6-1-3多項式函數的極限與導數-割線與切線
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(2) 【應用】 1. 二次函數的切線斜率: 二次函數 f ( x) ax 2 bx c 的圖形上,以 P ( x0 , f ( x0 )) 為切點的切線斜率是 2ax0 b 。 2. 平均速度、瞬時速度: 若 f (x) 表示直線運動的質點在 x 時的坐標位置,且 y f (a x) f (a) , y y 則 表示質點從 x a 到 x a x 的時間內之平均速度,而極限 lim 即 x 0 x x 為質點在 x a 的瞬時速度。 3.. 設 g ( x) 9 x2 ,試求曲線 y g ( x) 上以點 (1, 2 2) 為切點的切線斜率。 解答:. 9 (1 x) 2 9 12 8 2x (x) 2 8 g (1 x) g (1) lim lim x 0 x 0 x 0 x x x lim. lim. x 0. lim. x 0. . ( 8 2x (x) 2 8 )( 8 2x (x) 2 8 ) x( 8 2x (x) 2 8 ). 2x (x) 2 x( 8 2x (x) 8 ) 2. lim. x 0. 2 1 2 。 4 8 8 8. 11. 2 x 8 2x (x) 2 8.
(3) 【性質】 圓錐曲線的光學性質: 1. 由焦點射出的光線,經拋物線反射後會與對稱軸平行;反之,與對稱軸平行 的入射光,反射後必經過拋物線的焦點。 可寫成拋物線的任一切線 L ,與過切點 P 且平行於對稱軸的直線所夾的銳角. 1 ,等於切線 L 與焦半徑 PF 所夾的銳角 2 。 註: 可以利用切線、法線、焦半徑等與軸的焦點以及角平分線的性質來證明。. 證明: (方法一) 過點 P ( x 0 , y 0 ) 切拋物線 y 2 4cx 的切線 L 為 yy0 2c( x x0 ) , 設切線 L 與 x 軸交於點 Q ,令 y 0 得 Q ( x 0 ,0) , 因此 FQ c ( x0 ) x0 c ,又 PF ( x0 c) 2 y 0 2 ( x0 c) 2 x0 c , 得 PF QF ,故 FPQ 為等腰三角形,即 , 又 PF ' 平行 x 軸,故 , 由上知 。. 12.
(4) (方法二) 亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之, 2c m L y 0 已知 ,又 y 0 2 4cx 0 , y 0 m PF x 0 c y0 2c 2 2c ( x 0 c ) y 0 y 0 x0 c 2cx0 2c 2 2c 2c 則 tan 且 tan , y 2c y 0 ( x 0 c) 2cy 0 y0 y0 x0 y 0 cy 0 0 1 y 0 x0 c. 由上知 。 (方法三) 如圖, A 為拋物線 y ax2 ( a 0 )內部一點, P ( x0 , ax0 2 ) 為拋物線上一點, x0 0 ,且 AP 與 y 軸平行。若 L 與 N 分別為拋物線在 P 點的切線及法線,1 為 AP 與法線 N 的夾角, 2 為法線 N 與 PF 的夾角,其中 F (0, 的焦點。試證: 1 2 ,即法線 N 平分 APF 。. 1 ) 為拋物線 4a. 證明: 我們知道,以 P ( x0 , ax0 2 ) 為切點的切線 L 之斜率 m 2ax0 , 所以,法線 N 的斜率 mN . 1 。 2ax0. 由於 AP 與 y 軸平行,可得 1 恰等於切線 L 與 x 軸正向的夾角, 故 tan1 m 2ax0 。 1 2 2 4a 4a x0 1 , x0 0 4ax0. ax0 2. 另一方面,直線 PF 的斜率 mPF . 4a 2 x0 1 1 mPF mN 4ax0 2ax0 於是,由圖可得 tan 2 2ax0 , 2 2 1 mN mPF 1 4a x0 1 1 2ax0 4ax0 2. 因此, tan1 tan2 。又 1 與 2 都是銳角,故可得知 1 2 。 (這表示 1 為入射角時, 2 就是反射角;反之, 2 為入射角時, 1 就是反射 角). 13.
(5) 2.. 橢圓或雙曲線的任一切線 L ,與過切點 P 的兩焦半徑所夾的銳角 1 與 2 相 等。. 證明: 想要證明:若橢圓的焦點為 F , F ,設 P 是橢圓上的任一點, L 是橢圓在 P 點 的切線,則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射,反射光線會經過 F (即反射 光線為 PF )。 (方法一) x x y y x2 y2 過點 P ( x 0 , y 0 ) 切橢圓 2 2 1 的切線 L 為 02 02 1 , a b a b 設切線 L 與 x 軸交於點 Q , 令 y 0 得 Q(. a2 ,0) , x0. a 2 cx 0 a 2 cx 0 a2 a2 因此 FQ , F 'Q , c c x0 x0 x0 x0 c c 又 PF a x0 , PF ' a x0 , a a 得 FQ : F ' Q PF : P ' F , 故切線平分 F ' PF 的外角(即 ), 又 (對頂角),由上知 。. 14.
(6) (方法二) 亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之 x x y y x2 y2 過點 P ( x 0 , y 0 ) 切橢圓 2 2 1 的切線 L 為 02 02 1 , a b a b 直線 PF 為 y 0 x ( x0 c) y cy 0 0 ,直線 PF 為 y 0 x ( x0 c) y cy 0 0 , 設切線 L 與直線 PF 的夾角為 ,切線 L 與直線 PF 的夾角為 得 cos . b 2 x0 y 0 a 2 y 0 ( x0 c) b 4 x0 a 4 y 0 2. y 0 ( x0 c) 2 2. a 2 cy 0 c 2 x0 y 0. . b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. (b 2 . b2 2 x ) ( x0 c) 2 2 0 a. cy 0 (a 2 cx 0 ). . b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. c2 2 x 2cx 0 a 2 2 0 a. cy 0 (a 2 cx 0 ). . b 4 x0 a 4 y 0 2. . 2. 2. acy 0 b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. (a . c x0 ) 2 a. ,. 及 cos . b 2 x0 y 0 a 2 y 0 ( x0 c) b 4 x0 a 4 y 0 2. y 0 ( x0 c) 2 2. a 2 cy 0 c 2 x0 y 0. . b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. (b 2 . b2 2 x0 ) ( x0 c) 2 a2. cy 0 (a 2 cx 0 ). . b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. c2 2 x 2cx 0 a 2 2 0 a. cy 0 (a 2 cx 0 ). . b 4 x0 a 4 y 0 2. . 2. 2. acy 0 b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. (a . c x0 ) 2 a. ,. 故 cos cos , 又 與 都是銳角, 故 。 15.
(7) 3.. 雙曲線的任一切線 L ,與過切點 P 的兩焦半徑所夾的銳角 1 與 2 相等。. 證明: 想要證明:若雙曲線的焦點為 F , F ,設 P 是雙曲線上的任一點, L 是雙曲 線在 P 點的切線,則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射,反射光線會經過 F (即反射光線為 PF )。 (方法一) x x y y x2 y2 過點 P ( x 0 , y 0 ) 切雙曲線 2 2 1 的切線 L 為 02 02 1 , a b a b 設切線 L 與 x 軸交於點 Q ,. a2 令 y 0 得 Q( ,0) , x0 因此 FQ c 又 PF . a2 a2 及 F 'Q c , x0 x0. c c x0 a 及 PF ' x0 a , a a. 得 FQ : F ' Q PF : P ' F , 故切線是 F ' PF 的角平分線, 知 。. 16.
(8) (方法二) 亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之過點 P ( x 0 , y 0 ) x x y y x2 y2 2 1 的切線 L 為 02 02 1 , 2 a b a b 直線 PF 為 y 0 x ( x0 c) y cy 0 0 ,直線 PF 為 y 0 x ( x0 c) y cy 0 0 , 設切線 L 與直線 PF 的夾角為 ,切線 L 與直線 PF 的夾角為 , 得 cos. 切雙曲線. . b 2 x0 y 0 a 2 y 0 ( x0 c) b 4 x0 a 4 y 0 2. y 0 ( x0 c) 2 2. c 2 x0 y 0 a 2 cy 0. . b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. (. b2 2 x0 b 2 ) ( x0 c) 2 a2. cy 0 (cx 0 a 2 ). . b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. c2 2 x 2cx 0 a 2 2 0 a. cy 0 (cx 0 a 2 ). . b 4 x0 a 4 y 0 2. . 2. 2. acy 0 b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. c ( x0 a) 2 a ,. 及 cos . b 2 x0 y 0 a 2 y 0 ( x0 c) b 4 x0 a 4 y 0 2. y 0 ( x0 c) 2 2. c 2 x0 y 0 a 2 cy 0. . b x0 a y 0 4. 2. 4. 2. b2 2 ( 2 x0 b 2 ) ( x0 c) 2 a. cy 0 (cx 0 a 2 ). . b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. c2 2 x0 2cx 0 a 2 a2. cy 0 (cx 0 a 2 ). . b 4 x0 a 4 y 0 2. . 2. 2. acy 0 b 4 x0 a 4 y 0 2. 2. c ( x0 a) 2 a ,. 故 cos cos , 又 與 都是銳角, 故 。 17.
(9) 【應用】 1. 試證:對任意實數 m ,拋物線 y ax 2 bx c 必有一斜率為 m 的切線。 證明: mb y 。 2ax b ,得 x x 0 x 2a. 由 m lim. 即拋物線以點 ( x 0, y 0) 為切點的切線斜率為 m , 其中 x 0 . mb , y 0 ax 0 2 bx 0 c 。 2a. 18.
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