1−1 直角三角形的邊角關係

A C3

B3

C1

B1

C2

B2

θ

第一章 三角

§1 − 1 直角三角形的邊角關係

(甲)正弦、餘弦與正切的定義

相 似 三 角 形 其 三 邊 長 的 比 都 是 定 值 ， 若 是 將 相 似 的 直 角 三 角 形 擺 放 如 右 圖，並且讓相同的內角∠A 重疊，只要∠A 固定，則這些直角三角形三邊長的比 例是固定的。即

給定一銳角∠A，因為直角△AB1C1~△AB2C2~△AB3C3~……，

所以B1C1

AB1 = B2C2

AB2 = B3C3

AB3...

故上述的比值只受∠A 的大小影響。

換句話說當銳角∠A的度數固定時，作直角△ABC(∠C為直角)，那麼所作的三 角形，其邊長大小不論如何改變，相異兩邊長的比值： BC

AB ， AC

AB 與 BC AC 是不會改變的。這些不變的比值，分別稱為∠A 的正弦，餘弦與正切。

(1)正弦、餘弦與正切的定義：

設ΔABC為直角三角形，其中∠C 為直角三角形，AB為斜邊，兩股⎯ BC與⎯ AC分 ⎯ 別是∠A 的對邊與鄰邊。

設BC=a，⎯ AC =b，⎯ AB =c， ⎯

∠A 的正弦(讀做 sineA)=sinA= 對邊

斜邊 = BC AB =

a c

∠A 的餘弦(讀做 cosineA)=cosA= 鄰邊

斜邊 = AC AB =

b c

∠A 的正切(讀做 tangentA)=tanA= 對邊

鄰邊 = BC AC =

a b 例如：

直角三角形 ABC 各邊為 c=13，a=12，b=5 依據定義：sinB= 5

13 ，cosB= 12

13 ，tanB= 5 12

另一方面：如果∠A的度量是 θ，則 sinA 也可記為 sinθ。

A C

B c (斜邊)

a (∠A的對邊)

b (∠A的鄰邊)

(練習1) 特殊角的三角函數值：

請根據上面的圖形，填完下表：

∠A sinA cosA tanA

30° 45° 60°

[例題1] 一直角三角形ABC中，設⎯AC=41，⎯AB=40，⎯BC=9，令∠BAC=θ， 試求sinθ 、cosθ 、tanθ。

sinθ，cosθ，tanθ 中，若已知其中一個，由畢氏定理我們就可以求出其它兩個。

[例題2] 直角三角形ABC中，已知tanA =2，試求sinA、cosA。

Ans： 5

sinA= 2 ，

5 cosA= 1

A

B

C 45^°

1

1 2

A

B

C 60^°

1

3 2

A

B

3 C

1 2

30^°

[例題3] 設銳角三角形ABC的垂心(三高的交點)，若以b表示⎯

AC的長度，則線段⎯

AH 的長度等於

(1) bcosA

sinB (2) bcosAsinB (3) bcosAcosB (4) bcosA

tanB (5) bcosAtanB。

Ans：(1)

(練習2) 如圖，A，B 兩個纜車站的距離為 1000 公尺， AB 的坡度是 30°，如果 車站 A的標高 AD 是 450公尺，求車站B的標高 BE 是

多少公尺？

Ans：950公尺

(練習3) 在下列各直角三角形中，分別計算 sinA，cosA，tanA 之值。

(1) (2)

Ans：(1)sinA= 2

5 ，cosA= 21

5 ，tanA= 2 21 (2)sinA= 2

3 ，cosA= 5

3 ，tanA= 2 5 (練習4) 有一長方形 ABCD， AB ＝9，且對角線

AC 與邊 BC 的夾角為 60°，求此長方形

的面積。Ans：27 3

(練習5) 設θ為銳角且 tanθ＝ 2，則 sinθ＝ ，而 cosθ＝ 。 Ans： 6

3 ， 1 3

(練習6) 設θ為一銳角，1+tanθ

1−tanθ = 3+2 2，試求 tanθ= ，sinθ=_____。

Ans：tanθ = 2

1 sinθ= 3 1

A

15 10

10 A

4

(乙)正弦、餘弦與正切的關係

由上一節知，若三角形△ABC 中，∠C=90°，∠A 的度數為θ，以 a,b 與 c 分別 表示三邊⎯BC，⎯CA與⎯AB之長，則可發現正弦、餘弦與正切並非毫不相干，而是 具有某些關聯的。

根據前面對於正弦、餘弦與正切的定義，可以得知：

sinθ= a

c ，cosθ= b

c ，tanθ= a b 。

‹ 商數關係 Q sinθ= a

c ，cosθ= b

c ，tanθ= a b

∴ tanθ= a b =

c bc a

=sinθ cosθ。

上述關係稱為 sinθ、cosθ與 tanθ的商數關係。

‹ 平方關係 Q sinθ= a

c ，cosθ= b c

∴(sinθ)²+(cosθ)²=( a

c )²+( b

c )²= a²+b²

c² = 1(Qa²+b²=c²) (sinθ)²通常寫成 sin²θ，(cosθ)²通常寫成 cos²θ。

故 sin²θ+cos²θ=1。

上述關係稱為 sinθ與 cosθ的平方關係。

注意：sin²θ=(sinθ)² cos²θ=(cosθ)²

‹ 餘角關係：

上述的直角三角形 ABC 中，∠C=90^°，∠A+∠B=90^°，我們可以觀察∠A 的對邊 剛好為∠B 的鄰邊，∠A 的鄰邊剛好是∠B 的對邊，由正弦和餘弦函數的定義

b c = cosθ

a c = sinθ 1

A C

B

sinB= ∠B的對邊

斜邊 = ∠A的鄰邊

斜邊 =cosA。

即 sin(90°−θ)=cosθ

同理 cos(90°−θ)=sinθ。

sin(90°−θ)=cosθ與 cos(90°−θ)=sinθ，稱為 sinθ與 cosθ的餘角關係。 結論：

正弦、餘弦與正切的關係 商數關係：tanθ=sinθ

cosθ 平方關係：sin²θ+cos²θ=1

餘角關係：sin(90°−θ)=cosθ與 cos(90°−θ)=sinθ

上述各種關係對於任意銳角θ都成立，根據這些關係，可以得知只要知道 sinθ， cosθ，tanθ中之一個，就可推得其它的值。

[例題4] 已知θ為銳角且tanθ=5

6，試求sinθ，cosθ之值。

Ans：sinθ= 5

61，cosθ= 6 61，

(練習7) 試以銳角分別填入下列空格中：

(1) sin 73°＝cos（ ）。 (2) cos 80°＝sin（ ）。

(2)求 sin² 17°＋sin² 73°之值。

Ans：(1)17°、10° (2)1

(練習8) 直角△ABC 中，∠C＝90°，若 cosA＝ 1

4 ，求 sinA，tanA之值。

Ans： 15

4 、 15

(練習9) 設θ為銳角，且令 tanθ=k，請用 k表示下列各三角函數的值：

(1)cosθ (2)sinθ Ans：(1) 1

1+k² (2) k 1+k²

[例題5] (等腰三角形內角的正弦、餘弦與正切)

如圖，有一等腰三角形ABC，其中⎯AB=⎯AC=6，⎯BC=4 請問tanB=？ sinB=？ Ans：sinB=2 2

3 ，tanB=2 2

[例題6] 設θ為銳角，且sinθ=3

5，試求sinθ

2、cosθ 2。 Ans：sinθ

2=

1

10，cosθ 2=

3 10

B C

A

A B

C

D

θ θ 2

5

5

3

4

[例題7] (基本關係的應用) 設0°<θ<90°，試證明：

(1)(sinθ+cosθ)²=1+2sinθcosθ。 (2)(sinθ−cosθ)²=1−2sinθcosθ。

[例題8] (基本關係的應用)

設θ為銳角，且2 sinθ +cosθ =2，求sinθ 與cosθ 。 Ans：sinθ=3

5，cosθ =4 5

[例題9] (基本關係的應用)

設θ為銳角，且sinθ +cosθ=4

3，求下列各小題的值：

(1)sinθ⋅cosθ (2)sinθ−cosθ (3)sin³θ + cos³θ 。 Ans：(1)7

18 (2)± 2 3 (3)

22 27

A B

P

C

(練習10) 於ΔABC 中，∠A 為直角，⎯ AB =⎯

AC，D 是⎯

AC的中點令∠DBC=θ ，則 tanθ = 。 Ans： 1

3

(練習11) 如圖，若 sinθ =21

29，求 tanθ

2的值。

Ans： 3 7

(練習12) 如圖，⎯AB為直徑且⎯AB=10，令∠PCB=θ，已知 sinθ=4 5， 求 PA=？Ans：PA=6

(練習13) 設θ為銳角，sinθ−cosθ=1

2，請計算下列各小題的值：

(1)sinθ ⋅cosθ (2)sinθ +cosθ Ans：(1)3

8 (2) 7 2

(練習14) 假設 cosθ+3sinθ=2，且 0<θ<90°，求 cosθ+sinθ之值。Ans：4+ 6 5

(練習15) 已知 0°<θ<90°，試證明：1+cosθ

sinθ + sinθ

1+cosθ = 2 sinθ。

(練習16) 直角△ABC 中，∠C＝90°，⎯AC=4，⎯BC=3，自 C 作⎯CD垂直AB於 D，

作⎯DE垂直⎯AC於 E，則⎯DE的長為 。Ans：

25 48

(丙)正弦、餘弦與正切的增減關係

前面談到特別角的正弦，我們知道當 θ由 30° 增大到 45°，再增大到 60°時，sinθ 的值由 1

2 增大到 2

2 ，再增大到 3

2 。一般情形，當銳角 θ 增大時，sinθ 的值是 否也會增大呢？而 cosθ，tanθ又如何？

右圖是以 O為圓心的四分之一單位圓（半徑為 1 的圓稱為單位 圓），其中∠AOP＝θ，A，P 在圓上， AB 垂直 OP 於 B 點，

過 P 點與單位圓相切的直線交直線 OA 於 C 點，

則 sinθ＝ AB ，cosθ＝ OB ，tanθ＝ PC 。

D B C

A

θ ²¹

29

設 α，β 都是銳角，由下圖知：

(a) (b)

若 β＞α，則sinβ＞sinα，cosβ＜cosα（圖(a)），且 tanβ＞tanα（圖(b)）。

實際上，因為 sinα 隨銳角 α 增大而增大，所以由 sin²α＋cos²α＝1 可知 cosα 隨 α 增大而減小；再進一步，由 tanα＝ sinα

cosα 亦可知 tanα 隨 α 增大而增大。

結論：

(1)當銳角 θ 遞增時，正弦、餘弦與正切的遞增（以↗表示）或遞減（以↘表示）

如下表所示：

sinθ cosθ tanθ

↗ ↘ ↗ (2) tanθ＝ sinθ

cosθ ＞ sinθ

1 ＝sinθ。

[例題10] 設θ為銳角，試討論何時，cosθ>tanθ。 Ans：當θ滿足，0<sinθ<−1+ 5

2 時，cosθ>tanθ。(θ約為38.17°)

(練習17) 試比較下列各數的大小：

sin 18°，cos 18°，tan 18°，sin 72°，cos 72°，tan 72°。

〔提示：先比較 cos 30°與 tan 30°的大小，再比較 cos 18°與 tan 18°的大小〕

Ans：sin18°=cos72°<tan18°<cos18°=sin72°<tan72° (練習18) 試比較下列的大小關係：

(1)cos50° cos25° (2)sin52° cos52° (3)sin73° 3

2 (4)cos68° 1 2 (5)cos45° tan45° (6)tan25° 1.1 Ans：(1)< (2)> (3)> (4)< (5)< (6)<

綜合練習

(1) 如右圖，△ABC為直角三角形，∠C＝90°，∠A＝θ，若 AC ＝12， BC ＝5，

求sinθ，cosθ，tanθ之值。

(2) 設θ為銳角，且cosθ＝ 5

5 ，試求：

(a) sinθ與tanθ之值。 (b) 比較θ與60°的大小。

(3) 試求下列各式的值：

(a)2cos²30°−1 (b)2sin30°cos30°

(c) 2tan30°

1−tan²30° (d)tan45°+ 3tan60°−sin²30°

(4) 設△ABC為等腰三角形，若頂角∠A＝40°，底邊 BC ＝12，則下列選項中何者 可用以表示底邊上的高？（單選）

(A) 6 sin 20° (B) 6 cos 20° (C) 6 tan 20°

(D) 6 tan 70° (E) 6 cos 40°

(5) 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝θ，若 AB ＝20，試分別依下列各條 件，求 BC 與 AC 之長。

(a) sinθ＝ 3

4 。 (b) tanθ＝ 3

4 。 (c) ∠B＝2θ。

(6) 求一個半徑r的圓內接正n邊形與圓外切正n邊形的周長。

(7) 如右圖，在矩形ABCD中， AB ＝12公分， BC ＝8公分，

P點在 AB 上移動，但P點異於A，B點，求tanα＋tanβ之值。

(8) 如下圖所示：扇形OAB中，OA＝OB＝a，∠AOB＝2θ， 已知扇形的內切圓半徑為r，若以a及θ表內切圓半徑r，

則r＝ ；又若θ＝30^°，則比值 r

a＝ 。

(9) 銳角三角形ABC中，已知sinB= 4

5、sinC=12

13，若⎯AB=15，

試求(a)⎯AC=？ (b)ΔABC的面積。

(10) 右圖是以O為圓心的四分之一單位圓，P為其上一點，

直線AB是過P點與單位圓相切的直線， PC 垂直直線 OA於C點。設∠POA＝θ（0°＜θ＜90°），

試分別以單一線段長表示sinθ，cosθ，tanθ。

(11) 如右圖，ΔABC中，⎯AD ⊥ ⎯BC，已知⎯AB =15，tanB=7 24 ， sinC= 2

5 ，則⎯BC=？

(12) 設圓O之半徑為24，⎯OC =26，⎯OC 交圓O於A點，

⎯CD 切圓O於D點，B為A點到⎯OD 的垂足，如右 邊的示意圖。則⎯AB = 。

(化為最簡分數) (2014學科能力測驗)

(13) 設tanθ =3，求 (a)2sinθ+3cosθ

sinθ−2cosθ (b)2sin²θ+sinθcosθ−cos²θ sin²θ+sinθcosθ−2cos²θ。 (14) 若sinθ−cosθ= 1

3，試求下列各值：

(a)sinθcosθ (b)sinθ+cosθ (c)sinθ、cosθ。 (15) 設θ為銳角且7 sinθ−cosθ =5，求sinθ=？

(16) 設θ為銳角，若sinθ、cosθ為方程式5x²−7x+k=0的兩根，試求下列各值：

(a)sinθ+cosθ (b)sinθcosθ (c)k (d)sin³θ+cos³θ (17) 設sinθ+cosθ = 1

2 ，則求下列各小題的值：

(a)sinθ⋅cosθ= 。(b)sinθ−cosθ = 。

(c)sin³θ + cos³θ = 。(d)sin⁶θ +cos⁶θ = 。

A

B M C

D

θ (18) 有一塊正方形的壓克力版，其中有一個角落附近有

瑕疵，現在要將它依右圖的方式截成一塊較小的正方 形壓克力，小正方形的邊與大正方形的邊成一個角度θ (0<θ<45°)使得其面積為原來面積的3

4，試問

tanθ= 。

(19) 作一直角三角形ABC，使得∠A＝15°，

如右圖。若作∠ABD＝15°，且D點在 AC 上，故得∠BDC＝30°，若 BC ＝1，

試求：

(a) CD ， AD 與 AB 之長。

(b) sin 15°，cos 15°，tan 15°之值。

(20) 右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形，且 OD ＝8，

請利用上題(b)的數據求直角三角形OAB的高 AB 之長。

(21) △ABC是一個頂角為36°的等腰三角形，AM與⎯ ⎯BD分別是

∠A與∠B的分角線，如右圖所示。

試利用△BCD~△ABC，求sin18°之值。

進階問題

(22) 如圖，∠B＝90^。，3CD＝2BD，AB＝BD， 則tan∠CAD之值為 。

(23) 設ΔABC中，cos∠ABC=4

5，cos∠ACB= 1

5，⎯BC之中 點M，而⎯AH⊥⎯BC於H，若MH=5，求⎯ ⎯BC=？

(24) 銳角ΔABC之三邊長為a,b,c，其所對應的高為ha , hb , hc，已知tanA=1，tanB=2，tanC=3，則 abc

hahbhc =？

(25) 有二同心圓，外圓之一直徑AD，被內圓三等份於

B、C，(如圖)，在外圓上任取異於A,D之一點為P，

設∠APB=α，∠DPC=β，試求tanα⋅tanβ之值。

A B C D

P

(26) 設x cosθ + y sinθ =4，x sinθ−y cosθ =3，試求x與y的關係。

(27) 如右圖，∠BDC=90^°，∠ADB=30^°，A、B、C共線，

且⎯AB=⎯CD=1，求⎯BC的長。

D C

B A

~1−1−14~

綜合練習解答

(1) sinθ= 5

13，cosθ=12

13，tanθ= 5 12 (2) (a)2 5

5 (b)θ>60° (3) (a)1

2 (b) 3

2 (c) 3 (d) 15

4 (4) (D)

(5) (a)15，5 7 (b)12，16 (c)10，10 3 (6) 2nrsin180^°

n ，2nrtan180^° n

(7) 3 2 (8) r＝

θ θ sin 1

sin

＋

a ；3 (9) (a)13 (b)84 (10) ⎯PC、⎯OC、⎯PA (11) 33

2 (12) 120

13 [解法]：

設∠AOB=θ，26 sinθ=⎯CD =24tanθ⇒cosθ=12 13，

∴⎯AB =24sinθ=120 13。

(13) (a)9 (b)2 [Hint：(a)分子、分母同除以 cosθ (b) 分子、分母同除以 cos²θ ] (14) (a) 4

9 (b) 17

3 (c)sinθ=1+ 17

6 、cosθ= 17−1 6 (15) 4

5 [Hint：cosθ =7sinθ −5，兩邊平方，再利用 sin²θ+cos²θ=1，化成 sinθ的 二次方程式，再解出 sinθ ]

(16) (a) 7 5 (b)

12 25 (c)

12 5 (d)

91 125 (17) (a)− 1

4 (b)± 6 2 (c)

5⋅ 2 8 (d)

3 16 (18) 3−2 2

[解法]：設大正方形邊長為 1，

θ x

N K L

B C

則小正方形邊長為 3

2 ，令ND=x ⎯

因為ΔMDN、ΔNCK 全等，所以MD=⎯ CN=1⎯ −x 故3

4 = x²+(1−x)² ⇒x=2− 2 4 (

2+ 2 4 不合) tanθ= x

1−x = 3−2 2。

(19) (a) 3、2、 6+ 2 (b) 6− 2

4 、 6+ 2

4 、2− 3 (20) 3

(21) sin18°= 5-1 4 (22)

4 1

(23) ⎯BC=22 (24) 5

3 (Hint：考慮

b c

a h

a h

b h

c , , 的值)

(25) 1

4 [提示：tanα=EB

PE，tanβ=CF PF]

(26) x²+y²=25 (27) ³ 2

補充教材 (甲)∠A 的餘切、正割與餘割的定義：

設ΔABC為直角三角形，∠C 為直角，AB為斜邊，兩股⎯ BC與⎯ AC ⎯ 分別是∠A 的對邊與鄰邊，定義∠A的三角函數如下：

∠A 的餘切=cotA= ∠A的鄰邊

∠A的對邊 = AC BC =

b a

∠A 的正割=secA= 斜邊

∠A的鄰邊 =AB AC =

c b

∠A 的餘割=cscA= 斜邊

∠A的對邊 =AB BC =

c a 根據定義可以得知：

cotA 與 tanA 互為倒數、secA 與 cosA 互為倒數、cscA 與 sinA 互為倒數。

(乙)基本關係：

(1)倒數關係：

(a) sinθ ×cscθ=1 (b)cosθ ×secθ=1 (c)tanθ ×cotθ=1 (2)平方關係(利用畢式定理可得)

(a) sin²θ+cos²θ=1 (b) tan²θ+1=sec²θ (c)1+cot²θ=csc²θ

(3)餘角關係：(直角三角形的兩銳角互為餘角關係)

(a)sin(90°−θ)=cosθ (b)cos(90°−θ)=sinθ (c)tan(90°−θ)=cotθ (d)cot(90°−θ)=tanθ (e)sec(90°−θ)=cscθ (f)csc(90°−θ)=secθ (4)商數關係：

(a)tanθ=sinθ

cosθ (b)cotθ=cosθ sinθ (5) 銳角三角函數範圍：

若 0°<θ<90°，則

(a)0<sinθ<1⇒倒數 cscθ>1 (b)0<cosθ<1⇒倒數 secθ>1 (c)tanθ、cotθ任意正數

A C

B c (斜邊)

a (∠A的對邊)

b (∠A的鄰邊)