圓心角 1.圓心角的定義:在圓 O 中，任意兩半徑

65 

O 

A 

B 

A  B 

O 60 

圓心角

1.圓心角的定義:在圓 O 中，任意兩半徑 OA 和 OB ，形成一個角∠AOB，叫圓心角 通常 AB 是指∠AOB 所對的劣弧，而優弧則以 ACB 表示。

※註：大於半圓的弧叫做優弧；小於半圓的弧叫做劣弧。

2.圓心角的度數等於所對劣弧的度數，如圖，∠AOB＝AB 的度數＝60 ⁰ 

【範例】 A、B 兩點把圓 O 分成大小兩弧。大弧的度數等於小弧度數的 4 倍少 40 ⁰ ，求 

AOB

Ð

【解答】設小弧為 X ⁰ ，則大弧為(4X－40) ⁰ ，於是 X＋(4X－40)＝360

5X＝400 X＝80

∴小弧為 80 ⁰ 。

∵ 

Ð AOB

∴ 

Ð AOB

弧長：符號

AB

若 360 ⁰ 是圓周所對應的圓心角，則圓心角 x ⁰ 對應的弧長＝ 

^x

360 

A  B 

O  C

66 

30 

O  r 

A  B 

30 ⁰ 

O 

A  B 

1  1 

C  D 

【範例】一圓的半徑是 5 公分，它的一個圓心角是 60 ⁰ ，求這圓心角所對弧的長。

【解答】

∵圓的半徑是 5 公分， ∴圓周長＝5×2

p

p

∵圓心角是 60 ⁰ ，∴其弧長＝10

p

360 

60 

3  5

（公分）

【範例】一圓的半徑是 r 公分，它的一個圓心角是 30 ⁰ ，求這圓心角所對弧的長

【解答】 

AOB Ð

0 

360 

30  ×2

p

＝ 

6

當 r 為 1 時，AB 的度數＝ 

6

p （＝30 ⁰ ） 所以我們可知道

p

圓心角與弧長的關係

當兩個圓的圓心重疊為同心圓時，他們的圓心角相等，但弧長未必相等。

【已知】∠AOB＝30 ⁰ 

【求證】AB ¹ CD

【證明】

Q ∠AOB＝30 ⁰

\ AB 弧長＝  ₀ 

0 

360 

30  ×2

p

＝ 

6

p （r＝1）

CD 弧長＝  ₀ 

0 

360 

30  ×2

p

＝ 

6

p ×2 （r＝2）

AB 度數＝30 ⁰ ＝ 

6

CD 度數＝30 ⁰ ＝ 

6

Þ AB 度數＝CD 度數，但 AB 弧長 ¹ CD 弧長

67 

O  D  C 

A 

B 

圓心角與弧弦的對應關係

如果兩圓心角相等，則它們所對的弧長相等，所對的弦也相等

【已知】∠AOB＝∠COD。

【求證】 AB ＝ CD ，AB＝CD

【證明】

（1）在△AOB 和△COD 中，

∵∠AOB＝∠COD， OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，

∴△AOB @ △COD(SAS)，∴ AB ＝ CD 。

（2）∠AOB＝AB＝∠COD＝CD

如果兩圓心角不等，則較大圓心角所對的弦長也較大

【已知】 ：∠AOB＞∠COD。

【求證】 ： AB ＞ CD ，AB＞CD

【證明】 ：

（1）在△AOB 與△COD 中，

∵ OA ＝ OC ， OB ＝ OD ，

∠AOB＞∠COD，

∴ AB ＞ CD 。 （樞杻定理）

（2）∠AOB＝AB＞∠COD＝CD 

O  C  D 

A 

B

68 

【範例一】 【練習一】

一弦把圓周分成兩弧，其中一弧的度數，是 另一弧度數的三倍，求此弦所對的圓心角度 數。

解答：設小弧的度數為 x ⁰ ，則另一弧的度數 為 3 x ⁰ 

∴x＋3x＝360 ⁰  4x＝360 ⁰  x＝90 ⁰ 

AB 、 CD 、 EF 皆為直徑，AC＝2 x ⁰ ， CE＝4 x ⁰ ，EB＝3 x ⁰ ，求 x 及 Ð 4 和 Ð 6。

解答： AB 為直徑

∴2x＋4x＋3x＝180 9x＝180，x＝20

Ð 4＝ Ð 1＝2×20 ⁰ ＝40 ⁰ Ð 6＝ Ð 3＝3×20 ⁰ ＝60 ⁰ 

【範例二】 【練習二】

圓 O 的半徑為 5 公分， Ð AOB＝2 x ⁰ ， Ð BOC

＝3 x ⁰ ， Ð COD＝x ⁰ ， Ð DOA＝4 x ⁰ ，求 x 及 BC 的長。

解答：2x＋3x＋x＋4x＝360 ⁰  10x＝360 ⁰  ∴x＝36 ⁰ Ð BOC＝3×36 ⁰ ＝108 ⁰  BC 的長＝ 

360 

108 

p

＝3

p

兩同心圓的半徑分別為 5 公分及 12 公分，設 AB 的長是 4

p

解答：設 Ð AOB＝x ⁰  4

p

360 

x 

p

360 

60 

p

＝ 

3 

5 p

【範例三】 【練習三】

試證垂直於弦的直徑，必平分此弦所對的弧 與圓心角。

試證連接圓心與弧中點的直線，必垂直平分 此弧所對的弦。 

x  3x 

O  1  2 3 

5  4  6  A 

B  C 

D  E 

F 

A  C  O 

D 

B 

A 

O 

C  D 

B 

A  B 

D 

O  E 

A  B 

O 

M 

A  B  1 2 

O 

M

69 

已知： CD 是圓 O 的直徑  AB 是圓 O 的弦  CD

^ 

求證：AC＝BC， Ð AOC＝ Ð BOC 證明：在△AOE 與

D

∵ Ð AEO＝ Ð BEO＝90 ⁰  OA ＝ OB ， OE ＝ OE 

∴△AOE @ △BOE(RHS) 故 Ð AOC＝ Ð BOC

Þ AC＝BC（等圓心角對等弧）

已知：圓 O 中，M 為 AB 的中點 求證： OM 垂直平分 AB 

證明：(1)作 OA 、 OB  則 OA ＝ OB

Þ

D

又∵△AOB 為等腰三角形

∴ OM 垂直平分 AB 

【範例四】 【練習四】 

AB 是圓 O 的直徑，R 是 AC 的中點，Q 是 BC 的中點。

試證： OR

^ OQ 

(2) ∵R 是 AC 的中點，

Q 是 BC 的中點

∴ Ð ROQ＝ Ð 1＋ Ð 2

＝RC＋QC＝ 

2  1 

2  1 

＝ 

2 

1 

＝ 

2 

1 

＝90 ⁰  故 OR

^ OQ 

AB、CD 是圓 O 上的兩弧，AB＝CD

試證： Ð AOC＝ Ð BOD 證明：∵AB＝CD

∴AB＋BC＝CD＋BC Þ ABC＝BCD 故 Ð AOC＝ Ð BOD

【範例五】 【練習五】 

AB 為圓 O 之弦， AC ＝ CD ＝ DB  試證：(1) Ð AOC＝ Ð BOD

(2) Ð COD＞ Ð AOC (3)AE＝BF＜EF

如圖，AE＝BF＝EF 

A  B 

C  R 

Q  1  2

O 

A  B 

C  R 

Q 

O 

A  B 

C 

O  D 

O 

A  C  D  B 

E  F

70  O 

A 

B  C  D 

E 

F  1  G 

證明：(1)∵ OA ＝ OB 

∴ Ð OAC＝ Ð OBC 又∵ AC ＝ BD 

∴△OAC @ △OBD(SAS)

∴ Ð AOC＝ Ð BOD (2)取 AO 的中點 G，作 CG 

∵ AC ＝ CD 

∴ CG // OD 且 CG ＝ 

2  1 

∵ AO ＝ OF ＞ OD 

∴ 

2 

1 

2 

1 

Þ Ð 1＞ Ð AOC

又 Ð COD＝ Ð 1（∵ CG // OD ）

∴ Ð COD＞ Ð AOC

(3)∵ Ð AOC＝ Ð BOD ∴AE＝BF 又∵ Ð AOC＜ Ð COD

∴AE＜EF 故 AE＝BF＜EF

試證： CD ＜ AC ＝ DB 

證明：(1)在△AOC 與△BOD 中

∵AE＝BF

∴ Ð 1＝ Ð 3（等弧對等圓心角）

∵ OA ＝ OB 

∴ Ð OAC＝ Ð OBD

∴△AOC @ △BOD(ASA)

Þ  AC ＝ DB ………（i）

(2)作 CF ，在△OAC 與△OFC 中

∵ OA ＝ OF ， OC ＝ OC ， Ð 1＝ Ð 2（等弧對等圓心角）

∴△OAC @ △OFC(SAS)

故 Ð OAC＝ Ð OFC（對應角相等） 

AC ＝ CF （對應邊相等）

(3)在△AOD 中，

Ð FDC＞ Ð OAC（三角形外角定理）

∴ Ð FDC＞ Ð OFC

Þ CF ＞ CD （大角對大邊）

即 AC ＞ CD …………（ii）

(4)由（i） 、 （ii）知  CD ＜ AC ＝ DB 

O  A 

B  C  D 

E 

F 

O 

A  C  D  B 

E  F 

1 2 3

71 

圓周角的定義

交點在圓周上的相交兩弦，其所形成的角叫做圓周角，如下圖， PA 、 PB 是圓 O 中的兩 弦，相交於圓周上一點 P，∠APB 就是圓周角，AB 是它所對的弧。

有關圓周角的性質

1.圓周角的度數＝所對弧度數的一半 (1)圓心在圓周角的邉上。

【證明】∵ OP ＝ OB  ∴∠1＝∠3＝ 

¹  2 

∠2＝AB（∠2 是圓心角）∴∠1＝ 

¹ 

2 

¹  2 

【證明】作直徑 PC  ∵∠1＝ 

¹ 

2 

¹  2 

∴∠APB＝∠1＋∠2＝ 

¹ 

2 

¹  2 

＝ 

¹ 

2 

¹  2 

(3)圓周角的一邊不是直徑,且圓心在圓周角的外部。

【證明】作直徑 PC  ∵∠1＝ 

¹ 

2 

¹  2 

∴∠APB＝∠2－∠1＝ 

¹ 

2 

¹  2 

＝ 

¹ 

2 

¹  2 

A 

P  O  B 

A  P 

B 

O 

1  3 

2  A 

P  O 

B 

1  2  O 

A  P 

B 

C 

A  B 

P  O  C 

2  1

72 

O 

A  P 

C 

B 

2.圓形中，直徑所對的圓周角必是直角。

【已知】圓 O 中， AB 是直徑。

【求證】∠APB＝90 ⁰ 

【證明】∵ AB 是直徑 ∴AB＝180 ⁰ 

∠APB＝ 

¹ 

2 

¹ 

2 

弦切角

1.弦切角的定義：一切線與過切點的弦所形成的角叫做弦切角。

如下圖，弦 AB 與過 A 點的切線 AP 所形成的角，

則∠PAB 叫做圓 O 的弦切角。

2.弦切角的性質：弦切角的度數等於其兩邊所夾弧度數的一半。

【已知】若 PA 切圓 O 於 A， 

Ð PAB

【試證】∠PAB＝ 

2  1 

【證明】 過 A 點作直徑 AC 。

∵∠PAC＝90 ⁰ ＝ 

2 

1 

2  1 

∴∠PAB＝ 

Ð PAC

Ð BAC

＝ 

2 

1 

2  1 

＝ 

2 

1 

＝ 

2  1 

A 

B  P 

O 

A 

O  B 

P

73 

C  B 

D  P 

1  2 

圓內角

1.圓內角的定義：交點在圓內的兩弦，其所形成的角叫做圓內角。

如右圖，兩弦 AB 和 CD 相交圓內一點 P，則∠APC 叫做圓內角。

2.圓內角的性質：圓內角的度數，等於此角及其對頂角所對兩弧度數和的一半。

【已知】 ： AB 、 CD 兩弦相交於圓內一點 P。

【求證】 ：∠APC＝ 

2 

1 

2 

1 

【證明】 ：(1)連接 AD 。

(2)∵∠APC 是△APD 的一個外角，

∴∠APC＝ 

Ð 1

Ð 2

Ð 1

Ð 2

∴ 

Ð 1

2 

1 

Ð 2

2  1 

∠APC＝ 

Ð 1

Ð 2

＝ 

2  1 

2  1 

＝ 

2 

1 

∠APD＝ 

2 

1 

A  C  B 

D  P

74 

O  A 

B 

C 

D 

P 

圓外角

1.圓外角的定義：兩割線相交於圓外，其所形成的夾角叫做外角。

如右圖，直線 AB suur

和直線 CD suur

相交於圓外一點 P，

則∠APC 叫做圓外角。

2.圓外角的性質：圓外角的度數等於其所夾大弧與小弧度數差的一半。

【已知】直線 AB 與 CD 相交於圓 O 外一點 P，AC＞BD

【求證】∠APC＝ 

2 

1 

【證明】(1)連接 BC 。

(2) ∵∠ABC 為△BCP 的外角，

∴∠ABC＝∠APC＋∠BCP 即∠APC＝∠ABC－∠BCP (3) ∵∠ABC＝ 

2 

1 

2  1 

∴∠APC＝ 

2  1 

2  1 

2 

1 

A 

B 

C 

D 

P  O

75 

O 

A  P 

B 

Q 

110 ⁰ 

A 

B 

C 

D 

P  A 

B  C 

D  E 

有關圓周角與弦切角的計算

【範例】如右圖，∠AOB＝110 ⁰ ，則：

（1）∠AQB 為多少度?

（2）∠APB 為多少度?

【解】

（1）∠AQB＝ 

¹ 

2 

（2）∠APB＝ 

¹ 

2 

¹ 

2 

【範例】如右圖，AB＝160 ⁰ ， AP 為切線，則：

（1）∠BDA 為多少度?

（2）∠PAB 為多少度?

【解】

（1）∠BDA＝ 

¹ 

2 

（2）∠PAB＝ 

¹ 

2 

【範例】AC＝80 ⁰ ，BD＝60 ⁰ ，求 Ð AEC 的度數。

【解】

Ð AEC＝ 

2 

1 

＝ 

2 

1 

【範例】AB＝60 ⁰ ，CD＝20 ⁰ ，求 Ð P 的度數。

【解】

Ð P ＝ 

2 

1 

＝ 

2 

1 

A 

O  B 

P 

D

76 

圓外切四邊形

1.切線性質：過圓外一點 P 所作的兩條切線等長，而且 OP 平分此兩條切線的夾角。

【已知】 PA 與 PB 為圓 O 的兩切線，A、B 為切點，

【試證】 PA ＝ PB ，∠APO＝∠BPO。

【證明】(1)連接 OA 、 OB 。 (2)在△APO 與△BPO 中，

∵ OP ＝ OP ， OA ＝ OB ，∠OAP＝∠OBP＝90 ⁰ ，

∴△APO @ △BPO(RHS)，

∴ PA ＝ PB ，∠APO＝∠BPO。

2.圓外切四邊形的性質：圓外切四邊形的對邊長之和相等。

【已知】四邊形 ABCD 的四邊分別與圓相切

【試證】 AB ＋ CD ＝ AD ＋ BC 

O 

A 

B 

P 

A 

B  C 

D  S 

P 

Q 

R

77 

【證明】設 ABCD 分別與圓 O 相切於 P、Q、R、S 四點。

∵ AP ＝ AS ， BP ＝

BQ

CQ

∴ AP ＋ BP ＋ CR ＋ DR ＝ AS ＋

BQ

CQ

【範例】如右圖，ABCD 為一等腰梯形，  D A  // BC ，  AB ＝ CD ， AD ＝8， BC ＝18，若一圓 O

與它的四邊相切，則：

（1） AB 為多少?

（2）梯形 ABCD 的面積為多少?

【解】

（1） 梯形 ABCD 為圓外切四邊形，設 AB ＝ CD ＝X

∴ AB ＋ CD ＝ AD ＋ BC Þ 2X＝8＋18

Þ X＝13＝ AB 

（2） 分別過 A、D 兩點作  EA ^ BC 、 DF^ BC

∵ BE ＝ CF ＝ 

^18­8  2 

13 ­5 

∴梯形 ABCD 的面積

＝ 

^{(8+18) 12}  2

´

＝156 

A 

B  C 

D 

O 

A 

B  C 

D 

E  F 

O

78 

【範例一】 【練習一】

AC＝80 ⁰ ， Ð AED＝120 ⁰ ，求 BD 的度數。

解答： Ð AEC＝180 ⁰ －120 ⁰ ＝60 ⁰ 

2 

1 

AB＝60 ⁰ ， Ð P＝20 ⁰ ，求 CD 的度數。

解答： 

2 

1 

【範例二】 【練習二】

如圖， AB 、 CD 與圓 O 相交，且 AC＝BD。

試證： AB // CD 。

證明：(1)作 BC  (2)∵AC＝BD

∴ Ð 1＝ Ð 2（等弧對等圓周角）

故 AB // CD 

如圖，直線 AB、CD 與圓 O 相交， AB // CD 。 試證： Ð 1＝ Ð 2，AC＝BD

證明：∵ AB // CD 

∴ Ð 1＝ Ð 2（內錯角相等）

Þ AC＝BD（等圓周角對等弧） 

A 

B  C 

D  E 

120 ⁰ 

A 

B 

C 

D 

P 

A  B 

C  D 

O 

A  B 

C  D 

O  1  2 

A  B 

C  D 

O  1  2

79 

A 

B  C 

E  D 

1  3  2 

4 

【範例三】 【練習三】

在圓 O 中， AC // DE ， DE 和 BC 為直徑，

AC 的度數為 80 ⁰ ；求 Ð 1、Ð 2、Ð 3、Ð 4 的 度數。

解答： Ð 1＝ 

2  1 

2 

1 

∵ BC 是直徑 ∴ Ð 2＝90 ⁰ Þ Ð 3＝180 ⁰ － Ð 1－ Ð 2

＝180 ⁰ ─40 ⁰ ─90 ⁰ ＝50 ⁰ 

∵ AC // DE 

∴ Ð 4＝180 ⁰ － Ð 3＝180 ⁰ －50 ⁰ 

＝130 ⁰ 

如圖，在圓 O 中，AB＜CD。

試證： Ð AFC＜ Ð BED

證明：∵AB＜CD

∴AB＋BC＜CD＋BC Þ 2 Ð AFC＜2 Ð BED 故 Ð AFC＜ Ð BED

【範例四】 【練習四】

如圖， AD 為圓周角 Ð BAC 的平分線， AB 、  DE 為兩弦且 AB // DE 。

試證： DE ＝ AC 

證明：(1)∵ AD 為 Ð BAC 的平分線

∴BD＝CD

如圖， Ð DEC＝70 ⁰ ，CD－AB＝20 ⁰ ，求 Ð DAC 的度數。

解答：∵ 

2 

1 

∴CD＋AB＝140 ⁰ ………（i）

又∵CD－AB＝20 ⁰ ………（ii）

（i）＋（ii）得 2CD＝160 ⁰ 

O  A 

B  C 

D  F  E 

A 

B  D 

C 

E  A 

B 

D 

E  C  70 ⁰

80 

(2)∵ AB // DE 

∴BD＝AE（平行弦截等弧）

(3)由(1)、(2)得 CD＝AE

Þ CD＋CE＝AE＋CE Þ DCE＝AEC

故 DE ＝ AC （等弧對等弦）

Þ CD＝80 ⁰ 

∴ Ð DAC＝ 

2  1 

2 

1 

【範例五】 【練習五】 

AB 為圓的直徑， AP 為切線， Ð PAC＝60 ⁰ ， 求 Ð BAC 及 Ð CDA 的度數。

解答：(1) ∵ AB 為直徑  AP 為切線

∴ BA

^ 

Þ Ð BAC＝90 ⁰ － Ð PAC

＝90 ⁰ －60 ⁰ ＝30 ⁰  (2) Ð CDA＝ 

2  1 

＝ Ð PAC（弦切角性質）

＝60 ⁰ 

如圖，PA 切圓 O 於 A，Ð P＝45 ⁰ ，AC＝50 ⁰ ， 求 AB 的度數。

解答：∵ Ð P＝ 

2 

1 

∴45 ⁰ ＝ 

2 

1 

AB＝140 ⁰ 

A  P 

B 

C  D 

A 

C  B 

P  O