圓周率計算小史

π 論

吳振奎

圓是萬形之源, 方是萬體之基。 圓在人們生活中隨處可見。 “最完美的圖形是圓” (意大利 詩人但丁 (A. Dante) 語)。 當然, 圓也是人類最早瞭解的幾何圖形之一: 太陽是圓的, 滿月是 圓的, 樹木、 花草莖的截面也是圓的, ...。

我國古籍 「墨子」 上已有 “一中同長” 的圓的定義。 對於圓的作法古人也知道: 沒有規矩 不成方圓。 「史記」 中就有夏禹治水時 “左準繩, 右規矩” 的記載。 漢朝武梁祠造像中已出現規、

矩圖案:

人們很早就會計算圓, 然而它的周長與直徑的比今已知是個無限不循環小數, 它被稱為圓 周率。

古希臘人認為: 圓周率值是構成萬物的基礎。 由此可看出他們對於圓周率值的崇仰。

算圓, 確切地講算圓周率很早就引起人們的濃厚興趣, 這不僅依其自身計算的艱辛而極富 挑戰, 其展開式的數字奧秘也更具魅力。 兩千多年來, 人們在圓周率的研究、 計算上走過漫長而 又艱難的旅徑。

一

_.

圓周率計算小史

如今人們知道: 圓周率是一個無理數, 完全精確計算它不可能。 古人起初是給其近似。

70

我國古算書 「周髀算經」 中已有 “徑一周三” 的圓周率記載, 人稱 “古率”, 西方 「聖經」 中 也有圓周率取此值之說 (「舊約」 中 「列王記」 第七章)。

古代埃及蘭德紙草 (1858年為蘇格人 H. Rhind 收藏而得名) 中給出圓周率的值為

^[4]



4 3

 4

≈ 3.1604...

歐幾里得 (Euclid) 幾何的出現, 使得圓周率的計算與正多邊形聯繫起來。 由阿基米德 (Archimedes) 創造的圓內接或外切 (從正六邊形起始) 正多邊形邊數不斷加倍, 來求圓周率 近似值的方法 (這在我國稱為 “割圓法”) 差不多延續了兩千年光景, 這兒不擬詳述, 概況請見 下表中部份資料

^[3]

:

年 代 發 現 (明) 者 方 法 及 出 處 結 論

割圓法 (載 「圓的度量」)

公元前 240 阿基米德

²²³

71

與

²²

7

之間值約 3.14 至正 96邊形

150 托勒玫 割圓法 (載 「數學匯編」)

³⁷⁷ ₁₂₀

≈ 3.1416 (C. Ptolemy)

約 480 祖沖之 割圓法至正192 ∼ 3072邊形

²² ₇

(約率)、

³⁵⁵ ₁₁₃

(密率) [印] 阿利亞波塔

530

⁶²⁸³² ₂₀₀₀₀

= 3.1416

(Aryabhata) [印] 波什迦羅

1150 割圓法至正 384邊形

³⁹²⁷ ₁₂₅₀

= 3.1416 (Bhaskara)

[法] 韋達

1579 割圓至正6 · 2

¹⁶

邊形 3.141592654 (F. Vi`ete)

安索尼措恩

1585

³⁵⁵ ₁₁₃

(A. Anthoniozoon) [荷] 阿·羅芒烏斯

1593 割圓至正2

³⁰

邊形 小數點後 15位

(A. Romanus) [德] 魯道夫

1610 割圓至2

⁶²

邊形 小數點後 35位

(Ludolph van, C.)

1630 格林貝格 小數點後 39位

(Grienberger)

「隋書·律歷志」 中記載祖沖之計算圓周率精確到小數點後第六位

值得一提的是: 魯道夫曾請人將他花費畢生精力算得的 π 值刻在他的墓碑上, 人稱 “魯道 夫數”。

三角學的出現, 使得人們對於圓周率的計算又多了一種方法 — 利用反三角函數。 微積分 發明後, 又將它與級數聯繫到一起, 從而使得圓周率的計算速度大為提高。 π 值計算部分公式及 結果 (用級數方法) 請看下表

^[3]

、

[1]

:

年代 發 現 (明) 者 方 法 及 出 處 結 論

1699 夏普 (A. Sharp)

^π ₄

= 1 −

¹ 3

+

¹ ₅

− · · · 小數點後 71位 1706 馬青 (J. Machin)

^π ₄

= 4 tg

^{−1 1} ₅

− tg

^{−1 1} 239

及上式 小數點後 100位 1719 朗依 (De Lagny)

^π ₄

= 1 −

¹ 3

+

¹ ₅

− · · · 小數點後 112位 1841 W. Rutherford

^π ₄

= 4 tg

^{−1 1} ₅

+ tg

^{−1 1} ₇₀

+ tg

^{−1 1} ₉₉

小數點後 200位

1853 小數點後 400位

1873 尚可斯 (W. Shanks)

^π ₄

= 4 tg

^{−1 1} ₅

− tg

^{−1 1} 239

小數點後 707位 1948 D. F. Ferguson

^π ₄

= 3 tg

^{−1 1} ₄

+ tg

^{−1 1} ₂₀

+ tg

⁻¹ ₁₉₈₅ ¹

小數點後 808位 表中尚可斯的計算裡第 528位有誤, 因而他的正確位數只有 527 位。 又最後一行是電子計

算機問世前, 靠人的手工計算的圓周率最多位數。

電子計算機出現後, 人們在圓周率計算上有了長足進展, 隨著計算機的進步和計算方法的 改善, 人們可以在不很長的時間內, 算出過去靠手工根本無法完成的工作, 儘管取 π 的 40位值 就足以使得銀河系周徑的計算精確到一個質子大小。

下面是這方面工作的部分成果

^[12]

、

[3]

:

花費機時 結果數位

年份 計 算 者 計 算 機 型 號

(小時) (小數點後)

1949 Aberdeen ENIAC – 2037

1959 F. Genuys IBM 704 – 16167

1961 J. W. Wrench IBM 7090 – 100265

1973 Guillarol CDC 7600 – 10

⁷

1986 Bailey Cray-2 2.9 × 10

⁷

1986 [日] 金田康正 HITACHI S-810/20 8 3.3554 × 10

⁷

1987 同上 NEC s×2 36 2

²⁷

(約 10

⁸

)

1988 同上 HITACHI s-820 6 2.01326 × 10

⁸

1989 同上 5.3687 × 10

⁸

1989 [美] 格戈里 (Gregory) 等 IBM 3090 10.1 × 10

⁸

1995 [加] 伯爾溫 (Bulwer) 等 56 42.9 × 10

⁸

1997 [日] 金田康正 37 515.396 × 10

⁸

1999 同上 HITACHI SR8000 37 2061.5843 × 10

⁸

2002 同上 HITACHISR8000/MPP 601 12411 × 10

⁸

二

_.

圓周率的計算公式、 方法

前文已述, 圓周率是一個無限不循環小數, 故無法求其精確值, 因而表示起來多有不便。

第一個想到用字母表示它的是英國人奧托蘭特 (W. Oughtred)。 1737 年他率先用

^π _δ

表 示圓周率 (π 是希臘文圓周的第一個字母, δ 是直徑的第一個字母)。

據傳此前 (1706年) 英國人瓊斯 (W. Jones) 已率先用 π 表示圓周率了, 而後經歐拉 (L.

Euler) 竭力倡舉使得用 π表示圓周率得以廣泛流行、 且沿至今日。

如前所述, 我們已大體知道 π 的計算方法有三種:

(1) 阿基米德及我國劉徽發明的 “割圓法”

^[10]

這裡值得一提的是: 1800年普伐夫 (J. F. Pfaff) 發現, 圓外切與內接正 n 邊形邊數翻倍 時, 它們的邊有著整齊的關係, 如若記 a

n

、 b

n

分別為圓外切與內接正 n 邊形邊長, 則邊數翻倍 時有:

a

_2n

= 2a

n

b

n

a

n

+ b

n

, b

_2n

=√a

n

a

_2n

. 此公式對於割圓法計算 π 來講是重要和方便的。

(2) 微積分中的級數展開 如 tan

⁻¹

x=

Z x 0

dt

1 + t

²

= x −x

³

3 +x

⁵

5 − x

⁷

7 + · · · (取 x = 1) (3) 橢圓積分變換

^[13]

如拉瑪奴揚 (S. A. Ramanujan) 公式 1

π =

√8 9801

∞

X

n=0

(4n)!

(n!)

⁴

·(1103 + 26390n) 396

⁴ⁿ

.

當然還有一些其他非傳統方法, 稍後我們簡單敘及。 下面稍詳開列上述方法中 π 的幾種級 數展式結果, 至於割圓法這兒不再囉嗦。

π 的 幾 個 級 數 表 達 式

年代 發 現 者 π 的 表 達 式

2

π

=

^√ ₂ ²

·

√

2+ √ 2

2

·

q

2+

√

2+ √ 2 2

· · · 1579 韋達 (F. Vi`ete)

1650 瓦里士 (J. Wallis)

^π ₂

=

2·2·4·4·6·6·8····

1·3·3·5·5·7·7····

4

π

= 1 +

¹

²

2+

³²

2+ 52 2+···

1650 布魯斯凱爾 (L. Brouncker)

1671 格列高里 (J. Gregry)

^π ₄

= 1 −

¹ 3

+

¹ ₅

−

¹ 7

+ · · ·

1699 沙普 (A. Sharp)

^π ₆

=

^{√ 1} ₃

(1 −

_3·3 ¹

+

_5·3 ¹

2 −

_7·3 ¹

³ + · · ·) 1676 牛頓 (I. Newton)

^π ₃

= 1 +

_4·3! ¹

+

₄ ^1·3

2 ²

·5!

+

^1·3 ₄

3²

^·5

²

·7!

+ · · ·

1706 馬青 (J. Machin)

^π ₄

= 4(

¹ ₅

−

_3·5 ¹

²+

_5·5 ¹

3−· · ·)−(

₂₃₉ ¹

−

_3·239 ¹

²+

_5·239 ¹

3−· · ·)

π

²

6

= 1 +

₂ ¹

2 +

₃ ¹

2 +

₄ ¹

2 + · · ·

1735 歐拉

^π

⁴

90

= 1 +

₂ ¹

4 +

₃ ¹

4 +

₄ ¹

4 + · · ·

· · · ·

表中的馬青公式還可以依

^π

4

的反正切表達式不同而得到不同的級數表達式; 而歐拉的表 達式則是他通過大膽類比而猜測的 (後人已給出證明)

^[22]

。 即從

sin x =

∞

X

k=0

(−1)

^k

x

^2k+1

(2k + 1)!! = 0 有根 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . 而得出。

順便講一句, 歐拉由於對該式的猜測還悟及到:

ζ(s) =

∞

X

n=1

1

n

^s

=

^Y

p 遍歷質數

(1 − 1

p

^s

)

⁻¹

(s > 1)

進而黎曼 (C. F. B. Rimann) 引入了 ζ(z) =

^{P ∞} _{n=1 n} ¹

z (z 是複數) 即 Rimann 函數且 提出了著名的猜想 (若有機會我們另文介詔)。

這些級數已幫助人們大大地加快了 π 的計算速度。 隨著計算機運速度的提高, 人們也希望 有更好的算法與之配套, 利用某些特殊函數可以做到這一點, 比如拉瑪奴揚的橢圓函數公式, 他 是在 1914年的文章 “模方程和 π 的逼近” 文中給出的, 即我們前文提到過的公式:

1 π =

√8 9801

X ∞

n=0

(4n)!

(n!)

⁴

·(1103 + 26390n) 396

⁴ⁿ

.

1985 年戈斯佩爾 (Gosper) 利用上述公式編出程序將 π 算至小數點後 1700 萬位。

當然, π 有時也可展開成另外某些連分數形式, 比如 (為的是下面的應用):

π= 3 + 1 7 +

1 15 +

1 1 +

1 292 +

1 1 +

1 1 +· · · 它的漸近分數依次為,

3 1, 22

7 , 333 106, 355

113, 103993

33102 , 104348 33215 , . . . (請注意

²² ₇

,

³⁵⁵ ₁₁₃

的最佳漸近性, 它們分別稱“約率”和“密率”自有道理)

在電子計算機發明以前, 計算 π 值是一項十分艱辛的工作, 因而人們還試圖尋找計算 π 的 其他途徑 (看上去似乎 “離經背道”, 其實則是另闢蹊徑, 哪怕只是近似計算), 我們僅舉幾類以 示代表。

1. 布豐 (G. L. L. Buffon) 投針法 (蒙特卡羅法)

^[14]

18 世紀末法國數學家布豐對概率論在博奕遊戲中的應用感興趣, 於 1777 年提出 (他是在 1773 年發現的) 隨機投針的機 (概) 率與 π 之間的關係 (以題為 “或然性的算術嚐試” 發表):

平面上作距離為 2a 的一組平行線, 然後隨機地向上面擲一顆長度為 2l 的針 (或細鐵絲)。

針落下後有兩種情形發生: 或著針與平行線中的某條相交, 或者與任何平行線皆不相交。

記下投針總次數 N 與針和平行線相交的次數 n, 則 π ≈

^2lN _an

。

它的道理我們簡述如下:

設針長為 2l, 且 M 為其中點, 又 y 為 M 至其最近平行線的距離, 且 ϕ 為針與平行線的 夾角。 這樣:

0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ π.

顯然, 針與平行線相交 ⇐⇒ y ≤ l sin ϕ。

...

.. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . . . .. . .. .. ... . .. . .. .. .. . .. ..

...

.

... ..

.. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .

.

... .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . . .. .. . .. .. .. . . .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . .. . .

x y

O 2a

l M l

y ϕ

這樣, 針與平行線相交的概率 p= 1

πa

Z π 0

dϕ

Z l sin ϕ

0

dy

= 1 πa

Z π

0

lsin ϕdϕ

= 2l πa.

由於 π =

_ap ^2l

=

^2l _a

·

¹ p

, 又 p ≈

N ⁿ

, 則 π ≈

^2l a

·

^N n

。 下表給出歷史上四人通過投針得到 π 的近似值情況:

年份 試驗者 a l N n π 值

1853 Wolf 45 36 5000 2532 3.1596 1855 Smith – – 3204 1015 3.1535 1894 Fox – – 1121 357 3.1419 1911 Lazzarini 3 25 3408 1808 3.1415929

順便一提: 此方法後來發展成為一種風格獨具的數值計算方法—Monte Carlo 法 (又稱 隨機試驗法), 它既能求解確定型問題, 又能求解隨機型問題。 隨著電子計算機的進步, 該方法在 計算數學中的地位越來越重要。 至於投針終止次數 N 的選擇, 勢必影響著 π 值的精度, 由此 引發一門新的學科分支 — 最優停止論的出現。

2. Gauss 的格點法

^[15]

為了近似計算 π 的值, 高斯 (C. F. Gauss) 創 造了格點法: 在半徑為 r 的圓中數出其中所含的格點 數 f (r), 這裡圓心位於某一格點處, r 為一整數, 從 面積關係可以推得 π 值滿足 f (r) ≈ πr

²

。 比如我們 若得到下表數據 (這兒以格點右下角位於圓內算):

r 10 20 30 100 200 300 · · · f(r) 317 1257 2821 31417 125629 282697 · · ·

因高斯推得 |

^f r ^(r)

² − π| <

^{4 √} r ^2π

, 故 lim

_r→∞

|

^f(r) r

² − π| = 0, 即 lim

r→∞ f(r) r

² = π。

故由上表數據我們可有下面諸個 π 的近似值

r 10 20 30 100 200 300 · · ·

f(r)

r

² ≈ π 3.17 3.1425 3.134 3.1417 3.140725 3.14107 · · · 上表最後一數已精確至 π 的小數點後第 3位。

3. 由星際分佈觀測推算 π

1995年英國 「自然」 雜誌4月號上刊載了伯明翰阿斯頓大學計算機科學和應用數學系的羅 伯特 ·馬修斯 (R. Matthews) 提出利用夜空中亮星分佈的觀測推算 π 的值。 其理論基礎是: 任 取兩個自然數, 其互質的概率是

_π ⁶

2。

他挑選了夜空中 100 個最亮的星, 然後分別計算每對之間的角距。 他檢查了其中 100 萬對 因子, 從中獲得的 π 值約為 3.12772, 其誤差沒有超過 0.005。

當然人們還可以用許多其他方法計算 π 值, 比如利用 Euler 函數 ϕ(n) (小於 n 且與 n 互質的整數個數) 等, 這兒不再贅述 (看上去似乎是捨近求遠, 然而不失為一種方法)。

三 . π 的數字特徵

圓周率值 π 是一個奇妙的數字, 特別是當人們借用電子計算機將它的值算至成百上千億 位後, 更是從中發現了許多奧妙。 先來看個小例子

^[3]

。

π 的前六位數字3.14159... 中, 314159本身是一個質數, 不僅如此, 請注意:

31 + 41 + 59 = 131 是一個質數;

31

²

+ 41

²

+ 59

²

= 304091 也是一個質數;

314159的逆序數 951413還是一個質數。

我們再來看看 π 中的其他數字現象。

首先看重覆數字的出現的情況: π 的小數點後 710150位後連續出現七個 3, 而在 3204765 位後又連續出現七個 3。

從 24658601位開始連續出現九個 7, 此外還有連續出現九個 8、 九個 9等數字現象。

在 π 的小數點後 995998 位開始出現數字 23456789 這種除 1 之外的全部數碼的有序 排列; 而在 2747956 位起出現 876543210 這種數碼的倒序; 同時在 26160634 位開始出現 2109876543, 它恰好是十個數碼的有序排列 (稍有打亂)。

在 π 的小數點後一千萬位中, 數碼 314159 至少出現 6 次; 3141592 出現 5 次; 31415926 只出現兩次。

從 3開始 π 的連續數字中至某一位恰好是質數的, 人們至少發現4個, 它們分別是: 3、 31、

314159 和 31415926535897932384626433832795028841。

反序中的質數則更多 (從 3 至某數位全部數字的反序) 比如: 3、 13、 51413、 951413、

2951413、 53562951413、...

從 52638位起連續出現 14142135這八個數字, 它恰好是√

2 的前八位數字。

又 π 的小數點後一、 三、 七位數字和分別是:

1, 6(= 1 + 4 + 1), 28(= 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2 + 6),

它們恰好是三個完全數 (你還可以看到: 1 = 1, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 3 + · · · + 7, 即 它們都是三角形數)。

美國人哈肯 (W. Haken) 曾猜測 (至今未獲證):

π 的前 n 位數字組成的數: 3、 31、 314、 3141、 31415、... 中不會有完全平方數。

此外, 對於 π 的展式中十個數碼出現的多寡等問題, 法國人讓·蓋尤 (M. J. Guilloud) 統 計了 π 的前 100萬位數字中十個數碼出現的頻率, 得出的結論是大致相同 (見表):

數 碼

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

出現次數與平均值的差異

−41 −242 +26 +229 +230 +259 −452 −200 −15 +106

這個問題又稱數字正則問題

^[13]

, 即 π 的展式中十個數字出現的極限頻率是否均勻 (即皆 為

¹

10

), 且任意長度為 n 的數字串出現的極限頻率是否皆為 10

⁻ⁿ

?

然而這一點人們尚不詳 (由此它影響 π 的展開數字能否當作為隨機數使用)。

對於 π 中數字也還可從趣味角度去探索, 比如有人研究了 π 的前 32 位數字出現的有趣數 字現象

^[1]

、

[25]

, 將其中的某些數字框、 圈後:

3. 1

. ...

4

...

1

...

5

...

9

. ...

26 5

. ...

3

...

5

...

89^{........................................}

.. . .. .. . .. .. .. . ... ... . .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

79

. ...

32

. ...

38

...

46

...

26 43

. ...

38

...

32

...

79

. ...

50

. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .

.. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. ...

對應

和為

89

.. .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .

...

.. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .

...

數字和為

₅₀

.. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .

...

對稱

對應

.. .. .. . .. . .. . .. .. .. . .. .. . .

...

.. . .. . .. .. .. . .. . .

... . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .

仔細觀察可以發現: 此 32 個數字中有兩個 26, 以第二個 26 為中心前後有三對對稱數字:

79、 32、 38 分佈其兩旁; 且其前後兩個兩位數之和為 89, 它恰好是 32 個數字中前 13 個數字中 的末兩個組成的數。

前 13 個數字以 26 為中心, 前後五數總和為 50, 它恰好為此 32 個數字中末兩位數字組成的 兩位數 50 對應。

此外前面所述三對數 79、 32、 38的諸數字和恰好為 32。 類似的問題不多講了。

四 . π 與 e 及其他

π 在數學乃至整個自然科學中, 皆有重要應用, 人們在研究、 計算、 應用的同時, 也順便發 現了它的某些有趣特性以及它與其它重要常數間的關聯。

用 0、 1、 2、...、 8、 9這十個數字 (每個皆要用, 且僅用一次) 組成一個分式去表示 π 值, 其 中近似程度最高的是:

97468

31025 = 3.1415954875...

它的精度已達小數點後 5位 (當然還有其他表達式, 如

³⁷⁸⁶⁹ ₁₂₀₅₄

、

⁷⁶⁵⁹¹

24380

、....、 但精確度不如上式)。

一位美國名叫舒伯特 (G. Shombert) 的學者認為: 在 π 的展開式中必然會出現自然對數 底 e = 2.718... 的前 n 位數字, 且與 3.141... 交替出現, 即有

3.141 · · · 2718 · · · 3141 · · · 2718 · · ·

然而這只是猜測而已。 可加拿大渥太華的一位化學家杜格伯格 (R. G. Dugglebg) 發現:

π

⁴

+ π

⁵

≈ e

⁶

,

請注意 π

⁴

+ π

⁵

≈ 403.42877..., 而 e

⁶

≈ 403.42879..., 它們之間相差不到0.00005。 當 然它們之間更縝細的關係早在兩百多年前已由歐拉給出:

e

^iπ

+ 1 = 0 或 e

^iπ

= −1.

此外也有人從 π 和 e 的展式中尋找數字規律, 且發現: 它們在第 13、 17、 18、 21、 34、...

等數位上的數碼相同:

. .. . . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .

數位

常數 1 2 3 4 5 · · · 13 · · · 17 18 · · · 21 · · · 34 · · · π 3 1 4 1 5 · · · 9 · · · 2 3 · · · 6 · · · 2 · · · e 2 7 1 8 2 · · · 9 · · · 2 3 · · · 6 · · · 2 · · · 他甚至猜測: π 和 e 展式數碼平均每 10位將會有一次重迭。 這一猜想至今尚未獲證

^[21]

。

π 的奇特的數字現象及它與某些數學結論的聯繫, 有些事出偶然, 有些則蘊含著極為深刻 的數學背景, 或許目前我們還不曾認識 (其實公式 e

^iπ

+ 1 = 0 已對上述現象作了詮釋, 只是人 們尚未完全 “解讀” 它), 這一點亦可見 [23]。

比如, 1800 年德國數學家高斯發現: 若記 R(z) 為自然數 z 表成兩整數平方和的方式數, 則 lim

_z→∞ ^R(z) _z

= π。 此即說: 從平均意義上講, 非負整數表成兩整數平方和的方法 (種類) 數 的數學期望值是 π。 這裡面奧秘人們尚不知曉。

數學公式中與 π 有關的比比皆是, 比如:

計算階乘估計的斯特林 (Stirling) 公式: n! ∼ √

2nπ(

ⁿ _e

)

ⁿ

, 概率中計算正態分佈的概率 公式: P (x) =

^{√ 1}

2π

R _∞

x

e

⁻

^t22 dt 等等。

五 . π 的超越性

人們很早就認識到 π 的十進制小數展開式無限且不循環性, 然而真的確切證明這一點卻 是晚近的事情 (其實, 這一點亦可從割圓方法求圓周率中看出)。

1771 年萊伯特 (Lambert) 第一個給出 π 的無理性的嚴格證明。

而後法國數學家勒讓德 (A. M. Legenolre) 在考慮無理數分類時, 率先提出超越數概念。

1844 年, 柳維爾 (J. Liouville) 指出: 代數無理數不能用有理數 “很好地” 逼近, 也隱約 地指出了超越數的存在。 他證明了 (這是 Roth 於 1995年改進的結論):

若 α 是代數無理數, 則對於任意固定的 k > 2, 不等式 |α −

^p _q

| < q

^−k

只有有限個有理 數解

^p _q

, 其中 q > 0, 且 p, q 互質。

其實當康托 (G. Cantor) 證明了代數數 “可數” 時, 已確定超越數存在, 且知超越比代數 數 “多得多”。

1873 年厄爾米特 (C. Hermite) 證明了 e 的超越性。

1882 年林德曼 (C. L. F. Lindemann) 證明了 π 的超越性

^[21]

。

這一點亦可在證得 e 的超越性後簡單說明說明如次。 首先我們可以證明: 若 x

₁

, x

2

, . . ., x

n

是不同的代數數 (實或複的), 又 p

₁

, p

2

, . . . , p

n

是不全為零的代數數, 則

p

1

e

^x

¹ + p

2

e

^x

² + · · · + p

ⁿ

e

^x

ⁿ 6= 0,

今取 n = 2, p

1

= 1, x

2

= 0, 有 e

^x

¹+ p

2

6= 0。 故知當 x

¹

是非零代數數時, e

^x

¹ 不是代 數數 (顯然 x

1

= 1 時, e

¹

= e 不是代數數)。

又由 Euler 公式 e

^iπ

= −1, 即 e

^iπ

+ 1 = 0, 知 e

^iπ

是代數數 (值為 −1)。 而由上 x

¹

是 非零代數數時, e

^x

¹ 不是代數數, 從而 iπ 不是代數數 (且非零)。

又 i 是代數數, π 則不是代數數, 否則它們的積是代數數。 從而 π 是超越數。

由於 π 的超越性證明, 使得尺規作圖三大難題之一, “化圓為方” 問題得以否定解決。

由上我們已經看出: 由計算圓周率而引發的 π 的計算、 研究等問題, 已不單單是幾何計算 的課題, 它牽動著數學的許多分支與學科, 比如函數論、 計算方法、 計算機科學、 天體物理學等 的研究, π 的涵義早已遠遠超越了它自身! “圓周率值是構成萬物的基礎” 也許並不誇張!

參考文獻

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22. G. Polya (李心傑等譯), 數學與猜想, 科學出版社, 1984。

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25. 馬丁 · 加德納 (談祥柏譯), 矩陣博士的魔法數, 上海科技教育出版社, 2001。

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本文作者吳振奎任教於中國天津商學院

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