位移 Flcos α
Fvcos α
1 2mv2
动能
保持不变
能量的总量
专题一 功的判断与计算 1 ．判断力 F 做功的方法：
(1) 看力 F 与位移 l 的夹角 α 的大小．若 α ＝ 90° ，则 F 不做功；
若 α<90° ，则 F 做正功；若 α>90° ，则 F 做负功 ( 或物体克服力 F
做功 ) ．此法常用于判断恒力做功的情况．
(2) 看力 F 与物体速度
v
的方向夹角 α 的大小．若 α ＝ 90° ，则 F不做功；若 α<90° ，则 F 做正功；若 α>90° ，则 F 做负功．此法 常用于判断曲线运动的做功情况．
(3) 看物体间是否有能量转化．功是能量转化的量度，若有能 量转化 ( 增加或减少 ) ，则必是有力做功．此法常用于两个相互联系 的物体做曲线运动的情况．
【例 1 】如图 7 － 1 所示，一辆玩具小车静止在光滑的水平 导轨上，一个小球用细绳悬挂在小车上，由图中位置无初速释
图 7 － 1 放，则小球在下摆过程中，下列说法正确的是 ( )
A ．绳的拉力对小球不做功 B ．绳的拉力对小球做正功 C ．小球所受的合力不做功 D ．绳的拉力对小球做负功
解析：在小球向下摆动的过程中，小车向右运动，绳对小 车做正功，小车的动能增加；小球和小车组成的系统机械能守 恒，小车的机械能增加，则小球的机械能一定减少，所以绳对 小球的拉力做负功．
答案： D
2 ．功的计算方法：
(1) 运用
W
＝Fl
cosα
( 常用于求恒力做功 ) ．(2) 运用
W
＝Pt
( 既可求恒力做功，也可求变力做功 ) ． (3) 运用动能定理W
合＝ ΔE
k( 常用于变力做功 ) ．(4) 先求平均力，后求功
W
＝F l
cosθ
( 适用于求解线性变化 的力做功 ) ．(5) 图象法求功：作出
F
－l
图，计算图线与l
轴包围的面积，在数值上与
F
做的功相等．【例 2 】某人用
F
＝ 100 N 的恒力，通过滑轮把物体拉上斜 面，如图 7 － 2 所示，力F
的方向恒与斜面成 60° 角，若物体沿 斜面运动 1 m ，则他做的功是多少？ ( 取g
＝ 10 m/s2)图 7 － 2 图 7 － 3
【例 3 】有一个竖直放置的圆形轨道，半径为
R
，由左右两 部分组成．如图 7 － 4 所示，右半部分AEB
是光滑的，左半部 分BFA
是粗糙的．现在轨道最低点A
放一个质量为m
的小球，并给小球一个水平向右的初速度
v
A ，使小球沿轨道恰好运动到最高点
B
，小球在B
点又能沿BFA
轨道回到A
点，到达A
点时 对轨道的压力为 4mg
. 求初速度v
A 和小球由B
经F
回到A
的过程中克服摩擦力所做的功．
图 7 － 4
【例 4 】如图 7 － 5 所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地 浮着一块立方体木块，木块的边长为
h
，其密度为水的密度ρ
的 一半，横截面积也为容器底面积的一半，水面高为 2h
. 现用力缓 慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功．图 7 － 5
解：木块下降的同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器 底，所以压力总等于增加的浮力，压力是变力．木块完全浸没 在水中的下降过程中，压力是恒力
木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降
x
1 ，水面上升x
2 ，根据水的体积不变，有h
2x
1 ＝h
2x
2得
x
1 ＝x
2【例 5 】用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木 板的深度成正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同．在铁锤 击第一次时，能把铁钉击入木板内 1 cm ，则击第二次时，能击 多深？
解：铁锤每次做的功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩
擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，
F
＝kx
，以F
为纵坐标，F
方向上的位移x
为横坐标，作出F
－x
图象，如图 7 － 6 所示，函数图线与
x
轴所夹阴影部分面积的值等于F
对铁钉做的功．由于两次做功相等，故有面积
S
1 ＝S
2图 7 － 6
【触类旁通】
1 ．如图 7 － 7 所示，木板可绕固定的水平轴
O
转动．木板 从水平位置OA
缓慢转到OB
位置，木板上的物块始终相对于 木板静止．在这一过程中，物块的重力势能增加了 2 J ．用F
N 表示物块受到的支持力，用f
表示物块受到的摩擦力．在此过程中，以下判断正确的是 ( B )
图 7 － 7 A ．
F
N 和f
对物块都不做功B ．
F
N 对物块做功为 2 J ，f
对物块不做功 C ．F
N 对物块不做功，f
对物块做功为 2 J D ．F
N 和f
对物块所做的功代数和为 02 ．人在
A
点拉着绳通过一定滑轮吊起质量为m
＝ 50 kg 的 物体G
，如图 7 － 8 所示．开始时绳与水平方向的夹角为 60° ， 人匀速提起重物由A
点沿水平方向运动s
＝ 2 m 而到达B
点，此 时绳与水平方向成 30° 角．求人对绳的拉力做了多少功？ ( 取g
＝ 10 m/s2)
图 7 － 8
解：人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却
时刻在变，而已知的位移 s 方向一直水平，所以无法利用 W ＝ Fscos α 直接求拉力的功．若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉 力做的功与绳对物体的拉力做的功是相同的，而绳对物体的拉力 则是恒力，可利用 W ＝ Fscos α 求了！
专题二 动能定理及其应用
4 ．动能定理的研究对象可以是单一物体，也可以是能够看 做单一物体的系统，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线 运动，而且在分析中不用研究物体运动的细节，只需考虑整个 过程的做功量及过程的初末动能．因此，比牛顿第二定律的适 用范围更广泛．
5 ．应用动能定理可以把物体经历的物理过程分为几段处 理，也可以把全过程看做整体来处理．在应用动能定理解题时，
要注意以下几个问题：
(1) 正确分析物体的受力，要考虑物体所受的所有外力，包 括重力．
(2) 要弄清各个外力做功的情况，计算时应把各已知功的正 负号代入动能定理的表达式．
(3) 在计算功时，要注意有些力不是全过程都做功的，必须 根据不同情况分别对待，求出总功．
(4) 动能定理的计算式为标量式，
v
必须是相对同一参考系 的速度．(5) 动能是状态量，具有瞬时性，用平均速度计算动能是无 意义的．
【例 6 】总质量为
M
的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为
m
，中途脱节，司机发觉时，列车已行驶了L
的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设运动的阻力与 车的重力成正比，列车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都 停止时，它们的距离是多少？【触类旁通】
3 ．如图 7 － 9 所示，斜面足够长，其倾角为
α
，质量为m
的滑块距挡板P
为s
0 ，以初速度v
0 沿斜面上滑，滑块与斜面间 的动摩擦因数为μ
，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力 分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面 上经过的总路程为多少？图 7 － 9
解：在整个过程中，滑块受重力、摩擦力和斜面支持力的 作用，其中支持力不做功．设其经过的总路程为
L
，对全过程，由动能定理得
专题三 机械能守恒定律及其应用
1 ．应用机械能守恒定律处理问题时，先要确定研究对象，
明确对象的初、末状态，作出运动过程的受力分析，判断是否 满足机械能守恒条件．
2 ．机械能守恒定律的三种表达方式：
(1)
E
k1 ＋E
p1 ＝E
k2 ＋E
p2 ，理解为物体或系统初状态的机械能 与末状态的机械能相等．(2)Δ
E
k ＝－ ΔE
p, 表示动能和势能发生了相互转化，系统减 少 ( 或增加 ) 的势能等于增加 ( 或减少 ) 的动能．(3)Δ
E
A ＝－ ΔE
B ，适用于系统，表示由A
、B
组成的系统，A
部分机械能的增加量与B
部分机械能的减少量相等．【例 7 】如图 7 － 10 所示，摆球的质量为
m
，从偏离水平 方向θ
＝ 30° 的位置由静止释放，求小球运动到最低点A
时绳子 受到的拉力是多大？图 7 － 10
【触类旁通】
4 ．如图 7 － 11 所示，位于竖直平面内的轨道，由一段斜直 轨道和圆形轨道分别与水平面相切连接而成，各接触面都是光
滑的，圆形轨道的半径为
R
. 一质量为m
的小物块从斜轨道上A
点处由静止开始下滑，恰好通过圆形轨道最高点D
. 物块通过轨 道连接处B
、C
时无机械能损失．求：(1) 小物块通过
D
点时的速度v
D 的大小；(2) 小物块通过圆形轨道最低点
C
时轨道对物块的支持力F
的大小；(3)
A
点距水平面的高度h
.图 7 － 11
