《平面图形的认识（一）》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】 1．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法； 2．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题； 3．正确理解“相交”、“互相平行”、“互相垂直”等概念，发展空间想象力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、直线、射线、线段 1. 直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质 (1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间线段最短． 要点诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就 可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线 AC 上截取 AB＝ａ，如下图： 4．线段的比较与运算 （1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差：如下图，有 AB+BC＝AC，或 AC＝a+b；AD＝AB-BD. （3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：
1
2
AM
MB
AB
.要点诠释： ①线段中点的等价表述：如上图，点 M 在线段上，且有
1
2
AM
AB
，则点 M 为线段 AB 的中点. ②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点 M,N,P 均为线段 AB 的四等分点，则有AM MN NP PB AB 4 1 . P N M B A （4）线段的延长线：如下图，图①称为延长线段 AB，或称为反向延长线段 BA；图②称 为延长线段 BA，或称为反向延长线段 AB. 图中延长的部分叫做原线段的延长线. 要点二、角 1．角的概念及其表示 （1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这 两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的 顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图： 要点诠释： ①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义. ②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类 3.角的度量 1周角＝360°，1 平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释： ①度、分、秒的换算是 60 进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘 法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超 60 进一，减一 成 60. ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β＝90° 90°<∠β<180° ∠β＝180° ∠β＝360°4.角的平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例 如：如下图，因为 OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1＝∠2＝1 2∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝ 2∠2. 类似地，还有角的三等分线等. 5．余角、补角、对顶角 （1）余角、补角： 若∠1+∠2＝90°， 则∠1 与∠2 互为余角.其中∠1 是∠2 的余角，∠2 是∠1 的余角. 若∠1+∠2＝180°，则∠1 与∠2 互为补角.其中∠1 是∠2 的补角，∠2 是∠1 的补角. 结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等. 要点诠释： ①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角). ②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的. ③只考虑数量关系，与位置无关． ④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”． （2）对顶角：对顶角相等． 要点三、平行与垂直 1.同一平面内的两条直线的位置关系:平行与相交. 平行用符号“∥”表示. 要点诠释：只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. 2.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线 互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示， 如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【典型例题】 类型一、概念或性质的理解
1.（2014 秋 上杭县月考）下列语句错误的有（ ）• ①角的大小与角两边的长短无关； ②过两点有且只有一条直线； ③若线段 AP=BP，则 P 一定是 AB 中点； ④A与 B 两点间的距离是指连接 A、B 两点间的线段． A．1 个 B． 2个 C．3 个 D． 4 个 【答案】B 【解析】 ①角的大小与角两边的长短无关，正确； ②过两点有且只有一条直线，正确； ③若线段 AP=BP，则 P 一定是 AB 中点；错误，点 P 可能不在 AB 上； ④A与 B 两点间的距离是指连接 A、B 两点间的线段；错误，因为 A 与 B 两点间的距 离是指连接 A、B 两点间的线段的长度． 故选 B． 【总结升华】本题考查直线、线段、射线的基本定义与几何图形的简单性质． 举一反三： 【变式】下列语句： ①两条直线相交，若其中一个交角是直角，那么这两条直线垂直. ②一条直线的垂线有无数条. ③空间内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ④两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直. ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的是 . 【答案】①② 类型二、角的度量 2. 如图所示，时钟的时针由 3 点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次 重合． 【答案与解析】 解：设时针转过的度数为 x°时，与分针第一次重合，依题意有： 12x＝90+x 解得
90
11
x
答：时针转过90
11
°时，与分针第一次重合． 【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的 12 倍，此外此问题可以转化为追举一反三：
【变式】125°÷4＝ °＝ ° ′ 【答案】31.25，31、15
类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算
1.方程的思想方法
3.（2016 春 南充校级期中）如图：若• ∠AOB 与∠BOC 是一对邻补角，OD 平分 ∠AOB，OE 在∠BOC 内部，并且∠BOE= ∠COE，∠DOE=72°．则∠COE 的度数是 ． 【思路点拨】设∠EOB=x 度，∠EOC=2x 度，把角用未知数表示出来，建立 x 的方程， 用代数方法解几何问题是一种常用的方法． 【答案】72°． 【解析】解：设∠EOB=x，则∠EOC=2x， 则∠BOD= （180° 3x﹣ ）， 则∠BOE+∠BOD=∠DOE， 即 x+ （180° 3x﹣ ）=72°， 解得 x=36°， 故∠EOC=2x=72°． 故答案为：72°． 【总结升华】本题考查了对顶角、邻补角，设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组， 求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用． 2.分类的思想方法 4. 同一直线上有 A、B、C、D 四点，已知 AD＝
5
9
DB，AC＝9
5
CB，且 CD＝ 4cm，求 AB 的长． 【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小． 【答案与解析】 解：利用条件中的 AD＝5
9
DB，AC＝9
5
CB，设 DB＝9x，CB＝5y， 则 AD＝5x，AC＝9y，分类讨论： （1）当点 D，C 均在线段 AB 上时，如图所示： ∵ AB＝AD+DB＝14x，AB＝AC+CB＝14y，∴ x＝y∵ CD＝AC－AD＝9y－5x＝4x＝4，∴ x＝1，∴ AB＝14x＝14(cm)． （2）当点 D，C 均不在线段 AB 上时，如图所示：方法同上，解得
8
7
AB
(cm)． （3 ）如图所示，当点 D 在线段 AB 上而点 C 不在线段 AB 上时，方法同上，解 得112
53
AB
(cm)． （4 ）如图所示，当点 C 在线段 AB 上而点 D 不在线段 AB 上时，方法同上，解 得112
53
AB
(cm)． 综上可得：AB 的长为 14cm，8
7
cm，112
53
cm． 【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样 性；二要注意解决的方法，注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确 答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解． 举一反三： 【变式】已知∠AOB=60°, ∠BOC=40°,则∠AOC 的度数 ． 【答案】20°或 100°． 类型四、平行与垂直 5. 用三角尺、量角器或直尺画图，不要求写画法． （1）过点 P 画 OA 的平行线，交射线 OB 于点 M； （2）过点 P 画 OB 的垂线，垂足为 N； （3）比较下列线段的长短：PM____ PN（用“＞”、“=”或“＜”填写）． 【思路点拨】（1）利用平行线的画法过 P 画 PM∥AO 即可；（2）里用直角三角板，一条 直角边与 OB 重合，沿 BO 移动三角板使另一条直角边过点 P 画直线即可；（3）根据垂线 段最短可直接得到答案． 【答案与解析】 解：（1）（2）如图所示： （3）根据垂线段最短可得 PM＞PN．结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
6.直线 AB、CD 相交于点 O，OE⊥AB 于点 O，∠COE＝40°，求∠BOD 的度数. 【答案与解析】 解：分两种情况： 第一种：如图 1，直线 AB，CD 相交后，∠BOD 是锐角， ∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°，即∠AOC+∠COE＝90°. ∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝50°. ∵∠BOD＝∠AOC ∴∠BOD＝50° 第二种：如图 2，直线 AB、CD 相交后，∠BOD 是钝角， ∵OE⊥AB, ∴∠AOE＝90°. ∵∠COE＝40°, ∴∠AOC＝90°+40°＝130°， ∴∠BOD＝∠AOC＝130°. 【总结升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一 种情况为∠BOD 是锐角，第二种情况是∠BOD 是钝角.此外关于两条直线相交，应想到邻 补角、对顶角的定义及性质. 举一反三： 【变式】（2014•陆川县校级模拟）在同一平面内，若 ∠AOB=90°，∠BOC=40°，则∠AOB 的平分线与∠BOC 的平分线的夹 角等于 ． 【答案】 25°或 65°． 解：本题分两种情况讨论： （1）当 OC 在三角形内部时，如图 1，
∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE 是∠AOB 的与∠BOC 的平分线，
∴∠AOD=∠DOB= ∠AOB= ×90°=45°，∠BOE=∠EOC= ∠BOC= ×40°=20°，
∴∠DOE=∠DOB ∠EOB=45° 20°=25°﹣ ﹣ ； （2）当 OC 在三角形外部时，如图 2，
∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，OD，OE 是∠AOB 的与∠BOC 的平分线，
∴∠AOD=∠DOB= ∠AOB= ×90°=45°，∠BOE=∠EOC= ∠BOC= ×40°=2 0°，
∴∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+20°=65°， 故答案为：25°或 65°．
