非週期性的渾沌運動，這顯示我們可 以藉由控制無因次化之阻尼力係數 b 來影響棘輪的行為，但不容易控制粒子的運動狀 態。

(a) (b)

圖 3.9 位置隨時間變化圖(a)b=0.035, (b)b=0.046

(a) (b)

圖 3.10 速度隨時間變化圖(a)b=0.035, (b)b=0.046

(26)

(a) (b)

圖 3.11 速度與位置相平面圖(a)b=0.035, (b)b=0.046

綜合以上三種改變無因次化之參數 a、b、ω 的作用行為，由圖 3.1 來看將 a 控制 在 0 到 1 之間時，流率的區間大概在-0.15 到 0.25 之間，而由圖 3.6 來看，控制 ω 在 0.3~0.8 之間時，流率變化大約介於±0.15 之間，最後由圖 3.8 看，當 b 在 0~0.2 間時，

大部分的流率變化介於±0.05 之間，因此藉由控制 a 可以得到較大的流率變化，由上 所述，控制 a 對粒子分流的速率最快。

(27)

3.2 時變位能場確定性棘輪運動行為

本節我們將討論時變位能場對確定性棘輪傳輸現象的影響，並先以 1000 顆粒子、

500 個震盪週期、20000 個離散時間點對位能改變之振幅與流率之關係進行模擬。

改變無因次參數 a

首先，我們先對無因次參數 a 進行探討，見圖 3.12，由此無因次化之位能改變振 幅與流率的關係我們可以看到，圖中有兩處明顯的逆流現象，也就是 a 大約從 0.3~0.45 及 0.65~0.75 之間有明顯的逆流現象，我們將取兩點進行討論；當 a=0.685 時，由圖 可見粒子之平均流量為往正方向，而當 a=0.73 時，粒子之平均流量為往負方向移動，

故我們取 a=0.685 及 a=0.73 這兩點進行分析討論。

圖 3.12 在 b=0.1、ω=0.67 時之位能場振幅與流率關係圖

(28)

圖 3.12 至 3.16 皆為以在 b=0.1、ω=0.67 時之條件模擬，圖 3.13 顯示在 b=0.1、ω=0.67 時，單一粒子在不同振幅下位置隨時間變化的關係圖、圖 3.14 為相同參數下粒子的速度隨時間變化圖、圖 3.15 為相平面圖，其中(a)的部分為往正方向流動之區段、(b) 的部分為往負方向流動之區段；從圖 3.13 來看，我們無法清楚的判定粒子是否會作週期性的運動，而再往下看圖 3.14 雖然看起來有些規律性，但仍然無法準確的判定粒子是否作週期性運動，為能清楚看出粒子運動的週期性與渾沌行為，我們將粒子運 動的軌跡與速度的相平面圖繪製在圖 3.15，並將粒子速度隨無因次參數 a 改變之分岔 圖，如圖 3.16 所示。從圖 3.16 的分岔圖可以看出 a=0.685 時是對應週期運動，而 a=0.73 時對應無窮多個龐加萊應射點，粒子的運動此參數下確實是渾沌行為，而其對應的相平面圖 16(b)也呈現無週期性的軌跡。

由以上之討論可知，具時變的棘輪位能場也可造成不同的粒子質量往相反方向 流動，因 a 與粒子質量有關，故此不同的粒子會造成不同的 a 值，粒子的流率也會有 所不同，故可用以達成粒子的質量分離。

(a) (b)

圖 3.13 位置隨時間變化圖(a) a=0.685, (b) a=0.73

(29)

(a) (b)

圖 3.14 速度隨時間變化圖(a) a=0.685, (b) a=0.73

(a) (b)

圖 3.15 速度與位置相平面圖 (a) a=0.685, (b) a=0.73

(30)

圖 3.16 分岔圖(b=0.1、ω=0.67)

另外，文獻[33]中之實驗為以直流偏壓配合交流電壓，以達到電極不對稱之效果，

而在文獻[33]提到當交流電壓等級達到 4.42Vrms、直流偏壓為 0.6V 時，發生了逆流的 現象，但在文獻中並無解釋此現象之原由。

我們對照圖 2.2 及文獻[33]中的實驗設計，我們用方程式(10)來簡化模擬其運動行為，將粒子與流體的交互作用力以阻尼力來表示，而非對稱電極週期性排列施以交流電壓，在方程式(10)的模型中則以的粒子在非對稱、時間空間上具週期性之位能力來表示。就模擬結果來看流場會因棘輪的效應而產生逆流的現象，故文獻[33]中流場發生逆流的現象，棘輪的效應可能是造成此逆流的原因。若要完整的模擬其運動行為，

則需對粒子在流道內的作用、電場的效應、流場對粒子的影響等進行模擬。

改變無因次參數 ω

而除了對改變無因次化之位能改變振幅 a 之外，我們也將嘗試對改變無因次化後

(31)

之阻尼力 b 與無因次化後之位能改變頻率 ω 進行模擬與分析，而此部分的模擬將採 用 500 個粒子來進行。

ω 的部份我們取 ω=0.3 到 ω=0.8 的區間來看，見圖 3.17，從圖 3.17 我們可以看

到在ω 約在 0.425 附近發生了一次為小逆流，而約在 ω=0.475~0.5 及 ω=0.52~0.56 還 有ω=0.75~0.8 之間粒子平均流動方向為負方向，另外約在 ω=0.56~0.59 間平均粒子 往正方向流動。

圖 3.17 粒子流隨位能變化頻率改變之關係圖 a=0.7、b=0.1

其中我們取ω=0.482 及 ω=0.564 來觀察運動行為，看其運動方向與行為是否與平 均流動方向相符，見圖 3.18 至 3.20，而分岔圖可見 3.21，由圖可見粒子平均往正方向流動的部份為週期性運動，運動週期為一，往負方向流動的部份無法判定運動規則，

屬於渾沌運動。

(32)

(a) (b)

圖 3.18 位置隨時間變化圖(a) ω=0.564, (b) ω=0.482

(a) (b)

圖 3.19 速度隨時間變化圖(a) ω=0.564, (b) ω=0.482

(33)

(a) (b)

圖 3.20 速度與位置相平面圖 (a) ω=0.564, (b) ω=0.482

圖 3.21 速度隨位能變化頻率改變之分岔圖(a=0.7、b=0.1)

(34)

由圖 3.21 來看，我們大概可以看到四個週期運動的視窗，在 0.31 之前的由週期性過渡到渾沌運動的方式屬於破壞性的分岔，在 0.4 前的小視窗為間歇性分岔中的反相倍週期分岔，而另外兩個比較大的一個約在 0.53~0.64 中間，一個約介於 0.65~0.73 間，約在 0.65 時粒子從渾沌運動經過間歇性分岔過度到週期性的運動，並且由與分岔方向是由渾沌運動過渡到週期運動，故此分岔屬與反向的倍週期分岔。

改變無因次參數 b

最後，我們對具時變位能場的棘輪模型就改變無因次參數 b 來作探討，同上一小 節所敘述的，無因次參數 b，與阻尼力、質量有關，就實驗上來看與流體性質及粒子 質量有關，此模擬採用 500 個粒子、500 個震盪週期、20000 個離散時間點，並就 a=0.7、

ω=0.67 時之各種 b 值進行模擬分析，結果發現在 b>0.4 之後就沒有棘輪的現象發生，

故圖 3.22 之 b 的範圍只取 b 介於 0 到 0.4 之間，見圖 3.22，其中比較特別的是在 b=0.3535 前後的逆流區段，平均流率突然急遽變化跳至-0.055，而由圖 3.26 的分岔圖來看，此時粒子的運動由週期二變化成多週期，但此時應仍屬週期性的運動。

我們各取兩點在粒子平均往正負方向流動的區間來觀察粒子運動行為，由圖 3.24 到圖 3.26 來看，我們取的兩個粒子皆作週期性的運動，而在圖 3.23 的分岔圖上來看，

在 b=0.1 的前後有反向倍週期分岔。

(35)

圖 3.22 阻尼力與流率之關係圖

圖 3.23 速度隨阻尼力變化之分岔圖(a=0.7、ω=0.67)

(36)

(a) (b)

圖 3.24 位置隨時間變化圖(a)b=0.12, (b)b=0.3535

(a) (b)

圖 3.25 速度隨時間變化圖(a)b=0.12, (b)b=0.3535

(37)

(a) (b)

圖 3.26 速度與位置相平面圖(a)b=0.12, (b)b=0.3535

(38)

第四章結論

4.1 結論

1. 從結果來看，外力頻率對棘輪運動也具有影響，但相對來說對流率的影響沒有外 力振幅來得大，就流率的區間來說，控制 a 對粒子分流的速率較快。

2. 結果顯示改變位能變化之振幅對具時變位能場之確定性棘輪會產生兩個較明顯 之逆流區段，而 a 與粒子的質量有關，此現象應能應用於粒子定向傳輸或分離不 同質量的粒子。

3. 文獻[33]之實驗並無解釋其逆流現象之原由，我們用具時變位能場之確定性棘輪來簡化模擬此現象，希望此效應能用來當作解釋實驗中流場發生逆流現象的可能原因之一。

4.2 未來研究與展望

我們用方程式來簡化模擬粒子運動行為，將粒子與流體的交互作用力以阻尼力來表示，而非對稱電極週期性排列施以交流電壓，則以的粒子在非對稱、時間空間上具週期性之位能力來表示。就模擬結果來看流場會因棘輪的效應而產生逆流的現象。若要完整的模擬其運動行為，則需對粒子在流道內的作用、電場的效應、流場對粒子的影響等進行模擬。

也就是對粒子在流場內的行為作詳細的分析，需要把粒子的運動方程式、電場的 Poisson 方程式、流場的 Navier-Stokes 方程式的耦合現象等都納入模擬的條件，而在本論文中主要只對粒子的運動行為進行簡化的模擬，未來希望能把更多的條件加入以期能完整的模擬出粒子的行為。

(39)

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中 華 大 學 碩 士 論 文