109 年度師資培育之大學數學領域教學研究中心
多樣性數學素養課程與多元選修課程設計研究計畫─Manim 融入課程範例研發
教師：林靖捷
課程名稱 碎形中的花花世界
設計理念 (使用時機、
學習目標等)
本課程的設計理念是作為等比數列的延伸課程，讓學⽣認識碎形，並了解存 在於⼤⾃然中的碎形，透過剪紙活動產出碎形，並觀察與思考其中的數形規 律，讓學⽣看⾒其結構中的秩序與美感，並發揮創意設計⼀個專屬於⾃⼰的 碎形。
學習單內容(教學例題、教學活動等)
你曾經聽過「碎形」嗎？之前學習畢⽒定理時看過的畢⽒樹（如下⽅左圖）便是碎形 的⼀種，雖然它是數學結構，但是在⾃然界中卻無所不在，也被應⽤於藝術創作中，例如
⽇本浮世繪⼤師葛飾北齋舉世聞名的作品「神奈川沖浪裏」（如下⽅右圖），畫中的浪花也 有碎形的蹤跡。
【任務 1】
看完兩段關於碎形的影片後，寫下你的感想，並與組員互相分享。
【任務 2-1】
依照老師的提示剪出第一層科赫曲線。
【任務 2-2】
自行剪出第二至三層科赫曲線。
【任務 2-3】
承上題，說明你的作法與理由。
【任務 2-4】
觀察自己所完成的科赫曲線，說說你的發現或看法。
【任務 2-5】
計算各層科赫曲線的長度。
依照老師的提示剪出第一層與第二層謝爾賓斯基三角形。
【任務 3-2】
自行剪出第三層謝爾賓斯基三角形。
【任務 3-3】
觀察自己所完成的謝爾賓斯基三角形，說說你的發現或看法。
【任務 3-4】
計算各層謝爾賓斯基三角形的面積。
【任務 4-1】
自行設計一個碎形，並利用 GeoGeBra 軟體繪製或以剪紙的方式呈現。
【任務 4-2】
說說你設計這個碎形的動機或想法，以及其中的規律。
教學指引(問題答案、教學提醒等)
∗ 建議本課程在學⽣學習過等⽐數列單元或概念後實施。
∗ 「等⽐級數和」Manim 動畫的使⽤時機如下：
（1） 如果學⽣已學過等⽐級數和公式，可在本課程實施前播放此動畫，作為舊經驗的 複習。
（2） 如國學⽣尚未學過等⽐級數和公式，則必須在本課程的任務 2 之前增加等⽐級數 和的任務，並於進⾏該任務的教學時播放此動畫。
∗ 任務 1 的影⽚連結如下：
（1）Benoit Mandelbrot:碎形與粗糙度的藝術 • 取⾃
https://www.youtube.com/watch?v=vsaFi9QB44o&list=FLF6bBAIbfbMXv8mUCADz71g&in dex=77&t=0s
（2）Fun with Fractals • 取⾃
https://www.youtube.com/watch?v=XwWyTts06tU&list=FLF6bBAIbfbMXv8mUCA Dz71g&index=102
∗ 本課程需準備的器材為 A4 尺⼨的⾊紙或影印紙（不宜使⽤太厚的紙張）、雙⾯雙⾊教學
⾊紙（15cm × 15cm）、剪⼑
∗ 進⾏任務 2 與任務 3 的剪紙活動時，讓學⽣思考如何運⽤線對稱的概念，藉由摺紙簡化 剪紙的步驟及次數。
∗ 進⾏任務 2-5 與任務 3-4 時，可讓數學⼒較佳的學⽣嘗試挑戰 n 層的⼀般式。
∗ 實施本課程時，建議引導學⽣提出不同的思路與解法，並互相分享與觀摩。
