無尺作圖

無尺作圖

朱 哲

1. 從尺規作圖到無尺作圖

從西元前三世紀歐幾理得 「原本」 誕生, 直到十八世紀, 歐氏幾何在幾何領域一直是一統 天下。 但 「原本」 研究的只是用圓規和直尺畫出的圖形。 在尺規作圖中, 利用直尺和圓規可以完 成下列操作:

第一條操作, 過兩點作一直線;

第二條操作, 已知圓心和半徑作一圓;

第三條操作, 作直線與直線、 直線與圓、 圓與圓的交點 (若交點存在)。

如果我們作以下約定:

1. 平面中兩點 A, B 可表示直線 (線段)AB 或射線 AB(BA);

2. 平面中不在同一直線上的三點 A, B, C 可表示 ∆ABC 或^∠ABC(^∠ACB,^∠CAB);

3. AB 上取一點 C 指若聯接 AB 時, 點 C 在直線 (線段) AB 上;

4. AB 與 CD 相交於 E 指若分別聯接 A 和 B, 以及 C 和 D 時, E 為兩直線 (線段) 的 交點;

5. AB 與圓 (弧) ω 交於 C 指若聯接 AB 時, AB 與 ω 交於點 C。

那麼, 尺規作圖中的第一條操作可以取消; 第二條操作不變; 對於第三條操作, 只要找出兩 線交點與圓線交點的無尺作法, 我們即可得出結論: 凡是用圓規和直尺能完成的歐氏幾何作圖 問題, 都能只用圓規完成 (即無尺作圖)。 而這個過程是可以完成的。 事實上, 無尺作圖的實現方 法通常是將尺規作圖的問題及其作法, “翻譯”成只用圓規作圖的問題及其作法: 根據約定, 將 問題中條件“翻譯”成不用直尺作圖的條件; 保留作法中不涉及直尺的部分; 將作法中涉及直尺 的部分, 用相應的替代操作, “翻譯”成不用直尺的操作。

1797 年義大利人馬薛勞尼 (Mascheroni ) 出版了 「圓規的幾何」 一書, 在書中他說明只 用圓規就可以作出一切能用圓規和直尺作出的點。 無需直尺而又不納入任何新的操作就可以作 圖這一驚人的結論曾使馬薛勞尼名躁一時, 但到 1927 年, 人們發現這件事在歐克裏德斯 「Dan- icus」 一書中由莫爾 (D. G. Mohr) 於 1672 年指出過。^[1] 他們的方法我們不得而知。 不過, 文

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在探討兩線交點和圓線交點的無尺作法之前, 我們先來看等腰梯形的一個性質。

圖1 在圖 1 中, 四邊形 ABCD 是等腰梯形, AD =

a, AB= b, BD = c, CD = d。 過 D 作 AB 邊上的 高 DE, 則在 ∆BDE 中, DE² = BD²− BE² = c² − ^b − ^b−d₂ ^2 = c² −^b+d₂ ^2; 在 ∆ADE 中, DE² = AD² − AE² = a² − ^b−d₂ ^2。 則 c² −

_b

+d 2

2

= a²−^b−d₂ ^2, 整理得 bd = c²− a²。 由此我們給出以下引理。

圖2 引理: (圖 2) 在 ∆ABC, ∆AB^′C 和 ∆AB^′′C

中, 若 AB = CB^′ = CB^′′ = c, CB = AB^′ = AB^′′ = a, c > a, AC = b, BB^′ = d, BB^′′ = d1, 且 B 和 B^′ 在 AC 的同側, B 和 B^′′ 在 AC 的異 側。 則

d= (c²− a²)

b , (1)

d²₁= 2a²+ 2c²− b²。 (2)

圖3 說明: 此處使用圓規 4 次。

作圖1: 已知 AB, 在 AB 之外, 求作 AB 上的一點 E, 使 BE = AB。

作法: (圖 4) 以 AB 為半徑, 分別以 A 和 B 為心作圓, 兩圓交於 C 和 D; 以 C 為心, CD 為半徑作圓, 與圓 B 交於 E。 點 E 即為所求。

圖4

證明: 在圓 A 和圓 B 中, 易知 AB = BC = AC = BD = AD, CE = CD =

√3AB。 在 ∆BCE中, 由 BC = BE = AB, CE =√

3AB, 利用餘弦定理, cos^∠BCE =

BC²+CE²−BE²

2BC·CE = ¹⁺³⁻¹₂^√₃ = ^√₂³, 得 ^∠BCE = 30^◦。 則 ∠ACE = 90^◦。 故 AE 是圓 B 的直

徑, AE = 2AB, BE = AB。

說明: 此處使用圓規 3 次。

作圖2: 已知 AB, 求作 √ 2AB。

作法: (圖 5) 在圖 4 基礎上, 再以 CD 為半徑, 分別以 A 和 E 為心作兩圓, 交於 F 和 G。 則 BF 與 BG 均為所求之 √

2AB。

圖5

b 說明: 作 √

2a 使用圓規 5 次, 再作 d = a²

b 使用圓規4次, 共使用圓規 9次。

作圖4: 求作 AB 和 CD 的交點 Q。

作法: 1. (圖 6) 以 A 為心, AC為半徑作圓, B 為心, BC 為半徑作圓, 兩圓交於 C^′; 以 C 為心, CC^′ 為半徑作圓, D 為心, DC^′ 為半徑作圓, 兩圓交於 C^′′; 以 C^′ 為心, C^′C 為半 徑作圓, C^′′ 為心, C^′′C 為半徑作圓, 兩圓交於 C^′′′。

2. 令 CC^′ = a, CC^′′′ = b, 作 y = a²

b (作圖3)。

圖7

圖 8

圖 9 說明: (圖 8) ∆CC^′C^′′′ 與 ∆CEC^′ 是兩個相似的

等腰三角形, CC^′ = C^′C^′′′ = a, CC^′′′ = b, CE = C^′E = a²

b 。 AB 是 CC^′ 的中垂線, 而 CE = C^′E, 故 E 在 AB 上; CD 是 CC^′′ 的中垂線, 而 C^′C^′′′ = C^′′C^′′′, 故 C^′′′ 在 CD 上; 又 E 在 CC^′′′ 上, 故 E 在 CD 上。 所以, E 是 AB 與 CD 的交點 Q。

說明: (1) 完成以上操作, 共需使用圓規 14 次。

(2) 如果交點在四邊形 ABCD 外部, 也可先由作 圖 1等距延長 AB 和 CD。 若干次等延後, A^′B 和 C^′D 的交點在四邊形 A^′DBC^′ 內部 (圖 9), 這個交點同時也 是 AB 和 CD 的交點。

作圖_5: 已知圓周 ₍或弧_), 求其圓心。

作法: (圖 10) 在圓上任取一點 A, 適當長為半徑作圓, 交圓於 B, C; 再以適當長為半徑, 分別以 A, B, C 為心作圓, 圓 A 與圓 B 交於 E, F , 圓 A 與圓 C 交於 G, H。 作 EF 與 GH 的交點, 即為圓心 O。

圖10

(1) 若圓心未知, 先作出圓心 O(作圖 5)。

(2) 若 AB 不過圓心 O, 則: (圖 11) 以 A 為心, AO 為半徑作圓, 以 B 為心, BO 為半 徑作圓, 兩圓交於 O^′; 以 O^′ 為心, 圓 O 半徑為半徑作圓, 交圓 O 於E, F 。 E, F 即為所求。

圖11

(3) 若 AB 過圓心 O, 令圓 O 半徑為 q, AO 長為 p, 則:

1. 作√ 2q。

2. 在引理中令 a = b = q, c =√

2q, 則 d1 =√ 5q。

3. 引理中令 a =√

2q, b = c = p, 則d₁ =√

4q²+ p²。 4. (圖 12) 等延 AO 至 C, 分別以 A, C為心, √

4q²+ p² 為半徑作圓, 兩圓交於 D, E; 以 D (或 E) 為心, √

5q 為半徑作圓, 交圓 O 於 F, G。 F, G即為所求。 (B 點的位置在作圖 中無關緊要, 故略去。)

(2) 若 AB 過圓心 O : (圖13) 易知 ∆AOD 是直角三角 形。 在 ∆AOD 中, AO = p, AD = √

4q²+ p², 則 OD = 2q; 在 ∆DOF 中, OF = q, OD = 2q, DF =√

5q, OF²+ OD² = DF², 故∆DOF 是 直角三角形, 所以 F 在 AO 上; 同理, G 在 OC 上。 又 F, G 在圓 O 上, 所以 F, G 是圓 O 與 AB 的交點。

圖13

說明: 在這一作圖中, 完成 (1), (2) 兩項操作, 共需使用圓規 19 次; 若圓心已知, 完成操 作 (2) 僅需使用圓規 3 次。 完成操作 (3), 共需使用圓規 14次。

3. 無尺作圖在中學數學中的應用及教育價值

無尺作圖進入中學數學教學, 可以從以下幾方面入手: 把尺規作圖下歐氏幾何中的公理、 定 理、 性質等等“翻譯”成無尺幾何中的等價命題; 用圓規作出一些尺規作出的圖形; 將一些煩瑣 冗長的作圖步驟簡化; 將這些作法編程, 使電腦可以根據這些程式畫出圖形; 等等。 把無尺作圖 帶進中學數學領域, 也是培養學生動手“做數學”(doing mathematics) 的好機會。 可以在課堂 上或興趣小組活動中把無尺作圖介紹給學生, 也可以作為探究課題, 拓寬視野, 拓展思路。 這一 活動有豐富的教育價值: 可以從傳統幾何內容引出新的數學觀念, 有利於演算法在中學數學教 學中的滲透, 有利於學生數學思維的訓練, 有利於學生數學學習興趣的激發和培養。 對於這些教 育價值的具體論述, 有興趣的讀者可以參閱文 [5]。

這一活動也讓我們對“數學教育現代化”有一新的認識, 並不是說一定要把現代數學的新內 容、 新思想在數學課程中體現出來; 我們可以對傳統的數學內容進行改造, 賦予新的生命, 讓它 以一種全新的形式呈現在學生面前, 借此來培養學生的數學思維能力和創新能力。

參考文獻

1. (丹麥)A. 艾鮑, 周民強譯, 早期數學史選編, 北京: 北京大學出版社, 1990, 91。

2. 楊玉瓚, 無尺作圖, 西北大學學報 (自然科學版), 1999, 29(3), 199-204。

3. 楊力能, 穆玉傑, 無尺作圖的基礎作圖體系的簡化, 純粹數學與應用數學, 2001, 17(4), 302-308。

4. 朱哲, 王凱華, 兩圓交點和圓線交點的無尺作法, 中學教研 (數學), 2004(8), 28-30。

5. 朱哲, 東洪平, 無尺作圖的教育價值, 中學教研 (數學), 2005(8), 25-27。

—本文作者任教於浙江師範大學數理學院_—