§1−4 差角公式

§1 − 4 差角公式

(甲)差角與和角公式

已知兩個角度α、β的正弦、餘弦與正切值，是否可以得知α+β與α−β的 正 弦 、 餘弦與正切值呢？

我們要推導一連串的公式⎯差角與和角公式來回答這個問題。

(1)餘弦的差角公式：

首先討論如何用 α，β的正弦與餘弦表示 cos(α−β)。

令廣義角 α，β 皆為標準位置角(O為原點)，則其終邊分別與單位圓交於

A(cosα，sinα)與 B(cosβ，sinβ)，因為同界角的正弦與餘弦分別相等，所以考慮

「0° ≤ α，β ≤ 360° 」即可。

又因為 cos(α－β)＝cos(β－α)，所以可令 α ≥ β，而不影響 cos(α−β)的求法。

(1°)當 A，O，B 不共線時，如下圖，可令 α＞β。

(a)∠AOB＝α－β (b)∠AOB＝360°－( α－β )

因為 α－β(或是 360°−(α−β))是△OAB的內角，且其夾邊 OA，OB 之長都是 1，

所以由餘弦定理可以將第三邊 AB 之長表為 cos(α－β)的式子；另一方面，由距 離公式可以將 AB 之長表為 α，β 之正弦與餘弦的式子。如此一來，差角 α－β 的餘弦，便可藉由單角 α，β 的正弦與餘弦求出來。

由餘弦定理知：

AB ²＝ OA ²＋ OB ²－2 OA ‧ OB ‧cos（∠AOB）

＝1²＋1²－2‧1‧1‧cos（α－β）

＝2－2 cos(α－β)。

另外，由距離公式知：

AB ²＝( cosα－cosβ )²＋( sinα－sinβ )²

＝( cos²α＋sin²α )－2 ( cosαcosβ＋sinαsinβ )＋( cos²β＋sin²β )

＝2－2（cosα cosβ＋sinα sinβ），

所以 2－2 cos(α－β)＝2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ），即 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ。

(2°) 當 α＝β時，則

cos(α－β)＝cos 0°＝1，且 cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos²α＋sin²α＝1，故 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，仍然成立。

(3°) 當 α－β＝180°時，則 cos(α－β)＝cos 180°＝－1，且 cosαcosβ＋sinαsinβ

＝cos（180°＋β）cosβ＋sin（180°＋β）sinβ

＝－cos²β－sin²β＝－1，故

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，仍然成立。

因此 α，β 為任意廣義角時，

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 恆成立。

(2)和角與差角公式

以餘弦的差角公式做基礎，可以進一步推導：

cos（α＋β），sin（α－β）以及 sin（α＋β）。

cos（α＋β）＝cos〔α－（－β）〕

＝cosαcos（－β）＋sinαsin（－β）

＝cosαcosβ－sinαsinβ。

sin（α－β）＝cos〔90°－（α－β）〕

＝cos〔（90°－α）＋β〕

＝cos（90°－α）cosβ－sin（90°－α）sinβ。

＝sinαcosβ－cosαsinβ。

sin（α＋β）＝sin〔α－（－β）〕

＝sinαcos（－β）－cosαsin（－β）

＝sinαcosβ＋cosαsinβ。

利用商數關係，我們還可以導出正切的和角與差角公式，而且仍然可以用正切

表示。當 tanα，tanβ，tan（α＋β），tan（α－β）都有意義時，

tan（α＋β）＝ sin（α＋β）

cos（α＋β） ＝ sinαcosβ＋cosαsinβ cosαcosβ－sinαsinβ

＝

sinα

cosα ＋ sinβ cosβ 1－ sinα

cosα ． sinβ cosβ

（分子、分母同除以 cosαcosβ）

＝ tanα＋tanβ 1－tanαtanβ 。 上式中以－β 代 β，得

tan（α－β）＝tan〔α＋（－β）〕

＝ tanα＋tan (－β )

1－tanαtan (－β ) ＝ tanα－tanβ 1＋tanαtanβ 。

結論：和角與差角公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ，

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ，

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ。

tan（α＋β）＝ tanα＋tanβ

1－tanαtanβ （其中 tanα，tanβ，tan（α＋β）皆有意義時）

tan（α－β）＝ tanα－tanβ

1＋tanαtanβ 。（其中 tanα，tanβ，tan（α－β）皆有意義時）

和角公式的精神：

已知兩個角度的正弦、餘弦與正切值，

可得兩個角度的和或差的正弦、餘弦與正切值。

(練習1) (1)如圖，△ABC中， AD ⊥ BC ，且 AD ＝h，試利用

「△ABC面積＝△ABD 面積＋△ACD面積」的關係導出：

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ。

(2)利用(1)的公式導出底下的和角與差角公式：

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ，

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ，

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ。

[例題1] (1) 試求cos 75° 之值。

(2) 試求cos 115°cos 145°＋sin 115°sin 145°之值。

[解法]：

(1) cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45° cos 30°－sin 45° sin 30°

＝ 2

2 ． 3

2 － 2 2 ． 1

2 ＝ 6 － 2

4 。

(2) cos 115°cos 145°＋sin 115°sin 145°＝cos(115°－145°)

＝cos(－30°)＝cos 30°＝ 3 2 。

[例題2] 設α為第一象限角且cosα＝ 5

13 ，β為第二象限角且sinβ＝ 4 5 ， 試求sin(α＋β)與cos(α＋β)之值。

[解法]：

如圖，因為α為第一象限角，且cosα＝ 5

13 ，所以sinα＝ 12 13 。 因為β為第二象限角，且sinβ＝ 4

5 ，所以cosβ＝－ 3

5 。利用和角公式，得sin(α

＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝ 12

13 ．（－ 3

5 ）＋ 5 13 ． 4

5 ＝－ 16 65 。 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

＝ 5

13 ．（－ 3

5 ）－ 12 13 ． 4

5 ＝－ 63 65 。

[例題3] 已知tanα＝ 1

3 ，tanβ＝－2。試求下列兩小題：

(1) 試求tan(α＋β)之值。(2) 若0°＜α＜90° 且90°＜β＜180°，試求α＋β。

[解法]：

(1) tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ 1－tanαtanβ ＝

1

3 ＋(－2 ) 1－ 1

3 ．(－2 )

＝ － 5

3 5 3

＝－1。

(2) 因0°＜α＜90°，且 90°＜β＜180°，故90°＜α＋β＜270°，

又tan(α＋β)＝－1＜0，

所以α＋β為第二象限角，於是α＋β＝135°。

[例題4] 若tanα，tanβ為x²+9x−4=0之二根，

試求

(1)tan(α+β)=？

(2)sin²(α+β)+9sin(α+β)cos(α+β)−4cos²(α+β)= 。 Ans：(1)−9

5 (2)−4

(練習2) 試求 cos15°，sin105°，tan75°之值。

Ans：cos15°= 4

2

6+ ，sin105°= 4

2

6+ ，tan75°=2+ 3

(練習3) 設 α 為第二象限角且 cosα＝－ 3

5 ，β為第四象限角且 sinβ＝－ 8 17 ， 求 sin（α－β）與 cos（α－β）之值。

Ans：sin（α－β）=36

85，cos（α－β）=−77 85 (練習4) 已知 tanα＝2，tanβ＝－3。

(1) 試求 tan（α－β）之值。

(2) 若 180°＜α＜270°且 90°＜β＜180°，試求 α－β。

Ans：(1)−1 (2)135° (練習5) 試化簡下列各小題：

(1)sin68°cos23°−sin23°cos68°=？

(2)cos44°sin164°−sin224°cos344°=？

(3)cos(α+30°)cos(α−60°)+sin(α+30°)sin(α−60°)=？

Ans：(1) 2 2 (2)

3 2 (3)0

(練習6) 如右圖，⎯AH⊥⎯BC且⎯BC=5⎯AH，∠B+∠C=45^°， 若⎯BH>⎯HC，則BH

HC=？ Ans：3 2

[提示：令 BH=x，HC=1，

則 AH=1

5(x+1)，再利用 tan(B+C)=tan45^°=1，求 x 的值。]

(練習7) 設 tanα=1，tan(α −β )= 1

3，試求 tanβ之值。 Ans：2− 3 (練習8) 設 tanα，tanβ為 2x²−4x+1=0之二根，試求

(1)cos²(α +β )= 。

(2)2sin²(α +β)−4sin(α +β)cos(α +β)+4cos²(α +β)= 。 Ans：(1) 1

17(2) 20 17 (練習9) 試求下列各值：

(1)tan12^°+tan48^°+ 3tan12^°tan48^°= 。[提示：考慮 tan(12°+48°)]

(2) ^o _o ^o_o

107 tan 133 tan 1

287 tan 227 tan

−

− = 。 Ans：(1) 3 (2)− 3

B H C

A

(乙)倍角與半角公式

(1)正弦、餘弦與正切的二倍角公式

當 α＝β 時，則和角α＋β 即為倍角 2α，根據和角公式，即可以推出正弦、餘弦 與正切的倍角公式。

sin 2α＝sin（α＋α）＝sinαcosα＋cosαsinα＝2 sinαcosα。

cos 2α＝cos（α＋α）＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α。

而 cos²α－sin²α＝cos²α－（1－cos²α）＝2 cos²α－1，

且 cos²α－sin²α＝（1－sin²α）－sin²α＝1－2 sin²α。 tan 2α＝tan（α＋α）＝ tanα＋tanα

1－tanα．tanα ＝ 2tanα 1－tan²α （其中 tanα，tan 2α 皆有意義）。於是我們得到：

結論：

正弦、餘弦與正切的二倍角公式 sin 2α＝2 sinαcosα。

cos 2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－2 sin²α。 tan 2α＝ 2tanα

1－tan²α 。（其中 tanα，tan 2α 皆有意義時）

(2)倍角公式求半角：

根據餘弦的二倍角公式

cos 2α＝2cos²α－1＝1－2 sin²α

令 2α=θ，則上式可以寫成 cosθ=2cos² θ

2 −1=1−2sin² θ 2 換句話說，cos² θ

2 =

1+cosθ

2 ，sin² θ 2 =

1−cosθ

2 。

故已知 cosθ的值，可以根據餘弦的二倍角公式求得 θ

2 的正弦與餘弦值。

結論：

cosθ θ2 的正弦、餘弦值

2θ的正弦、餘弦值

cos2θ＝2cos²θ－1＝1－2 sin²θ cosθ=2cos² θ

2 −1=1−2sin² θ 2

例如：

(1)已知 cosθ=2

3，請求出 cos2θ=？

根據 cos2θ=2cos²θ−1=2(2

3)²−1=−1 9 (2)已知 0<α<π

2，且 cosα=2

3，試求 cosα 2=？ 令 2θ=α，可得 cosα=2cos²α

2 − 1 所以 cos²α

2=

5

6 ⇒cosα

2 = ^± ₆⁵ ⇒ cosα

2 = ₆⁵ [例題5] 設θ為第三象限角且cosθ＝－ 3

5 ，試求sin 2θ，cos 2θ，tan 2θ之值。

[解法]：

因θ為第三象限角且cosθ＝－ 3

5 ，故sinθ＝－ 4

5 ，於是 sin 2θ＝2 sinθcosθ＝2．（－ 4

5 ）．（－ 3

5 ）＝ 24 25 。 cos 2θ＝cos²θ－sin²θ＝( － 3

5 )²－( － 4

5 )²＝－ 7 25 ， tan 2θ＝ sin 2θ

cos 2θ ＝ 24 25 － 7 25

＝－ 24 7 。

[例題6] 已知tanθ=−3

4且270°<θ<360°，試求：

(1)cos2θ、tan2θ (2)sinθ

2、cosθ 2 Ans：(1)cos2θ=7

25、tan2θ=−24

7 、(2)sinθ 2=

1

10、cosθ

2 = −3 10

[例題7] 已知sinθ=−2

3且cosθ>0，請問下列哪些選項是正確的？

(1) tanθ<0 (2) tan²θ> 4

9 (3) sin²θ>cos²θ

(4)sin2θ>0 (5)標準位置角θ與2θ的終邊未在不同象限。

(2011學科能力測驗) Ans：(1)(2)

[例題8] 試證明三倍角公式：

(1) sin 3θ＝3 sinθ－4 sin³θ。

(2) cos 3θ＝4 cos³θ－3 cosθ。

證明：

(1) sin 3θ＝sin（2θ＋θ）＝sin 2θcosθ＋cos 2θsinθ ＝（2sinθcosθ）cosθ＋（1－2sin²θ）sinθ ＝2sinθcos²θ＋sinθ－2sin³θ

＝2sinθ（1－sin²θ）＋sinθ－2sin³θ ＝3sinθ－4sin³θ。

(2) cos 3θ＝cos（2θ＋θ）＝cos 2θcosθ－sin 2θsinθ ＝（2cos²θ－1）cosθ－（2sinθcosθ）．sinθ ＝2cos³θ－cosθ－2cosθ（1－cos²θ）

＝4cos³θ－3cosθ。

[例題9] (正切表示二倍角) sin2θ= 2tanθ

1+tan²θ ，cos2θ= 1−tan²θ 1+tan²θ 證明：

sin2θ=2sinθcosθ=2sinθ

cosθ cos²θ =2tanθ( θ cos2

1

1 )=2tanθ(

θ θ θ

2 2 2

cos cos sin

1

+ ) = 2tanθ 1+tan²θ

cos2θ=2cos²θ−1 = θ cos2

1

2 −1 =

θ θ θ

2 2 2

cos cos sin

2

+ −1 = 2

1+tan²θ −1 = 1−tan²θ 1+tan²θ。

結論：利用 tanθ可以將 sin2θ，cos2θ，tan2θ表示出來，整理如下：

(a) sin2θ= 2tanθ

1+tan²θ (b) cos2θ= 1−tan²θ

1+tan²θ (c) tan2θ= 2tanθ 1−tan²θ

(練習10) 設 θ 為第二象限角，且 tanθ＝－2，求 sin 2θ，cos 2θ與 tan 2θ之值。

Ans：−4 5 、−3

5 、 4 3

(練習11) 設 90°<θ<180°且 sinθ=3

5，求 sin2θ及 sinθ

2、sin3θ的值。

Ans：sin2θ=−24

25 ，sinθ 2=

3

10、sin3θ=117 125

(練習12) 試利用三倍角公式說明：若 x＝sin 10°，則 8x³－6x＋1＝0

（亦即 sin 10°是方程式 8x³－6x＋1＝0 之一根）。

(練習13) 180° <θ <270°，且 tanθ =3

4，則 sinθ

2 = ，cosθ

2 = 。Ans： 3

10 ，−1 10

(練習14) 試求 sin22.5°，cos22.5°，tan22.5°之值。Ans： 2

2

2− ，

2 2

2+ ，−1+ 2

(練習15) 設 90°<θ <180° ，且 3sin²θ−sinθ cosθ −2cos²θ =0，

則 sin2θ +cos2θ = 。Ans：−7 13

(練習16) 設 sinx=3cosx， 則 cos2x= ，sin2x= 。Ans：−4 5 ，3

5 (丙)和角與倍角公式的應用

[例題10] 在ΔABC中，已知AB=5，cos⎯ ∠ABC= −3

5 ，且其外接圓半徑為13 2， 則sin∠BAC= 。 Ans：33

65 (2010指定甲)

α

B D E C

A [例題11] 已知四邊形ABCD中，⎯

AB=16，⎯

BC=25，⎯

CD=15，∠ABC及∠BCD皆為銳 角，而sin∠ABC=24

25，sin∠BCD=4

5，試求：

(1)⎯BD=？ (2)⎯AD=？ Ans：(1)20 (2)12

(練習17) 矩形 ABCD 中，若AB=2，⎯ BC=7， ⎯ 在BC上取一點⎯ E，使得BE=3，⎯ 試求 tan∠AED= 。 Ans：−7

4

(練習18) 右圖是一個直角三角形 ABC，其中∠C=90°，

∠BAD=θ，若⎯CD=⎯BD=1，⎯AC=3，則tanθ=？

(A) 3 11 (B)

1 7 (C)

2 9 (D)

1 9 (E)

1 3。 Ans：(A)

(練習19) ΔABC中，已知 tanB= 3

4 ，cosC= 1

5，⎯BC =22，則 (1)sinA= ，(2)ΔABC之外接圓半徑為 。Ans：(1)

25 5

11 (2)5 5

(練習20) 如右圖，∠ABC=90°，BD=⎯ DE=⎯ EC=⎯ 1

2AB， ⎯ α

=

∠DAE ，∠EAC =β ，則 (1)^tanα =^{？ (2)cos}β =^？ Ans：(1)1

3 (2) 5 26

26

D C

B

A

E A D

B C

D B

C A

[例題12] 已知ΔABC中，⎯

AB=2、⎯

BC=3且∠A=2∠C，則⎯

AC= 。 Ans： 5

2 (2010學科能力測驗)

[例題13] (1)利用倍角公式，求出sin18^o之值。(2)求sin54^o之值。

Ans：(1) 4

1 5− (2)

4 1 5+

[例題14] 如圖，假設正五邊形的邊長為a，請求出對角線⎯AC的長度。

Ans： 5+1

2 a 註： 5+1

2 稱為黃金比例數

E A

B

C D

B C A

E

O

D

[例題15] 設sin2θ =−3

5，270°<θ <360°，試求下列之值：

(1)sinθ−cosθ (2)cos⁴θ−sin⁴θ (3)sin⁶θ +cos⁶θ Ans：(1)

5

− 8 (2)−4 5 (3)

73 100

結論：

底下是一些有用的公式：

(a) (sinθ±cosθ)²= sin²θ+cos²θ±2sinθ cosθ=1±sin2θ

(b) sin⁴θ+cos⁴θ=(sin²θ+cos²θ)²−2sin²θcos²θ=1−2sin²θcos²θ

(c)sin⁶θ+cos⁶θ=(sin²θ+cos²θ)³−3sin²θcos²θ( sin²θ+cos²θ)=1−3 sin²θcos²θ

(練習21) −90°<θ <90°， 且 sinθ+cosθ=1 4，

則(1)sin2θ = (2)cos2θ = ，(3)sin³θ +cos³θ = 。 Ans：(1)−15

16 (2) 31 16 (3)

47 128

(練習22) 若 225°<θ<270°，sin2θ=a，則 sinθ −cosθ = 。Ans：− 1−a

(練習23) 已知正五角星(即 ABCDE 為正五邊形)內接於一圓 O，

如右圖所示.若AC =1，則圓 O 的半徑長=？.

[sin18°= 5−1

4 ，cos18°= 4

5 2

10+ ]Ans：

5 2 10

2 +

(練習24) 設 f(x)=4x³−3x+1，則 f(x)被 x−sin20°除後所得的餘式= 。 Ans：1− 3

2 (提示：利用三倍角公式與餘式定理)

O A B

C

(練習25) 如下圖，一個大的正八角星形的頂點為周圍八個全等的小正八角星形中 心，相鄰的兩個小八角星有一個共同頂點。觀察圖中虛線部分，設小八

角星頂點 C 到其中心 A 的距離為 a，大八角星頂點 A 到其中心的距離

為 b。試問 a：b的比值為何？ Ans：

2 2 2−

綜合練習

(1) 試求下列各式的值：

(a) cos 78° cos 42°－sin 78° sin42°。(b) cos² 15°－sin² 15°。

(c) sin 22.5° cos 22.5°。 (d) 2 tan 67.5°

1－tan² 67.5° 。 (2) 已知180°＜θ＜270°，且tanθ＝ 4

3 ，試求下列各式的值：

(a) sin 2θ。 (b) cos 2θ。 (c) sin θ

2 。 (d) cos θ 2 。 (3) 化簡下列兩小題：

(a)sin(θ+60°)cos(θ−60°)−cos(θ+60°)sin(θ−60°)=？

(b)sin(A−B) sinAsinB +

sin(B−C) sinBsinC +

sin(C−A) sinCsinA =？ (4) 如右圖：設A(1,0)，Q(m,n)，P(−3

5 , 4

5)均在單位圓上

，∠QOP=60°，算出點Q的坐標。

(5) 設 sin84°＝a，cos63°＝b，則 (A) cos21°＝b 1－a² ＋a 1－b² (B) sin21°＝ab－ 1－a² ． 1－b² (C) sin147°＝ab＋ 1－a² ． 1－b² (D) cos147°＝b 1－b² －a 1－a² 。 (6) 在△ABC中，cos A＝ 13

14 ，cos B＝－ 1

7 ，求∠C。

(7) 如右圖，θ為一個有向角， AB ＝5， BC ＝12，

AB ⊥ BC ，求sin θ

2 與cos θ

2 之值。

(8) 如右圖，直角三角形ABD中，∠A為直角，C為⎯AD邊上的點。已知⎯BC=6，

AB=5，⎯ ∠ABD=2∠ABC，則⎯BD= 。(2010學科能力測驗)

(9) 設 ,270^o 2 360^o 3

2 1

cos α = ≤ α ≤ ^，求

(a)^cosα (b)tan (c)α

sin 2

cos⁴α2 ₊ ⁴α _之值 (10) 設0<α<90°，0<β<90°，且cosα=11

61，sinβ=4

5，請求出 (a)cos(α−β) (b)sin²α−β

2 (c)cos²α+β 2 。

y

O A(1.0)x

Q

P( 5

,4 5

−3 ₎

A B C

D

E

(11) 下列何者為8x³−6x+1=0 之根？

(A) sin10°(B) sin30°(C) sin130° (D) sin160° (E)sin250°。

(12) 如圖，ΔABC的對邊分別為a,b,c，P為C點的垂足

，h為高，BP=x，AP=y，

則下列那些選項必定為真？

(A)cosC= h a + h

b (B)cosC= x a + y

b (C)cosC=cos(A+B)(D)cosC=a²+b²−c²

2ac (E)cosC= h²−xy

ab 。(91學科)

(13) 如右圖，在ΔABC中，⎯AD⊥⎯BC於D點，

且⎯AD：⎯BD：⎯CD=6：2：3，求∠BAC=？。

(14) 坐標平面上設A(2，4)，B(3，1)，O(0，0)，

則tan∠AOB＝_______。

(15) 半徑 14 的圓 O 上有一扇形 AOB；如圖所示，在︵

AB 弧上取

一點 P，已知 P 對⎯OA作垂直線段⎯PQ，其長為 13；P 對⎯OB作 垂直線段⎯PR，其長為 11。則：

(a)若此扇形 AOB 的圓心角θ，則θ為________。

(b)斜線面積為_________。

(16) 如圖，設AP=PQ=QR=RB=BC，

求(a)tan∠1=？ (b)tan∠2=？ (c)tan∠3=？

(17) 設ΔABC為一直角三角形，BCDE為以⎯BC為一邊向外作出的正方形，

若⎯BC=5，⎯CA =4，⎯AB =3，

試求cos∠ACD= ，ΔACD的面積= 。

A P Q R B

C

1 2 3

a b

c h

C

B P A

B D C

A

A D B C

(18) 如右圖，在△ABC中，AB ＝3， BC ＝6，CA ＝7，且∠B 的分角線交其外接圓於P點，若∠ABP＝θ，求：

(a) sinθ之值。(b) PC 之長。

(19) 設A,B,C為ΔABC三內角的度量，且tanA,tanB,tanC均有意 義，試證：tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC。

(20) 設A，B，C均為正銳角，tanA＝2，tanB＝4，tanC＝13，

則(a)tan(A＋B)＝__________；(b)A＋B＋C＝__________。

(21) 已知ΔABC為銳角三角形，AB=7，AC =10，D點在BC邊上，∠BAD=α， 2

: 3 :DC =

BD ，若

5

sinα = 3^，(a)求cosA=？ (b)BC邊之長為何。

(22) 設tanα、tanβ為x²+px+q=0之二根(p²−4q≥0)，試以p,q表示 (a)tan(α+β)=？ (b)sin²(α+β)+psin(α+β)cos(α+β)+qcos²(α+β)=？

(23) 2x²+ax−1=0有一根為sin30^°+cos30^°，求a的值。

(24) (a)試求cos11.25°，sin11.25°的值。

(b)試求單位圓內接正十六邊形的面積及周長。

(25) 等腰三角形的頂角為20^o，腰長為1，底長為2b，試求8b³−6b之值為何？

進階問題

(26) 以x－cos40°除f(x)＝3x－4x³之餘式為 。 (27) 設180°<x<360°，化簡 1+cosx+ 1−cosx。 (28) 四邊形ABCD內接於圓O，圓O的半徑為65

8，已知四邊形的周長為44，

BC=⎯ CD=13，試問⎯ AB、⎯ AD的長度為何？ ⎯ (29) 試求cos20°cos40°cos80°的值。

(30) 已知cosα+cosβ=1

2且sinα−sinβ=1

3 ，求cos(α−β)與cos(α+β)的值。

(31) 如右圖，兩個全等的直角三角形中，AC =4，BD=3， 試求C點到直線AD的最短距離？

(32) 設cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，

試求cos(α−β)= 。 (33) 證明：

(a)sin(x+y)sin(x−y)=sin²x−sin²y。

(b)cos(x+y)cos(x−y)=cos²x−sin²y。

(34) α ,β ,γ ,δ 均為正銳角，tanα=1

3，tanβ= 1

5 ，tanγ =1

7 ，tanδ =1 8 ， 求α +β +γ +δ = 。

(35) 設cosx+cosy=a，sinx+siny=b，試以a,b表示cos(x−y)=？

(36) 設A,B,C為銳角ΔABC三內角的度量，且tanA,tanB,tanC均有意義，

試求tanA⋅tanB⋅tanC 之最小值。

(37) 設x²−px+q=0的二根為tanα，tanβ，且tanα+tanβ≠0，

試求sin( ) ) cos(

β αα β

+

− = 。

(38) ΔABC中，BC=a，CA=b，AB=c，s= a+b+c

2 ，

試證： bc

c s b s

A ( )( )

sin 2 = − −

(39) 設sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，求cos2α+cos2β之值。

(40) 在右圖ΔABC中，⎯AB=3,⎯AC=6,⎯AD=2，且∠BAD=θ，∠DAC=2θ ： (a)利用ΔABC之面積=ΔABD面積+ΔADC面積，

以θ之三角函數列出方程式。

(b)試利用(a)的結果求cosθ 之值。

(41) 試證明sin10°為無理數。

(42) 化簡

∑

= − ⋅ +

n

k 1sin(2k 1) sin(2k 1) 2

sin

o o

o 。

(Hint：sin2^o =sin[(2k+1)^o −(2k−1)^o]) (43) 求 ⁿ _{k k}

k 2

cos3 sin2

1

⋅ θ

∑

=

=？

(44) 過銳角∠XOY內部一點P作OX,OY之垂線，

垂足為A、B，若∠XOY=θ ，試證：

tanθ2 + =

+ OB OA

PB

PA 。

(45) 平行四邊形ABCD中，⎯AB=a，⎯AD=b，

且a≠b，∠A=α，其內角平分線圍成一矩形，

試以a,b,α表示此矩形的面積。

Y

O X

P B

A A

B

O

3

2 6

B C

A

D

A D

P R

S

綜合練習解答

(1) (a)−1 2 (b)

3 2 (c)

2

4 (d)−1 (2) (a)24

25 (b)−7 25 (c)

2 5

5 (d)− 5 5 (3) (a) 3

2 (b)0 (4) Q(

10 3 3 ,4 10

3 4

3+ +

− )[提示：設∠AOP=α，即得 cosα=−3

5 ，sinα= 4

5 ，

因為∠QOP=60° 所以∠AOQ=α−60°，⇒m=cos(α−60°)，n=sin(α−60°)]

(5) (A)(B)(C) (6) 60°

(7) sinθ 2=

5

26，cosθ 2=

1 26 (8) 90

7 (9) (a)− 6

3 (b)− 2 2 (c)

5 6 (10) (a)273

305 (b) 16 305 (c)

49 305 (11) (A)(C)(E)

(12) (E) (13) 45° (14) 1

(15) (a)120° (b)196π

3 −47 3[提示：令θ=∠AOP+∠BOP，再求 cosθ] (16) (a) 1

13 (b) 1 7 (c)

1 3 (17) −3

5 ，8 (18) (a) 5

3 (b) 21

4

(19) [提示：利用 A+B+C=180^°，A+B=180^°−C ⇒tan(A+B)=tan(180^°−C)，再 利用和角公式展開化簡即可得 tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC]

(20) (a)−6

7 (b)225°

(21) (a)3

5 (b) 65 (22) (a) −p

1−q (b)q (23) −2

(24) (a)

2 2 2

2+ + ；

2 2 2

2− +

(b)面積= 4 2 2

sin 8

8 π = − _{；周長 16 2 2 2}

sin16

32 π = − +

(25) −1 (26)

2 1

(27) )

cos2 (sin2

2 x x

− [提示：利用 cosx=2cos²x

2−1=1−2sin²x 2]

(28) 4、16或 16、4

[提示：設AB=x,⎯ AD=y，⎯ ∠CBD=∠CDB=θ，根據正弦定理可知 sinθ=4 5，又 周長為 44，所以 x+y=18，由餘弦定理可知BD⎯²=x²+y²−2xycos2θ，根據倍 角公式⇒xy=56]

(29) 1

8 (令 p=cos20°cos40°cos80°，

(2³sin20°p)=(2³sin20°) cos20°cos40°cos80°=sin160°) (30) cos(α−β)= 5

13，cos(α+β)=−59 72 [提示：cosα+cosβ=1

2 …….(A)，sinα−sinβ=1

3 ……..(B)， (A)²+(B)² ⇒2+2cos(α+β)=13

36， 由(A)2cosα+β

2 cosα−β 2 =

1

2，由(B)2sinα−β

2 cos α+β 2 =

1

3，將兩式 相除，得 tanα−β

2 ，再求 cos(α−β)= 5 13]

(31) 25 96

(32) −1

2 ( Hint：將cosα+cosβ=−cosγ，sinα+sinβ=−sinγ兩式平方相加)

(33) 利用和角公式直接計算，即可得證.

(34) 45°[提示：可以先計算 tan(α+β)、tan(γ+δ)，再計算 tan(α+β+γ+δ )的值]

(35) 1

2(a²+b²−2)

(36) 3 3 (Hint：利用不等式 ³

3 c abc

b

a+ + ≥ ，其中 a,b,c 為正數與

tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC) (37) 1+q

p

(38) [提示：sin²A 2 =

r²

OA²，因為 r=Δ

s 所以 r²=1

s²⋅s(s−a)(s−b)(s−c)

=(s−a)(s−b)(s−c)

s ，OA²=r²+(s−a)²=(s−a)[(s−b)(s−c)+s(s−a)]

s ，

sin²A 2 =

r²

OA²= (s−b)(s−c)

(s−b)(s−c)+s(s−a)=(s−b)(s−c) bc ]

(39) 1[提示：sinα=1−sinβ，cosα=−cosβ，兩式平方相加可得 sinβ=1

2 ⇒sinα=1 2 再計算 cos2α+cos2β]

(40) 令θ=10°，3θ=30°⇒sin3θ= 1

2 ⇒3sinθ−4sin³θ= 1

2 ⇒8sin³θ−6sinθ+1=0 故 sinθ為方程式 8x³−6x+1=0 的實根，再證明方程式 8x³−6x+1=0 無有理 根，即可得證。

(41) (a)3sin3θ=sinθ +2sin2θ (b) 6

13 1+

(42) cot1^o −cot(2n+1)^o (43) 1

2(sin2θ −sin θ 2ⁿ⁻¹)

[提示： ⁿ _{k k}

k 2

cos3 sin2

1

⋅ θ

∑

=

= )

sin2

(sin2 _{2 1}

1 − −

=

∑

k

θ

θ ₌¹

2(sin2θ −sin θ 2ⁿ⁻¹)]

(44) [提示：設∠POA=α，∠POB=β，PA=OP⋅sinα，PB=OP⋅sinβ OA=OP⋅cosα， OB=OP⋅cosβ PA+PB

OA+OB =

sinα+sinβ cosα+cosβ

=

cos 2 cos 2

2

cos 2 sin 2

2

β α β α

β α β α

− +

− +

=tanα+β 2 =tanθ

2。]

(45) 1

2 (b−a)²sinα [提 示 ：BS=BC⋅sinα

2 =bsinα

2，BP=BA⋅sinα

2 =a⋅sinα 2 PS=BS−BP=(b−a)sin α

2 ， AQ=AD⋅cos α

2 ， AP=AB⋅cos α

2 ，

PQ=AQ−AP=(b−a)cosα

2，故矩形面積=PS⋅PQ=1

2(b−a)²sinα。]