圓錐曲線

2-1 圓錐曲線名詞的由來

高中數學

圓錐曲線

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一、定義：圓、橢圓、拋物線與雙曲線，這些曲線統稱為圓錐曲線， 又稱為圓錐截痕，其所指的是圓錐面與平面相交所形成的圖形。 直圓錐面的形成： 直圓錐面上， L 稱為軸，M 稱為母

直圓錐面與一平面的相交情形： 圓： 橢圓： 拋物線： 雙曲線：

第二章 圓錐曲線

2-1 圓錐曲線名詞的由來

觀念： 例1：書桌上有一圓錐狀的檯燈，已知其上緣 AB 與桌面平行，如果開燈時， 桌面 E 上被照亮之區域 S 的邊界，是某種圓錐曲線的一部分，那麼是下 列何種圓錐曲線？ (1) 圓 (2) 橢圓 (3) 拋物線 (4) 雙曲線. 平面 E 與軸 L 垂直(不通過頂點 V )時, 則 E 與直圓錐面  _相交 的圖形是一個

________。

平面 E 稍作轉動使呈傾斜，此時 E 與  相交的圖形稱為

______。

平面 E 使其與  的一條母線 M 平 行，此時E 僅與一個錐面相交，此 時 E 與  相交的圖形稱為

______。

平面 E 使其與  _{的一條母線 M 平} 行，此時E 僅與一個錐面相交，此 時 E 與  _{相交的圖形稱為}

_{______。}

2-1 圓錐曲線名詞的由來 例2：同例題 1，若調整檯燈罩，將其往下壓，則桌面上 S 區域的邊界是何 種圓錐曲線的一部分？ (1) 圓 (2) 橢圓 (3) 拋物線 (4) 雙曲線 【練習題】一盞天花板的嵌燈，已知其照射的燈光形成一個直圓錐狀，且圓錐 的軸與地面垂直，求(1) 燈光在牆壁上照亮區域的邊界是哪一種曲線？ (2) 燈光在地板上照亮區域的邊界是哪一種曲線？

例3：已知一直圓錐面  的軸為 L、母線為 M、頂點為 V。 若平面 E 不通過 V 點，則下列哪一個條件使得 E 與  相交的曲線一定是雙曲線？ (1) EL (2) E L// (3) EM (4) E M// . 例4：一大型廣告看板的上緣裝有 1 盞圓錐狀的投射燈（如圖），若投射燈的 外緣為AB，內緣為AC且AB平行於廣告看板，試問開燈時看板上被照亮的 區域S的邊界為哪一種圓錐曲線的一部分？ 【練習題】若將例4 的投射燈往廣告看板稍作內壓（如圖），那麼廣告看板上 被照亮的區域S_{之邊界又為哪一種圓錐曲線的一部分？}

2-1 圓錐曲線名詞的由來 例5：有一夜間巡守員，帶著手電筒在暗巷中沿著水平方向往前照射（如圖）。 (1)若巡守員走在平坦的街道上，則被照亮的地面區域邊界為哪一種圓錐曲線 的一部分？ (2)若巡守員走在上坡30的街道上，則被照亮的地面區域邊界又為哪一種圓錐 曲線的一部分？ 【練習題】有一直圓錐形的杯子，裝了約七分滿的水，某甲將杯子端起並微微 傾斜，但不使水溢出杯外，試問此時某甲看到水面在杯緣呈現的是何種 圖形？

第二章 圓錐曲線

2-2 拋物線 觀念： 一、拋物線的定義：平面上給予一直線L及L外一定點 F，則平面 上所有到直線L的距離恰等於到定點F的距離之所 有動點P所 形成的圖形就稱為拋物線，其中L稱為 準線 ，F稱 為 焦點 。 二、名詞的認識： (一)對稱軸﹕通過焦點F 且與準線L垂直之直線M ，又簡稱為軸。 (二)頂 點﹕拋物線與對稱軸的交點V 。 (三)焦 距﹕焦點F 與頂點V 的距離_VF 。 (四)弦﹕拋物線上任取相異兩點A、B的連線段。 (五)焦弦﹕過焦點F 的弦_AC。 (六)正焦弦﹕垂直於對稱軸的焦弦MN。 (註) 正焦弦長 MN 是焦距 FV 的 4 倍. 三、拋物線的標準式： 2 y ax bx c 配方 _{y a x h (  )}2_k 四、拋物線方程式： 標準式 焦點 準線 圖形 2 ₄ y  cx F ( ,0)c L x:  c 0 c c0 2 ₄ x  cy F (0, )c L y:  c 0 c c0 觀念延伸：平移後的拋物線之方程式與其圖形則會變成？

2-2 拋物線 標準式 圖形 2 (y k ) 4 (c x h ) 0 c c0 2 (x h ) 4 (c y k ) 0 c c0 例1：右圖是一張科學家所記錄的草圖。草圖描繪著一顆繞著太陽運行之彗星的 軌跡，其中的 A、B、C、D、E 五點是科學家觀察到彗星所在的位置。經過仔 細的計算， 這顆彗星所運行的軌跡是一條拋物線， 太陽位於其焦點且其 準線是一條水平線。則根據這張草圖，彗星在被觀察到的五點 A、B、C、D、E 與太陽之距離的大小順序為何？ 【練習題】右圖為一拋物線的部分圖形， A、B、C、D、E 個點中有一為其焦點。 試判斷何點是其焦點？ 例2：求滿足下列各條件的拋物線方程式： (1)焦點 F(2,0)，準線L x:  2 (2)焦點 F(0, 3) ，準線L y: 3_.

【練習題】求滿足下列各條件的拋物線方程式： (1) 焦點 F( 1,0) ，準線L x: 1 (2) 焦點 F(0,4)，準線L y:  4 例3：求拋物線_y2 _{ 16x的頂點、焦點、準線與正焦弦長。} 【練習題】求拋物線_x2 _{ 8y的頂點、焦點、準線與正焦弦長。} 例4：求滿足下列各條件的拋物線方程式： (1)焦點 F(6,3)_{, 準線}L x:  2 (2)頂點 V( 1,1) _{, 準線}L y: 4

2-2 拋物線

【練習題】求滿足下列各條件的拋物線方程式：

例5：(1) 求拋物線_(y2)2 _{8(x1)的焦點與準線。}

(2) 求拋物線_x2_{2x4y 7 0的頂點與正焦弦長。}

【練習題】(1) 求拋物線_(y1)2 _{ 12(x2) 的焦點與準線。}

2-2 拋物線 例6：已知拋物線的軸與 y 軸平行，且通過(1,0)、(2, 2)、(3,8)三點，求其方程式。 【練習題】 已知拋物線的軸與 x 軸平行，且通過(0,1)、(1,0)、(3,2)_{三點，求其方程式.} 例7：已知橋上鋼拱的造型是拋物線，如下圖所示﹕若鋼拱為 80 公尺長， 20 公尺高，每側有 7 根鋼柱支撐，則距離鋼拱中央 30 公尺處的鋼柱高度為 何？

第二章 圓錐曲線

2-3 橢 圓 觀念： 一、 橢圓的定義： 設 F1 與 F2 為平面上的兩相異定點，若定數 2a F F 1 2 ， 則平面上所有 滿足 PF₁ PF₂ 2a的點 P 所形成的圖形稱 為橢圓，其中定點 F1 與 F2 稱為此橢圓的焦 點。 二、名詞的認識： (1)中心：線段F F_{1 2}的中點 O 稱為中心。 (2)頂點：直線F F1 2與橢圓的交點 A B、 稱為頂點; 線段F F1 2的中垂線與橢 圓的交點 C D、 也稱為頂點，即橢圓一共有 4 個頂點。 (3)長軸與短軸：線段 AB 稱為長軸，線段_CD稱為短軸。 三、基本性質： (1) 中心 O 同時是線段F F_{1 2} ，長軸 AB 與短軸 CD 的中點。 (2) 長軸 AB 2a 。 (3) 當短軸 CD2b ， F F_{1 2} 2c 時，常數 a b、 與c 滿足 _a2 _b2 _c2 。 四、橢圓方程式： 標準式 圖形 正焦弦長 2 2 2 2 1 x y a  b  ( 0) a b  2 2b a 2 2 2 2 1 x y b a  ( 0) a b  2 2b a

2-3 橢 圓

觀念延伸：圖形平移時的方程式

標準式 圖形 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k a b     ( 0) a b  2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k b a     ( 0) a b  例1：右圖是貼在方格紙上的一個橢圓，已知每個方格的邊長為 1 個單位長， 求該橢圓的兩個焦點相距多少單位長 ？ 【練習題】如右圖，A B C D、 、 、 四個點中有一點是橢圓的焦點，選出該焦點： (1) A (2) B (3) C (4) D 例2：(1)已知橢圓的兩焦點為F1(4,0)與F2( 4,0) ，長軸長為10，求其方程式。

【練習題】 (1)已知橢圓的兩焦點為F1(2,0)與F2( 2,0) ，長軸長為8，求其方程式。 (2)已知橢圓的兩焦點為F1(0,5)與F2(0, 5) ，短軸長為 24，求其方程式。 例3：求橢圓 2 2 1 25 16 x y   的頂點、焦點坐標與正焦弦長。 【練習題】求橢圓 2 2 1 9 25 x y   的頂點、焦點坐標與正焦弦長。 例4：已知橢圓的兩焦點為(3,1)、( 1,1) ，長軸長為_{2 5}，求其方程式。 【練習題】已知橢圓的兩頂點為(2,3)、(2, 7) ，一焦點為(2, 6) ，求其方程式。

2-3 橢 圓 例5：求橢圓( 2)2 ( 1)2 1 1 4 x _ y _{ 的頂點與焦點坐標。} 【練習題】求橢圓 2 2 ( 2) ( 1) 1 9 4 x _ y _{ 的頂點與焦點坐標。} 例6：求與 2 2 1 3 10 x _ y _{ 有相同的焦點且長軸長為 10 的橢圓方程式。} 【練習題】求與 2 2 1 12 6 x _ y _{ 有相同的焦點且短軸長為 6 的橢圓方程式。}

例7：小華想在一張長短軸分別為 6 公分與 4 公分的橢圓紙片裡，畫一個內 接正方形，其四邊分別與長軸或短軸平行，如右圖所示。問：小華所畫 的正方形面積是多少？

2-4 雙曲線

第二章 圓錐曲線

2.4 雙曲線 觀念： 一、雙曲線的定義：設 F1 與 F2 為平面上的兩相異定點。 若定 數2a F F 1 2， 則平面上所有滿足 |PF1PF2| 2 a的點 P 所形 成的圖形稱為雙曲線，其中定點 F1 與 F2 稱為此雙曲線的 焦點。 二、名詞的認識： (1)中心：線段F F_{1 2}的中點O 稱為中心，F F_{1 2} 的長度習慣用2c表示，即 1 2 2 F F  c。 (2)頂點與貫軸：直線F F1 2與雙曲線的交點 A B, 稱為 頂點，線段_AB稱為貫軸。 (3)共軛軸：在過中心垂直貫軸的直線上，有一特定 線段CD，其中點為中心O ，而且其長度 2 CD b 滿足_c2 _a2 _b2_{, 我們稱CD為雙曲線的共軛軸。} (4)正焦弦長： 2 2b a 三、雙曲線的方程式： 標準式 圖形 漸近線 2 2 2 2 1 x y a b  1: 0 L bx ay  2: 0 L bx ay  2 2 2 2 1 y x a b  1: 0 L ax by  2: 0 L ax by 

方程式 圖形 漸近線 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 x h y k a b  _  _ 1 : ( ) ( ) 0 L b x h a y k  2: ( ) ( ) 0 L b x h a y k  2 2 2 2 ( ) ( ) 1 y k x h a b     L a x h1: (  ) b y k(  ) 0 2: ( ) ( ) 0 L a x h b y k  例1：已知在下圖中，每個方格的邊長為 1，方格內的點滿足 O 是F F1 2的中點，而 且點 P 到 F1,F2的距離差為4。求點 A, B, C, D 中哪些點與F1 及F2的距離差 也是4？

2-4 雙曲線 【練習題】已知在右下圖中，每個方格的邊長為1，方格內的點滿足 O 是 F F1 2的中 點，點 P 與 Q 均在以F1, F2 為焦點的雙曲線上。 求 (1) PF2 PF1. (2) 點 A, B, C, D 中哪些點也在此雙曲線上？ 例2：(1)已知雙曲線的兩焦點為F1(5,0)與F2( 5,0) ，貫軸長為6，求其方程式。 (2)已知雙曲線的兩焦點為F1(0,4)與F2(0, 4) ，共軛軸長為 6，求其方程式。

【練習題】(1)已知雙曲線的兩焦點為F1(3,0)與F2( 3,0) ，貫軸長為4，求其方程式。 (2)已知雙曲線的兩焦點為F1(0,5)與F2(0, 5) ，共軛軸長為8，求其方程式。 例3：求雙曲線 2 2 1 16 9 x y   的頂點與焦點？ 【練習題】求雙曲線 2 2 1 4 4 y x   的頂點與焦點？ 例4：求雙曲線 2 2 1 9 16 x y   的兩條漸近線方程式。

2-4 雙曲線 【練習題】求雙曲線 2 2 1 9 16 y x   的兩條漸近線方程式。 例5：已知雙曲線的兩焦點為(5,1)、 ( 1,1) ，貫軸長為2 5，求其方程式？ 【練習題】已知雙曲線的兩頂點為( 2, 1)  、( 2,5) ，一焦點為( 2,7) ，求其方程式？ 例6：求雙曲線 2 2 ( 2) ( 1) 1 4 9 y _ x _{ 的頂點、焦點與漸近線。} 【練習題】求雙曲線 2 2 ( 2) ( 1) 1 9 4 x _ y _{ 的頂點、焦點與漸近線。}

例7：若雙曲線與 2 2 1 25 16 x y   有相同的漸近線，且通過點(5,8)，求其方程式。 【練習題】若雙曲線與 2 2 1 16 9 x y   有相同的漸近線，且通過點(8,3)，求其方程式。 例8：在海面上由聯絡網發現，某一艘船的位置在雙曲線_x2 _{ y}2 _1 與 2 2 ₁ 2 x y   的 交點上，且該船位於第一象限，求該船位置的坐標？

2-5 圓錐曲線的光學性質

第二章 圓錐曲線

2.5 圓錐曲線的光學性質 觀念： 一、 圓錐曲線的切線、法線： (一) 切線：設直線L和圓錐曲線相交於P、Q兩點，我們將P點固定，讓Q點 沿著曲線逐漸靠近P點，當Q點與P點重合時，所得的直線L就稱為圓 錐曲線上過P點的。 (二) 法線：通過切點P且與切線L垂直的直線M ﹐就稱為圓 錐曲線在P點的法線。 (三) 利用公式求切線方程式 二、圓 錐曲 線的 光學 性質： 圓錐曲線 切線方程式 拋物線 2 ₄ y  cx y mx c m   2 ₄ x  cy _{y mx cm } 2 橢圓 2 2 2 2 1 x y a b  2 2 2 y mx  a m b 2 2 2 2 1 x y b a  2 2 2 y mx  b m a 雙曲線 2 2 2 2 1 x y a b  2 2 2 y mx  a m b 2 2 2 2 1 y x a b  2 2 2 y mx  b m a