6-1-3多項式函數的極限與導數-割線與切線

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(1)選修數學(I)1-3 多項式函數的極限與導數-割線與切線 【思考】 1. 若一直線與圓只交於一點,則此直線為圓的一條切線。然而,對於一般的曲 線,就不一定和圓一樣有好的幾何性質,也未必能用重根(判別式為零)的代 數方法求切線斜率。事實上,判別式求切線斜率的方法只適用於二次圓錐曲 線。又曲線的切線與曲線的交點可能不只一個,又拋物線的對稱軸與其恰有 一交點,但對稱軸不是切線。. 【定義】 1. 切線斜率: 曲線 y  f (x) 以 P(a, f (a)) 為切點的切線斜率 m , y 就是過 P 點的割線斜率 之極限,其中 y  f (a  x)  f (a) , x y f (a  x)  f (a) 亦即 m  lim 。  lim x0 x x0 x 註: (1) Q(a  x, f (a  x)) 是曲線上異於 P 的另一點, PQ 是過 P 點的一條割 線,當 Q 點沿著曲線 y  f ( x) 移動而趨近 P 點時,變化量  x 就趨近 0 , f (a  x)  f (a) y 若令 y  f (a  x)  f (a) ,則割線 PQ 的斜率為 。  x x (2) 當  x 趨近 0 ,而割線斜率的極限 lim. x  0. y 存在時,就以此極限值規定為 x. 以 P 為切點的切線斜率,此時切線 L 就存在,如圖(b),其切線斜率 m 就 是此割線斜率的極限。 (3) 當此極限存在時,切線的斜率就存在,此時曲線 y  f (x) 以 P(a, f (a)) 為 切點的切線方程式為 y  f (a)  m( x  a) 。. 10.

(2) 【應用】 1. 二次函數的切線斜率: 二次函數 f ( x)  ax 2  bx  c 的圖形上,以 P ( x0 , f ( x0 )) 為切點的切線斜率是 2ax0  b 。 2. 平均速度、瞬時速度: 若 f (x) 表示直線運動的質點在 x 時的坐標位置,且 y  f (a  x)  f (a) , y y 則 表示質點從 x  a 到 x  a  x 的時間內之平均速度,而極限 lim 即 x 0 x x 為質點在 x  a 的瞬時速度。 3.. 設 g ( x)  9  x2 ,試求曲線 y  g ( x) 上以點 (1, 2 2) 為切點的切線斜率。 解答:. 9  (1   x) 2  9  12 8  2x  (x) 2  8 g (1   x)  g (1)  lim  lim  x 0  x 0 x  0 x x x lim.  lim. x  0.  lim. x  0. . ( 8  2x  (x) 2  8 )( 8  2x  (x) 2  8 ) x( 8  2x  (x) 2  8 ).  2x  (x) 2 x( 8  2x  (x)  8 ) 2.  lim. x  0. 2 1  2 。   4 8 8 8. 11.  2  x 8  2x  (x) 2  8.

(3) 【性質】 圓錐曲線的光學性質: 1. 由焦點射出的光線,經拋物線反射後會與對稱軸平行;反之,與對稱軸平行 的入射光,反射後必經過拋物線的焦點。 可寫成拋物線的任一切線 L ,與過切點 P 且平行於對稱軸的直線所夾的銳角. 1 ,等於切線 L 與焦半徑 PF 所夾的銳角  2 。 註: 可以利用切線、法線、焦半徑等與軸的焦點以及角平分線的性質來證明。. 證明: (方法一) 過點 P ( x 0 , y 0 ) 切拋物線 y 2  4cx 的切線 L 為 yy0  2c( x  x0 ) , 設切線 L 與 x 軸交於點 Q ,令 y  0 得 Q (  x 0 ,0) , 因此 FQ  c  ( x0 )  x0  c ,又 PF  ( x0  c) 2  y 0 2  ( x0  c) 2  x0  c , 得 PF  QF ,故 FPQ 為等腰三角形,即    , 又 PF ' 平行 x 軸,故    , 由上知    。. 12.

(4) (方法二) 亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之, 2c  m L  y  0 已知  ,又 y 0 2  4cx 0 , y 0 m   PF x 0  c y0 2c  2 2c ( x 0  c )  y 0 y 0 x0  c  2cx0  2c 2 2c 2c  則 tan   且 tan   ,   y 2c y 0 ( x 0  c)  2cy 0 y0 y0 x0 y 0  cy 0 0 1  y 0 x0  c. 由上知    。 (方法三) 如圖, A 為拋物線 y  ax2 ( a  0 )內部一點, P ( x0 , ax0 2 ) 為拋物線上一點, x0  0 ,且 AP 與 y 軸平行。若 L 與 N 分別為拋物線在 P 點的切線及法線,1 為 AP 與法線 N 的夾角,  2 為法線 N 與 PF 的夾角,其中 F (0, 的焦點。試證: 1  2 ,即法線 N 平分 APF 。. 1 ) 為拋物線 4a. 證明: 我們知道,以 P ( x0 , ax0 2 ) 為切點的切線 L 之斜率 m  2ax0 , 所以,法線 N 的斜率 mN . 1 。 2ax0. 由於 AP 與 y 軸平行,可得 1 恰等於切線 L 與 x 軸正向的夾角, 故 tan1  m  2ax0 。 1 2 2 4a  4a x0  1 , x0  0 4ax0. ax0  2. 另一方面,直線 PF 的斜率 mPF . 4a 2 x0  1 1  mPF  mN 4ax0 2ax0 於是,由圖可得 tan  2    2ax0 , 2 2 1  mN mPF 1 4a x0  1 1  2ax0 4ax0 2. 因此, tan1  tan2 。又 1 與  2 都是銳角,故可得知 1  2 。 (這表示 1 為入射角時,  2 就是反射角;反之,  2 為入射角時, 1 就是反射 角). 13.

(5) 2.. 橢圓或雙曲線的任一切線 L ,與過切點 P 的兩焦半徑所夾的銳角 1 與  2 相 等。. 證明: 想要證明:若橢圓的焦點為 F , F  ,設 P 是橢圓上的任一點, L 是橢圓在 P 點 的切線,則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射,反射光線會經過 F  (即反射 光線為 PF  )。 (方法一) x x y y x2 y2 過點 P ( x 0 , y 0 ) 切橢圓 2  2  1 的切線 L 為 02  02  1 , a b a b 設切線 L 與 x 軸交於點 Q , 令 y  0 得 Q(. a2 ,0) , x0. a 2  cx 0 a 2  cx 0 a2 a2 因此 FQ  , F 'Q  , c  c  x0 x0 x0 x0 c c 又 PF  a  x0 , PF '  a  x0 , a a 得 FQ : F ' Q  PF : P ' F , 故切線平分 F ' PF 的外角(即    ), 又    (對頂角),由上知    。. 14.

(6) (方法二) 亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之 x x y y x2 y2 過點 P ( x 0 , y 0 ) 切橢圓 2  2  1 的切線 L 為 02  02  1 , a b a b  直線 PF 為 y 0 x  ( x0  c) y  cy 0  0 ,直線 PF 為 y 0 x  ( x0  c) y  cy 0  0 , 設切線 L 與直線 PF 的夾角為  ,切線 L 與直線 PF  的夾角為   得 cos . b 2 x0 y 0  a 2 y 0 ( x0  c) b 4 x0  a 4 y 0 2. y 0  ( x0  c) 2 2. a 2 cy 0  c 2 x0 y 0. . b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. (b 2 . b2 2 x )  ( x0  c) 2 2 0 a. cy 0 (a 2  cx 0 ). . b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. c2 2 x  2cx 0  a 2 2 0 a. cy 0 (a 2  cx 0 ). . b 4 x0  a 4 y 0 2. . 2. 2. acy 0 b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. (a . c x0 ) 2 a. ,. 及 cos  . b 2 x0 y 0  a 2 y 0 ( x0  c) b 4 x0  a 4 y 0 2. y 0  ( x0  c) 2 2. a 2 cy 0  c 2 x0 y 0. . b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. (b 2 . b2 2 x0 )  ( x0  c) 2 a2. cy 0 (a 2  cx 0 ). . b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. c2 2 x  2cx 0  a 2 2 0 a. cy 0 (a 2  cx 0 ). . b 4 x0  a 4 y 0 2. . 2. 2. acy 0 b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. (a . c x0 ) 2 a. ,. 故 cos  cos  , 又  與   都是銳角, 故    。 15.

(7) 3.. 雙曲線的任一切線 L ,與過切點 P 的兩焦半徑所夾的銳角 1 與  2 相等。. 證明: 想要證明:若雙曲線的焦點為 F , F  ,設 P 是雙曲線上的任一點, L 是雙曲 線在 P 點的切線,則入射光線 PF 經過 P 點的完全反射,反射光線會經過 F  (即反射光線為 PF  )。 (方法一) x x y y x2 y2 過點 P ( x 0 , y 0 ) 切雙曲線 2  2  1 的切線 L 為 02  02  1 , a b a b 設切線 L 與 x 軸交於點 Q ,. a2 令 y  0 得 Q( ,0) , x0 因此 FQ  c  又 PF . a2 a2 及 F 'Q  c  , x0 x0. c c x0  a 及 PF '  x0  a , a a. 得 FQ : F ' Q  PF : P ' F , 故切線是 F ' PF 的角平分線, 知   。. 16.

(8) (方法二) 亦可以使用切線與焦半徑兩直線的夾角公式直接求之過點 P ( x 0 , y 0 ) x x y y x2 y2  2  1 的切線 L 為 02  02  1 , 2 a b a b 直線 PF 為 y 0 x  ( x0  c) y  cy 0  0 ,直線 PF  為 y 0 x  ( x0  c) y  cy 0  0 , 設切線 L 與直線 PF 的夾角為  ,切線 L 與直線 PF  的夾角為   , 得 cos. 切雙曲線. . b 2 x0 y 0  a 2 y 0 ( x0  c) b 4 x0  a 4 y 0 2. y 0  ( x0  c) 2 2. c 2 x0 y 0  a 2 cy 0. . b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. (. b2 2 x0  b 2 )  ( x0  c) 2 a2. cy 0 (cx 0  a 2 ). . b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. c2 2 x  2cx 0  a 2 2 0 a. cy 0 (cx 0  a 2 ). . b 4 x0  a 4 y 0 2. . 2. 2. acy 0 b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. c ( x0  a) 2 a ,. 及 cos  . b 2 x0 y 0  a 2 y 0 ( x0  c) b 4 x0  a 4 y 0 2. y 0  ( x0  c) 2 2. c 2 x0 y 0  a 2 cy 0. . b x0  a y 0 4. 2. 4. 2. b2 2 ( 2 x0  b 2 )  ( x0  c) 2 a. cy 0 (cx 0  a 2 ). . b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. c2 2 x0  2cx 0  a 2 a2. cy 0 (cx 0  a 2 ). . b 4 x0  a 4 y 0 2. . 2. 2. acy 0 b 4 x0  a 4 y 0 2. 2. c ( x0  a) 2 a ,. 故 cos  cos  , 又  與   都是銳角, 故    。 17.

(9) 【應用】 1. 試證:對任意實數 m ,拋物線 y  ax 2  bx  c 必有一斜率為 m 的切線。 證明: mb y 。  2ax  b ,得 x   x 0  x 2a. 由 m  lim. 即拋物線以點 ( x 0, y 0) 為切點的切線斜率為 m , 其中 x 0 . mb , y 0  ax 0 2  bx 0  c 。 2a. 18.

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參考文獻