與旁切圓半徑有關的四個幾何性質

(1)

與旁切圓半徑有關的四個幾何性質

丁遵標

摘要: 本文將給出四個旁切圓半徑不等式的最佳形式。

關鍵詞: 三角形、半周長、外接圓半徑、內切圓半徑、旁切圓半徑。

本文約定: a, b, c: △ABC 的三邊長, p: 半周長, R: 外接圓半徑, r: 內切圓半徑, S:

面積, r

a

, r

b

, r

c

: 旁切圓半徑。

匡繼昌教授編著的「常用不等式」一書出版後, 美國 “數學評論”(MR)、德國 “數學文摘”

和中國多家報刊雜誌給出很高的評價, 指出這是 “一本很有價值和受歡迎的數學不等式文獻”, 在該文獻中, 共收錄了 31 個旁切圓半徑不等式, 其中有下面的 4 個不等式:

4. (1) 9r ≤√

3p ≤ r

^a

+ r

b

+ r

c

≤ 9 2R (2) r

_a

+ r

b

+ r

c

≥ 3

2(3 −√ 3)r (3) r

_a

+ r

b

+ r

c

>4R

17. (1) 4 ≤ 4

√2pR 3⁴³r − 1

!

≤ a

²

r

_b

r

_c

+ b

²

r

_c

r

_a

+ c

²

r

_a

r

_b

≤ 6√ 3R

²

pr − 4 (2) a

²

r

_b

r

_c

+ b

²

r

_c

r

_a

+ c

²

r

_a

r

_b

≥ 2R r 22. a

²

r

_a

− r + b

²

r

_b

− r + c

²

r

_c

− r ≤ 9R 27. 6r ≤ a

²

r

_b

+ r

c

+ b

²

r

_c

+ r

a

+ c

²

r

_a

+ r

b

≤ 3

r(3R

²

− 10r

²

)

筆者在學習探討之餘, 發現了匡教授編著的文獻中上面的四個不等式的最佳形式, 現提出來, 與匡教授進行商榷, 並與廣大讀者共同探討。

定理: (1) r

_a

+ r

b

+ r

c

= 4R + r (2) a

²

r

_b

r

_c

+ b

²

r

_c

r

_a

+ c

²

r

_a

r

_b

= 4R r − 4 (3) a

²

r

_a

− r + b

²

r

_b

− r + c

²

r

_c

− r = 8R + 2r

76

(2)

與旁切圓半徑有關的四個幾何性質

₇₇

(4) a

²

r

_b

+ r

c

+ b

²

r

_c

+ r

a

+ c

²

r

_a

+ r

b

= 4R − 2r 為證明上述定理, 先看下面的引理:

引理: 若 △ABC 的三邊長分別為 a、 b、 c, 半周長為 P , 面積為 S, 旁切圓半徑分別為 r

_a

、 r

_b

、 r

_c

, 則有: S = (p − a)r

^a

= (p − b)r

^b

= (p − c)r

^c

.. .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . . .. . . . .. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. .

...

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...

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. ... . .. . .

...

O

₁

A

B C

D

E

F r

_a

a

b

c

... . ...

. ...

. ... . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. .. . . .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .

...

... . ...

. ... . . . .. . . . . . .. . . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . .. . . . .. . .. . . . . . . .. . . .. . . .. .

. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . .. . . .

證明: 設旁切圓 O

₁

與 AB、 AC、 BC 所在的直線分別相切於 F 、 D、 E, 連結 O

₁

A、

O

₁

B、 O

₁

C、 O

₁

D、 O

₁

E、 O

₁

F,

則 S

_△ABC

= S

_△AO

1

C

+ S

_△BO

1

C

− S

△BO

¹

C

即 S=1

2br

_a

+ 1

2cr

_a

− 1

2ar

_a

= 1

2(b + c − a)r

^a

= 1

2(2p − 2a)r

^a

= (p − a)r

^a

同理: S= (p − b)r

^b

, S= (p − c)r

^c

. 而後同理之對稱式就不重複。

下面, 在引理的基礎上, 我們來進一步證明文中提出的四個幾何性質, 首先對證明時所需的性質進行論證。請看:

證明: 由引理及 S = rp 便可得到

(p − a)r

^a

= (p − b)r

^b

= (p − c)r

^c

= rp

∴

r

_a

= rp

p− a, r

_b

= rp

p− b, r

_c

= rp

p− c, (1)

再由海倫公式 S =

^q

p(p − a)(p − b)(p − c) 及 S = rp 便又可得到:

(p − a)(p − b)(p − c) = r

²

p (2)

(3)

78

數學傳播

₂₉

卷

₄

期民

₉₄

年

₁₂

月

又

∵

ab+ bc + ca = p

²

+ 4Rr + r

²

, 讀者想了解其證明過程, 可參考文 [2]。

∴

1

p− a + 1

p− b + 1

p− c = ab+ bc + ca − p

²

(p − a)(p − b)(p − c)

=p

²

+ 4Rr + r

²

− p

²

r

²

p (由 (2))

=4R + r

rp (3)

在此基礎上, 就很容易給出它們的證明了。

(1) r

_a

+ r

b

+ r

c

= rp

p− a + rp

p− b + rp

p− c (由 (1))

= rp 1

p− a + 1

p− b + 1 p− c

!

= rp4R + r

rp (由 (3))

= 4R + r

(2)

^∵

a

²

r

_b

r

_c

= a

²

rp p −b

·

p ^rp −c

(由 (1))

= a

²

(p − b)(p − c) r

²

p

²

= a

²

(p − a)(p − b)(p − c) r

²

p

²

(p − a)

= a

²

r

²

p

r

²

p

²

(p − a) (由 (2))

= a

²

p(p − c) = p p− a − a

p − 1

∴

a

²

r

_b

r

_c

+ b

²

r

_c

r

_a

+ c

²

r

_a

r

_b

= p

p− a + p

p− b + p p− c

!

− a+ b + c p − 3

= p 1

p− a + 1

p− b + 1 p− c

!

−2p p − 3

= p · 4R + r

rp − 5 (由 (3))

= 4R r − 4

(3)

^∵

a

²

r

_a

− r = a

²

rp

p −a

− r (由 (1))

= a

²

(p − a)

rp− r(p − a) = a

²

(p − a)

ar = ap− a

²

r

(4)

與旁切圓半徑有關的四個幾何性質

₇₉

又

∵

a

²

+ b

²

+ c

²

= 2(p

²

− 4Rr − r

²

)

∴

a

²

r

_a

− r + b

²

r

_b

− r + c

²

r

_c

− r

= ap− a

²

r +bp− b

²

r +cp− c

²

r

= (a + b + c)p − (a

²

+ b

²

+ c

²

) r

= 2p

²

− 2(p

²

− 4Rr − r

²

) r

= 8R + 2r

(4)

^∵

a

²

r

_b

+ r

c

= a

²

rp

p −b

+

_p ^rp _−c

(由 (1))

= a

²

(p − b)(p − c)

rp(2p − b − c) = a

²

(p − b)(p − c) arp

= a

²

(p − a)(p − b)(p − c) arp(p − a)

= a

²

r

²

p

arp(p − a) (由 (2))

= ar p− a

∴

a

²

r

_b

+ r

c

+ b

²

r

_c

+ r

a

+ c

²

r

_a

+ r

b

= ar

p− a + br

p− b + cr p− c

= r p p− a − 1

!

+ r p p− b − 1

!

+ r p p− c − 1

!

= rp 1

p− a + 1

p− b + 1 p− c

!

− 3r

= rp · 4R + r

rp − 3r (由 (3))

= 4R − 2r

參考文獻

1. 匡繼昌, 常用不等式 [M], 山東科學技術出版社, 2004 年 1 月第 3 版: 224∼226。

2. 丁遵標, 與三角形高有關的幾何性質, 數學傳播, 29 卷 2 期, 頁 55-60。

—本文作者任教於中國安徽省舒城縣杭埠中學—

與旁切圓半徑有關的四個幾何性質