第5章解析几何

(1)

第 5 章空间解析几何导学解答

5.1 向量及其线性运算 5.2

空间直角坐标系与向量坐标表示一、相关问题

1.物理学中常提到的力、位移、速度、加速度具有哪些共同的基本特征?

答：它们都是既有大小，又有方向的量，即向量. 2.向量和标量有何区别？

答：标量只有大小，没有方向。

二、相关知识

1.如果一个质点从A点移动到B点，再从B点移动到C点，怎么表示它的总位移？

　答：从A点移至B点的位移为AB，从B点移至C点的位移为BC，总位移即两者之

和：ABBC  AC.（总位移跟路径无关只与始末点位置有关）.

2.向量的线性运算有哪些基本规律？（参见教材：ｐ４－ｐ６）

3.在空间直角坐标系中向量的表示以及线性运算?

　答：在空间取定一点O（作为原点）和三个两两垂直的单位向量i j k, , ，就确定了三条

以O为原点的两两垂直的数轴（x轴，y轴，z轴），将向量表示成i j k, , 的线性组合，对应的系数就是该向量的坐标.对空间向量作线性运算相当于对各个坐标作相应的线性运算.

4.在向量运算中应注意什么？

答：在向量的运算中应注意：空间几何中涉及的向量都是自由向量，与起点位置无关

。

5.把空间一切单位向量归结到共同的起点，则终点构成以起点为圆心、单位长度为半径的球面；把平行于某直线的一切单位向量归结到共同的始点，则终点构成以起点为对称点、 2 个单位长度的线段。

三、练习题

１.把ABC的BC边五等分，设分点依次为D1,D2,D3,D4，再把各分点与点 A

连接，ABc,BC a表示向量D₁A, D₂A, D₃A, D₄A.

解：D D D D1, 2, 3, 4五等分BC， ₁ 1 1 ₂ 2

5 5 5

BD BC BD

  

c, c, ₃ ³

BD 5



c,

4

4 BD 5



c, ₁ ₁ ₁ 1

( )

D A AD AB BD 5

       

a c, ₂ ₂ 2

( )

D A  AB BD   5

  

a c,

3 4

5 5

D A   D A  

 

a c, a c.

2．设 A(x₁,y₁,z₁)_和B(x₂,y₂,z₂)_{为两个已知点，而在}AB直线上的点M 分有

向线段AB为两部分AM 、MB，使它们的值的比等于某数 (1)_，即  MB

AM ，

求分点的坐标.

(2)

解：设分点M的坐标为(x,y,z), AM MB,

 ^即

1 1 1 2 2 2

(x x y y z z ,  ,  )(x x y, y z, z),  x x₁ (x₂ x),

1 ( 2 ), 1 ( 2 ).

y y  y y z z  z z _从而分点M的坐标为：

1 2,

1 x x

x 



 



1 2, 1 2.

1 1

y y z z

y  z 

 

 

 

 

1 1 2 1

cos ,cos ,cos .

2 2 2 2

        

３.已知两点M₁(4, 2,1)和M₂(3,0,2),则向量

M₁M₂ ＝ ________ ， M M1 2 

_________，

方向余弦

cos  

_{_____；}^cos^ ^_{__ __；}^cos^ ^ __ ___；

方向角

 

_{_____ ,}^ ^_,^ ^_{______。}

解：M M₁ ₂  (3 4,0 2, 2 1) ( 1,    2,1).

1 2

M M 

 ₂ ₂ ₂

( 1)  ( 2) 1 2.

 1 1 2 2 1

cos ,cos , cos .

2 2 2 2 2

          

 2 3

, , .

3 4 3

  

     

4．已知向量ai jk，b i j k 5 3

2  

 ，及c2i j 2k,则单位向量



a0 ____________；b⁰  ；c⁰  。

解： a  i² j² k²  1²  1² 1² 3, b  2² ( 3)²5²  38,

2 2 2

( 2) ( 1) 2 3.

      c

 ⁰ ⁰ 2 3 5

, ,

3 3 3 38 38 38

 a  i  j  k  b  i  j  k

a b

0 2 1 2

3 3 3

 c    

c i j k.

c

四、思考题

1．要使â^^^b^ ^ â^ ^ ^b^ ，则向量a,b应满足　同向　；要使 â^^^b^ ^ â^ ^ ^b^^,，则

向量â^^,^b^应满足　反向　；要使â^^^b^ ^ â^^^b^ ，则向量â^^,^b^应满足　垂直　。

(3)

2.已知三角形三顶点为P x y z_i( , , ), (_i _i _i i1, 2,3),求三角形PP P1 2 3的重心坐标.

解：设三角形PP P1 2 3_的三顶点P_i_{的对边上的中点为}M i_i( 1, 2,3),_{三中线的交点（重} 心）为G(x,y,z),因此PG₁ 2GM₁,

即G分PM₁ ₁

成定比2.

因为M1_为P P_{2 3}_{的中点，即} ₁ ( ² ³, ² ³, ² ³),

2 2 2

x x y y z z

M   

 利用定比分点坐标公式，

2 3 2 3 2 3

1 2( ) 1 2( ) 1 2( )

2 , 2 , 2 ,

1 2 1 2 1 2

x x y y z z

x y z

  

  

  

所以三角形PP P1 2 3的重心坐

标为

1 2 3 1 2 3 1 2 3

( , , ).

3 3 3

x  x x y y y z  z z

第5章 解析几何

第 5 章 空间解析几何 导学解答

空间直角坐标系与向量坐标表示 一、相关问题