第一部数与量 第一章数学推理的性质
一
数学的科学的可能性本身好像是一种不可解决的矛盾。如果这种科学之 为演释不过是表面的，则它所有的这种严密而无疑的正确性何由而来的呢？
反之，若说它的一切命题都可用形式逻辑的规则相互引出，则数学岂不变成 一种庞大的重复语么？三段能不能告人以真正新颖的事物，且如所有必来自 同一律，则所有亦必能归入其中。然则充满许多书中的定理的陈述将不过是 Ａ 即 Ａ 的各种弯转的说法而已，这样说人们会同意吗？
自然，所有的推理都可归根到几条公理上，因这是所有推理的起源。假 使有人断定这些推理不能化为矛盾律，又如人们也不原认为是一些不能参加 数学需要性的经验事实，则人们还有可能把那些推理列入先验的综合判断之 中。这样并非解决困难，不过加以洗礼而已。即使到了综合判断的性质对于 我们不再神秘的时候，然而那矛盾仍不会消减的，它不过退了一步。三段论 推理对于给与它的数据仍是无所添加的，这些数据化为一些公理，而在结论 中人们决不能找到别的东西。
无论什么定理，如在它的证明中不参加新的公理，则必不是新的，推理 只能借用直接的直觉法给我们直接明显的真理；它好像只是一个寄生的中 人，于是人们要不要问那所有三段论的工具是否单单用来遮蔽我们的借用品 的？
我们随便展开一本数学书，便知道其中的矛盾令人更为惊奇；著者在每 一页里有推广已知的命题的意图。所以数学方法是否由特别而推及普遍，然 则何以又说它是演绎的呢？
最后，如果数学是纯粹分析的，或可由少数综合判断分析出来的，则特 殊聪明的人一眼就可能看出所有的真理。再说吧，人们甚至可希望总有一天 会发明一种简单的言语，来叙述这些真理；使得常人也能一目了然。
人们如不承认这些结果，就要知数学推理的本身有一种创造性，因此它 与三段论实有区别。
两者的区别应该是深刻的。譬如将两相等数作同样的均匀运算，便有相 同的结果，我们实在不能解释这条常用规则的奥妙。
所有这些推理的形式，不问其可否归入真正的三段论，总保有分析性，
而其能力薄弱也正是这个缘故。
二
我们现在要讨论的，已是很陈旧的问题了；赖布尼兹已经想证明二加二 得四，我们试看他的证法如何。
我假定对数 １ 已下定义，又知 ｘ＋１ 即加一单位于给定数 ｘ 的运算。
这些定义，无论如何，与推理的进展没有关系。
其次我对 ２，３ 和 ４ 用下列等式规定：
（１）１ 十 １＝２， （２）２＋１＝３， （３）３＋１＝４，
同样，我用下列式规定 ｘ＋２
（４）ｘ＋２＝（ｘ＋１）＋１。
因此我们有：
２＋２＝（２＋１）＋１， （定义 ４）
（２＋１）＋１＝３＋１， （定义 ２）
３＋１＝４， （定义 ８）
所以：２＋２＝４。 （即所欲证）
我们不能否认这个推理是纯分析的。但假使问数学家，他必答曰：“这 不是真的证明，这不过是一种核验而已”。人们仅将这两种纯粹公约性的定 义做了一种比较，才知道是相等的；至于新的东西，是一点没有得到核验之 所以不同于真的证明，实因它是纯粹分析的，是毫无效果的。其所以无效果，
正因其结论只是三段论的两前提之一种译语而已。反之，真正的证明是很丰 富的，因为里面的结论在某种意义上是比较前提普遍的。
因此 ２＋２＝４ 这个等式之所以能被核验，只因它是特例而已。所有数学 中的特别定理都可用这方法核验。然而数学如竟成为这样的一串的核验，那 它将不成为科学了。例如下棋的人并不显得因为赢了一盘，就发明一种科学。
唯有普遍性才成为科学。
人们甚至可说那些准确的科学的目的，正在于免去我们这种直接核验的 辛苦。
三
我们且看在工作时的几何家，而考察他们所用的方法。
这却不是容易的事；单单任意翻开一本书而分析其中某条证明，这是不 够的。
由于几何学中的一些前提的作用以及空间概念的来源与性质等都是难 题，我们先当撇开几何学。为了同一理由，我们也不能用到微积分学。我们 要去找纯粹的数学思想，也就是在算术中去找。
此外还要选择一下；因为在数论最高深的部分，那原始的数学概念已受 了极深的提练，以致难于分析它了。
所以要在算术的初部中，我们才可找到所要的解释，然正是在最基本的 定理证明中，显出经典著作的作者用了最不精密而准确的手法。这是不可怪 他们的；他们曾受一种必需的束缚，初学者还没有真正数学精密性的训练；
他们在那里可能只见到一些空洞的微妙；所以人们如在这上面苛求他们，那 不过白费时间；他们要重新按部就班地快点学过的，而这种程序也就是那些 科学建设者慢慢地经过了的。
为何要这样长的准备，才能惯于这种完善的精确性，而这好像是聪明人 都当赋有的呢？这是一个逻辑与心理问题，大有考虑的价值。
然这是我们题外的事，可不赘述；为不失掉我们的目的，我们要把最基 本的定理重新证明，且其形式不当是为免去那些初学者扫兴才粗浅的，而是 能够满足已有训练的几何家的。
加法的定义——我假定对 ｘ＋１ 的运算，即将数 １ 加在数 ｘ 上。已先下定 义。
且这个定义，无论为何，对于推理的进展，是毫无作用的。
现在我要规定 ｘ＋ａ，就是把数 ａ 加到数 ｘ 上的运算。
假定规定演算法：
ｘ＋（ａ－１）
则 ｘ＋ａ 的算法可用下式规定：
（１） ｘ＋ａ＝［ｘ＋（ａ－１）］＋１。
所以我们如果知道何为 ｘ＋（ａ－１），便知道何为 ｘ＋ａ 因为我在起初已 假定人们知道何为 ｘ＋１，故 ｘ＋２，ｘ＋３ 等演算法人们也可陆绩地用循环法 规定了。
这个定义值得注意一下，它有一种特别的性质，使它与纯粹逻辑的定义 已有所区别；事实上等式（１）包含无穷的不同的定义，其中每一定义必待已 知前者之后才有意义。
加法的特性——结合性——我说：
ａ＋（ｂ＋ｃ）＝（ａ＋ｂ）＋ｃ 盖 ｃ＝１ 时此定理是对的；因此可写为：
ａ＋（ｂ＋１）＝（ａ＋ｂ）＋１，
此式除符号差别外与上面规定加法的（１）式相同。
今如 ｃ＝γ时此定理仍真，则 ｃ＝γ＋１ 时此定理亦真。
盖由 （ａ＋ｂ）＋γ＝ａ＋（ｂ＋γ），
人们陆续引出：
［（ａ＋ｂ）＋γ］＋１＝［ａ＋（ｂ＋ｒ）］＋１，
或照定义（１）有：
（ａ＋ｂ）＋（γ＋１）＝ａ＋（ｂ＋ｒ＋１）＝ａ＋［ｂ＋（γ＋１）］，
由此可见用了一串纯粹分析的演绎法，证明此定理对于 ｒ＋１ 亦真。
故 ｃ＝１ 时既真，则 ｃ＝２，ｃ＝３ 等等时，此定理也是真实的。
可换性——（一）我说：ａ＋１＝１＋ａ。
今如 ａ＝１，则此定理显然是真的，人们再可用纯粹分析的推理来核验如 ａ＝γ时为真，则 ａ＝γ＋１ 亦然；但 ａ＝１ 时既如此，则令 ａ＝２，ａ＝３ 等等，
也应该如此；人们为表达这事，就说那命题是用循环法证明的。
（二）我说：
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ。
此定理对 ｂ＝１ 已证明如上，人们再可用分析法核验如它在 ｂ＝β时为 真，则 ｂ＝β＋１ 时亦必如是。因此命题用循环法而成立。
乘法的定义——我们用下列等式来规定乘法：
ａ×１＝ａ。
（２） ａ×ｂ＝［ａ×（ｂ－１）］＋ａ。
等式包含无数的定义；一如（１）式；令 ａ×ｌ 既经规定，则此式亦可陆 续规定 ａ×２，ａ×３ 等等。
乘法的特性——分配性——我说：
（ａ＋ｂ）×ｃ＝（ａ×ｃ）＋（ｂ×ｃ）。
在 ｃ＝１ 时，人们用分析法检验此式之真；其次检验如在 ｃ＝γ时定理为 真，则在 ｃ＝γ＋１ 时它也是真的。
这样我们的命题又是用循环法而证明了。
可换性——（一）我说：
ａ×１＝１×ａ。
在 ａ＝１ 时此乃显然的定理。
人们可用分析法证明如 ａ＝ａ 时，此定理为真，则 ａ＝ａ＋１ 时它也是真的。
（二）我说：
ａ×ｂ＝ｂ×ａ。
在 ｂ＝１ 时，此定理已经证明。人们可用分析法核验如 ｂ＝β时为真，则 ｂ＝β＋１ 时亦真。
四
我且把这一串单调的推理停止在这里罢。但正是这种单调最能把那一致 而又步步碰到的方法，明白表示出来。
这就是循环证明法。人们先在 ｎ＝１ 时建立一个定理，然后指出如它在 ｎ
－１ 时为真，则在 ｎ 时亦真，于是人们结论它对任何整数也是真实的。
刚才我们已经见过用这方法怎样证明加乘二法的规则，此即代数演算的 规则；这种演算是转变算式的工具，所得各种组合之多，远非单纯三段论可 比拟；但这仍是一种纯粹分析的工具，它是不能告诉我们一点新东西的。假 使数学此外再无别的工具，则在它的发展中很快就要停止；但是它可以重新 运用同样的方法，就是所谓循环推理法，因此它仍可继续前进了。
人们若能好好地留意，则可见步步都是这样的推理，而其形式或即如上 文所说过简单的，或则多少有所改变的。
这实在是最完善的数学推理，我们当再仔细的去研究它。
五
循环推理法的主要特性是在它能包含无数的三段论，而集中在可认为唯 一的公式中。
欲明此理，且待我将这些三段论依次说明，它们的排列，让我打个比方，
有如瀑布直泻下来。
这自然都是些假设的三段论。
已知在数 １ 时定理为真。
但如果对 １ 为真，则对 ２ 亦真。
故它对 ２ 为真。
但假使对 ２ 为真，则对 ３ 亦真。
故它对 ３ 为真，余依此类推。
由此可见每一三段论的结论可做下一三段论的小前提。
且所有三段论的大前提都可化成唯一的公式。
这就是，如定理对 ｎ－１ 为真，则对 ｎ 时亦然。
可见在循环推理法中，人们仅限于陈述第一三段论的小前提，以及含有 以一切大前提为特例的普遍公式。
因此这一串永无止尽的三段论可减缩成为几行的语词。
现在可容易明白，有如我已说过的，何故某定理的特别结论可用纯粹分 析的方法去核验。
我们如不去证明那定理对任何数时为真，而只要指出好比对 ６ 为真，那 只证明要建立上述瀑布的前五条的三段论；但如我们要证明定理对 １０ 为真，
则需九条三段论；再大的数目，所需的条数更多；然此数无论如何大，我们 终可达到目的，而这样分析的核验总是可能的。
虽然，我们无论走得多远，我们终究不能得到一个适用于一切数目的普 遍定理——只有它才能作为科学的目的。为此目的则非有无穷的三段论不 成，这必须越过那仅仅依靠形式逻辑的分析家的忍耐力还永久填不满的深 涯。
起初我曾问过，何以人们想不出一个足够神通的人，他会一眼看穿数学 中所有的真理。
现在这个问题是很容易回答的了；棋手能做四步五步的预算，但是无论 我们觉得他本领怎样大，他只能准备有限的数目；假使他把这种本事用在算 术上，他就不能直接用直觉法看出那普遍的真理；连为求到一最小的定理，
他也必用循环法推想出来，因为这是从有限数到无穷数的推理工具。
这工具总是有益的，因其一方面能任我们的意思一跃而升进数级，一方 面又能省却极无味而单调的冗长的核验，并且这种核验在事实上也很快地不 能实践的啊。然而遇到以普遍定理为目标时，这工具就成为不可少的了，因 为用分析核验法，虽不能允许我们达到普遍定理，但能使我们不断地接近它。
人们必定以为我们现在所谈的算术范围与微积分学相差太远了，但是刚 才我们已知数学的“无穷”观念的重要作用，少了它便无科学，因为也没有 普通的东西了。
六
循环推理所依据的判断还可用别的方式表示；例如在无穷个相异的整数 中，我们可说必有一数较小于其他各数。
人们可很容易地由这一陈述推到另一陈述，而自觉貌似已经证明了循环 推理的合法性。
但照这样做下去，人们终必被阻挡着，而必未到一个不可证明的公理，
而这公理实即待证的命题的另一说法罢了。
所以循环推理的规则，决不能变为矛盾原理，这是谁也不能否认的结论。
这条规则又不是从实验上得来的；实验所能告诉我们的，不过说这规则 好比对数十或首先一百个数为真，但不能推到一串无穷尽的数目上去；只能 推到这一串数或多或少的但总是有限止的部分。
但是，如所有的问题，只是这点，则用矛盾律已足济事，它可使我们推 演无论多少的三段论，然其所以失败，只在于想把无穷的三段论纳入唯一的 公式中，只在正对着无穷时，也正因此连经验也无力量了。这条规则，既非 分析法所能证明，而又非经验所能核验的，正是先验的综合判断的实例。人 们又决不可在这里好似对于少数几何的前提认为这是一种公约。
然则我们何故势必服从这种判断，有如金科玉律呢？原来这不过是表现 精神力量之伟大，它能断定假使某种动作一次可能，则同一动作又可重复无 穷次。精神对这种强大的力量具有一种直接的直觉，而经验不过是给它一种 利用的机会，因而能够有所领悟。
然有人说：如那粗糙的实验不能证明循环推理之合法性，那么助以归纳 法的实验，仍是一样吗？我们陆续看到某定理对 １，２，３ 等等数都真的时候，
于是我们可说那定律已显然成立，正如那些以极多数但有限的观察为根据的 一切物理学定律一样有效。
我们要认明其中有与通用的归纳法酷似之处。然而也存在着主要的区 别。应用在物理科学中的归纳法总是不确实的，因它是建立在宇宙有普遍的 程序的信仰上的，但这种程序是超人的。反之数学归纳法或即循环证明法是 必然支配着我们的，因为它只是精神本身的一种特性的肯定啊。
七
我已经说过数学家极力想把他们所得的命题推广起来，而我不必另找例 子，就照刚才已证明的等式：
ａ＋１＝１＋ａ，
其次我又曾用以求得等式：
ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ，
此式当然较为普遍。
所以数学也可像别的科学，从特殊推到普遍。
这件事在我们以前开始这个研究时，好像是不可了解的，然自刚才我们 发现循环证明法和通用的归纳法的相似点以后，我们就觉得其中再没有什么 神秘的了。
无疑地，数学的循环推理与物理的归纳推理，两者的基础虽各有不同，
但两者的步趋，却是平行一致的，向一个方面走的，换一句话说，两者都是 从特殊推到普遍。
我们试再仔细地讨论一下。
为要证明等式：
（１） ａ＋２＝２＋ａ，
我们只需应用两次下列规则：
ａ＋１＝１＋ａ，
且演算如下：
（２）ａ＋２＝ａ＋１＋１＝１＋ａ＋１＝１＋１＋ａ＝２＋ａ。
从（１）式用纯粹分析的方法演绎出来的（２）式并不是一简单的特例：
它是另一回事。
所以人们甚至不能说：在数学推理的真正分析与演绎的部分是照普通的 字义说由特殊而进于普遍的。
（２）式之两边不过是（１）式之两边较繁的组合，而分析的用处只是把 其中的元素分开而研究它们相互的关系。
所以数学家用“建筑的方法”而“建筑”那些逐渐繁复的组合。他们再 用分析的方法，从这些组合，从可说这些集合回到其中所含的原始元素，他 们乃知这些元素间的关系，而由此推想到这些集合本身间的关系。
这却是一种纯粹的分析步骤，但这不是由普遍进于特殊的步趋，因那些 集合当然不能认为比较元素更为特殊。
人们对于这种“建筑”的方法曾予以注意，这是很对的，而且人们认为 这是准确科学进步的必需与充足的条件。
这个方法是必需的，不错，若就以为充足了，那还不见得咧。
如要一种建筑是有益的，不是徒耗心血的，而且是可以助人向上的梯阶，
则第一要有一种统一性，使人不见其徒为元素的堆叠而已。
说一句正确的话，就是要使我们觉得考虑这种建筑品比较考虑它的各元 素本身为有益。
这益处何在？
例如为什么对总是可以分成多数三角形的多边形来推想，而不对这些三 角形去推理呢？
此因有任何数边的多边形有些特性是人们可以证明的，证明以后，人们 便可直接应用此理于任何特别的多边形。
反之，若直接去研究那些由多边形分成的三角形间的关系，往往要费许 多心力才能发现这些特性。倘若我们已知普遍定理，那就省力多了。
所以一建筑之有益与否，是在其能否与其他相似的建筑并列，成为同一 种的各类。
假使说四边形不仅是两个三角形的叠合物，那正因它是多边形的一种。
并且还要能够证明同一种的特性，而不必对每一类的特性一一证明。
为要达到这步，则必须经过一级或多级的路程，从特殊升到普通。
这种“用建筑”的分析法，并不迫使我们从上面走下来，而让我们站在 同一的水平线上。
我们只能用数学的归纳法，才能上进，只有它才能告诉我们新鲜的事物。
如果没有那种在某些方面有别于物理归纳法但同样有效的数学归纳法的协 助，则建筑就无力去创造科学了。
最后，请注意这种归纳法的可能成立，全在于同一的演算可重复无穷次。
所以棋战决不能成为一种科学，因为同一盘棋各子的走法是不相同的。
第二章 数学量与实验
人们如要知道数学家的所谓连续统究作何解，这是不应向几何学来提问 的。几何家多少总要表现他所研究的图形，然他的表象只是他的工具而已；
他研究几何时，少不了要用广延对象等，正如他用粉笔来表示；所以人们对 于那粉笔的画线所生出来的小弯曲之无足轻重，正如他所用的粉笔之为白色 一般。
至于纯粹的分析家就不怕这个缺点。他把数学中一切与它无关的元素取 出，而他能回答我们的问题：数学家所推想的那连续统，真是什么呢？许多 对本行会用心的数学家早已解答此题；譬如在丹勒利所著的“含一变数的函 数论导引”一书中已可见得了。
我们先自整数排列谈起；今在二相续的整数中加入一个或多个的中间 数，再在二相续的新数中加入中间数，如是依次类推以至无穷。由是乃得无 穷的数项，此即所谓分数，有理数，或可约数。然此尚不足；在这些已经是 无穷的数项中，当再插入所谓无理数或不可约数。
在未更进一步以前，我们先要注意一事。就是这样想出来的连续统，不 过是按着一定顺序排列成的个体的集合，虽是无穷，但是彼此排斥的。这里 不是普通观念，假定在连续统的元素之中有一种使成为整体的密切关系，认 为不是点成立于线之先，而是线反先于点。从那著名的公律，即连续统者，
乃是多样性的统一，人仅见多样性存在，而不见统一。分析家照他们那样规 定连续统也有他的道理，因为自从他们追求严密性，他们一直是站在那上面 来推理的。然由此已可见真正的数学的连续统实与物理家和形而上学家的连 续统有天壤之别了。
人们也许说数学家倘仅以此定义为满足，则无异做字的傀儡了，他们当 详细说明那中间数项究为何物，说明他们的插入法，并且证明这样作是可能 的。然这样便错了，在他们的推理中，这些中间数项的唯一特性１是在它们的 前后排列的特性；所以也唯有这特性才可加入定义中。
因此人们可不必顾虑那些中间数项的插入的方式；另方面谁也不会怀疑 这作法是可能的，除非忘记这最后字用几何家的话简直就是无矛盾的意思。
虽然，我们的定义尚未完善，我将在这长段插话之后补说。
不可约数的定义——柏林派数学家，特别是克龙勒克先生，他毫不借用 别的什么材料，只用整数来从事建设那分数和无理数的连续排列。照这样看 来，数学的连续统将不过是精神的纯粹创造品，与经验毫不相干的了。
他们对于有理数的概念，似乎并无困难，他们主要极力想求出不可约数 的定义。然在未介绍他们的定义以前，我当加一声明，以免那些不熟悉几何 学家的习惯的记者的惊奇。
1 ①以及包含在特别的公约中的特性，这些公约是用以规定加法的，而是以后要说的。
数学家所研究的不是物，而是物与物间的关系；只要物与物的关系不变，
则物虽变易，他们也不关心。物质对他们是不重要的，使他们感兴趣的只是 物的形式。
倘若人们不记得这事，就不会懂得杜德金先生把不可约数用一种符号来 表示，这与一般信为并且几乎可测量而可感数量观念，大不相同。
现在且看杜德金的定义是什么：
可约数可按照无穷的方法分为两排，它的条件便是凡第一排的任何数必 较大于第二排的任何数。
有时第一排中有一数较小于其他各数；例如将一切大于 ２ 和数 ２ 本身数 排在第一排，又把一切小于 ２ 的数排入第二排，则显然 ２ 是第一排的最小数，
此理甚明。所以数 ２ 便可作为这种分配的符号。
反之，也许在第二排中有一数大于其他各数；例如将凡大于数 ２ 排入第 一排，将 ２ 和一切小于 ２ 的数排入第二排。这里，数 ２ 还是可作为这种配置 的符号。
然有时也许在第一排中，无一数小于其他各数，以及在第二排中无一数 大于其他各数。例如将平方较大于 ２ 的一切可约数排入第一排，将平方小于 ２ 的一切数排入第二排，大家知道这里没有一个平方适为 ２ 的数。在第一排 中显然无一数小于其他各数，因为尽管某数的平方接近于 ２，人们总还可以 找到别一个可约数，而其平方更接近于 ２ 的。
照杜德金的看法，不可约数 2不过是可约数特别分配的式样的符号而 已；而在每一分配的方式中，相应地必有一可约数或不可约数来做为符号。
但这就算满足，那就未免太不顾到这些符号的来源了；此外尚须说明为 什么人们会给这些符号一种具体的存在，而在另方面，对于分数不就开始有 困难了吗？如在事前，我们不知道一种可认为无穷尽分割的物质，亦即一种 连续统，则我们还会有这些数的概念吗？
物理的连续统——人们到此就要问数学连续统的观念，是否简单地由于 实验而来的。果然如是，则实验的粗糙的数据——这就是我们的感觉——将 是可被测量的了。人们可能相信这是对的，因为近年来有人努力去测量，并 且还发明了一个定律，名曰费希勒定律，而根据这个定律感觉与刺激的对数 成正比例。
然而我们如再仔细考察那定律所根据的实验，则所得结论必将大为不 然。例如人们觉得曾观察过 １０ 克重的 Ａ 物和 １１ 克重的 Ｂ 物，两者产生同一 的感党，而 Ｂ 物的重量，在感觉上又无别于 １２ 克重的 Ｃ 物，但人们对于重量 Ａ 与重量 Ｃ 的差别就容易区别出来。所以实验所得的粗糙的结果，可用下列 关系表示：
Ａ＝Ｂ， Ｂ＝Ｃ， Ａ＜Ｃ。
这些式子可认为物理的连续统的公式。
这里和矛盾律有一个严重的不符合，我们认为有消除这一困难的必要，
因此才不得不发明数学的连续统来。
所以人们势必结论说这种观念是精神一手创造的，但这也是实验所提供 它的机会。
我们不能相信等于同一第三物的两物会互不自相等的，正因此我们才来 假定 Ａ 有别于 Ｂ，而 Ｂ 有别于 Ｃ，但因我们感官的不灵，所以不能辨别它们。
数学连续统的创造——
第一阶段——迄今为止，为说明事实起见，我们可能只要在 Ａ 与 Ｂ 中任 意插入少数保持离散的数项。我们如利用一种工具，来补助我们薄弱的感官，
例如显微镜，那就怎样呢？刚才不能辨别的数 Ａ 和数 Ｂ 两项，现在对我们似 有分别了；但在已经区别的 Ａ 与 Ｂ 中将又加入新 Ｄ 项，又无法把它来同 Ａ 和 Ｂ 区别了。尽管用最改进的方法，那由实验得来的粗糙结果总表示一种物理 的连续统特性，同时带着内在的矛盾。
非得在已经辨别出来的数项中，不断地插进新的数项，而且这个工作当 无穷尽地继续进行下去，我们才可避免那事。除非我们能想像一种极精密的 仪器能把物理的连续统分成离散的元素，好比用天文镜测视天河，分出无数 的小星一样，否则我们不会想到要停止这种工作的。但我们不能理想到这个；
因为我们总是靠感官来用仪器，譬如用眼睛窥视显微境放大的物像，因此这 种物像总含有一种视觉的性质，因而含有物理连续统的特性。
直接看到的一种长度，和经显微镜放大一倍的半长度是毫无分别的。全 部的东西和它的部分是同质的，这又是一种新的矛盾，或者说是这样的，倘 若数项是假定有限的；事实上因一部分所含的数项显然较少于全部，所以部 分是不能和全部相似的。
一待数项认为无穷多，则矛盾消失；例如整数集合尽可认为与集合中的 一部分的偶整数集合相似；事实上，每一整数对应着一偶整数，这偶整数即 该整数的二倍。
但这不仅是为了避免这个含在实验数据中的矛盾，精神才来用无限的数 项来创造一连续统的概念。
此中情形正与刚才整数串连中发生的一样。我们有能力设想一单位可加 入于一团的单位中；这完全是靠经验，才使我们有机会练习这种能力，于是 习惯成自然；但从这时起，我们觉得我们的权力是无限的，且可无穷地数下 去，虽然我们所数的一向只是有限数的东西。
同样，一等我们在一级数中的相续的两数中插入平均数，我们就觉得这 种工作可以继续至于无穷，且可说毫无内禀的理由足以使我们停止的。
为言语简便起见，且让我规定凡是按照可约数的排列定律所组成的整个 数项集合叫做第一级的数学的连续统。今如在那里面再按照不可约数的组成 定律，插入新数项，则我们可得所谓第二级数学的连续统。
第二阶段——我们还只走了第一步；我们已经说明一些第一级连续统的 来源；然现在要知道何以那些还不足，而何以要发明不可约数。
人们试想像一根线，它便不得不含有物理的连续统的特征，就是说须联 想到那根线具有一定宽度才能把它表象出来。所以两线就好像是两条很窄的 带子，且如满足于这样粗糙的想像，则显然两线交叉时，必有公共占据的一 部分。
然而纯粹几何家作了更大的努力：他虽一方面不全然脱离感官的帮助，
然他想达到一种无宽狭的线，与无大小的点的概念。为此目的他只有把线认 为惭形收窄的最后限度，点是面积渐形缩小的最后限度。所以我们那两条交 叉的线，无论怎样细而窄，总有一共同的面积，条子愈细，面积愈小，而它 的限度即几何家所谓点子。
因此之故，人们说两线相交必有一共同点，而这个真理似乎是直觉的了。
然如人们把线看作第一级连续统，即如在几何家所画的线上只有用有理 数的坐标的点子，则这个真理未免含有矛盾了。这个矛盾将是很明显的，如 人们肯定圆与直线的存在。
事实上，显然地，如只认以可约数为坐标的点子是实在的，则内切于正 方形的圆和这正方形的对角线将不能相交，因为相交点的坐标是不可约数。
这样还不够，因为这里仅有少数是不可约数，而非完全是不可约数。
今试把一直线分为二条半直线。每一半直线可认为一定宽的条子；则这 两条子互相搭叠，因在它们之间不应有间隙。它们的共同部分可认为一点，
倘若我们理想那条线愈缩愈细，以至把它分作两截时，它们的共同交接点，
仍只一点，这差不多是直觉的真理；这里我们就遇到克龙勒克先生的观念了；
他认为凡一不可约数可视为两排有理数的共同交界。
这就是第二极连续统的来源，它是真正的数学连续统。
撮要——撮要言之，精神有创造符号的能力，因此它能建设数学的连续 统，而这不过是一些符号的特别系统而已。只是为了免去一切矛盾，它的权 力才是有限制的；然精神如无经验给它以理由，刚也不会用它的。
在我们所讨论的情形中，这种理由就是从感觉的粗糙的数据中引出的物 理连续统的概念。但这概念未免牵及许多矛盾，而是要依次免除的。因此我 们势必想出渐趋繁复的符号系统。至今，我们所说到的系统，不仅无内在的 矛盾——这正如上面我们已经过的各阶段一样——且与那些所谓直觉的命题 不生矛盾，这些直觉的命题是从多少经过提炼的经验的概念中引出来的。
可量的数量——迄今为止，我们所研究的量都是不可测量的；固然，我 们能说这量比那量或大或小，然不能说到底大儿倍或小几倍。
事实上，至今我只研究了数项排列的顺序。然在应用上这是不够的。我 们要学习来比较任何二数项间的间隔。必须有了这个条件，连续统才变成可 量的数量，而算术的运算也就可应用上去了。
这事又非有一种新的与特别的公约帮助不成。人们将公认在 Ａ 和 Ｂ 两数 项间的间隔等于 Ｃ 和 Ｄ 两项间的间隔。例如我们曾在上文以整数级排列为起 点，又曾假定在相继的两项之间夹以几个中间项；那么这些新数项照公约将
认为等距离的了。
这里是对两数量的加法下定义的方式；因为假使照定义 ＡＢ 间隔等于 ＣＤ 间隔，则 ＡＤ 间隔照定义将是 ＡＢ 加 ＣＤ 之和。
这个定义是大有任意性的。但也不完全是的。因它服从某种条件，例如 它服从加法的结合律与可换律。然只要所选定的定义适合这些定律，则选择 就无所谓，而无庸去把它十分明确化了。
各种注意——我们可以提出几条重要的问题来讨论。
一、精神的创造力是否由于数学的连续统的发现而告竭尽了呢？
不；斗布畦乃蒙先生的著作明显地证明了这点。
大家知道数学家能区别各级的无穷小，第二极的无穷小不特是绝对的无 穷小，且对于第一级无穷小也是无穷小的。我们不难想像一种分数级的甚或 无理数级的无穷小，于是我们又寻得数学的连续统的尺度，而这正是我们在 前几页所讨论的对象。
但还有别的事情哩。有些无穷小对于第一级无穷小是无穷小，但对于第 １＋ε级的无穷小，反而是无穷大，不问ε小得如何。这就是在级数中我们插 进的新数项，且如照刚才我所用过的虽不大通行但还方便的言语，我可说人 们又创造了一种第三级连续统了。
我们本不难追求下去，但将是无谓的精神玩意儿；且想出来的符号，将 无应用之可能，而无人要去注意的。由对讨论各级无穷小而引出的第三级连 续统本身已少实用而无地盘，而几何学家对它不过认为是一种简单的好奇而 已。人们的精神受经验的必要性的支配，才施展他的创造技能。
二、既有数学的连续统的概念之后，人们就可免去有如产生这概念的矛 盾否？
不，让我来举例说明。
必须是很通博的人才觉得凡是曲线不必显然要有一切线。事实上，如果 人们认为曲线和直线是极细的两条带子，人们总可使它们有一共同的小部分 碰到而不相交。然后我们再想像这两条带子缩小以至于无穷细，则二者共同 的部分永远可以存在，等到了可说是到某限度时，这两条线只有一共同点而 不相交，就是说两线只是相接触。
假使几何家作这样的推想，不问其有心或无心，将与上面我们已证明两 线相交只得一点的道理实在相同，而他的直觉似乎也是合法的。
但这也许就是骗他的。人们可以证明有些曲线并无切线，倘若这线是规 定为第二极分析的连续统。
无疑地，用像我们上面研究过的巧法子，或亦可免除矛盾；但这种矛盾 既然只有在特别情形中才碰到，大家便不管它了。与其设法把直觉与分析调 和起来，人们宁愿牺牲其一，而分析数学既是严密的学问，人们便归罪于直 觉法了。
多维的物理连续统——在上面我曾研究过由我们感觉的直接数据或即由
费氏的实验的粗糙的结果生出来的物理连续统；我并已证明那些结果是总结 在矛盾的公式中：
Ａ＝Ｂ， Ｂ＝Ｃ， Ａ＜Ｃ。
现在我们看这个概念是怎样推广的，并如何能由此生出多维的连续统的 概念。
设有任何两团的感觉。或者我们可加以辨别，或者我们不能辨别，有如 在费氏实验中十二克的重量可别于十克的重量，但不能别于十一克的。我不 必用别的东西来建设多维的连续统。
令试把各团的感觉叫做“元素”。这与数学家的点相仿佛；但这也不是 完全相同的东西。我们不能说这元素是无大小的，因为我们不能把它和临近 的元素区别。因此它似乎被包围在云雾里一般。拿天文学作比，我们的“元 素”就如星云，而数学上的点子就如星星一般了。
这个既已说明，如果人们能由一任何元素来到任何另一元素，中间经过 一连串相继续的而前后不能辨别的元素，则这些元素的系统就可形成一连续 统。将这一连串比作数学家的线，正如孤立的元素比作点子一般。
在未进一步以前，先将所谓分割下一定义。设有一连续统 Ｃ，试取出其 中的若干元素，而暂认为它们不属于这连续统。这些取出的元素的集合就总 而名之曰分割。有时 Ｃ 借此又重分为许多不同的连续统，而所余的一团元素 不再成为唯一的连续统。
于是在 Ｃ 上有 Ａ 和 Ｂ 二元素，我们当把他们认为属于二不相同的连续统，
我们其所以能看出来，因为决不能在 Ｃ 中找得一连串从 Ａ 到 Ｂ 相继续的元素 来，且每一元素与前一元素又不可辨别，除非这串连的某一元素不能与分 割中诸元素之某一元素辨别出来。
因而不能被排出去。
反之，也许那成立了的分割不足以重分连续统 Ｃ。为要把物理的连续统 分类，我们正得要去观察何种分割才是合乎重分之用。
如果物理的连续统 Ｃ 可用一种分割重分，分成有限数而互相可辨别的元 素（故既不成为一个连续统，又不是许多的连续统），我们就说 Ｃ 是一维的 连续统。
反之，如 Ｃ 只能用那本身也成为连续统的分割重分，我们就说 Ｃ 是多维 的。倘只要用一维的连续统的分割就够了，我们就说 Ｃ 有二维；倘只要用二 维的分割就够了，我们就说 Ｃ 有三维，余依次类推。
这样，多维的物理连续统的概念是被规定了，这全靠这件很简明的事实，
即二团感觉有时是可以辨别的或有时是不能辨别的。
多维的数学连续统——至于 ｎ 维的数学的连续统的概念，自然也可用我 们在本章开始已研究过的方法推引出来。大家知道，这种连续统中的一点，
可用 ｎ 个不同的数量 ｖ 即所谓坐标来规定。
这些量不必总是可测量的，例如在有一种几何学的分支中人们无视于这
些量的测量，而仅研究如何知道好比在曲线 ＡＢＣ 上，是否 Ｂ 在 Ａ 点与 Ｃ 点之 间，而不是要知道弧长 ＡＢ 是否等于弧长 ＢＣ，或是它的二倍。这种数学名曰 拓朴学。
这是一门很有体系的学说，它曾吸引许多几何学家去研究，因而发明了 一系列可注意的定理。它和平常几何定理不同处，即在于它纯粹是属于定性 的，且如这些图形被一位不精巧的画师将各部分比例大大地改变，甚至将直 线画成多少有点弯曲的线，那些定理还是保持真实的。
这是当人们想在我们刚才所规定的连续统中引入了度量时于是这种连续 统才成为空间，而几何学诞生。但这事且留在下章再研究罢。
第二部空间
第三章 非欧几里得几何学
凡一结论必先有前提，这些前提，或本身即明显的，故无须证明，或仅 根据别的命题才能成立，但由于我们既不能这样追究至无穷，则凡演绎的科 学，特别是几何学，必先建设在几条不可证明的公理上才行。故凡几何学的 专书的公式开始就陈述这些公理。但是在这里也要有所区别的；有些公理例 如“等于第三数量的两个数量必互相等”并非几何学的命题，而是分析学的 命题。我认为它是先验的分析判断，我不去理会它。
然对于别的专属于几何的公理，我就要认真地研究一下了。一般专书中 明白地陈述三个公理：
一、经过二点只能作一直线；
二、直线是两点间最短的距离；
三、自一点只能引一直线，和一给定的直线平行。
虽然人们常省去证明那第二公理，但可把它自其它二公理和其他更多的 默认的公理中演绎而出，这且待以后再来说明。
人们久想证明那第三公理，即所谓欧几里得公设，然总是白费了心力。
人们对于这种幻想所耗费的努力，真是令人不可思议的。等到十九世纪初叶，
有两位大学者，差不多同时，一位是匈牙利人鲍耶，一位是俄罗斯人罗巴切 夫斯基，他们用一种不可反驳的形式成立这个证明是不可能的；他们差不多 替我们摆脱了那些没有公理的几何发明家；从此法国科学院每年只接到一二 种新的证明论文了。
但问题还未完全结束；不久就有黎曼先生发表了著名的论文，题为“几 何学之基本假设”，问题才有了大进步。
这本小册子引起许多近代的著作，稍迟我将述及，其中尤以白耳太密与 赫尔莫慈的著作要提出说明。
罗巴切夫斯基几何学——倘若欧几里得公设可从别的公理导出，当我们 不承认这公理，但又承认那些别的公理，则显然地人们必将得互相矛盾的后 果了；所以不可能在这一些前提上，建立一种自圆其说的几何。
这正就是罗氏所做过的。他开始先假定：
人们可自一点引出许多直线和给定的一直线平行。
此外他仍旧保存其他的欧氏公理。从这些假敲他乃演绎出来一系列的定 理，其中不特毫无矛盾，且他创造的几何学的严密逻辑实可与欧几里得几何 媲美。
这些定理，自然是与我们所习用的大为不同，而乍看上去，还不致引起 怀疑。
譬如三角形的三角之和总是小于二直角，而这和数与二直角之差别与三
角形的面积成正比例。
要想画一图形与给定的图形相似而不相等，这是不可能的。
又如分一圆周为 ｎ 等分，自各分点引一切线，则这 ｎ 切线将形成一多边 形，只要这圆的半径不太大；如其太大，则彼此不能相交。
现在不必多举这些例子罢。罗氏诸命题与欧氏诸命题已毫无关系，但它 们也同样地互相合乎逻辑联络着的。
黎曼几何学——我们试设想有一无厚薄的生物所生存的世界；又假定这 些“无穷扁平”的动物都是在唯一的平面内，而不能走出来的。又假定这世 界与别的世界相距很远，以免受其影响。当我们正在做这些假设时，我们不 妨再假定这些动物具有理性，并且相信它们有研究几何学的能力。这样，它 们对于空间一定只能看做是二维的了。
现在且假定这些理想的动物虽是无厚薄的，但是具有圆球形的样子，而 不是平的，而这些球形的动物都生是在同一的球上，并不能走出的。然则它 们将建立何种的几何呢？第一，它们自然还是看那空间是二维的；直线对于 它们实即球面上雨点最短的距离，此即大圆周的一弧线，一句话，它们的几 何将是球面几何学。
他们所谓的空间，就是这永远脱离不了的球面，在这上面表演着他们可 以认识的一切现象。他们的空间将是无限界的。因它们在球面上可以一直向 前走而不停止，但这空间将是有限的；在那上面虽无终端可寻，然可以打一 个圈子。
那么，黎氏几何学却是推广到三维的球面几何。德国的数学大家为建立 他那种几何，不单走来便抛弃了欧几里得公理，并连第一公理：从二点只能 作唯一的直线也丢掉。
从球面上的二给定点，普通仅可通过一个大圆周（此即如我们方才所见 的那些理想的动物所认识的直线），然而也有个例外：如此二点是在对径上 的，则由此二点，可通过无穷数的大圆圈。
同样，在黎氏几何中（这至少是黎氏几何的各形式之一如是），由二点 仅可通过唯一的直线，但有时亦可通过无穷数的直线。
这里黎氏几何与罗氏几何有一种相对立的地方。
例如三角形的三角的和是：
在欧氏几何中等于二直角；
在罗氏几何中小于二直角；
在黎氏几何中大于二直角。
由一给定点所可引与一给定直线相平行的直线数是：
在欧氏几何中等于一；
在黎氏几何中等于零；
在罗氏几何中等于无穷。
此外，我们要加说一句：黎氏的空间是有限的，虽然是无限界的，这两
个名词的意义与上面所说过的相同。
常曲度的面——虽然，还有一个可能的反驳。罗氏与黎氏的定理是毫不 矛盾的；但无论从这两种几何的假设中所导出的后果怎样多，他们在未将所 有的后果尽得以前，他们势必停止下来，不然，其数将是无穷了；难道他们 再向前推演，他们就不会遇到一种矛盾而后休么？
这种困难在黎氏几何学中是没有的，只须人们以二维空间为限；事实上 我们已见过那黎氏几何无异于球面几何，这几何不过是普通几何的一分支，
当然毋庸讨论。
白耳太密先生同样把罗氏二维的几何归入只是普通几何中的一分支，也 反对过有关它的反驳。
且看他究竟是如何做到的吧。假设在一面上有一任何图形。试想这图形 是画在一种可屈折而不可伸缩的布上的，而这布便紧贴在这表面上，使得当 这布移动而变形时，这图形上的各线也随着变形，但不改变长度。一般这个 可屈折但不可伸缩的图形是不能换位而不致脱离这表面的；但有一些特别的 面对于这种动作是可能的，此即常曲度面。
今试再将我们上面的比喻来淡，并设想那些无厚度的生物是生长在这一 种的面上，于是它们就要认为能保定图形的各线长度的圆形运动是可能的事 了。反之，这样的运动对于生在一个曲度可变的面上的无厚度的生物，便是 无稽之谈了。
这种常曲度面可分为二种：
一种是正曲度的，可变其形而紧贴在球面上。所以这种面上的几何，变 为球面几何，即黎氏几何。
另一种是负曲度的，白耳太密先生曾证明这些面的几何即罗氏几何。故 黎氏与罗氏的二维几何仍属于欧氏几何。
非欧几里得几何的释义——这样一切关于二维几何的反驳都消灭了。
我们也不难把白耳太密先生的推理推广到三维几何。那对于四维几何也 不退却的人，对这也自然没有困难，但这种人是很少的。所以我情愿用另法 来讲吧。
设有我名之曰“基本平面”的平面，且制定一种字典，使每个名词有两 行相对应的解释，好像那有两种语言的普通字典有两种同义的字一样形式。
空间……在基本平面以上的空间的部分。
平面……与基本平面相交成直角的球面。
直线……与基本平面相交成直角的圆圈。
球体……球体。
圆圈……圆圈。
角……角。
二点的距离……基本平面与经过此二点的正交圆的交点，以及此二点的 非调和比率的对数。
等等……等等。
然后试将罗氏几何的定理用这字典翻译，有如用德法合璧字典翻译一篇 德文一样。这样我们就得普通几何的各定理。
例如有一罗氏定理：“三角形的三角之和小于二直角”可译为：“如一 曲线的三角形的三边是经延长后与基本平面相交成直角的圆弧线，则这曲三 角形的三角之和必小于二直角”。这样，无论如何推引罗氏的假设的后果，
人们始终不致遇到矛盾。事实上，如罗氏的二个定理是互相矛盾的，则借用 我们的字典所翻出来的二译文势必亦然，但这些译文是普通几何的定理，而 没有人疑惑普通几何是会有矛盾的。我们这个信仰是从何而未？并且是否合 理？这个问题我可不能在这里谈，因为说起来就要拉长了。所以我上面所提 出了的反驳，现在一点也没有了。
这还不算完。罗氏几何固然能具体地解释，但并非一种空洞的逻辑的练 习，它还有许多的应用；我在这里既无暇谈到这些应用，也不能谈到克朗先 生和我个人从它所推出的微分线性方程积分法。
况且这种解释不是唯一的，人们尽可编制许多同上面相似的字典，都只 须经过简单的“翻译”，就可将罗氏几何的定理变为普通几何的定理。
内涵的公理——试问在一些几何学专书中所明白陈述出来的公理是几何 学的唯一的基础吗？人们试看在依次把它们抛去之后，那些与罗氏、欧氏、
黎氏理论有共同性的几个命题还是成立，人们就知其不然了。这些命题必须 建设在几何家不去陈述而仅承认的前提上。设法把它们从经典的证明上清理 出东，这是很有趣味的事。
弥耳以为一切定义必包含一公理，因为下定义时，人们已内涵地肯定那 被规定物的存在了。这样就未免说得太远了；在数学中人们对一物下了定义 后，少不了再要证明它的存在，有时其所以省去这种手续，是因一般读者都 容易自去补充。我们不可忘记这“存在”一个字对于数学中的物与对于物质 的物是有不同的意义的。一个数学中的物可以存在，只须它的定义的本身或 与先前认可的命题都不发生矛盾。
弥氏这个观察虽不能应用在一切定义上，然对于一部分的定义是正确 的。有时人们对于平面的定义是如下：
平面是一种面，在那面上诸点中的某二点联结的直线是完全在这面上 的。
这定义显然内涵着一个新的公理；诚然，人们可把它改换，这也许还好 些，但为此必要把公理明白地陈述才行。
别的定义也可以引起并非不重要的回思。
譬如二图形相等的问题：凡是可以把二图形叠合起来则必相等；为要将 两图形叠合起来，则必先移动其一，一直到它能够接触和另一图形吻合为止；
但应怎样移动它呢？假使我们发此疑问，人们一定要答道，移动时要如那不 变形的固体，不可变易图形才行。因此仍显然归到原有的问题，而是转圈子
了。
其实这个定义并没有定出什么来；对于住在只有流体的世界上的生物，
它是毫无意义的。假使它对于我们好像是很明白的，那是因为我们对于天然 的固体的特性是习见的，而这天然的固体与那各向不变的理想固体，是没有 大区别的。
虽然，这定义无论怎样不完满，总是含蓄一种公理。
一个不变形的图形运动的可能性，不是本身明显的真理，或至少它只能 像欧几里得公设那样，而不是像先验分析的判断那样。
此外当研究几何学的定义和证明的时候，人们觉得势必无证明地承认不 仅这种运动的可能性，并且还要承认它的几种特性。
第一这是在直线的定义中就可看出的。人们从前所给与它的定义都不大 好，而那真正的定义却是暗示在用到直线的一切证明中的那一种：
“有时一不变图形的运动也许是这样的：凡属于这图上某线的各点不 动，同时在此线外的各点则移动。凡这种线就命之曰‘直线’”。我们在这 条陈述中已特意把那定义与其内涵的公理分开了。
有许多的证明，例如三角形之相等，由某点引一直线垂直于它直线之可 能性，都假定有许多可省得陈述的命题，因为它们势必承认在空间有用某种 方式移动一图形的可能。
第四种几何学——在这些内涵的公理中，有一条是很可值得注意的，因 为倘若把它抛弃，人们还可构成第四种几何，与罗氏黎氏和欧氏的三种几何 一样的有一致性。
为要证明人们总可由 Ａ 点引一与直线 ＡＢ 相垂直的直线，人们设想有一绕 Ａ 点而动且原始与直线 ＡＢ 相重合的直线 ＡＣ；于是人们将此线绕 Ａ 点而转，一 直来到 ＡＢ 的延长线上为止。
这样人们假定两个命题：第一这种旋转是可能的，其次即可转到这两线 互相延长的直线上而后止。
如人们只承认第一命题，而否认第二者，人们便要得到比罗氏与黎氏几 何更为奇异的一系列定理，但这也是不会互相矛盾的。
我只叙述那些定理中的一种，但我并不选择那最奇异的：一真正的直线 可以自相垂直。
索弗斯・李定理——内涵地导入经典的证明中的公理的数目，是远比所 需要的为多，人们曾想把它们减少到最少数。希尔伯脱先生好像曾对这问题 给出确定的解答。首先人们可以先验地问这种减缩是否可能，假使那必需的 公理的数目和理想的几何的数目不是无穷的。
索弗斯・李的一个定理支配着这里整个讨论。我们可这样地陈述它：
假定人们承认下列的前提：
一、空间是 ｎ 维的；
二、不变形的图形的运动是可能的；
三、这图形在空间的位置必需 ｐ 个条件方可确定。
于是符合这些前提的几何学为数将是有限的了。
我并可加说：如 ｎ 是已给定，则人们可指定 ｐ 的最高限。
所以人们如承认运动的可能性，别人们仅能发明有限数的（甚至少数）
三维几何学。
黎曼几何学——但是这个结果似乎是被黎氏反驳了的，因这位学者曾建 立无数不同的几何，而普通所称的黎氏几何学不过是个特例而已。
他说：一切要看人们对于一曲线的长度的定义如何。但这种长度的定义 的方式是多极了，而每一个都可作为一种新几何学的起点。
这是完全对的，不过大半这些定义与那在李氏定理中认为可能的不变形 的图形运动，是不符合的。所以这些黎氏几何纵然有许多好地方，但永远不 过是纯粹分析的，是不能有如欧氏几何学那样可证朋的。
希尔伯脱的各种几何学——最后魏翁勒斯与希尔伯脱先生曾想出更新奇 的几何，他们名曰“非阿基米得几何”。他们舍去阿基米得公理，而建筑那 些新的几何，根据这公理，凡以够大的整数乘一给定长度，终必超过所先给 定的任何大的长度。在一非阿氏直线上普通几何的点子都存在，但尚有无穷 的点子夹在其中，这样一来，那老派几何家认为相临接的两截段之间，现在 就可插进无穷数的新点子。一句话，用前章的说法，非阿氏的空间不再是二 级的连续统，而是三级的连续统了。
关于公理的性质——大半数学家把罗氏几何认为不过是一种简单的逻辑 的奇巧；有些人则更进一步。他们以为既然有许多种几何学，则我们的几何 是的确真实的吗？无疑地，实验告诉我们三角形的三角之和等于二直角；但 这因我们所运算的三角形都是太小的缘故；根据罗氏，则其相差与三角形的 面积成正比例：然则当我们计算较大的三角形时，或当我们的测量更精密的 时候，这种差别就可被我们感觉得了吗？由此以观，欧氏几何只是暂时的几 何而已。
为讨论这个意见，我们先要问几何公理的性质为何。
这是否有如康德所谓先验综合的判断？
于是它们既然用那样大的力量来支配着我们，以致我们既不能设想相反 的命题，又不能在它的上面建立理论的体系。非欧氏几何也将没有了。
为对这事信服，我们可举一真正的先验综合的判断，例如我们在第一章 已知其重要作用的那一种：
如对 １ 定理为真，又如人们已证定理对 ｎ＋１ 亦真，只须对 ｎ 为真，
则这定理对任何正整数都真。
其次人们试不用这种命题，而加以否认，同时为建立一种谬误的算术，
有如非欧氏几何——那是人们不会达到目的的，甚至在起始时，人们还会把 这些判断认为分析的了。
况且，再把我们那无厚薄的动物的幻想来谈吧；倘若那些动物，具有我
们的理性，我们决不能相信它们竟采用与其经验相反的欧几里得几何。
然则我们应该结论几何的公理就是实验的真理吗？但人们不是对那理想 的直线和圆周实验的；人们只能用实在的物质实验。然则拿什么实验作为几 何基础呢？这却是容易回答的。
我们在上面已经知道我们推理时总是把几何的图形认为好像是固体似 的。所以几何学所借重于实验的东西，实即这些固体的性质。
光的性质和它的直线传播，也曾经是引出一些几何的命题的机会，尤其 是投影几何的命题，由此以观，人们就会说：度量的几何即固体的研究，而 投影几何即光的研究。
然这里却存在着一种不能克服的困难。如果几何学是一种实验的科学，
则不成为一精确的科学，而它就要被不断地修改了。那还有什么可说的呢？
从今天起，它就会承认错误，因为我们知道世界上没有严密不变的固体。
然则几何学的公理既非先验综合的判断，亦非经验的事实。
这原来是些公约；在一切可能的公约中，我们的选择是受了经验的事实 引导；但它仍是自由的，它为免去一切的矛盾起见，才有所限制。因此尽管 那些决定公设的取舍的实验定律是近似的，那些公设还是严密的真实。
换句话说，几何学的公理（我并不谈算术的）其实不过是伪装的定义。
由是人们对于这个问题当作何感想：欧氏几何是真实的么？
这个问题毫无意义。
这好比问“米达”度量衡是对的，而旧制度是错的；笛卡儿式的坐标是 对的，而极坐标是错的了。这不是这种几何比那种几何真；只有比较上便利 不便利而已。
而欧氏几何是并且永久是便利的几何：
一、因为它是最简明的。它这样不单是因我们精神的习惯关系，或因我 们对于欧氏的空间有一种我说不出的直接的直觉；它本身确是最简明的，有 如一次多项式是比二次多项式较简那样，球面三角的公式比平面三角的公式 复杂，而即使一位不明白这些几何公式的意义的分析数学家看上去，也有如 此的感想。
二、因为它与自然界的固体的性质颇能符合，这些固体是我们的四肢和 眼睛所能接近到的，并用它们来制造测量的仪器。
第四章 空间与几何
我们先开始谈一个小讨论。
今如有一种生物，具有我们同样的精神与感官，但先前毫未受过教育，
它们在适当选择的外界中，能接受到一些印象，使得它们建设与欧氏几何不 同的几何，且能把这外界的现象都放在非欧几里得的空间或竟放在四维的空 间里。
至于我们，则我们的教育都来自现实的世界，假使一旦置身在这新世界 中，则我们不难把其中一切的现象都归入我们的欧几里得空间。倒过来，如 果这些生物都转运到我们的世界中，则它们必把我们所有的现象归入非欧几 里得的空间。
我还有什么可说的；我们稍微努力一下便也可这样做的。今如有人竭尽 毕生的力去做，或许可能达到第四维的想像。
几何的空间与表象的空间——人们常常说外物的影像是局限在空间里 的，甚至说唯有这条件，那些影像才能形成。人们也说，这个为我们感觉与 表象准备好的框子的空间，与几何家所掌握的空间是完全相同的。
前句话对于作如是观的聪明人，一定感到很奇异。但要看看他们是否受 了一些幻想的影响，而这个幻想用深刻的分析，便可消除的。
首先那真正的空间的特性是什么？我所指的是那作成几何学的对象的空 间，而我名之曰“几何的空间”。下面是几个主要的特性：
一、它是连续的；
二、它是无穷的；
三、它是三维的；
四、它是均匀的，即是各点都是恒等的；
五、它是各向同性的，即是经过同一点的各线都是恒等的。
现在我们试把它和我们的感觉的与表象的框子相比，我并把它叫做表象 的空间。
视觉的空间——先试考虑一种纯粹视觉的印象，而是由于在网膜底部所 形成的物像而来。
略加分析，便知这个物像是连续的，但由于仅是二维的，这已经把几何 的空间，和所谓粹纯视觉的空间区别出来了。
另方面这物像是放在有限界的框子里的。
最后，还有一个也是重要的区别：这个纯粹视觉的空间不是均匀的。
不管在网膜上形成什么像，网膜上的各点没有同一的作用。那黄斑点决不能 认为与网膜边缘的一点相同。事实上不仅是同一的对象在那斑点上产生更强 烈的印象，并且在整个有限框子里，居中的点子和近边的点子是不相同的。
再深加分析，无疑地我们将知这视觉的空间的连续性和它的二维空间，
也无非是一种幻觉；所以它与几何的空间相差将更远，但我们对这姑不必多 说，我们在第二章中已把由这种注意所生的后果讨论得很够了。
但视觉可以让我们估计物的距离，所以又能观察第三维了。但是大家知 道这种第三维的视觉，实即对光时所费力的感觉，以及双目所应作的收敛度 以明视一物的感觉。
这是一些筋肉的感觉，与给我们头二维空间的概念的视觉大为不同。所 以这第三维对于我们，和其他二维有不同的作用。所以所谓完全视觉的空间 不是各向同性的空间。
诚然，它恰好有三维；意即在我们视觉的元素中（这至少是有助于形成 大小的概念的），知其三则其余都可完全规定；若照数学的话说，这是含三 独立变数的函数。
然而我们再仔细审视一下。对于第三维我们曾用二种不同的方式来发觉 它；即用对光的费力和双目的收敛度。
无疑地，这两种指示总是符合的，在他们之间有常定的关系，或换数学 话说，就是测量这二种筋肉感觉的变数，在我们看上去，并非各自独立的，
或者，为省用那已很精致的数学概念起见，我们仍可回到第二章，而把同一 的事实陈述如下：
如 Ａ 与 Ｂ 二收敛度的感觉是不可辨别的，则同时和它相伴随的 Ａ’和 Ｂ’
二对光的感觉也将不能辨别了。
但这里可说是一种经验的事实；如作反面的假定，先验上是毫无妨碍 的，又如真有这相反的假定，如这二筋肉的感觉有各不相依存的变动，那末 我们将要多计及一个独立的变数，而对于“完全视觉的空间”，我们将认为 四维的物理的连续统了。
我还要加说一句，这就是一种外部的经验的事实。我们尽管可以假定有 一生物，具有与我们同一的精神和感官。它是生在某世界中，那里光线射到 它的身上时，必经过形式复杂的折光媒质。于是供给我们视察距离的两种指 示，不再联有常定的关系了。一个在这样世界中受感官教育的生物，对于完 全视觉的空间必将认为四维空间了。
触觉的空间与动觉的空间——“触觉的空间”比视觉的空间更为复杂，
而与几何的空间相差更远了。因此对于触觉用不着去重复那对于视觉的讨 论。
然除了视觉与触觉的数据之外，还有别的感觉，它对于空间概念的萌芽 同样有帮助并比较更大。这是大家都知道的，这种感觉是随着我们所有的动 作而生的，这就是普通所称的筋肉感觉。
与此相对应的框子就成为所谓“动觉的空间”。每一筋肉生出一种特别 的可增可减的感觉，因此我们全体筋肉的感觉所依存的变数当等于我们所有 的筋肉数。因此我们有多少根筋，动觉的空间便有若干维了。
我知道人们将说，筋肉的感觉之助成空间的概念，这是因在我们对于每 一运动的方向都有一种感受，而这也就是感觉中的一部分。如果这是真的，
如果某筋肉的感觉要伴有这种方向的几何的感受才得发生，则几何的空间将 真就是支配我们的感觉的一种形式。
但当我自己分析我的感觉时，我毫不觉得是如此的。
我所看到的，就是关于同方向运动的感觉，是用简单的观念结合方式联 系在我脑中的。我们所谓“方向的感受”，即是由这种结合而来。所以这种 感受决不是在唯一的感觉中可找得到的。
这种结合是很复杂的，因为随着四肢的位置，同一筋肉的收缩能对应着
多种大不同的方向的运动。
这个结合是显然已具有的了；有如其他各种的观念的结合，它是一种习 惯的结果；这结果本身也是由许多的经验而来；毫无疑问地，假使我们的感 官教育是在另一不同的环境中受到的，而在那里我们受着不同的印象，则必 生出相反的习惯且我们的筋肉的感觉必按照其他的定律互相联系着了。
表象的空间的性质——由此可见，在视觉的、触觉的与动觉的三种形式 之下的表象空间是与几何的空间大大不同的。它既非均匀的又非各向同性 的；人们甚至也不能说它是三维的。
人们常说我们把外界所察辨的对象，“投影”于几何的空间；我们把它
“局限”起来。
这有意义否，而有河意义？
这个意思就是说我们把外界的事物表示于几何的空间吗？
我们的表象，只是我们的感觉所仿造出来的，所以只能和它们列入同一 的框子中，意即在表象的空间中。
我们之不能把外物表示于几何的空间，正如画师不能在一平面的图上画 出物的长、阔、高三维来。
表象的空间只是几何的空间的影像，这个影像经了一种透视改变形状，
而我们只是按照这透视学的道理才能表示物体。
所以我们并非把外物表示于几何的空间，我们只是把这物体当作在几何 的空间而对它推理。
另方面，当我们说把某某物件“局限”于空间的某某点，这是什么意思？
这就是说，为达到这物，我们把要做的动作表示出来；而不说为表示 这些动作，必将其本身投影于空间，以及空间的概念当因此先存在。
当我说我们把这些动作表示出来，我只说我们把和它相伴的筋肉的感觉 表示出来，这些筋肉感觉是毫无几何的性质的，它们因此毫不含蓄空间概念 先在的意思。
状态的变化与位置的变化——但有人将说，如几何的空间观念并不支配 着我们的精神，又不是我们的任何感觉所能供给我们的，则此念又何自而生 的呢？
这就是我们要研究的，而这要稍费时间才成，但我可把我所尝试的解释 先扼要说来。
我们任何的感觉，孤立起来，决不能引起我们一种空间的观念，我 们只是把这些感觉发生的次序的规律研究之后，才得到此念。
我们最初是知道我们的印象是会变更的；但在我们所发见的变更中，我 们马上就可以有所区别。
我们有时说形成这些印象的对象，是变了状态，时而说它们是变了位置，
或者它们只是移动了。
不同一对象是变态或变位，对于我们总是同样的表达出来：即 印象集合
中的一种变化。
然则我们如何能够去区别它们哩？这是容易明白的。如果只是位置的变 易，我们的动作可以恢复原始的印象集合，这些动作使我们再在同一的相对 的地位正对着运动的物体。这样我们矫正所发生了的变化，而用相反的变化 恢复原状。
譬如是有关视觉的，有一物在眼前行动，我们可“随之以目”，而利用 眼球的运动可使物像永久落在网膜的同一点。
这种动作是我们良知的，因这是有意的，而且有筋肉感觉相伴的，但这 不等于说我们把它表示于几何的空间。
这样，变位的特性之有别于变态，是在于它能用这方法被矫正。人们因 此有时可用二种方式从印象集合 Ａ 来到印象集合 Ｂ：一、这是无意的而不受 筋肉的感觉，这是当物体移动时有的情形；二、这是有意的而有筋肉的感觉 的，这是物虽不动然我们对他有相对运动时的情形。
果然如是，则由 Ａ 集合到 Ｂ 集合的历程只是位置上的变易。
由此可知视觉与触觉，如无“筋肉的感官”的协助，决不能给我们空间 的概念。
不但是这个概念不能来自唯一的感觉，而是来自“一串的感觉”，并且 一个不动的物体永不能有，因为它既不能就自身的运动矫正外物变位的效 果，它便绝无理由去和态的变化区别。倘若它的运动是无意的，或毫无感觉 相伴，它也不能得到这种概念。
补偿的条件——有一种补偿能使两不相关的变易互相矫正，像这种的补 偿怎样是可能的？
今如有一已知几何的人，他必这样推想：
如要发生补偿，当然要一方面外物的各部分，另方面我们的感官的各机 构，经了这两种变易之后，仍恢复其原有相对的位置。为此，外物的各部分 也必互相保存其相对的位置，并且我们的感官的各部分互相也须这样。
换句话说，在第一种的变易中，外物应如不变的固体的移动，而在矫正 第一种变易的第二种变易中，我们身体的全部也须这样。
按照这种的条件，补偿就可以发生。
但我们尚不知几何学的人，因为我们对于空间的概念尚未形成，所以 我们不能做那样的推理，我们不能先验地预料这种补偿是否可能的。然由经 验知道有时这是做得到的，而就是根据了这件经验的事实，我们才能从位置 的变化中辨别出状态的变化。
固体与几何——罗列在我们四周的万物之中，有些常常受一种移动，而 这种移动同时可受我们自身的相关的动作之矫正，这就是固体。
其他形状可变的物件，除非例外，不能有这般的移动（只有位置之变易，
而无形状之变易）。倘若物体移动同时变易其形状，那末我们就是用适当动 作，再也不能把我们的感官的各机构移到与此物原始的相对的位置；因此我
