第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的运算法则

第九节

二、初等函数的连续性

连续函数的运算与

初等函数的连续性

第一章

定理 2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增 . x

x, cot

tan _{在其定义域内连续}

一、连续函数的运算法则

定理 1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,

( 利用极限的四则运算法则证明 )

连续 x

x, cos sin

商 ( 分母不为 0) 运算

, 结果仍是一个在该点连续的函数 .

例如 ,

例如 , y  sin x _在[ ₂^π , ₂^π ]_{上连续单调递增，}

其反函数 y  arcsin x

( 递 减 )

( 证明略 )

在 [1, 1] 上也连续单调

( 递 减 )

1

1

O x y

2 2π π



递增 .

x x sin

arcsin

定理 3. 连续函数的复合函数是连续的 . y  ex_在 (



 

其反函数 y



, 0

(

 

证 : 设函数u  (x) 在点 x₀ 连续, ⁽x0⁾  u0 ^.

, )

( 在点 ₀ 连续

函数 y  f x u lim ( ) ( ₀) .

0

u f u

u f

u 

于是 

 [ ( )]  lim

0

x

x f

x  lim ( )

0

u

u f

u  f (u₀)  f [(x₀)]

故复合函数f [(x)] 在点 x 连续. 又如 ,

且 即

x y

O

x y  ln

e^x y 

1

1

单调 递增 ,

例如 ,

y 1x

 sin _{是由连续函数链}

) ,

( ,

sin    

 u u

y

1 ,

u  x x  R^* 因此 y 1x

 sin _在 x  R^* _上连续 . 复合而成 ,

y 1x

 sin

x y

O

例 1 . 设 f (x)与 g(x) 均在[a, b] _{上连续 , 证明函数}





max )

(x  f x g x



也在[a, b] _{上连续 .}

证 : _

^







)

(x  ¹₂ f x  g x





根据连续函数运算法则 ,可知









min )

(x  f x g x



二、初等函数的连续性

基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续

连续函数的复合函数连续

一切初等函数 在定义区间内 连续

例如 ,

1 x2

y   ^{的连续区间为} [1,1] ⁽ _{端点为单侧连续} ⁾ x

y  lnsin _{的连续区间为} (2n π, (2n 1) π ) , n Z 1

cos 

 x

y _{的定义域为} x  2n π , n Z 因此它无连续点

而

例 2. 求 log (1 ) . lim0 x

a x

x





解 : 原式 _a x ^x

x

)1

1 ( log

lim0 

   log_ae

a ln

 1

例 3. 求 1. lim0 x

a^x

x





解 : 令t  a^x 1, _则 x  log_a (1 t), 原式 lim log (1 )

0 t

t

t a 

   ln a

说明 : 由此可见 当

0

e, 

 x

a 时 , 有

~ ) 1

ln(  x x e^x 1 ~ x

例 4.

求 lim (1 2 )^sin3 .

0

x x

x 



解 : 原式 lim e

0

 x

) 2 1

sin3_x ln(  x

e lim0

 x

3x

e6

 说明 :

若 lim ( ) 0,

0

 u x 

x

x 则有







)

) (

( 1

lim

0

x v x

x u x

, )

( lim

0



 v x 

x x

e ^{lim ( )ln}





0

x u x

x v

x 



 e ^{xlimx0 v(x)u(x)}

x

2



  

 4, 1

1 ) ,

( x x

x x x

例 5. 设 ,



2

1 ) ,

( ²







 

 x x

x x x

f

解 :

讨论复合函数 f [(x)] _{的连续性 .}

 ] ) ( [ x

f



2 x 

x

1 ,

2  

 x x 故此时连续 ; 而

)]

( [ lim

1

x f

x



 

2 1

lim x

x ^

 1

)]

( [ lim

1

x f

x



  lim ( 2 )

1

x

x





    3

故 f [



1 )

( ),

2(x





1 )

( ,

) (

2 





)]

( [

1时 f x 为初等函数

x 



在点 不连续

内容小结

基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算结果仍连续 连续函数的反函数连续

连续函数的复合函数连续

初等函数在 定义区间内 连续

说明 : 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性 .

思考与练习

, )

( 在点 ₀ 连续

若 f x x 问 f ²(x), f (x) 在 x₀ 是否连 续 ?

反例





 1, , ) 1

(x

f ^{x 为有理数}

x 为无理数

) (x

f _{处处间断 ,} f ²(x), f (x) _{处处连续 .} 反之是否成立 ?

作业

P69 3

4

6

提示 : “ 反之” 不成立 .