第14章 静电场中的导体和电介质

第 二 周

第14章 静电场中的导体和电介质

§14.2，§14.3，§14.4，

§14.5，§14.6

作业： P258 14-5，14-7，14-13, * *

* 14-18，14-20

1 2

(1) 不带电金属球壳内有带电量为+ q₂的小球B，外面有 带电量为+q₁的小球A，则A球受力情况如何？

+q₂ A B

+q₁

(1) 解答： B球在球壳内表面感应电荷- q₂ ，则外表面 出现感应电荷+ q₂ ，B球所带电量 + q₂与球壳内表面所 带电量- q 对外产生电场完全抵消，故A球受到球壳外

+q₂ B

A

+q₁

+q₂

(2) 同上，移去B球，则A球受力情况如何？

A +q₁

A +q₁

(2) 解答： 在球壳外表面将出现带电量分别为 + 和- 的感应电荷。总电荷虽为零，但负电荷靠近A球，而正电 荷远离A球，故A球总体上受吸引力。

q′ q′

(3) B球与球壳内表面接触，则A球受力情况如何？

+q₂ B

A +q₁

（3）解答： B球与球壳内表面接触，则构成一体，

B球所带的电荷+q₂全部转移到了球壳外表面。

B A

+q₁

+q₂

(4) 同(2)但球壳接地，则A球受力情况如何？

A +q₁

A

+q₁

−q′

（4）解答： 接地球壳电势为零，球壳表面的正感应电 荷与大地所带的负电荷中和，只剩负感生电荷 - 。

q′

(5) 同(4)，但引入B球，则A球受力如何？

A +q₁ B +q₂

A

+q₁ B +q₂-q₂

−q′

（5）解答：内表面出现感应电荷-q₂ ，由于接地，外 表面感应电荷仍为

− q′

(6) 在(5)的情况下，先拆地线，再移去B球，

则A球受力如何？

A +q₁ B +q₂

A +q₁ (q2 q′)

− +

（6）解答：拆地线后，球壳所带总电量 ，B

球移去后，这些电荷全部跑到外表面，故A球受吸引力。

( q

q′ )

− +

例题2：

一块面积为S的金属大薄平板A，带电量为Q，

在其附近平行放置另一块不带电的金属大薄平板B

，两板间距远小于板的线度。试求两板表面的电 荷面密度，以及周围空间的场强分布。

A B

解：由电荷守恒定 律，根据题意：

S

= Q +

1

σ

σ

= 0 + σ

σ

①

②

空间任一点的场强是由 4个带电平面

产生的场强相互叠加。在静电平衡条件下，金属 板内场强处处为 0，取向右方向为正。

由无限大带电平面的结果 可知， σ

在 P

点引起的 场强为 σ

_/2 ε

，方向向 右，其他表面电荷 σ

、 σ

、 σ

，在 P

点引起的 场强以此类推，则

2 0 2

2 2

4 3

2

1

− − − =

ε σ ε

σ ε

σ ε

σ

A B

σ₁

P_B σ₂ σ₃ σ₄

P_A

对 P

点有：

2 0 2

2

2

4 0

3 0

2 0

1

+ + − =

ε σ ε

σ ε

σ ε

σ

解上述 4个方程，可得：

因此，空间各点场强分别为：

方向如图所示。

S E Q

E

E 2

1 2 2

0 0

3 1 2

1

ε ε

σ ₌

=

=

=

S Q

2

= 2

σ S

Q

3

= − 2

σ S

Q

4

= 2 σ

A B

E

E

E

1

2

Q

σ = S

在内外半径分别为 R

和 R

的导体球壳内，有 一个半径为r的导体小球，小球与球壳同心，让 小球与球壳分别带上电荷量 q 和 Q 。试求：

㈠ 小球的电势 U

，球壳内、外表面的电势；㈡ 两球的电势差；㈢ 若球壳接地，再次求小球与 球壳的电势差。

R

R

Q

r

q 解：小球在球壳内外表面

感应出电荷- q、q。球壳

外总电荷为 q+Q，则由电

势叠加原理：

（1） ( ) 4

1

2 1

0

R

Q q

R q r

U

q +

+

−

= πε

2 0

2 1

1 0

4 1

) 4 (

1

1

R Q q

R Q q

R q R

U

q

= +

+ +

−

=

πε πε

2 0

2 2

2

0

4

) 1 4 (

1

2

R

Q q

R Q q

R q R

U

q +

+ = +

−

= πε πε

球壳内外表面的电势相等。

R

R

r

q

q+Q

-q

（2）两球的电势差

) 4 (

1

1

1 0

R

q r

U q

U

−

= −

πε

（3）外壳接地时的各量 ) 4 (

1

1

0

R

q r

U

= q −

πε

1

0

2

=

=

R

U

U

) 4 (

1

1

R

q r

U q

U

−

= −

πε

R

R

r

q

-q

一个孤立导体的电势 U与所带电荷量q呈线性关 系，其比值称为孤立导体的电容。

孤立球形导体的电容：

4

C q R

U πε

= =

单位：法 [拉] 1F=10

μ F=10

pF

§10-2 电容 电容器

一．孤立导体的电容

电容器：是两个导体组成的系统，用来储存电 荷和电能。符号： 电容器电容定义：

A B

C Q

U U

= −

Q为任一导体所带电量 值， U

-U

为两导体间 的电势差。

二. 电容器的电容

两极板面积 S，间距d，分别带电荷+q和-q，忽 略边缘效应，

-q d +q A

1．平行板电容器

三、电容器电容的计算

0

0 0

0

A B

A B

E

U U Ed d qd

S S

C q

U U d

σ ε

σ

ε ε

ε

=

− = = =

= =

−

电容大小仅由材料几何结构决定。

两同轴金属圆柱面，

内、外柱面半径 R

、 R

，内外柱面线电荷 密 度 为 +λ、-λ 。长 l >> (R

-R

) ，忽略边 缘效应，即 “无限长”

，由高斯定理得：

2．圆柱形电容器

R

R

l +λ

-λ

E r

2 πε

= λ

0 0

d

d ln

2 2

B A B

A

R

A B R

R B

R A

U U E l

r R

r R

λ λ

πε πε

− = ⋅

= =

∫

∫

2

ln( / )

A B A B B A

l

Q l

C U U U U R R

λ πε

= = =

− −

两同心金属球壳半径分别为 R

、 R

，电荷分别 为 +q、 -q

R

R

o +q

r -q

r

E q

4 πε

=

1 ) ( 1

4

4

R R

R R

dr q r

Edr

q

B

= = −

= ∫ ∫ _{πε πε}

∫ ^⋅

=

−

A

R B R

A

U E d r

U

3．球形电容器

当 R

>>R

时，即外壳趋向无限远， R

→ ∞，

C → 4 πε

R

，为孤立导体球电容。

4

( )

B A

A B B A

R R C q

U U πε R R

= =

− −

四、电容器的串联和并联

电容器的性能指标：电容量、耐压。

等值电容：多个电容器连接后，它们所带电量

与两端电势差之比，称为它们的等值电容。

串联：有 C

、 C

、 …C

，相应

电势差为 U

、 U

…U

，每极板电量 Q，总电势 差 U

-U

= U

+U

…+U

1 2

1

1 1 1

A B

U U U U Un

C Q Q

− + + +

= =

= + + +

U

-U

A C

C

C

B

串联：电容减小，耐压增加。

并 联 ： 有 C

、 C

、 …C

， 相 应 电 量 为 q

、 q

…q

，总电量为 Q = q

+q

+…+q

，电势差为 U

-U

U

-U

A

B

C

C

C

并联增加总电容，耐压值等于其中最低的耐压 值。

Cn C

C

U U

q q

q U

U C Q

B A

n B

A

+ +

+

=

−

+ +

= +

= −

2 1

2 1

电介质：电的非导体，绝缘介质。在外电场中对 电场有影响，静电平衡时，内部场强不为零。

§10-3 静电场中的电介质

一、电介质对电场的影响

E

Q

Q

E

对平行板电容器做实验：

0 0 0

0 0

,

r

U Q Q

U C C

U U

ε ε

= ε = = =

0 0

0

U C

Q =

充电后 ； 断电后， 插入

电介质，实验发现电势差变为 U<U

， U∝U

。 其比例常数写成 ε

，称为电介质的相对介电常 数（或相对电容率），定义真空中 ε

=1 。

断电后电荷 Q

不变，电容为原来的 ε

^倍：

0 0

U E E U

ε ε

= = =

场强减小：

有极分子和无极分子：原子的正负电中心重 合，每个原子的电偶极矩为零。几个原子构成分 子时，正负电中心可重合，可不重合，前者称无 极分子，后者称有极分子。对有极分子，正负电 荷中心组成 等效分子电偶极矩 p 。对大量分子的 等效电偶极矩之和∑ p=0 。对无极分子 p=0 。

二、电介质的极化

p H

H

O

±

l

E E

无极分子与有极分子的极化：

p

f E f

-

q

+q p

H

H

O

E

有极分子的极化

电介质的极化 ：电介质在外场中，在与外场 E

的垂直的表面层里出现正负电荷层，这些电荷

不能自由移动，称为 束缚电荷或极化电荷。这

种现象称电介质的极化。无极分子的极化称为

位移极化，有极分子的极化称为取向极化。

三、电极化强度矢量 极化电荷面密度 单位体积内分子电偶极矩的矢量和

P p

= V

∑ Δ

称为电极化强度矢量。

实验表明，对大多数各向同性电介质：

0

P = χ ε e E

χ

电极化强度矢量与极化电荷面密度之间的关 系：斜柱体内分子的电偶极矩之和为

Lds qL

p = = σ ^′

∑

斜柱体的体积为：

θ

cos dsL

dV = ^P _e

n

ds

θ

电极化强度矢量 L

P 的大小为：

θ σ cos

= ′

= ∑

dV P p

所以 σ ′ = P cos θ = P

= ⋅ P e

电介质极化时的极化电荷面密度等于极化强度沿 外法线方向的分量。

上面讨论仅对均匀介质而言，对不均匀介质还可

能出现极化电荷体密度。

一个半径为 R 的电介质球被均匀极化后，

已知电极化强度为 P，求：⑴电介质球表面上 极化面电荷的分布；⑵极化面电荷在电介质球 心处所激发的场强？

例题4：

e

o

P θ

x _θ x

dE ′

d θ ^P

θ σ ′ = P cos

π σ

θ < , ^′ 2

0 2 , ′ =

= π σ θ

σ π

θ = 0 或 , ^′

解：⑴ 由于 在右半球，

在两球分界面上，

在轴线两端 绝对值最大

在左半球， θ > , π σ ^′ 2

为正 为负

θ x dE ′

d θ P

θ θ

θ → + d

⑵ 在球面上 之间的环带上的

极化电荷为：

此电荷在球心处所激发的场强：

θ θ ε θ

πε θ ^d

P R

q E d

d

0 2

0

cos 2 sin

4 ′ cos =

′ =

方向沿 X 轴的负方向。整个球面上的极化电荷在 球心处所激发的总场强为：

∫ ^{′ =} ∫ ⁼

′ =

θ ε θ

ε θ

0 0

2

0

sin cos 3

2

d P E P

d E

θ θ θ

π θ

θ π

σ R Rd P R d

q

d ′ = ⋅′ 2 sin ⋅ = 2

sin cos

§10-4 电介质中的静电场的基本定理 一、电介质中的场强

E

E A

E ´

+σ

-σ´ +σ´ -σ

B d

E

表示自由电荷激 发的电场， E ´ 表示 极化电荷激发的电场

，介质中的合场强：

E= E

+ E ´

对充满极化率为 χ

的电介质的无限大平行板 电容器，设自由电荷密度为 ±σ

，介质表面的 束缚电荷密度 ±σ′

束缚电荷的场强：

ε

σ ^′

′ = E 合电场的场强为：

0 0

ε

σ ε

σ ₋ ^′

′ =

−

= E E E

0 0

ε

= σ

自由电荷的场强： E

介质中的电极化强度 P=χ

ε

_{E ，又} σ ′=P 代入上式：

E P E

E

E χ

ε ^{= −}

−

=

0 0

0

1

E E

= χ

+

电介质内部的场强 E 是场强 E

的 倍。

χ

+ 1

1

平行板电容器两极板间的电势差：

E₀

E A

E´

+σ₀ -σ´ +σ´ -σ₀

B d

)

(

Ed d

U ε χ

σ

= +

=

1

0

设极板的面积为 S，总电荷量q=σ

S，按电容 器的定义：

0

1 1

C d χ

S U

C q (

) (

) +

+ =

=

= ε χ

插入电介质，电容为原来的 ε

^{倍，由上式可知：}

r

1

ε = + ( χ ) ε ε ε = _{r 0} = + ( 1 χ ε _e ) ₀

ε 称为介电常数或电容率。

e

r

χ

ε

ε , , 三者得一可求出其他两个。

从 式可知：

e

E E

χ

= + 1

0

ε

σ ε

ε σ

ε

⁼

⁼

=

r r

E E

将此关系代入

0 0

0 0

ε

σ ε

σ ₋ ^′

′ =

−

= E E E

0 0

0

1

1 σ σ ε

ε ε

σ ε _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

− =

′ =

r

介质球被极化后球心的合场强？

例5：

3 ε

E ′ = − P 合场强：

0

0

3 ε

E P E = −

因 P = χ

ε E 代入上式：

0

3

E E χ

E

= −

2 3 E E

r

+

= ε 3

2 >

r

+ ε

由于 ，故电介质内的场强是减弱的。

极化电荷在球心所激发的场强：

在介质球外部，靠近上下区域，合场强减弱，

θ x

P

或：

E₀

二、有电介质时的高斯定理 电位移矢量 D 极化电荷与自由电荷一样，它所激发的还是静 电场。环路定理仍然成立：

∫

E ^⋅ d l ⁼ 0

高斯定理也仍然成立：

)

( ∑ ∑

∫∫ ^{E ⋅ d s =} ∑ ^{q = q + q ′}

S

0 0

0

1 1

ε

ε

上式中极化电荷的分布 比较复杂，它与 E相互 关联，一般无法预知。

图示为平行板电容器，

在介质和金属板间做圆 柱体高斯面，得：

S

E S

P

+ σ

- σ ′

+ σ ′ - σ

) 1 (

2 1

0 0

S S

s d E

S

σ ε σ ^{− ′}

=

∫∫ ⋅

2 2

2

S PS

s d P s

d P

S S

σ ^′

=

=

⋅

=

∫∫ ⋅ ∫∫

将此式代入高斯定理：

∫∫

∫∫ ^{⋅ = − ⋅}

S S

s d P

S s

d E

0 1

0 0

1 1

σ ε ε

上式化简：

S

E S

P

+ σ

- σ ′ + σ ′

- σ

0 0 0

)

( ε ε

s q P d

E

S

=

⋅

∫∫ +

0

0

)

( E P d s q

S

=

⋅

∫∫ ^ε +

有电介质时的高斯定理为：

D ds ⋅ = q 0

∫∫

D = ε

E P +

定义电位移矢量：

上式虽然从平行板电容器推得，

但它是普遍适用，是静电场的基本定理之一。

引进电位移线：1.电位移线上每一点的切线方 向和该点的电位移 D的方向相同；2.垂直于电 位移线的单位面积上通过的电位移线数等于该 点的电位移 D的量值。

电介质中的高斯定理：通过电介质中任一闭 合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由 电荷量的代数和。

D 的单位是 C/m

。

对电位移矢量 D的几点说明：

1.电位移矢量没有明显的物理意义；

2.通过闭合曲面的电位移通量只与自由电荷有关；

3.电位移矢量决定于自由电荷与极化电荷的分布；

4.电位移矢量的定义式对各向同性和各向异性的 介质都适用。

对各向同性的介质： ，代入电位移 矢量的定义式： P ⁼ χ

ε E

D, E, P 三矢量之间的关系

D = ε E

上式在各向异性的介质中并不适用，因为 D, E, P 三量的方向可能不同。

E E

E P

E

D = ε

+ = ε

+ χ

ε

= ε

ε

一半径为 R的金属球，带有电荷q

，浸埋在均匀

“无限大”电介质中（介电常数为 ε ），求球外

例题6:

解：由题意可知，介质中的电场具有球对称性

，则由高斯定理：

0

4 r

q D

S d D

S

=

=

∫∫ ⋅ ^π

写成矢量式为：

2 0

4 r D q

= π r r D q

4 π

=

所以

S

R r q

ε

因 D = ε E ，则场强为：

r r

r E r

r q r

q E D

ε ε

πε πε

ε = 4

= 4

=

=

电极化强度矢量

q r

r r r q

r P q

r

r

⎟⎟ ⎞

⎜⎜ ⎛ −

=

−

=

ε ε

ε ε πε

π

1

4 4

0

0 3 0 0

3 0

D = ε

E P +

金属球表面的极化面电荷密度

是介质外法线方向的单位矢量，与 r反向：

e

P ⋅

′ =

σ

e n

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛ −

′ =

r r

R q

ε ε

σ π ¹

4

0

自由电荷与极化电荷的总量为：

r r

r

q

q

q ε ε

ε

0

0

1 = ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

由于总电荷量减小到自由电荷量的 1/ ε

，介 S

R

r

q₀

ε