94.11.23 班級普三班範圍Book5 chap2 不等式(2) - 明誠

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：94.11.23 班級 普三 班

範 圍

Book5 chap2

不等式(2) 座號

姓 名 一、選擇題(每題10分)

1. 在y ≤ 2，2x − y ≥ 0，x + y ≥ 0及5x − y ≤ 18的條件下，函數x − 2y的最大值為 (A) − 3 (B) 0 (C) 3 (D) 6 (E) 9

【解答】(E)

【詳解】 的圖形為一四邊形區域

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤

−

≥ +

≥

−

≤

18 5

0 0 2

2

y x

y x

y x y

其頂點為(0，0)，(3，− 3)，(4，2)，(1，2)

(x，y) (0，0) (3，− 3) (4，2) (1，2)

x − 2y 0 9 0 − 3

由表知，x − 2y的最大值為9，應選(E)

2. 不等式6 − 2y ≤ x − 2 ≤ y ≤ 4的圖形面積為(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 9

【解答】(C)

【詳解】6 − 2y ≤ x − 2 ≤ y ≤ 4 ⇒ 下圖三角形區域

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

−

≤

−

−

≥

− +

0 4

0 2

0 8 2 y

y x

y x

頂點坐標為(4，2)，(6，4)，(0，4)，面積 = 2

1× 6 × 2 = 6，應選(C)

3. (複選)三直線L₁：5x − y + 5 = 0，L₂：x − y = 3，L₃：3x + 5y = 15圍成一個△ABC，下列哪 些點在△ABC的內部？(A) (0，0) (B) (1，− 3) (C) (2，1) (D) (− 2，0) (E) (0，1)

【解答】(A)(C)(E)

【詳解】L1：5x − y + 5 = 0，L2：x − y − 3 = 0，L3：3x + 5y − 15 = 0圍成△ABC如下圖

△ABC的內部（不含邊界）為含原點(0，0)之部分 此部分滿足的不等式組為

△ABC內部的點滿足此不等式，故應選(A)，(C)，(E)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

− +

<

−

−

>

+

−

0 15 5 3

0 3

0 5 5

y x

y x

y x

4. 下圖中，斜線部分的區域為R，下列哪些敘述是對的？

(A)區域R由不等式組 所圍成

(B)區域R的面積為7

(C)直線L：y = 2x + k與區域R相交時，k之最小值為 − 8 (D) (x，y) ∈ R，f (x，y) = x + y的最大值為5

(E) P(x，y) ∈ R，O(0，0)，

⎩⎨

⎧

≤ +

≥ +

20 4 5

6 3 2

y x

y x

OP的最小值為2

【解答】(B)(C)(D)

【詳解】下圖斜線內之四邊形區域R由四條直線所圍成

此四條直線的方程式為 L₁：y = 0，L2： 1

5 4x+ y =

⇒ 5x + 4y = 20 L3：x = 0，L4： 1

2

3x+ y = ⇒ 2x + 3y = 6

(A)區域R為不等式組x ≥ 0，y ≥ 0，5x + 4y ≤ 20，2x + 3y ≥ 6的圖形

(B)區域R的面積 =

2

1× 4 × 5 − 2

1× 3 × 2 = 10 − 3 = 7

(C) L：y = 2x + k表斜率2的直線與區域R相交且使k值為最小時，其y截距最小，故必過

四邊形的頂點(4，0)，此時k之值為 − 8

(D) f (x，y) = x + y的最大值為f (0，5) = 0 + 5 = 5

(E) P ∈ R，OP的最小值為O到L4之距離，即OP的最小值=

13 6 9 4

6 =

+ 應選(B)(C)(D) 二、填充題(每題10分)

1. 若x ≥ y ≥ z ≥ − 1及x + 3y − 2z = 5，則3x − 2y + z之最大值是 ，最小值是

。

【解答】19，−

4 1

【詳解】

由x = 5 − 3y + 2z，在x ≥ y，y ≥ z，z ≥ − 1之條件下 亦即在4y − 2z ≤ 5，y ≥ z，z ≥ − 1所圍三角形之三頂點A(

2 5，

2

5)，B( − 1，− 1)，C(

3 4，

− 1)

將A，B，C代入目標函數3x − 2y + z中，而3x − 2y + z = 15 − 11y + 7z (y，z) (

2 5

，

2

5) ( − 1，− 1) ( 4

3

，− 1)

3x − 2y + z 5 19 −

4 1

∴ 3x − 2y + z的最大值19，最小值 − 4 1

2. 坐標平面上，下列不等式組 所示圖形中，格子點有

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≥

≤

− +

≥ +

−

0 0

0 56 3 8

0 20 4 3

y x

y x

y x

，

個。

【解答】46

【詳解】不等式組 的圖形為一四邊形區域

其中的格子點為

x = 0時，y = 0～5有6個（由3x − 4y + 20 ≥ 0）

x = 1時，4y ≤ 3 + 20 = 23，y = 0～5有6個 x = 2時，4y ≤ 26，y = 0～6有7個

x = 3時，4y ≤ 29，y = 0～7有8個 x = 4時，4y ≤ 32，y = 0～8有9個

x = 5時，3y ≤ 56 − 40 = 16，y = 0～5有6個 x = 6時，3y ≤ 56 − 48 = 8，y = 0～2有3個 x = 7時，3y ≤ 56 − 56 = 0，y = 0有1個

格子點共有6 + 6 + 7 + 8 + 9 + 6 + 3 + 1 = 46個

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≥

≤

− +

≥ +

−

0 0

0 56 3 8

0 20 4 3

y x

y x

y x

，

3. 設x，y ∈ R且滿足下列不等式：x + y ≥ 2，3x + 2y ≤ 12，3x − y + 6 ≥ 0，y ≥ 0，則 (1) 2x + y + 1的最大值為 ，最小值為 。

(2)若m ≤ 3 2 + + x

y ≤ M，則(M，m) = 。

【解答】(1) 9，2 (2)(

3 8，

7 2)

【詳解】 ，圖形如下為一四邊形區域

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≥ +

−

≤ +

≥ +

0

0 6 3

12 2 3

2

y y x

y x

y x

其頂點為(2，0)，(4，0)，(0，6)，( − 1，3)

(1)令2x + y + 1 = k表斜率 − 2的直線系，當直線通過區域之頂點時，k有極值

(x，y) (2，0) (4，0) (0，6) ( − 1，3)

k 5 9 7 2

由表知，2x + y + 1之最大值為9，最小值為2

(2)令 3

2 + + x

y = t，則y + 2 = t(x + 3)表通過定點(− 3，− 2)斜率t之直線系，當此直線系繞(−

3，− 2)旋轉而掃過區域時，顯然通過頂點時，斜率t有極值

(x，y) (2，0) (4，0) (0，6) ( − 1，3)

t 5

2

7 2

3 8

2 5 由表知，t之最大值M =

3

8，最小值m = 7 2

4. 若點P(k，2k − 3)在三直線L₁：x + 2y − 4 = 0，L₂：3x + y − 3 = 0，L₃：x − y − 4 = 0所圍成 三角形的內部，則k之範圍為 。

【解答】5

6< k < 2

【詳解】

三直線L₁：x + 2y − 4 = 0，L2：3x + y − 3 = 0，L3：x − y − 4 = 0所圍成的三角形如下圖

三角形內部（不含邊界）滿足不等式組 ，點P(k，2k − 3)在三角形內部

因此 ⇒ ⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

−

−

>

− +

<

− +

0 4

0 3 3

0 4 2

y x

y x

y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

−

−

−

>

−

− +

<

−

− +

0 4 ) 3 2 (

0 3 ) 3 2 ( 3

0 4 ) 3 2 ( 2

k k

k k

k k

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

−

−

>

−

<

− 0 1

0 6 5

0 10 5

k k k

5

6< k < 2

5. 在x ≥ 0，y ≥ 0，4x + y ≤ 4，3x + 4y ≤ 12的條件下，x + 2y的最大值為 。

【解答】6

【詳解】作不等式組 的圖形如下

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤ +

≤ +

≥

≥

12 4 3

4 4

0 0

y x

y x y x

其頂點坐標為(0，0)，(1，0)，(

13 4 ，

13

36)，(0，3) 代入x + 2y得值依次為0，1，

13

76，6，故最大值為6

6. 某人飼養一隻寵物，每天需要A、B、C三種營養素分別8個單位，13個單位及17個單 位，而此人以甲、乙兩種食物提供A、B、C三種營養素，已知甲、乙兩種食物每斤所含 的營養素如下表所示：

營養素

食物

甲

乙

已知甲、乙兩種食物每斤35元與40元，若此人每天想用最經濟的方式提供食物，則他

必須餵食甲、乙兩種食物各多少斤，又每天的最少費用是多少？請依下列方式作答：

(1)寫出限制條件的不等式解。

(2)以圖解法表出(1)的解。

(3)寫出目標函數。

(4)寫出目標函數的最優解。（含食物量及最少的費用）

【解答】(1) (2)(

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≥

≥ +

≥ +

≥ +

0 0

17 2 2

13 3

8 2

y x

y x

y x

y x

，

4 9，

4

25) (3) f (x，y) = 35x + 40y

(4)每天餵食甲食物 2

17斤，可使費用為 2

595元最少

【詳解】

(1)設此人每天餵食甲食物x斤，乙食物y斤，則限制條件的不等式組

(2)畫出(1)中不等式之圖解，如下圖

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥

≥

≥ +

≥ +

≥ +

0 0

17 2 2

13 3

8 2

y x

y x

y x

y x

，

⎩ 的解為(

⎨⎧

= +

= +

17 2 2

13 3

y x

y x

4 9，

4 25) (3)目標函數f (x，y) = 35x + 40y

(4) f (x，y)的最佳解f (0，13) = 520，f ( 4 9，

4 25) =

4 1315，f (

2

17 ，0) = 2 595 所以，每天餵食甲食物

2

17斤，可使費用 = 2

595元最少

7. 某人有140坪的空地，想將它分割成數塊，隔成大小兩種規格的隔間分租出去，若甲、

乙兩種規格的隔間各占12坪與8坪，且隔間費用各16000元與12000元，今此人有20 萬元資金準備作隔間費，而預訂甲、乙兩種規格隔間的月租費各6400元與4400元，試 問他要怎麼規畫甲、乙兩規格的隔間（各多少間），才能使他將所有隔間租出去時的月 租費收入最多？可收多少租金？

【解答】甲規格5間，乙規格10間，可得月租費76000元最高

【詳解】

設甲規格，乙規格的隔間分別隔x間與y間，則(※)

目標函數f (x，y) = 6400x + 4400y，由上(※)式可化為

的解為(5，10)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ +

≤ +

或正整數 為

， 0

200000 12000

16000

140 8

12 y x

y x

y x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ +

≤ +

≥ 50 3 4

35 2 3

0 y x

y x

y x y

x， ， ， 為整數

⎩⎨

⎧

= +

= +

50 3 4

35 2 3

y x

y x

由圖可得，目標函數f (5，10) = 100(64 × 5 + 44 × 10) = 76000最大，即隔甲規格5間，

乙規格10間，可得月租費76000元最高

8. 在x ≥ 0，y ≥ 0，4x + y ≤ 4，3x + 4y ≤ 12的條件下，分別求下列各小題的最大值與最小值：

(1)5x − y + 6。 (2)x² + y²。 (3) 1 2 + + x

y 。

【解答】(1)11，3 (2)9，0 (3)5，1

【詳解】

先畫出不等式組區域的圖形，找出此區域的頂點(0，0)，(1，0)，(

13 4 ，

13

36)，(0，3)

(1) 頂點 (0，0) (1，0) (

13 4 ，

13

36) (0，3)

5x − y + 6 6 11

13

62 3

所以最大值為11，最小值為3

(2)幾何意義：x² + y²表示點(x，y)到(0，0)的平方距離

由圖形知(0，3)離(0，0)最遠；(0，0)離(0，0)最近

所以最大值為x² + y² = 0² + 3² = 9，最小值為x² + y² = 0² + 0² = 0 (3)幾何意義：

1 2 + + x

y 表示點(x，y)到( − 1，− 2)的斜率

由圖形知(0，3)到( − 1，− 2)的斜率最大；(1，0)到( − 1，− 2)的斜率最小 所以最大值為

1 2 + + x

y =

1 0

2 3

+

+ = 5，最小值為 1 2 + + x

y =

1 1

2 0

+ + = 1

9. 雞兔同籠，頭數不超過20個，腳數不超過50隻。若雞每隻賣200元，兔每隻賣300元，

問總共最多可賣多少元？若雞每隻賣300元，兔每隻賣200元，則總共最多可賣多少元？

【解答】最多4500元，最多6000元

【詳解】

(1)設雞x頭，兔y頭， ，目標函數k = 200x + 300y，由斜率m = −

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ +

≤ +

≥

≥

50 4 2

20 0 0

y x

y x

y

x ，

3

2知，最

大值發生在點(15，5)上

所以x = 15，y = 5，k = 4500元最多

(2)設雞x頭，兔y頭， ，目標函數k = 300x + 200y，由斜率m = −

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ +

≤ +

≥

≥

50 4 2

20 0 0

y x

y x

y

x ，

2

3知，最

大值發生在點(20，0)上

所以x = 20，y = 0，k = 6000元最多

10.某商人有二倉庫，第一倉庫存有產品90打，第二倉庫存有產品100打，該商人自甲乙

二地接到訂單，甲、乙二地分別各申購產品60打與80打，假定每打之運費如下表所示，

則應如何運送可使運費最少？又最少運費為多少？

每打運費 甲 乙 第一倉庫

元

元 第二倉庫

元

元

【解答】第一倉庫運60打給甲地，運30打給乙地；第二倉庫運0打給甲地，運50打給乙 地；運費最小為35400元

【詳解】

用下列圖表來假設

化簡為

目標函數k = 200x + 280y + 240(60 − x) + 300(80 − y) = − 40x − 20y + 38400 由圖形可知取(x，y) = (60，30)時，運費最小為35400元

即第一倉庫運60打給甲地，運30打給乙地；第二倉庫運0打給甲地，運50打給乙地

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤

− +

−

≤ +

≥

−

≥

−

≥

≥

100 ) 80 ( ) 60 (

90

0 80

0 60

0 0

y x

y x

y x

y x

，

，

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ +

≤

≤

≤

≤

≤

90 40

80 0

60 0

y x y x

11.某農夫有一塊菜圃，最少須施氮肥5公斤，磷肥4公斤及鉀肥7公斤，已知農會出售甲、

乙兩種肥料，甲種肥料每公斤10元，其中含氮20％，磷10％，鉀20％，乙種肥料每公 斤14元，其中含氮10％，磷20％，鉀20％，問他向農會買甲、乙兩種肥料各多少公斤 加以混合施肥，才能使花費最少而又有足夠分量的氮、磷、鉀肥？

【解答】買甲種肥料30公斤，乙種肥料5公斤時，花費370元為最少

【詳解】

設農夫向農會購買甲種肥料x公斤，乙種肥料y公斤將已知條件列表如下

氮 磷 鉀 價格

甲種 20％ 10％ 20％ 10（元／公斤）

乙種 10％ 20％ 20％ 14（元／公斤）

限制 5 4 7

得條件不等式

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

≥ +

≥ +

≥ +

≥

≥

100 7 20 100

20

100 4 20 100

10

100 5 10 100

20 0 0

y x

y x

y x

y x

，即

而花費為f (x，y) = 10x + 14y

不等式組的可行解區域之頂點為(40，0)，(30，5)，(15，20)，(0，50)代入目標函數f (x，

y) = 10x + 14y中，

得f (40，0)，f (30，5) = 300 + 70 = 370 f (15，20) = 150 + 280 = 430，f (0，50) = 700

故甲種肥料30公斤，乙種肥料5公斤時，花費370元最少

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

≥ +

≥ +

≥ +

≥

≥

35 40 2

50 2

0 0

y x

y x

y x y x

12.有甲、乙兩種維他命丸，甲種每粒含5單位維他命A，9單位維他命B，每粒售價10元，

乙種每粒含6單位維他命A，4單位維他命B，每粒售價8元，假設每人每天最少需要 29單位維他命A，及35單位維他命B，則這兩種維他命丸應各吃幾粒，才能使花費最 少且獲得足夠的維他命A與B？

【解答】每天吃甲、乙各3粒時，花費54元最少

【詳解】

設每天吃甲種維他命丸x粒，乙種y粒

則可獲得維他命A有5x + 6y單位，維他命B有9x + 4y單位

得條件不等式為 且x，y均為整數，每天費用f (x，y) = 10x + 8y（元）

可行解區域的頂點(

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥ +

≥ +

≥

≥

35 4 9

29 6 5

0 0

y x

y x y x

5

29，0)，(

17 47，

17

43)，(0，

4

35)，令10x + 8y = k 此直線斜率 −

8 10= −

4

5介於二直線5x + 6y = 29與9x + 4y = 35的斜率之間 故欲得目標函數的最佳解，需直線10x + 8y = k通過點(

17 47，

17

43)附近的格子點

這些格子點有(2，5)，(3，3)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，…

又f (2，5) = 60，f (3，3) = 54，f (4，2) = 56，f (4，3) = 64，f (5，1) = 58，…

故當x = y = 3，即每天吃甲、乙各3粒時，花費54元最少

13.濃度8％的食鹽水100克，今從其中取出20克，再加入20克的水混合，再由其中取出

20克後，再加入20克的水，如此繼續操作n次，若要使食鹽水的濃度不大於2％，求n 的最小值。

【解答】7

【詳解】

設操作n次後，食鹽水的濃度為an％，依題意 令a₀ = 100．

100

8 ，a₁ = 100．

100 8 ．

5

4，a₂ = 100．

100 8 ．(

5

4)²，…，

an = 100．

100 8 ．(

5 4)ⁿ 欲使an ≤ 2，則100．

100 8 ．(

5

4)ⁿ ≤ 2，即(

5 4)ⁿ ≤

4 1 取對數，得n log

5 4≤ log

4

1 ⇒ n (2 log 2 − log 5) ≤ − 2 log 2

⇒ n (− 1 + 0.9030) ≤ − 2 × 0.3010 ⇒ n ≥

0970 . 0

6020 . 0

−

− 6.2

故n之最小值為7

14.某工廠A，B，C三種不同原料調製二種產品，第一種產品A，B，C三種原料各占

3 1，

6 1，

2

1，第二種產品這三種原料各占 4 1，

2 1，

4

1，若現有A原料6公噸，B原料5公噸，C 原料7公噸，而第一種產品的售價為每公噸5000元，第二種產品的售價為每公噸4000 元，而且銷售也沒有問題，問這兩種產品各生產若干公噸，可獲得最高收入。（若限制 兩種產品之產量均為整數單位）

【解答】第一種產品生產11公噸，第二種產品生產6公噸，可以得到最大收入為79000元

【詳解】設第一種產品生產x公噸，第二種產品生產y公噸，依題意列式

⎪⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎧

≤ +

≤ +

≤ +

≥

≥

4 7 1 2 1

2 5 1 6 1

4 6 1 3 1

0 0

y x

y x

y x

y

x ，

，

再化簡為

目標函數k = 5000x + 4000y，其斜率為 −

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤ +

≤ +

≤ +

≥

≥

28 2

30 3

72 3 4

0 0

y x

y x

y x

y

x ，

4

5，比 − 3

4稍大，故平行線最先碰到頂點(

5 54，

5 32)

但題意要求產量需要整數，所以要找(

5 54，

5

32)附近的格子點（且在可行解區域內）

在可行解內與(

5 54，

5

32)附近的格子點有(9，7)，(10，6)，(11，6)

(x，y) (9，7) (10，6) (11，6)

k 73000 74000 79000

所以第一種產品生產11公噸，第二種產品生產6公噸，可以得到最大收入為79000元

15.老張帶了50000元，開著載重量為1000公斤的貨車去批水果，若水梨與橘子的批價各

為每公斤60元與20元，零售價各為每公斤80元與30元，問他應該買進水梨與橘子各 多少公斤，方使收益最大？

【解答】買水梨750公斤，橘子250公斤，可得最大收益17500元

【詳解】設水梨買x公斤，橘子買y公斤，則 收益為(80 − 60)x + (30 − 20)y = 20x + 10y

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤ +

≤ +≤ +

≥

≥

）

（

，

2500 3

50000 20

60

1000 0 0

y x y

x y x

y x

頂點 (0，0) (0，1000) (750，250)(

3

2500，0)

20x + 10y 0 10000 17500 16666

3 2

所以買水梨750公斤，橘子250公斤，可得最大收益17500元

16.在坐標平面上，畫出下列不等式組的圖形：x + y ≥ 0，7x − 2y ≤ 18，x − 2y ≥ − 6，並求該

區域之面積。

【解答】(1)見詳解 (2)18

【詳解】

(1)三直線x + y = 0，7x − 2y = 18，x − 2y = − 6

c(1，0)代入x + y ≥ 0合，表示圖形在x + y = 0的右側

d(0，0)代入7x − 2y ≤ 18合，表示圖形在7x − 2y = 18的左側

e(0，0)代入x − 2y ≥ − 6合，表示圖形在x − 2y = − 6的下側

(2)三直線兩兩交點A(4，5)，B(2，− 2)，C( − 2，2)， = ( − 2，− 7)， = ( − 6，− 3)

△ABC面積為

____\

AB

____\

AC 2

1|

3 6

7 2

−

−

−

− | =

2

1| 6 − 42 | = 18

17.職棒票價，內野每張250元，外野每張100元，今有3000元欲買內外野票若干張，但

內野的張數不少於外野張數的2倍，且外野至少買3張，問一共有幾種買法？

【解答】9種

【詳解】

設內野票x張，外野票y張， ，合併得2y ≤ x ≤

⎩⎨

⎧

≤ +

≤ +

≥

≥

）

（5 2 60 3000

100 250

3 2

y x y

x y x

5 2 60− y y = 3，6 ≤ x ≤ 10，5種；y = 4，8 ≤ x ≤ 10，3種；y = 5，10 ≤ x ≤ 10，1種

一共有5 + 3 + 1 = 9種

故面積為 |

2 0 11 5 2 0 17

2 0 6 5 2 0 17 2|

1 −

= 2

| 85 0 2 0

15 55 2 51

0 187 0 2|

1 − + − + + + − =

18.在直角坐標平面上，作不等式組 的圖形；並求其面積。

⎩⎨

⎧

≤

−

≤ +

2

|

|

2

| 4

| y x

y x

【解答】 5 16

【詳解】 ⇒

圖形為平行四邊形區域，面積分成二個三角形計算得2 ×

⎩⎨

⎧

≤

−

≤ +

2

|

|

2

| 4

| y x

y x

⎩⎨

⎧

≤

−

≤

−

≤ +

≤

−

2 2

2 4

2

y x

y x

5 16 5 ) 4 2 2 2(

1 + × =

19.某電器股份有限公司，有甲、乙兩廠生產彩色電視機，其營業狀況如下表所示，問甲、

乙兩廠每週開工幾日，可以最節省的方式供應所需？

每日產量（架）

型式

廠別 甲廠 乙廠 每週需要量

（架）

29

吋

25

吋

20

吋

每日開支（元）

【解答】甲開工2日，乙開工6日

【詳解】

設甲廠每週開工x日，乙廠每週開工y日

化簡得

目標函數k = 80000x + 60000y要最小

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥ +

≥ +

≥ +

≥

≥

96 24 8

32 4 4

48 4 12

0 0

y x

y x

y x

y

x ，

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥ +

≥ +

≥ +

≥

≥

12 3

8 12 3

0 0

y x

y x

y x

y

x ，

(x，y)

k 960000 600000 520000 720000

所以甲廠開工2日，乙廠開工6日，開支520000元最省

20.設直線L：y = mx − 2，A( − 2，1)，B(3，2)，若直線L恆與AB相交，求實數m之範圍。

【解答】m ≤ − 2

3或m ≥ 3 4

【詳解】

卻使AB與L相交，只要A，B兩點在L的反側或L上即可

A，B兩點在L的反側或L上的充要條件為f (A) f (B) ≤ 0（其中f (x，y) = mx − y − 2）

所以( − 2m − 1 − 2)(3m − 2 − 2) ≤ 0，(2m + 3)(3m − 4) ≥ 0，即m ≤ − 2

3或m ≥ 3 4