數學課綱的五項理念
改編自單維彰（主編） 、謝豐瑞、鄭章華、吳汀菱、曾明德
《中學數學教材教法》臺北市：五南，2020。
十二年國教的第一代數學課綱，也就是 108 數學課綱，一方面承繼數學課程的固有理想，同時呼 應總綱的核心素養理念，用五項理念作為擬定這份課程綱要的指導哲學。以下分別列舉與說明。
（一）數學是一種語言，宜由自然語言的題材導入學習
語言在文明的發展中具有關鍵性的地位。數學是從生活經驗的自然語言中精鍊出來的，無論是數量、
形狀及其相互關係的描述，都是生活中常見的用語。數學連結文字及符號語言，以更簡潔與精確的 方式來理解我們生活中的世界。基於此一特性，數學教學應該盡可能保持學習自然語言的方式，透 過實例的操作與解說，了解概念與算則之後，再逐步進入抽象理論的學習。
數學課程的最基本目標是掃除數學文盲（簡稱數盲），此目標的積極面，是為終身學習準備所 需的基本語言；更積極地說，是為學生準備下一階段學習所需的數學語言。而所謂「下一階段學習」
並不專指數學領域，也包括文化中所有學科領域的學習。
將數學課程的教育當作語言教育來做類比，小學 1 到 4 年級類似母語的學習，數學的學習內 容，例如加減乘除、形體、時間、長度和重量等等，都搭配著自然語言及其日常意義而學習。從第 三學習階段（5 年級）開始，到普高一年級（10 年級）為止，數學變成基礎的外語。不是因為這時 候的數學出現英文字母或希臘字母；即使是英國和希臘的學生，在這個年齡也開始學習猶如外語的 數學。這時候，就像學習任何第二語言一樣，要加強母語的支援，也就是盡量用符合生活常識的普 通話來引進數學觀念。這段時期相當於「基礎外語的素養課程」，課程的設計是以掃盲為最基本原 則，希望讓所有學生習得終身學習所需的基本數學語言。
在10 年級之後，部分學生在 B 類課程裡，繼續完備他們的基礎外語教育，也就是為了素養或 博雅的目的的學習；其他學生則進入相當於專業外語的 A 類課程，他們的學習目的是為了準備專 業需求的數學語言。這段時期的學生應該已經有了比較清楚的發展目標，所以這段時期的數學教育，
可以比較講究教學的效率。
精確地說，11 年級的 A 類必修課程，和 12 年級的選修課程，是為了將來升學到理工商管、醫 藥、農牧園林、以及比較大量使用統計的社會科學領域的學生而準備的，特別是為了這些領域經常 共同需要的四種數學相關課程做準備：微積分、線性代數、統計和計算機原理。如果學生打算升學 的大學科系，並沒有安排上述四種課程的必修課，就可以把11 年級的 B 類必修課程當作高中階段 的最後一門數學課，在這門課裡完成基礎外語的素養教育，同時也是成為有效終身學習者的最後準 備。
在母語的學習階段，數學語言經常和日常語言重疊。但是為了準備數學語言的精確意義，應該
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逐漸在教學過程中釐清數學語言的定義。有時候數學語言和自然語言使用同樣的文字，但是意義卻 不同，這是特別需要逐漸釐清的。例如各種三角形和各種四邊形的「高」，與自然語言的「高」並 不見得相同，學生需明白前者需要精確地做垂線，也可以理解它是平行線之間的距離。再如多邊形 或多面體的邊是「稜邊」的簡稱，它專指直線段，並不包括彎曲的線，所以「圓」不是多邊形，它 沒有邊長，只有周長。而我們說「圓」的時候，起初不必精確分辨是指圓周還是圓盤，但是在適當 的時機要講清楚這兩個觀念。類似地，圓柱體並不是多面體，它沒有邊也沒有所謂的「面」，但是 它有專屬的名詞：頂面、底面和周面。
精確語言的缺乏，不僅沒有達成數學素養的教育，也折損了數學課程的溝通效率。例如圖1 顯 示了一個散熱煙囪，如果缺乏適當的語言則難以簡單又精確地描述它。如果圖中的曲線是雙曲線，
請讀者暫停閱讀，想一想，圖中的煙囪有哪些相關的數學物件呢？又該怎樣精確地描述它們呢？1
圖1 雙曲線旋轉而成的煙囪前視圖。
（二）數學是一種實用的規律科學，教學宜重視跨領域的統整
數學是一門善於處理規律的科學。數學被廣泛的應用在日常生活的需求、自然奧秘的探究、社會現 象的解讀、財經問題的剖析、與科技發展的支柱等方面，這些看似複雜的應用領域，經過數學的協 助分析，總是可以洞見其深層不變的規律。
狹義的規律性讓大家想到數列或遞迴關係，此時通常會試著用數學歸納法來證明這個規律。但 是在數學課程裡，規律性的發現，應該讓學生有試驗與探究的機會，先猜想一般性的關係，然後發 揮數學思維的特長，予以演繹性的推論說明或者證明，順便引導學生認識、欣賞數學知識的特徵。
1 圖 2-1 顯示的是煙囪的前視圖，它是由一段雙曲線繞其共軛軸旋轉而成的曲面。假設共軛軸垂直於水平的地面，則 曲面與水平面的截痕是一個圓，而圓的半徑是水平面高度的函數。
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廣義的規律性就是數學中的恆定關係。例如三角形那麼多種，它們的內角和居然是固定的。它 是很神奇的現象，原本可以很有戲劇性地教學，但是如果沒有動機也沒有線索就忽然學習這個規律，
則折損了學習的效果。另外再舉兩個例子。第一，經過適當的教學活動，引導學生應用相似直角三 角形的對應邊比例關係解決測量問題之後，發現解決這種問題的共同關鍵是直角三角形的兩邊比 值，這是引進三角比之觀念的理想進路。第二，經過適當的活動，學生理解正數的小數次方的意義 之後，可以利用計算機做實驗而發現每個正數都是 10 的某次方，例如100 10= 2、0.1 10= -1、 50 10» 1.7，而那個次方的指數，就是引進常用對數觀念的理想進路。
（三）數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感
這裡說的「人文」不是指狹義的文學、音樂、美術，而是相對於「崇拜神祗或權威」的理性。它對 應的英文是Humanism：意思是指由「相信人有能力藉由理性而獨立思考」的基本信念而發展的思 想體系。數學是人的思想創造，當然是理性思考的典範。民族或社會的數學思維方式，是一種文化 的表現。人類各種族文明造就出不同的思維文化，例如，古代東方數學偏向具象方式的歸納推理，
而西方則傾向抽象方式的演繹思考，數學的人文面向，能夠幫助我們理解數學發展在不同時期與不 同文化的差異，有助於讓數學學習從工具性層次延伸到知識性層次，更能協助教師釐清數學學習的 主軸。
舉例來說，在數學裡沒有神祇也沒有權威。就算赫赫有名的數學祖師爺畢達哥拉斯，也犯了一 個如今大家都知道的錯誤：他誤以為所有的實數都是有理數。如今的高中生都有機會體驗數學的理 性：即使有理數是稠密的，用物質性的任何儀器都無法無法觀察到數線上有理數的間隙，唯有理性，
也可以說是「心靈」，才能夠洞察有理數並不能填滿數線。
另一個關於人文的絕佳案例是三角形的內角和。請看下一小節。
使用數學這種精確的語言來表達思想，說起來也不難，只要說話寫字不要自欺欺人，確實把每 一句話都講明白了，數學的命題差不多也就完成了。理性的溝通不就是如此嗎？只要溝通的雙方都 精確地遣詞用字，而且確認彼此採用的定義或公設是相同的，才能真正地開始理性溝通。
（四）數學（課程）應提供每位學生有感的學習機會
有感就是「感覺有意義」的意思。有感的學習機會就是讓學生產生意義感的學習經驗。它對應三種 意義相近的英文概念，分述如下。
Sensible 這種有感，是認知到學習的內容確實有必要學習，或者待解決的問題確實有需要解決。
Meaningful 這種有感，是體認到為了學習所花費的辛勞，都是值得的。
Making-Sense 這種有感，是察覺到數學觀念之間彼此呼應，數學觀念與現實之間彼此呼應，某 個數學內容理所當然地應該出現在某個位置，而且學過的數學可以建構一個完整的、有助於思
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考的、可以提升理解能力的系統。
我們用三角形的內角和來舉個有感學習的例子。前面說過它是一個美妙甚至神秘的事實。可是，
如果毫無來由地探究這個問題，很難有感，學生不知道為什麼我該關心三角形的內角和？起碼可以 試著從比較明顯的地方引起值得猜測的動機。例如，大大小小的長方形內角和都是 360 度，這個 現象一點也不會令人驚奇。沿著長方形對角線剪下一個直角三角形，則發現直角三角形的內角和都 是180 度；如果拋掉長方形不看，則大大小小的直角三角形內角和都是 180 度的這個事實，似乎 比較有趣了。這裡有一個隱去不談的事實，就是直角三角形確實都可以從長方形剪出來。從直角三 角形的動機，去探究一般三角形的內角和，獲得結果之後再去探究一般凸四邊形的內角和，至少是 有動機、有脈絡的了。
探究出結果之後，學生不免還是可能要問，這個知識有什麼意義？至少可以從三方面回應。第 一，這是欣賞他方文化的機會：這個純粹出於理性好奇的知識，並非普世的文化，它是誕生於希臘，
流傳到西歐的一種思考方式的特質；相對而言，我們自己的文化就沒發生這個問題的探究。第二，
這就是所謂「人文」的體會：人類居然真的可以僅憑理性而獲致肯定的知識，也就是堪稱「真理」
的知識。最後，它畢竟是有用的：當我們利用正弦定理做遠距離測量的時候，就需要這個知識。
（五）數學教學應培養學生正確使用工具的素養
工具對於數學教學助益極大。除了傳統教具如圓規、三角板、方格紙等，資訊時代的計算機、電腦、
智慧型手機等，都是有用的學習工具。我國即使在最基本的計算機教學，都遠遠落後於世界各先進 國家，因此 108 數學課綱特別重視計算工具的有效運用。計算工具應該自然地融入數學課程，從 計算機開始，逐漸引導學生使用各種高階工具，包括試算表和數學軟體。
在數學課堂及評量中使用計算機來協助複雜數值的計算，只是次要功能。主要的功能是提供數 學教育從事試驗與探究的機會，並且讓學生更有機會建立真正的實數「數感」（Number Sense）。如 果學生僅限於使用對數律來處理logab ，或者永遠只遇到特殊角的三角比，則真正經手的永遠是整 數、分數和平方根，根本沒有機會產生實數的數感。
此外，在課堂中使用計算機也是為了所謂的素養。既然素養強調連結生活經驗，那麼，我們的 生活經驗難道少得了計算與資訊工具嗎？既然不能，素養的教學當然就應該使用工具。既然素養強 調在未來的生活中解決實際問題，那麼，未來的日子難道可以不用計算與資訊工具來解決問題嗎？
既然不能，素養的教學當然就應該使用工具。
我們用9 年級發現三角比的課程當作使用工具的例子。此處，理想的教學進路是，讓學生有機 會從事較大尺度的測量問題，在情境中發現想要測量的對象是一個大直角三角形的某邊長，而可測 量得到另一個邊長和一個銳角。在方格紙上精確做出一個相似的小直角三角形，根據對應邊的比例，
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可以估算測量的對象。從這個經驗，引導學生發現一種「規律」，就是解題過程中的關鍵是直角三 角形相對某銳角的兩邊比值。一旦銳角測量出來了，則對應的比值就確定了。從自己畫的直角三角 形上，可以估算這些比值，所以它並不神秘，只是有些兒麻煩。有趣的是，因為這些比值太常需要 了，所以這些比值被做成表格，像字典一樣地印在書裡讓工程師和科學家方便查詢。一旦電子計算 機發明了之後，這些比值被「燒」在晶片裡，只要輸入銳角的角度，再按一下sin 或 cos 或 tan 的 按鍵，就立刻查出來了（解決實際問題時，也許還要搭配1/x 按鍵）。一旦可以輕易獲得這些直角 三角形的兩邊比值，從事同類型測量問題的時候，就可以省去精確作圖的麻煩了。
到了10 年級，學生可以進一步認知：給定直角三角形上銳角的三角比，其實那個銳角也跟著 被決定了。計算機也提供反查角度的功能。可是，當三角比被推廣到廣義角，因為三角比的負角關 係和補角關係，使得反查的角度面臨多重可能的問題，這裡雖然可以作為反函數觀念的前置經驗，
但是不急著進入抽象觀念，而是先以具體的操作經驗來認識一對多之對應關係的實務解決方案。
最後再提醒一點：三角比也是人文的重要話題。前面說過中國傳統數學中，沒有發展三角形內 角和的知識。等到學生更成熟一點，可明白其實關鍵是中國傳統數學沒有發生三角比的概念，因此 沒有討論三角形之內角的必要。中國自古以來的技術昌明，在許多領域都領先世界千年之久，其中 許多土木工程都涉及測量，而測量需要數學。所以可以想像中國的傳統數學能支持精確的測量；確 實如此，中國的三角測量術，在漢朝時期就已經非常發達。但是中國數學始終使用相似直角三角形 的比例式，搭配畢氏定理（中國稱之句股）來解決測量問題，從來沒有發展出三角比。大家都知道，
後來西方的科技超越了中國。科技的根基是數學，而中、西數學發展的關鍵分岔點，就在「三角比」
這一點上。同學們要好好學習這個主題。
